Fluxo de um campo vetorial e a Lei de Gauss

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Lavínia Pinho Castanho
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1 Fluxo de um campo vetorial e a Lei de Gauss Bibliografia e figuras: Sears & Zemanski, 12a ed. cap 22 Nesta aula vamos aprender a: determinar a quantidade de carga no interior de uma superfície fechada examinando o vetor campo elétrico aprender o que é fluxo de um vetor (especificamente o vetor campo elétrico) e como calculá-lo Como relacionar a carga no interior de uma superfície com o fluxo do campo elétrico através dela -> Lei de Gauss Aplicações da Lei de Gauss

2 Simetrias em física A grosso modo, a utilização da simetria de sistemas físicos, nos ajudam a transformar problemas complicados em problemas mais simples de resolver. Exemplos de sistemas físicos simétricos: Cilindro, esfera, fios, planos O campo elétrico de um fio retilínio pode ser calculado por sucessivas integrações (como fizemos) ou em poucas linhas se utilizarmos a simetria do sistema. A lei de Gauss nos ajuda muito nestes casos onde podemos utilizar as simetrias.

3 Carga elétrica e fluxo elétrico Até agora no curso, tentamos responder à seguinte pergunta: Qual é o campo elétrico produzido por uma uma dada distribuição de cargas em um ponto P qualquer? E se ao invés desta pergunta, nos perguntarmos o seguinte: Se soubéssemos como é o campo elétrico em uma dada região, o que poderíamos afirmar sobre a distribuição de cargas neste região?

4 Como podemos determinar a quantidade de carga elétrica que existe no interior da caixa na figura (a)? Colocando uma carga de teste q 0 nas vizinhanças e mapeando o campo elétrico que atua sobre esta carga vemos que existe uma força F=q 0 E. Neste caso, o mapeamento mostra que o campo elétrico é produzido por uma única carga.

5 Se medirmos o campo elétrico E na superfície da caixa conseguiremos determinar o conteúdo interno da caixa.

6 Carga elétrica e Fluxo elétrico O fato de existir uma carga interna positiva ou negativa dentro de uma superfície fechada faz com que exista um fluxo do campo elétrico para fora (para dentro) desta superfície. E quando a carga líquida for nula dentro da superfície?

7 Qual a relação entre o módulo da carga elétrica e a intensidade do fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada? Se o valor da carga q aumentar, o fluxo aumenta proporcionalmente. Se as dimensões da superfície aumentam, o fluxo não se altera...

8 Cálculo do Fluxo Elétrico através de uma superfície fechada. Seja S uma superfície fechada. O fluxo do campo elétrico através desta superfíce é definido matematicamente como: ˆn ~E da I S = ~E ˆnda S

9 Caso mais simples Quando a superfície for conhecida (simétrica o suficiente) e o campo elétrico bem comportado podemos simplesmente escrever: = E.A (P1-L6) Um quadrado de aresta 10cm está centrado no eixo x em uma região onde existe um campo elétrico uniforme dado por E=200kN/C na direção positiva do eixo x. a) Qual o fluxo elétrico deste campo através da superfície do quadrado se o vetor normal à superfície está também na direção positiva do eixo x? b) Qual o fluxo elétrico através da mesma superfície se o vetor normal à ela faz um ângulo de 60 o com o eixo y?

10 Exemplos (P3-L6) Um campo elétrico é dado por E= 200N/C na direção x (x>0) e por E=-200N/C na direção x (x<0). Uma superfície imaginária cilíndrica com comprimento igual a 20cm e raio R=5cm, tem seu centro na origem e seu eixo ao longo do eixo x, com uma extremidade em x= +10cm e a outra em x=-10cm. a) Calcule o fluxo resultante para fora desta superfície. b) Calcule a carga interna a esta superfície.

11 Exemplos (P4-L6) Uma carga puntiforme q=2µc situa-se no centro de uma esfera imaginária de raio 0,5m. a) Determine a área da superfície da esfera. b) Determine o módulo do campo elétrico em todos os pontos da superfície da esfera. c) Qual o fluxo do campo elétrico devido a esta carga através da superfície da esfera? d) A resposta do ítem anterior seria diferente se a carga puntiforme fosse movimentada para algum outro ponto interno (diferente do centro) à superfície? e) Qual é o fluxo resultante através da superfície de um cubo de 1m que envolve a esfera?

12 A Lei de Gauss A Lei de Gauss relaciona o fluxo líquido de um campo elétrico através de uma superfície fechada à carga líquida contida no interior desta superfície.! I = q int 0 ~E ˆnda = q int S 0 Trata-se da primeira das equações de Maxwell, que unificam a eletricidade e o magnetismo. Esta equação vale somente para o vácuo (ou para aplicações práticas para o ar).

13 Algumas observações Note que a carga interna à superfície fechada é a soma algébrica de todas as cargas contidas na superfície. Portanto, ela pode ser positiva, negativa ou mesmo nula. O sinal da carga é importante pois nos conta sobre o fluxo líquido através da superfície fechada. Se q > 0, o fluxo líquido sai da superfície. Se q < 0, o fluxo líquido entra na superfíce. Cargas externas à superfície, não importa o quão próximas, não estão incluídas na Lei de Gauss e portanto, não entram nos cálculos!

14 O que podemos dizer sobre o fluxo elétrico e a carga elétrica nas superfícies S1, S2, S3 e S4?

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