Física Experimental IV FAP214

Transcrição

1 Física Experimental IV FAP14 Notas de aula: LabFlex: Aula 3, Experiência 1 Circuitos CA e Caos Prof. Henrique Barbosa hbarbosa@if.usp.br Ramal: 6647 Ed. Basílio Jafet, sala 100

2 TAREFAS SEMANA PASSADA

3 Comparar Medidas e Teoria Filtro RC Gráfico de G 0 em função de w Comparar com o esperado teoricamente O que significa comparar com a teoria? Será que uma comparação visual é suficiente?

4 Comparação Visual Este ajuste está: Bom? Muito bom? Perfeito? Mesmo gráfico mas na escala apropriada. Completamente errado para baixas freqüências! A F(w) w B Que outros métodos aprendemos nos lab1, e 3?

5 Comparar Medidas e Teoria Ajusto os dados à função desejada Comparo o valor experimental de w c com aquele esperado teoricamente exp w c w C 1 RC é compatível com?? Para a comparação fazer sentido, o erro em w exp c deve ser pequeno. Como assegurar isso? Tomada de dados Escolher como fazer as medidas Quantos pontos? Em que região medir? Porque?

6 Mínimos Quadrados Neste caso, nossa função só tem M=1 parâmetros: Portanto o c também: Além disso, como c depende dos erros s i, ele também é uma variável aleatória. O interessante é que sua média vale 1 e sua variância vale. Os erros precisam ser gaussianos e independentes! 1/ 0 / 1 ) ( C G w w w N i i c i i i c x f y M N 1 ), ( 1 ) ( s w w c

7 Analisando X N 1 c ( w c ) yi fi ( xi, wc ) N M i1 s i Repetindo o processo para vários valores diferentes de w c, podemos construir um gráfico de c x w c. Escolhemos o w c que minimiza o c

8 Número de Pontos? Pode-se tomar poucos pontos, desde que eles estejam suficientemente distribuídos ao longo da região em que a função varia! s wc ~cte

9 Que região medir? Analisando a distribuição X pode-se determinar que região medir e como espaçar os dados coletados! s wc cte

10 TAREFAS SEMANA PASSADA

11 Atividades da Semana 1 Fazer analise de Fourier experimental usando o sinal do DataStudio Onda senoidal Onda quadrada Onda triangular Obter as amplitudes das freqüências que compõem o sinal e comparar quantitativamente com previsão teórica Gráfico de A(f) x f

12 Senoidal

13 Quadrada

14 Interessante

15 Erros e Acertos bom ruim

16 Triangular Só um grupo usou escala log

17 Atividades da Semana Fazer análise de Fourier experimental usando o sinal de saída do filtro RC: Onda triangular (alta freq.) Obter as amplitudes das freqüências que compõem o sinal e comparar quantitativamente com previsão teórica Gráfico de A(f) x f, comparando com dados anteriores e teoria. Obter a curva de ganho (baixa freq.) Fazer a FFT do sinal de entrada e de saída, ao mesmo tempo, e obter a curva de ganho do circuito RC comparar com previsão teórica DICA: Para uma boa curva, escolha a freqüência como sendo ~1/3 de fc. Explique porque no relatório. Gráfico de G x f, comparando com dados anteriores e teoria.

18 Triangular do Fitro RC / Integrador Mais ruido

19 Ganho do Filtro RC

20 Interessante Mediram com fc~175hz Normalização para juntar os dados Mediram com fc~6khz Muitos pontos para comparar...

21 Mesmo quem acerta erra... Faltou ajustar os dados e estimar w c Faltaram as barras de erro Curvas teóricas com w c +-1s Faltou comparar com os dados da semana passada Faltou indicar f c

22 Problemas Ganho = FFT(Vs)/FFT(Ve)

23 Circuito Diferenciador f c ~ 5kHz

24 Resultados para Ve = triangular 35Hz 50Hz 100Hz 360Hz f c ~ 5kHz

25 Resultados Ve = quadrada

26 Indo além do óbvio... A.A.P. Suaide & M. Tabacniks (Lablfex, 008)

27 Como medir os picos A.A.P. Suaide & M. Tabacniks (Lablfex, 008)

28 Mas porque a FFT tem tanto ruído? A.A.P. Suaide & M. Tabacniks (Lablfex, 008)

29 O Intervalo de Amostragem E o resultado fica assim... A FFT amarra o começo com o final A.A.P. Suaide & M. Tabacniks (Lablfex, 008)

30 Esta Semana... Vamos complicar nosso circuito, introduzindo uma indutância!

31 Ressonância em Circuito RLC Ressonância: ocorre em todo tipo de fenômeno ondulatório ondas mecânicas Em todo tipo de meio Ondas eletromagnéticas 31

32 O Indutor Ao passar uma corrente elétrica por um indutor, um campo magnético é criado proporcional a corrente Se a corrente for variável no tempo, o campo também será! O que nos faz lembrar da lei de Faraday: L B i d dt A tensão elétrica ε L nos terminais do indutor é proporcional à variação de fluxo magnético através dele. B 3

33 O Indutor Como a única coisa que varia é a corrente: L d B dt db A dt cte dit dt Vamos chamar a constante de L, ou indutância, e a força eletromotriz induzida, ε L, que é a queda de tensão no indutor, será V L : V L t L dit dt L é a indutância, medida em Henry (H) Em notação complexa, a corrente passando pelo indutor é: iˆ i L e jwt 33

34 Indutor Notação Complexa E a tensão será então: V L L di dt jwli jwt Assim a impedância é dada por: Zˆ L V ˆ i t t L jwli i e L e Ou, usando a fórmula de Euler: L e jwt L jwt jwl Reatância indutiva Zˆ L jwl wle j Portanto a tensão está adiantada de / em relação a corrente

35 Corrente: Indutor: Capacitor: exp ˆ ˆ ˆ w w t j Li t i Z t V L L L 35 A fase da tensão exp 1 ˆ ˆ ˆ w w t j i C t i Z t V C C C t j i L e t i w ) ˆ( adiantada atrasada

36 I. Santos, UNB (008) Capacitor e Indutor... Quem estava adiantado e quem estava atrasado mesmo??

37 Circuito RLC Já sabíamos tudo sobre capacitores Agora sabemos tudo sobre indutores O próximo passo é obvio... Vamos juntar tudo! Dado um sinal de entrada V g (t), qual a tensão em cada um dos elementos e qual a corrente no circuito?

38 Circuito RLC A equação básica é: V No indutor temos: V L t di L dt No resistor temos: V R t Ri t No capacitor temos: V C L t V t V t V t t t C q R d q L dt R C t dqt dt G V G t V cosw t 0 38

39 A Equação do Circuito RLC Substituindo tudo na equação se obtém: t d q dq t 1 L R q o w dt dt C t V cos t A solução para q(t) é a solução geral da homogênea mais uma solução particular da equação acima. Solução da homogênea comportamento transitório do circuito (quando ele é ligado ou desligado): oscilador harmônico amortecido Solução particular comportamento em regime estacionário, depois que o comportamento transitório desaparece: oscilador forçado A dedução não vai ser feita em detalhe aqui, mas pode ser encontrada no capítulo de Mecânica de K. R. Symon e nas notas de aula do 39 curso FAP 1, aulas 4 e 5.

40 Caminho mais fácil... Como é um circuito em série a impedância complexa total do circuito é a soma das impedâncias complexas de cada elemento: Zˆ Zˆ R Zˆ A impedância real será: Z ZZ ˆ L E a fase será: tg Zˆ C R ˆ * 1 Im[ Zˆ] Re[ Zˆ] R jwl wl wc L w R 1 wrc 1 jwc R 1 jwl wc Zˆ Ze j 40

41 Sendo a tensão de entrada: A corrente pode ser escrito como: Portanto: t j G G e V V w ˆ A Corrente no Circuito RLC 41 ) ( 0 ˆ ˆ ˆ i t G e j i Z V i w ) ( ) ( 1 ˆ w w w w w t j G t j G j t j G e C L R V e Z V Ze e V i A fase da corrente vem da impedância total.

42 Tensões Nos Elementos Agora o problema está resolvido, pois como a corrente é a mesma em todo o circuito, podemos calcular a tensão no: Resistor: Vˆ R j( wt ) t Ri e Capacitor Vˆ C ( t) Indutor: ˆ L 0 1 wc i 0 e j( wt / ) j( wt / ) t wli e V 4 0 j t V w Ge

43 Fasores e Correntes Alternadas Vˆ ( t) V e 0 j( wt ) Mas o que esta acontecendo realmente? O número complexo V(t) muda de posição no plano complexo com o passar do tempo. y,im Qual é sua trajetória? 0 V ( t) V0 cos( wt 0) V ( t) Re Vˆ( t) Mov. Circular Uniforme j( t ) V 0 Re[Vˆ] w Vˆ 0 e wt 0 w 0 x, Re tempo

44 Fasores e o Circuito RLC Mas e o capacitor e o indutor?? VˆL VˆTotal Vˆ Vˆ Vˆ R C L Vˆ j( wt ) t Ri e ( t) 0 1 wc i 0 e ˆ L V C j( wt / ) j( wt / ) t wli e 0 / / VˆC VˆR wt

45 Ressonância em Corrente Algo passou quase despercebido. A amplitude da corrente (e de todas as tensões) depende de uma maneira bastante peculiar da freqüência. V i 0 R di0 1 0 wl 0 dw wc 1 w0 e 0 LC G wl A corrente é máxima quando: 1 wc O circuito RLC é ressonante! 45

46 Para a carga (tensão no capacitor) é diferente: A tensão é máxima quando,, portanto: O capacitor tem carga para w=0 As freq. de ressonância são diferentes! Pergunta: podemos medir essa diferença? C L R C V C i V G C w w w w Ressonância em Carga L R C L R C d d w w w w w w 0 / 0 dw dv C

47 Ressonância: Circuito RLC As tensões e correntes têm um máximo num valor definido Ressonância O que define a posição são as constantes (R, L e C) A posição dos máximos não são necessariamente a mesma para todos os sinais (verifiquem o valor para a tensão no indutor) Mas o que define a altura e a largura dessas curvas? 47

48 Fator de Qualidade Um rádio AM usa um circuitos ressonantes RLC para selecionar a estação. A seleção tem que conseguir separar estações vizinhas, sem perder o sinal da estação que se quer ouvir. Os engenheiros definiram o fator de qualidade: Q w U w U ressonância U = Energia armazenada por ciclo U = Energia dissipada por ciclo

49 Fator de Qualidade Fator de qualidade do circuito: U w0 Q Largura em U res w U é a energia armazenada no circuito na condição de ressonância: 1 1 U Li0 CV C 0 ΔU é a energia dissipada pelo circuito durante um período de oscilação: 1 U PT Ri0T i0 (curva i w) P0 (curva Pot w) 49

50 Potência A potência entregue a um bipolo é o produto entre a tensão e a corrente. no caso de correntes alternadas, o que vai interessar saber é a potência média dissipada num ciclo, em cada um dos elementos P 1 VPiP 1 VPi cos( ) dt T T 1 T 0 0 V P P t i P V V V cos t it P P cos( wt) i i P 1 P cos( wt ) cos(wt ) cos( ) T P cos wt dt =0 50

51 Ressonância em Energia Portanto a potência média absorvida pelo circuito RLC (veja também a apostila de Corrente Alternada) pode ser escrita como: P 1 V G0 i 0 VG 0 cos cos Z Na condição de ressonância, =0 e Z 0 =R, portanto, a potência média por ciclo vai ser máxima: 0 P VG 0 R O máximo da potência ocorre para a mesma freqüência em que ocorre a ressonância para a corrente. A ressonância de corrente é também chamada de ressonância de energia. 51

52 Potência Resumindo: Somente a resistência dissipa potência, capacitores e indutores puros não dissipam potência num período: O que eles retiram do circuito na metade do período, eles devolvem na outra metade Existem capacitores e indutores puros ou ideais? O capacitor é ideal e vocês verificaram E o indutor, o que acham? Há outras resistências, além do resistor no circuito? 5

53 Circuito RLC: Dissipação de Energia Você pode verificar isso! Z 0 Na condição de ressonância de corrente, ω=ω 0 e: tg R Portanto: V G 0 Ri 0 1 wl wc 1 wc 1 R 0 wl 0 R 0 Se Φ 0 =0, corrente e tensão estão em fase, o circuito é puramente resistivo V G0 é a tensão de pico aplicada pelo gerador e i 0 é a corrente de pico no circuito Ou seja, se medir V G0 e i 0 na ressonância você descobre qual é a resistência total, R, do circuito 53

54 Atividades da Semana A freqüência de ressonância é ligeiramente diferente se observarmos a corrente, tensão no capacitor ou indutor Contudo, é muito difícil quantificar experimentalmente CONCLUSÃO: Vamos medir apenas uma curva de ressonância e tentar aprender o máximo possível com ela. Ressonância em corrente. O que podemos obter da curva de ressonância? Freqüência e largura Fator de qualidade (Q) Energia armazenada e dissipada no circuito.

55 Para entregar Levantar a curva de ressonância de corrente do circuito RLC Ajustar e Comparar com a curva teórica O que usar? Ondas harmônicas simples ou quadrada + FFT? Calcular a potência média dissipada por ciclo em função da freqüência Obter o valor de Q e comparar com a previsão Na ressonância, medir V L e V C Qual a diferença de fase entre as duas? Compare uma com a outra e ambas com a amplitude da tensão no gerador. Comente. Fazer isso para dois circuitos diferentes: R 1 =1Ω, C=1μF e L=35mH R 1 =33Ω, C=1μF e L=35mH 55

56 Como fazer a medida Precisamos medir o sinal de saída em função da freqüência... Podemos usar o método da FFT? Quando usamos a FFT, só determinamos em alguns pontos, não foi? Porque? Medimos os pontos correspondentes aos picos, pois o ruído dos dois sinais não são correlacionados! Qual a resolução que conseguimos (separação entre os picos da FFT(onda quadrada)? Qual a largura da curva de ressonância?

57 Cuidados Usar o casador de impedâncias do gerador de áudio O que vão medir? Onde colocar o terra? Lembre-se de medir um número de pontos que permita obter curvas bem definidas 57