Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 2014/2 Segunda Prova: 01/10/2014

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1 2 Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 24/2 egunda Prova: //24 Versão: A F m = q v B, d F m = Id l B, B d l = µ I enc +µ ǫ dφ E eção. Múltipla escolha (8,6 = 4,8 pontos). onsidere um solenóide ideal de raio R sol e uma espira circular de raio R esp coaxial a ele, e suponha que R esp > R sol ( a espira está fora do solenóide). Pelo solenóide passa uma corrente não-estacionária I(t). Denotando a intância mútua do sistema por M, as auto-intâncias do solenóide e da espira por L sol e L esp, e o campo prozido pelo solenóide em seu exterior por B ext, qual das afirmações abaixo é verdadeira? (a) L esp = pois B ext =. (b) M depende de I(t). (c) M = pois B ext =. (d) L sol depende de I(t). (e) M depende de R sol. (f) L esp depende de R sol. Formulário, E ind = dφ B (u 2 +a 2 ) = u + 3/2 a 2 (u 2 +a 2 ) /2 B d A =, db = µ Idl ( r r ), 4π r r 3, µ = IAˆn, Φ B = LI, u B = B 2. 2 µ 2. A figura a seguir mostra a seção reta de três fios que conzem correntes estacionárias, com intensidade de mesmo mólo I, que atravessam o plano da figura com sentidos indicados na mesma. Quatro curvas orientadas indicadas pelas letras a até d são apresentadas na figura. A alternativa a seguir que melhor relaciona a circulação do campo magnético i = i B d l (i = a,b,c,d) em cada curva é (a) b < a = c < d. (b) a < b < c < d. (c) a < b = d < c. (d) d < c = a < b. (e) a = c < b = d. 3. Por um contor cilíndrico maciço e infinito de raio R passa uma corrente estacionária e axial I uniformemente distribuída através de sua seção reta. O campo magnético B a uma distância radial s do eixo do contor, em coordenadas cilíndricas (s, ϕ), é igual a (a) B(s < R) = µ iis R 2ŝ e B(s > R) = µ I sŝ (b) B(s < R) = µ Is R ˆϕ e B(s > R) = µ I 2 s ˆϕ (c) B(s < R) = µ I sŝ e B(s > R) = µ I sŝ (d) B(s µ I < R) = s ˆϕ e B(s µ I > R) = s ˆϕ (e) B(s < R) e B(s > R) = 4. eja uma superfície esférica, dividida em as metades e 2 por um grande círculo. A partir da lei de Ampère, podemos afirmar que (a) O fluxo do campo magnético através de é de. (b) A circulação do campo magnético ao longo de é proporcional ao à intensidade de corrente através de. (c) A circulação do campo magnético ao longo de é proporcional à intensidade de corrente através de 2. (d) O fluxo do campo magnético através de é de. (e) A circulação do campo magnético ao longo de é nula. 5. Um próton (carga +e, massa m), um dêuteron (carga +e, massa 2m), e uma partícula alfa (carga +2e, massa 4m) entram numa região com campo magnético uniforme B, todas com a mesma velocidade v. abendo-se que v B e que o próton se move numa circunferncia de raio R, podemos dizer que os raios das órbitas circulares do dêuteron R d e da partícula alfa R α são, respectivamente: (a) R d = 2R e R α = 2R. (b) R d = 2R e R α = 2R. (c) R d = 2R e R α = R/2. (d) R d = 2R/2 e R α = 2R/2. (e) R d = R/2 e R α = 2R. 6. onsidere dois anéis circulares, um contor e outro isolante, pertencentes a um mesmo plano, sujeitos a um campo magnético variável no tempo, perpendicular ao plano dos anéis. Estando os dois anéis em repouso, em qual deles surgirá uma força eletromotriz inzida? Em qual deles surgirá uma corrente inzida? (a) Em nenhum dos anéis. Em nenhum dos anéis. (b) Em nenhum dos anéis. omente no anel contor. (c) omente no anel contor. omente no anel contor. (d) Em ambos os anéis. omente no anel contor. (e) Em ambos os anéis. Em ambos os anéis. 7. Uma espira circular move-se de baixo para cima na direção de um imã permanente fixo, assim como na figura abaixo. Vista de cima a corrente no fio será: (a) no sentido horário e a força na espira será para cima (b) no sentido anti-horário e a força na espira será para cima (c) no sentido horário e a força na espira será para baixo (d) no sentido anti-horário e a força na espira será para baixo (e) no sentido horário e a força na espira será zero (f) no sentido anti-horário e a força na espira será zero

2 onsidere um plano infinito com uma densidade superficialdecorrente K = Kˆx. abendoqueesse plano contém os eixos X e Y (que são perpendiculares entre si) e é perpendicular ao eixo Z, qual das afirmativas abaixo é verdadeira? (Obs.: simetria plana é a simetria de translação nas direções X e Y, e simetria axial é a simetria de rotações em torno de um eixo dado) eção 2. Questões discursivas (2 2,6 = 5,2 pontos) Todas as respostas devem ter ampla justificativa!. [2,6 pontos] onsidere uma espira quadrada de lado 2a percorrida por uma corrente estacionária I no sentido anti-horário, e sujeita a um campo magnético externo estacionário e uniforme B = B ˆx. A espira se encontra no plano XY, conforme a figura. (a) Pela simetria plana, o campo magnético sempre aponta na direção ẑ. (b) Pela simetria axial emtornodez, omólo do campo magnético independe das coordenadas x e y. (c) Pela simetria axial em torno de Z, o campo magnético sempre aponta na direção ẑ. (d) Pela simetria plana, o mólo do campo magnético independe das coordenadas x e y. (e) Pela simetria axial em torno de X, o campo magnético sempre aponta na direção ˆx. (a) [,6 ponto] alcule as forças F sobre o lado horizontal superior do quadrado e F 2 sobre o lado vertical à direita do quadrado, exercidas pelo campo magnético externo. (b) [,6 ponto] Determine o momento de dipolo magnético µ associado à espira e calcule o vetor torque τ que o campo externo B exerce sobre a mesma. (c) [,4 pontos] Determine o campo magnético B prozido pela espira no seu centro P = (,a,). 2. [2,6 pontos] Uma espira retangular no plano XZ, de auto-intância desprezível, tem lados a e b e resistência R. Um fio retilíneo infinito, por onde flui uma corrente dependente do tempo I(t), é colocado ao longo do eixo Z a uma distância da espira, conforme mostra a figura. Despreze as correntes de deslocamento do sistema. (a) [,6 ponto] abendo que o campo prozido pelo fio retilíneo em um ponto P é dado por B = B(s)ˆϕ, onde s é a distância de P ao fio e ˆϕ é o vetor unitário que circula em torno do fio, encontre B(s). (b) [,2 ponto] alcule o fluxo magnético através da espira, tomando ŷ como o unitário normal à superfície. (c) [,8 ponto] upondo que I(t) = I cosωt, determine a força eletromotriz inzida na espira?

3 2 Gabarito para Versão A eção. Múltipla escolha (8,6 = 4,8 pontos). (e) 5. (b) eção 2. Questões discursivas (2 2,6 = 5,2 pontos). Resolução: (a) Ambas as forças podem ser obtidas da expressão geral F = I dl B. 2. (a) 3. (b) 4. (c) 6. (d) 7. (c) 8. (d) No lado superior temos dl B, e portanto dl B = F =. () Já no lado inferior temos dl B, e, como B é uniforme, a integral simplifica-se bastante F 2 = I dl B = I B ( ẑ) = IB ( ẑ) (b) O momento magnético da espira é dado por e o torque então pode ser obtido de F 2 = 2IB aẑ (2) µ = IA quad ẑ µ = 4Ia 2 ẑ (3) τ = µ B = 4Ia 2 B (ẑ ˆx) τ = 4Ia 2 B ŷ (4) (c) Devido à simetria de rotações múltiplas de π/2 sobre o ponto P, podemos calcular o campo magnético prozido por um dos lados apenas, e multiplicar o resultado por 4. onsideremos então o lado vertical á direita. Temos e logo Integrando, temos d l = ŷ, r P = r = aŷ, r = aˆx+yŷ r r = ˆx+(a y)ŷ r r = a 2 +(y ) 2 db = µ Idl ( r r ) = µ I (ŷ) [ˆx+(a y)ŷ] = µ I ()( ẑ) 4π r r 3 4π [a 2 +(y ) 2 ] 3/2 4π [a 2 +(y ) 2 ] 3/2 B = db = µ 2a 4π ẑ [a 2 +(y ) 2 ] = µ a 3/2 4π ẑ onde no último passo fizemos a substituição u = y. Utilizando o resultado [a 2 +u 2 ] = u a 3/2 a 2 u2 +a 2 [a 2 +u 2 ] = 2a 2 = 3/2 a 2 2a a 2 que, substituído em (5), leva a e, por fim, temos B = µ 4πa ẑ [a 2 +u 2 ] 3/2 (5) B = 4B B = µ πa ẑ (6)

4 3 2. Resolução: (a) Já sabendo que B = Bˆϕ e que não há efeitos de correntes de deslocamento, podemos determinar B aplicando a lei de Ampère. Para isso, basta traçar uma curva amperiana circular de raio s, centrada no fio, e calcular a circulação de B B dl = (B(s)ˆϕ) (dlˆϕ) =, aplicando a lei de Ampère, temos {}}{ B(s)dl(ˆϕ) ˆϕ) = B(s) (b) O fluxo do campo magnético através da espira é dado por Φ m = B da dl = B(s) s, B dl = sb(s) = µ I B(s) = µ I s. (7) onde é a área retângular delimitada pela espira. omo o plano da espira é perpendicular ao vetor unitário ˆϕ e sabendo que nesse plano particular temos ˆϕ = ŷ, podemos fazer B = Bŷ, da = daŷ e então {}}{ Φ m = (Bŷ) (daŷ) = BdA(ŷ ŷ) = Bdx = = µ I a x+b dx x = µ [ logx ] x+b Φ m = µ log (c) A força eletromotriz ε pode ser calculada pela lei de Faraday. Temos ε = dφ m = d µ I cosωt {}}{ I(t) a log ε = µ aωi = µ a log sin(ωt) log ( µ I dx x ) d I cosωt (8) (9) Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 24/2 egunda Prova: //24 Versão: B F m = q v B, d F m = Id l B, B d l = µ I enc +µ ǫ dφ E eção. Múltipla escolha (8,6 = 4,8 pontos). onsidere um solenóide ideal de raio R sol e uma espira circular de raio R esp coaxial a ele, e suponha que R esp > R sol ( a espira está fora do solenóide). Pelo solenóide passa uma corrente não-estacionária I(t). Denotando a intância mútua do sistema por M, as auto-intâncias do solenóide e da espira por L sol e L esp, e o campo prozido pelo solenóide em seu exterior por B ext, qual das afirmações abaixo é verdadeira? (a) L esp = pois B ext =. (b) M depende de I(t). (c) M = pois B ext =. (d) L sol depende de I(t). (e) M depende de R sol. (f) L esp depende de R sol. Formulário, E ind = dφ B (u 2 +a 2 ) = u + 3/2 a 2 (u 2 +a 2 ) /2 B d A =, db = µ Idl ( r r ), 4π r r 3, µ = IAˆn, Φ B = LI, u B = B 2. 2 µ 2. eja uma superfície esférica, dividida em as metades e 2 por um grande círculo. A partir da lei de Ampère, podemos afirmar que (a) O fluxo do campo magnético através de é de. (b) A circulação do campo magnético ao longo de é proporcional ao à intensidade de corrente através de. (c) A circulação do campo magnético ao longo de é proporcional à intensidade de corrente através de 2. (d) O fluxo do campo magnético através de é de. (e) A circulação do campo magnético ao longo de é nula.

5 A figura a seguir mostra a seção reta de três fios que conzem correntes estacionárias, com intensidade de mesmo mólo I, que atravessam o plano da figura com sentidos indicados na mesma. Quatro curvas orientadas indicadas pelas letras a até d são apresentadas na figura. A alternativa a seguir que melhor relaciona a circulação do campo magnético i = i B d l (i = a,b,c,d) em cada curva é 5. Por um contor cilíndrico maciço e infinito de raio R passa uma corrente estacionária e axial I uniformemente distribuída através de sua seção reta. O campo magnético B a uma distância radial s do eixo do contor, em coordenadas cilíndricas (s, ϕ), é igual a (a) B(s < R) = µ iis R 2ŝ e B(s > R) = µ I sŝ (b) B(s < R) = µ Is R ˆϕ e B(s > R) = µ I 2 s ˆϕ (c) B(s < R) = µ I sŝ e B(s > R) = µ I sŝ (d) B(s µ I < R) = s ˆϕ e B(s µ I > R) = s ˆϕ (e) B(s < R) e B(s > R) = 7. onsidere dois anéis circulares, um contor e outro isolante, pertencentes a um mesmo plano, sujeitos a um campo magnético variável no tempo, perpendicular ao plano dos anéis. Estando os dois anéis em repouso, em qual deles surgirá uma força eletromotriz inzida? Em qual deles surgirá uma corrente inzida? (a) Em nenhum dos anéis. Em nenhum dos anéis. (b) Em nenhum dos anéis. omente no anel contor. (c) omente no anel contor. omente no anel contor. (d) Em ambos os anéis. omente no anel contor. (e) Em ambos os anéis. Em ambos os anéis. 8. Uma espira circular move-se de baixo para cima na direção de um imã permanente fixo, assim como na figura abaixo. Vista de cima a corrente no fio será: (a) b < a = c < d. (b) a < b < c < d. (c) a < b = d < c. (d) d < c = a < b. (e) a = c < b = d. 6. onsidere um plano infinito com uma densidade superficialdecorrente K = Kˆx. abendoqueesseplano contém os eixos X e Y (que são perpendiculares entre si) e é perpendicular ao eixo Z, qual das afirmativas abaixo é verdadeira? (Obs.: simetria plana é a simetria de translação nas direções X e Y, e simetria axial é a simetria de rotações em torno de um eixo dado) (a) no sentido horário e a força na espira será para cima (b) no sentido anti-horário e a força na espira será para cima (c) no sentido horário e a força na espira será para baixo (d) no sentido anti-horário e a força na espira será para baixo (e) no sentido horário e a força na espira será zero (f) no sentido anti-horário e a força na espira será zero 4. Um próton (carga +e, massa m), um dêuteron (carga +e, massa 2m), e uma partícula alfa (carga +2e, massa 4m) entram numa região com campo magnético uniforme B, todas com a mesma velocidade v. abendo-se que v B e que o próton se move numa circunferncia de raio R, podemos dizer que os raios das órbitas circulares do dêuteron R d e da partícula alfa R α são, respectivamente: (a) Pela simetria plana, o campo magnético sempre aponta na direção ẑ. (b) Pela simetria axial emtornodez, omólodo campo magnético independe das coordenadas x e y. (a) R d = 2R e R α = 2R. (b) R d = 2R e R α = 2R. (c) R d = 2R e R α = R/2. (d) R d = 2R/2 e R α = 2R/2. (e) R d = R/2 e R α = 2R. (c) Pela simetria axial em torno de Z, o campo magnético sempre aponta na direção ẑ. (d) Pela simetria plana, o mólo do campo magnético independe das coordenadas x e y. (e) Pela simetria axial em torno de X, o campo magnético sempre aponta na direção ˆx.

6 4 eção 2. Questões discursivas (2 2,6 = 5,2 pontos) Todas as respostas devem ter ampla justificativa!. [2,6 pontos] onsidere uma espira quadrada de lado 2a percorrida por uma corrente estacionária I no sentido anti-horário, e sujeita a um campo magnético externo estacionário e uniforme B = B ˆx. A espira se encontra no plano XY, conforme a figura. Gabarito para Versão B eção. Múltipla escolha (8,6 = 4,8 pontos). (e) 5. (b) 2. (c) 6. (d) 3. (a) 4. (b) 7. (d) 8. (c) (a) [,6 ponto] alcule as forças F sobre o lado horizontal superior do quadrado e F 2 sobre o lado vertical à direita do quadrado, exercidas pelo campo magnético externo. (b) [,6 ponto] Determine o momento de dipolo magnético µ associado à espira e calcule o vetor torque τ que o campo externo B exerce sobre a mesma. (c) [,4 pontos] Determine o campo magnético B prozido pela espira no seu centro P = (,a,). 2. [2,6 pontos] Uma espira retangular no plano XZ, de auto-intância desprezível, tem lados a e b e resistência R. Um fio retilíneo infinito, por onde flui uma corrente dependente do tempo I(t), é colocado ao longo do eixo Z a uma distância da espira, conforme mostra a figura. Despreze as correntes de deslocamento do sistema. (a) [,6 ponto] abendo que o campo prozido pelo fio retilíneo em um ponto P é dado por B = B(s)ˆϕ, onde s é a distância de P ao fio e ˆϕ é o vetor unitário que circula em torno do fio, encontre B(s). (b) [,2 ponto] alcule o fluxo magnético através da espira, tomando ŷ como o unitário normal à superfície. (c) [,8 ponto] upondo que I(t) = I cosωt, determine a força eletromotriz inzida na espira?

7 2 3 eção 2. Questões discursivas (2 2,6 = 5,2 pontos). Resolução: (a) Ambas as forças podem ser obtidas da expressão geral F = I dl B. No lado superior temos dl B, e portanto dl B = F =. () Já no lado inferior temos dl B, e, como B é uniforme, a integral simplifica-se bastante F 2 = I dl B = I B ( ẑ) = IB ( ẑ) (b) O momento magnético da espira é dado por e o torque então pode ser obtido de F 2 = 2IB aẑ (2) µ = IA quad ẑ µ = 4Ia 2 ẑ (3) τ = µ B = 4Ia 2 B (ẑ ˆx) τ = 4Ia 2 B ŷ (4) (c) Devido à simetria de rotações múltiplas de π/2 sobre o ponto P, podemos calcular o campo magnético prozido por um dos lados apenas, e multiplicar o resultado por 4. onsideremos então o lado vertical á direita. Temos e logo Integrando, temos d l = ŷ, r P = r = aŷ, r = aˆx+yŷ r r = ˆx+(a y)ŷ r r = a 2 +(y ) 2 db = µ Idl ( r r ) = µ I (ŷ) [ˆx+(a y)ŷ] = µ I ()( ẑ) 4π r r 3 4π [a 2 +(y ) 2 ] 3/2 4π [a 2 +(y ) 2 ] 3/2 B = db = µ 2a 4π ẑ [a 2 +(y ) 2 ] = µ a 3/2 4π ẑ onde no último passo fizemos a substituição u = y. Utilizando o resultado [a 2 +u 2 ] = u a 3/2 a 2 u2 +a 2 [a 2 +u 2 ] = 2a 2 = 3/2 a 2 2a a 2 que, substituído em (5), leva a e, por fim, temos B = µ 4πa ẑ [a 2 +u 2 ] 3/2 (5) 2. Resolução: (a) Já sabendo que B = Bˆϕ e que não há efeitos de correntes de deslocamento, podemos determinar B aplicando a lei de Ampère. Para isso, basta traçar uma curva amperiana circular de raio s, centrada no fio, e calcular a circulação de B B dl = (B(s)ˆϕ) (dlˆϕ) =, aplicando a lei de Ampère, temos {}}{ B(s)dl(ˆϕ) ˆϕ) = B(s) (b) O fluxo do campo magnético através da espira é dado por Φ m = B da dl = B(s) s, B dl = sb(s) = µ I B(s) = µ I s. (7) onde é a área retângular delimitada pela espira. omo o plano da espira é perpendicular ao vetor unitário ˆϕ e sabendo que nesse plano particular temos ˆϕ = ŷ, podemos fazer B = Bŷ, da = daŷ e então {}}{ Φ m = (Bŷ) (daŷ) = BdA(ŷ ŷ) = Bdx = = µ I a x+b dx x = µ [ logx ] x+b Φ m = µ log (c) A força eletromotriz ε pode ser calculada pela lei de Faraday. Temos ε = dφ m = d µ I cosωt {}}{ I(t) a log ε = µ aωi = µ a log sin(ωt) log ( µ I dx x ) d I cosωt (8) (9) B = 4B B = µ πa ẑ (6)

8 2 Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 24/2 egunda Prova: //24 Versão: F m = q v B, d F m = Id l B, B d l = µ I enc +µ ǫ dφ E eção. Múltipla escolha (8,6 = 4,8 pontos). A figura a seguir mostra a seção reta de três fios que conzem correntes estacionárias, com intensidade de mesmo mólo I, que atravessam o plano da figura com sentidos indicados na mesma. Quatro curvas orientadas indicadas pelas letras a até d são apresentadas na figura. A alternativa a seguir que melhor relaciona a circulação do campo magnético i = i B d l (i = a,b,c,d) em cada curva é (a) b < a = c < d. (b) a < b < c < d. (c) a < b = d < c. (d) d < c = a < b. (e) a = c < b = d. Formulário, E ind = dφ B (u 2 +a 2 ) = u + 3/2 a 2 (u 2 +a 2 ) /2 B d A =, db = µ Idl ( r r ), 4π r r 3, µ = IAˆn, Φ B = LI, u B = B 2. 2 µ 2. onsidere um plano infinito com uma densidade superficialdecorrente K = Kˆx. abendoqueesse plano contém os eixos X e Y (que são perpendiculares entre si) e é perpendicular ao eixo Z, qual das afirmativas abaixo é verdadeira? (Obs.: simetria plana é a simetria de translação nas direções X e Y, e simetria axial é a simetria de rotações em torno de um eixo dado) (a) Pela simetria plana, o campo magnético sempre aponta na direção ẑ. (b) Pela simetria axial emtornodez, omólo do campo magnético independe das coordenadas x e y. (c) Pela simetria axial em torno de Z, o campo magnético sempre aponta na direção ẑ. (d) Pela simetria plana, o mólo do campo magnético independe das coordenadas x e y. (e) Pela simetria axial em torno de X, o campo magnético sempre aponta na direção ˆx. 3. onsidere dois anéis circulares, um contor e outro isolante, pertencentes a um mesmo plano, sujeitos a um campo magnético variável no tempo, perpendicular ao plano dos anéis. Estando os dois anéis em repouso, em qual deles surgirá uma força eletromotriz inzida? Em qual deles surgirá uma corrente inzida? (a) Em nenhum dos anéis. Em nenhum dos anéis. (b) Em nenhum dos anéis. omente no anel contor. (c) omente no anel contor. omente no anel contor. (d) Em ambos os anéis. omente no anel contor. (e) Em ambos os anéis. Em ambos os anéis. 4. eja uma superfície esférica, dividida em as metades e 2 por um grande círculo. A partir da lei de Ampère, podemos afirmar que (a) O fluxo do campo magnético através de é de. (b) A circulação do campo magnético ao longo de é proporcional ao à intensidade de corrente através de. (c) A circulação do campo magnético ao longo de é proporcional à intensidade de corrente através de 2. (d) O fluxo do campo magnético através de é de. (e) A circulação do campo magnético ao longo de é nula. 5. Por um contor cilíndrico maciço e infinito de raio R passa uma corrente estacionária e axial I uniformemente distribuída através de sua seção reta. O campo magnético B a uma distância radial s do eixo do contor, em coordenadas cilíndricas (s, ϕ), é igual a (a) B(s < R) = µ iis R 2ŝ e B(s > R) = µ I sŝ (b) B(s < R) = µ Is R ˆϕ e B(s > R) = µ I 2 s ˆϕ (c) B(s < R) = µ I sŝ e B(s > R) = µ I sŝ (d) B(s < R) = µ I s ˆϕ e B(s > R) = µ I s ˆϕ (e) B(s < R) e B(s > R) = 6. Um próton (carga +e, massa m), um dêuteron (carga +e, massa 2m), e uma partícula alfa (carga +2e, massa 4m) entram numa região com campo magnético uniforme B, todas com a mesma velocidade v. abendo-se que v B e que o próton se move numa circunferncia de raio R, podemos dizer que os raios das órbitas circulares do dêuteron R d e da partícula alfa R α são, respectivamente: (a) R d = 2R e R α = 2R. (b) R d = 2R e R α = 2R. (c) R d = 2R e R α = R/2. (d) R d = 2R/2 e R α = 2R/2. (e) R d = R/2 e R α = 2R.

9 onsidere um solenóide ideal de raio R sol e uma espira circular de raio R esp coaxial a ele, e suponha que R esp > R sol ( a espira está fora do solenóide). Pelo solenóide passa uma corrente não-estacionária I(t). Denotando a intância mútua do sistema por M, as auto-intâncias do solenóide e da espira por L sol e L esp, e o campo prozido pelo solenóide em seu exterior por B ext, qual das afirmações abaixo é verdadeira? (a) L esp = pois B ext =. (b) M depende de I(t). (c) M = pois B ext =. (d) L sol depende de I(t). (e) M depende de R sol. (f) L esp depende de R sol. 8. Uma espira circular move-se de baixo para cima na direção de um imã permanente fixo, assim como na figura abaixo. Vista de cima a corrente no fio será: eção 2. Questões discursivas (2 2,6 = 5,2 pontos) Todas as respostas devem ter ampla justificativa!. [2,6 pontos] onsidere uma espira quadrada de lado 2a percorrida por uma corrente estacionária I no sentido anti-horário, e sujeita a um campo magnético externo estacionário e uniforme B = B ˆx. A espira se encontra no plano XY, conforme a figura. (a) no sentido horário e a força na espira será para cima (b) no sentido anti-horário e a força na espira será para cima (c) no sentido horário e a força na espira será para baixo (d) no sentido anti-horário e a força na espira será para baixo (e) no sentido horário e a força na espira será zero (f) no sentido anti-horário e a força na espira será zero (a) [,6 ponto] alcule as forças F sobre o lado horizontal superior do quadrado e F 2 sobre o lado vertical à direita do quadrado, exercidas pelo campo magnético externo. (b) [,6 ponto] Determine o momento de dipolo magnético µ associado à espira e calcule o vetor torque τ que o campo externo B exerce sobre a mesma. (c) [,4 pontos] Determine o campo magnético B prozido pela espira no seu centro P = (,a,). 2. [2,6 pontos] Uma espira retangular no plano XZ, de auto-intância desprezível, tem lados a e b e resistência R. Um fio retilíneo infinito, por onde flui uma corrente dependente do tempo I(t), é colocado ao longo do eixo Z a uma distância da espira, conforme mostra a figura. Despreze as correntes de deslocamento do sistema. (a) [,6 ponto] abendo que o campo prozido pelo fio retilíneo em um ponto P é dado por B = B(s)ˆϕ, onde s é a distância de P ao fio e ˆϕ é o vetor unitário que circula em torno do fio, encontre B(s). (b) [,2 ponto] alcule o fluxo magnético através da espira, tomando ŷ como o unitário normal à superfície. (c) [,8 ponto] upondo que I(t) = I cosωt, determine a força eletromotriz inzida na espira?

10 2 Gabarito para Versão eção. Múltipla escolha (8,6 = 4,8 pontos). (a) 5. (b) eção 2. Questões discursivas (2 2,6 = 5,2 pontos). Resolução: (a) Ambas as forças podem ser obtidas da expressão geral F = I dl B. 2. (d) 3. (d) 4. (c) 6. (b) 7. (e) 8. (c) No lado superior temos dl B, e portanto dl B = F =. () Já no lado inferior temos dl B, e, como B é uniforme, a integral simplifica-se bastante F 2 = I dl B = I B ( ẑ) = IB ( ẑ) (b) O momento magnético da espira é dado por e o torque então pode ser obtido de F 2 = 2IB aẑ (2) µ = IA quad ẑ µ = 4Ia 2 ẑ (3) τ = µ B = 4Ia 2 B (ẑ ˆx) τ = 4Ia 2 B ŷ (4) (c) Devido à simetria de rotações múltiplas de π/2 sobre o ponto P, podemos calcular o campo magnético prozido por um dos lados apenas, e multiplicar o resultado por 4. onsideremos então o lado vertical á direita. Temos e logo Integrando, temos d l = ŷ, r P = r = aŷ, r = aˆx+yŷ r r = ˆx+(a y)ŷ r r = a 2 +(y ) 2 db = µ Idl ( r r ) = µ I (ŷ) [ˆx+(a y)ŷ] = µ I ()( ẑ) 4π r r 3 4π [a 2 +(y ) 2 ] 3/2 4π [a 2 +(y ) 2 ] 3/2 B = db = µ 2a 4π ẑ [a 2 +(y ) 2 ] = µ a 3/2 4π ẑ onde no último passo fizemos a substituição u = y. Utilizando o resultado [a 2 +u 2 ] = u a 3/2 a 2 u2 +a 2 [a 2 +u 2 ] = 2a 2 = 3/2 a 2 2a a 2 que, substituído em (5), leva a e, por fim, temos B = µ 4πa ẑ [a 2 +u 2 ] 3/2 (5) B = 4B B = µ πa ẑ (6)

11 3 2. Resolução: (a) Já sabendo que B = Bˆϕ e que não há efeitos de correntes de deslocamento, podemos determinar B aplicando a lei de Ampère. Para isso, basta traçar uma curva amperiana circular de raio s, centrada no fio, e calcular a circulação de B B dl = (B(s)ˆϕ) (dlˆϕ) =, aplicando a lei de Ampère, temos {}}{ B(s)dl(ˆϕ) ˆϕ) = B(s) (b) O fluxo do campo magnético através da espira é dado por Φ m = B da dl = B(s) s, B dl = sb(s) = µ I B(s) = µ I s. (7) onde é a área retângular delimitada pela espira. omo o plano da espira é perpendicular ao vetor unitário ˆϕ e sabendo que nesse plano particular temos ˆϕ = ŷ, podemos fazer B = Bŷ, da = daŷ e então {}}{ Φ m = (Bŷ) (daŷ) = BdA(ŷ ŷ) = Bdx = = µ I a x+b dx x = µ [ logx ] x+b Φ m = µ log (c) A força eletromotriz ε pode ser calculada pela lei de Faraday. Temos ε = dφ m = d µ I cosωt {}}{ I(t) a log ε = µ aωi = µ a log sin(ωt) log ( µ I dx x ) d I cosωt (8) (9) Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 24/2 egunda Prova: //24 Versão: D F m = q v B, d F m = Id l B, B d l = µ I enc +µ ǫ dφ E eção. Múltipla escolha (8,6 = 4,8 pontos). Por um contor cilíndrico maciço e infinito de raio R passa uma corrente estacionária e axial I uniformemente distribuída através de sua seção reta. O campo magnético B a uma distância radial s do eixo do contor, em coordenadas cilíndricas (s, ϕ), é igual a (a) B(s < R) = µ iis R 2ŝ e B(s > R) = µ I sŝ (b) B(s < R) = µ Is R ˆϕ e B(s > R) = µ I 2 s ˆϕ (c) B(s < R) = µ I sŝ e B(s > R) = µ I sŝ (d) B(s < R) = µ I s ˆϕ e B(s > R) = µ I s ˆϕ (e) B(s < R) e B(s > R) = Formulário, E ind = dφ B (u 2 +a 2 ) = u + 3/2 a 2 (u 2 +a 2 ) /2 B d A =, db = µ Idl ( r r ), 4π r r 3, µ = IAˆn, Φ B = LI, u B = B 2. 2 µ 2. Um próton (carga +e, massa m), um dêuteron (carga +e, massa 2m), e uma partícula alfa (carga +2e, massa 4m) entram numa região com campo magnético uniforme B, todas com a mesma velocidade v. abendo-se que v B e que o próton se move numa circunferncia de raio R, podemos dizer que os raios das órbitas circulares do dêuteron R d e da partícula alfa R α são, respectivamente: (a) R d = 2R e R α = 2R. (b) R d = 2R e R α = 2R. (c) R d = 2R e R α = R/2. (d) R d = 2R/2 e R α = 2R/2. (e) R d = R/2 e R α = 2R.

12 onsidere um solenóide ideal de raio R sol e uma espira circular de raio R esp coaxial a ele, e suponha que R esp > R sol ( a espira está fora do solenóide). Pelo solenóide passa uma corrente não-estacionária I(t). Denotando a intância mútua do sistema por M, as auto-intâncias do solenóide e da espira por L sol e L esp, e o campo prozido pelo solenóide em seu exterior por B ext, qual das afirmações abaixo é verdadeira? (a) L esp = pois B ext =. (b) M depende de I(t). (c) M = pois B ext =. 5. A figura a seguir mostra a seção reta de três fios que conzem correntes estacionárias, com intensidade de mesmo mólo I, que atravessam o plano da figura com sentidos indicados na mesma. Quatro curvas orientadas indicadas pelas letras a até d são apresentadas na figura. A alternativa a seguir que melhor relaciona a circulação do campo magnético i = i B d l (i = a,b,c,d) em cada curva é 6. onsidere um plano infinito com uma densidade superficialdecorrente K = Kˆx. abendoqueesse plano contém os eixos X e Y (que são perpendiculares entre si) e é perpendicular ao eixo Z, qual das afirmativas abaixo é verdadeira? (Obs.: simetria plana é a simetria de translação nas direções X e Y, e simetria axial é a simetria de rotações em torno de um eixo dado) 7. onsidere dois anéis circulares, um contor e outro isolante, pertencentes a um mesmo plano, sujeitos a um campo magnético variável no tempo, perpendicular ao plano dos anéis. Estando os dois anéis em repouso, em qual deles surgirá uma força eletromotriz inzida? Em qual deles surgirá uma corrente inzida? (a) Em nenhum dos anéis. Em nenhum dos anéis. (b) Em nenhum dos anéis. omente no anel contor. (c) omente no anel contor. omente no anel contor. (d) L sol depende de I(t). (d) Em ambos os anéis. omente no anel contor. (e) M depende de R sol. (e) Em ambos os anéis. Em ambos os anéis. (f) L esp depende de R sol. 8. Uma espira circular move-se de baixo para cima na direção de um imã permanente fixo, assim como na figura abaixo. Vista de cima a corrente no fio será: (a) b < a = c < d. (b) a < b < c < d. (c) a < b = d < c. (a) Pela simetria plana, o campo magnético sempre aponta na direção ẑ. (d) d < c = a < b. (e) a = c < b = d. (b) Pela simetria axial emtornodez, omólo do campo magnético independe das coordenadas x e y. (c) Pela simetria axial em torno de Z, o campo magnético sempre aponta na direção ẑ. (d) Pela simetria plana, o mólo do campo magnético independe das coordenadas x e y. 4. eja uma superfície esférica, dividida em as metades e 2 por um grande círculo. A partir da lei de Ampère, podemos afirmar que (a) O fluxo do campo magnético através de é de. (b) A circulação do campo magnético ao longo de é proporcional ao à intensidade de corrente através de. (c) A circulação do campo magnético ao longo de é proporcional à intensidade de corrente através de 2. (d) O fluxo do campo magnético através de é de. (e) Pela simetria axial em torno de X, o campo magnético sempre aponta na direção ˆx. (a) no sentido horário e a força na espira será para cima (b) no sentido anti-horário e a força na espira será para cima (c) no sentido horário e a força na espira será para baixo (d) no sentido anti-horário e a força na espira será para baixo (e) no sentido horário e a força na espira será zero (f) no sentido anti-horário e a força na espira será zero (e) A circulação do campo magnético ao longo de é nula.

13 4 eção 2. Questões discursivas (2 2,6 = 5,2 pontos) Todas as respostas devem ter ampla justificativa!. [2,6 pontos] onsidere uma espira quadrada de lado 2a percorrida por uma corrente estacionária I no sentido anti-horário, e sujeita a um campo magnético externo estacionário e uniforme B = B ˆx. A espira se encontra no plano XY, conforme a figura. Gabarito para Versão D eção. Múltipla escolha (8,6 = 4,8 pontos). (b) 5. (a) 2. (b) 6. (d) 3. (e) 4. (c) 7. (d) 8. (c) (a) [,6 ponto] alcule as forças F sobre o lado horizontal superior do quadrado e F 2 sobre o lado vertical à direita do quadrado, exercidas pelo campo magnético externo. (b) [,6 ponto] Determine o momento de dipolo magnético µ associado à espira e calcule o vetor torque τ que o campo externo B exerce sobre a mesma. (c) [,4 pontos] Determine o campo magnético B prozido pela espira no seu centro P = (,a,). 2. [2,6 pontos] Uma espira retangular no plano XZ, de auto-intância desprezível, tem lados a e b e resistência R. Um fio retilíneo infinito, por onde flui uma corrente dependente do tempo I(t), é colocado ao longo do eixo Z a uma distância da espira, conforme mostra a figura. Despreze as correntes de deslocamento do sistema. (a) [,6 ponto] abendo que o campo prozido pelo fio retilíneo em um ponto P é dado por B = B(s)ˆϕ, onde s é a distância de P ao fio e ˆϕ é o vetor unitário que circula em torno do fio, encontre B(s). (b) [,2 ponto] alcule o fluxo magnético através da espira, tomando ŷ como o unitário normal à superfície. (c) [,8 ponto] upondo que I(t) = I cosωt, determine a força eletromotriz inzida na espira?

14 2 3 eção 2. Questões discursivas (2 2,6 = 5,2 pontos). Resolução: (a) Ambas as forças podem ser obtidas da expressão geral F = I dl B. No lado superior temos dl B, e portanto dl B = F =. () Já no lado inferior temos dl B, e, como B é uniforme, a integral simplifica-se bastante F 2 = I dl B = I B ( ẑ) = IB ( ẑ) (b) O momento magnético da espira é dado por e o torque então pode ser obtido de F 2 = 2IB aẑ (2) µ = IA quad ẑ µ = 4Ia 2 ẑ (3) τ = µ B = 4Ia 2 B (ẑ ˆx) τ = 4Ia 2 B ŷ (4) (c) Devido à simetria de rotações múltiplas de π/2 sobre o ponto P, podemos calcular o campo magnético prozido por um dos lados apenas, e multiplicar o resultado por 4. onsideremos então o lado vertical á direita. Temos e logo Integrando, temos d l = ŷ, r P = r = aŷ, r = aˆx+yŷ r r = ˆx+(a y)ŷ r r = a 2 +(y ) 2 db = µ Idl ( r r ) = µ I (ŷ) [ˆx+(a y)ŷ] = µ I ()( ẑ) 4π r r 3 4π [a 2 +(y ) 2 ] 3/2 4π [a 2 +(y ) 2 ] 3/2 B = db = µ 2a 4π ẑ [a 2 +(y ) 2 ] = µ a 3/2 4π ẑ onde no último passo fizemos a substituição u = y. Utilizando o resultado [a 2 +u 2 ] = u a 3/2 a 2 u2 +a 2 [a 2 +u 2 ] = 2a 2 = 3/2 a 2 2a a 2 que, substituído em (5), leva a e, por fim, temos B = µ 4πa ẑ [a 2 +u 2 ] 3/2 (5) 2. Resolução: (a) Já sabendo que B = Bˆϕ e que não há efeitos de correntes de deslocamento, podemos determinar B aplicando a lei de Ampère. Para isso, basta traçar uma curva amperiana circular de raio s, centrada no fio, e calcular a circulação de B B dl = (B(s)ˆϕ) (dlˆϕ) =, aplicando a lei de Ampère, temos {}}{ B(s)dl(ˆϕ) ˆϕ) = B(s) (b) O fluxo do campo magnético através da espira é dado por Φ m = B da dl = B(s) s, B dl = sb(s) = µ I B(s) = µ I s. (7) onde é a área retângular delimitada pela espira. omo o plano da espira é perpendicular ao vetor unitário ˆϕ e sabendo que nesse plano particular temos ˆϕ = ŷ, podemos fazer B = Bŷ, da = daŷ e então {}}{ Φ m = (Bŷ) (daŷ) = BdA(ŷ ŷ) = Bdx = = µ I a x+b dx x = µ [ logx ] x+b Φ m = µ log (c) A força eletromotriz ε pode ser calculada pela lei de Faraday. Temos ε = dφ m = d µ I cosωt {}}{ I(t) a log ε = µ aωi = µ a log sin(ωt) log ( µ I dx x ) d I cosωt (8) (9) B = 4B B = µ πa ẑ (6)