Figura 1.1: Diagrama esquemático ilustrando o sistema do problema.

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1 Figura 1.1: Diagrama esquemático ilustrando o sistema do problema. 1 Exemplos 1.1 Um bloco, preso firmemente a uma mola, oscila verticalmente uma frequência de 4 Hertz e uma amplitude de 7 centímetros. Uma bolinha é colocada em cima do bloco oscilante assim que chega ao ponto mais baixo de sua trajetória. Suponha que a massa da bolinha seja tão pequena que seu efeito sobre o movimento do bloco seja desprezível. Para qual deslocamento, a partir da posição de equilíbrio, a bolinha deve perder contato com um bloco? Um diagrama esquemático modelando o sistema é exibido na Figura 1.1. Para resolver esse problema, é preciso considerar que a força elástica da mola, por ser proporcional ao elongamento, vai decrescendo conforme o sistema massa mola suba em direção à posição de equilíbrio. É razoável esperar que em certa etapa desse movimento, a força da mola se torne suficientemente pequena para produzir o efeito a ser calculado. A primeira etapa dessa solução consiste em fazer análise das forças através de um diagrama de Corpo Livre aplicado a sistema massa mola mais a bolinha. Isso está ilustrado na Figura 1.2. A aplicação da SLN a bolinha gera N = mg. (1.1) No bloco, a a aplicação da SLN na direção y gera a igualdade N Mg + kx = 0. (1.2) Inserindo o resultado expresso na Equação 1.1 na Equação 1.2, deduz-se que: (m + M) g = kx. 1

2 Figura 1.2: Diagrama de corpo livre da bolinha e da massa. 2

3 Como M m, M + m M, e assim, Por fim, resolve-se para x: Mg = kx. x = Mg k. É evidente que a solução passa pela determinação da constante k. Mas isso pode ser feito aplicando se o resultado extraído da solução da equação diferencial do movimento harmônico simples: como ω 2 = k M, conclui-se que k = ω2 M, e como ω = 2πf, então, x = Mg ω 2 M g = (2πf) 2 = 9.8m/s 2 [2π (4s 1 )] cm. Percebam que esse é o elongamento que a mola terá quando a bolinha perder contato com a massa. Em relação à posição mínima x = 7cm, a posição será y (7 1.55) cm = 5.45cm. 1.2 É frequente que especificações militares exigiam que instrumentos eletrônicos sejam capazes de suportar federações de até 10g. Para se certificar de que os produtos de sua companhia atendam a essa especificação, seu gerente o instrui a utilizar uma mesa vibratória que pode fazer comprar um produto com frequências e amplitudes ajustáveis e controladas. Se um equipamento é colocado sobre a mesa e posto a oscilar com amplitude de 1,5 centímetros, qual é a frequência que você deve estar para testar a concordância com as especificações militares? Para resolvermos esse problema será necessário determinar a velocidade e aceleração de um movimento de oscilação simples. A velocidade é dada pela derivada da posição em relação ao tempo: v = dx dt = d dt [x m cos (ωt + φ)] = x m [ sin (ωt + φ)] ω = ωx m sin (ωt + φ). 3

4 Já a aceleração é dada pela derivada da velocidade em relação ao tempo: a = dv dt = d dt [ ωx m sin (ωt + φ)] = [ ωx m cos (ωt + φ)] ω = ω 2 x m cos (ωt + φ). O valor máximo de aceleração que esse sistema vai suportar corresponde ao valor máximo da função cosseno. Mas o cosseno é uma função que oscila dentre os valores -1 e +1. Portanto; o valor máximo de aceleração será dado por a m = ω 2 x m. Daí, basta relacionar ω e T e usar o valor de x m fornecido no enunciado: a m = 10g = ω 2 x m 10g = (2πf) 2 x m (2πf) 2 x m = 10g (2πf) 2 = 10g 2πf = x m 10g 10g x m x m f = 2π 10(9.8m/s 2 ) f = 2 m 2π = s 1 = Hz. 1.3 Um cabo de guindaste possui uma área de seção reta de 1,5 centímetro quadrado de um comprimento de 2,5 metros. O módulo de Young do cabo é de 150GN/m 2. Um bloco de motor de 950 quilogramas é pendurado na extremidade do Cabo. (a) de quanto se distende o cabo? (b) o cabo foi tratado como uma mola simples Qual é a frequência de oscilação do bloco de motor extremidade do Cabo? Esse é um problema que vai demandar a aplicação do conceito de módulo de Young E, definido por F A = E l l. 4

5 A distenção l é dada então por l = F l AE = Mgl AE = (950kg) ( 9.8m/s 2) (2.5m) ( m 2 ) ( N m 2 ) = m = 1.03mm. Para substituir esse sistema por um sistema massa mola, basta considerar que, quando sujeito a uma força correspondente ao peso do bloco de motor, o elongamento é x = 1.03mm. Isso permite a determinação da constante k: F = kx Mg = kx kx = Mg k = Mg x = (950kg) ( 9.8m/s 2) m = N/m. Com tal constante, a frequência será dada por f = ω 2π k M f = 2π N/m 950kg f = 2π = s 1 = Hz. 5

6 Figura 1.3: Edifício Taipei 101 a esquerda, e a massa do amortecedor, estimada em torno de 728 toneladas. 1.4 Fortes ventos são capazes de produzir oscilações em prédios altos ( MHS/movpereosc2.php, oe3/applets/forca_vento/). Por exemplo, o Taipei 101 é um dos maiores prédios do mundo, e conta com amortecedor especialmente desenhado para absorver essas influências externas (veja a Figura 1.3). Imagine que as oscilações durem 1s. Sabendo disso, determine o valor da constante das molas usadas no amortecedor, e qual deve ser a amplitude de oscilação do prédio todo, que tem uma massa total aproximada em toneladas. Para resolver esse problema, será necessário fazer uma série de hipóteses e aproximações que vão simplificá-lo. A primeira hipótese a ser feita é que o período da oscilação não seja afetado pelo uso do amortecedor, então, continuaria a ser um segundo. É bastante realista se for considerando que a massa do amortecedor (728 toneladas) é muito menor que a massa do prédio ( toneladas). Se for assim, a expressão T = 1 M + m 1 M 2π k 2π k = T mostra que se a massa do amortecedor for pequena se comparada com a do prédio, o período se manterá inalterado. Vejamos qual deve ser a constante das molas. É de se esperar, visando manter o sistema estável, que seja utilizado na verdade um par de molas conforme ilustrado na Figura 1.4. Deve se notar que as expressões deduzidas do estudo do oscilador harmônico envolvem apenas uma mola, de forma que a presença de duas molas introduz uma complexidade a ser resolvida. Para contorná-la, será aplicado o conceito de mola equivalente. Uma uma mola será equivalente a esse par de molas se, sujeita ao mesmo elongamento, produza a mesma força. 6

7 Figura 1.4: Diagrama esquemático do sistema simplificado. O elongamento sofrido por uma das molas tem que corresponder a compressão da outra. Isso está ilustrado na Figura 1.5. A aplicação da SLN na massa produz a equação F Res = F 1 + F 2 = k 1 x + k 2 x. Como essa deve ser a força produzida pela mola equivalente: k 1 x + k 2 x = k eq x, conclui-se que k eq = k 1 + k 2. Se as duas molas forem iguais, k 1 = k 2 e a mola equivalente terá uma constante que será o dobro de cada uma delas. Então, esse é o plano: resolver o problema com a mola equivalente, e então dividi-la por 2 para obter a constante de cada uma dessas molas. Sendo assim, do período T = 1s, deduz-se k eq. Como ω = 2πf, segue que ω = 2π T, e daí, T = 2π ω = 2π M = 2π k k eq M ( ) M T 2 = 4π 2 k eq T 2 4π 2 = M k eq k eq ( T 2 ) = M ( 4π 2) k eq = 4π2 M ( T 2 = 4π kg ) (1s) 2 Logo, a constante de cada mola será = N/m. k = k eq 2 = N/m. Uma mola bastante dura por sinal. Agora, vejamos a questão da oscilação do prédio. A segunda hipótese que faremos será considerar que a força que o vento imprime ao prédio será transformada numa força interna do sistema pelo amortecedor. Sendo assim, a somatória das forças externas seria nula e portanto a posição do sistema de massa não seria alterada. 7

8 Figura 1.5: Diagrama esquemático ilustrando a relação entre a compressão e o elongamento das duas molas. (a) Situação de equilíbrio. (b) Após um pequeno deslocamento da massa, a mola a esquerda sofre uma compressão x e a mola a direita um elongamento x. Se fossem diferentes, ocorreria o absurdo da posição extrema da mola a direita ter penetrado na massa, ou da mola a esquerda ter perdido contato com a ela. (c) A mola equivalente, representada por k eq deve produzir a mesma força que as duas molas conjugadas em série dado o mesmo deslocamento da massa. 8

9 Desta forma, se o sistema de referência for centrado no sistema de massa do sistema, ele não será alterado, e permanecerá nulo após o deslocamento da massa amortecedora. A Figura 1.6 ilustra tal situação. Se o centro de massa permanece em zero, então, x 1 M 1 + x 2 M 2 = 0, (1.3) sendo x 1 a posição do amortecedor após a oscilação, e x 2 a posição do prédio correspondente. Para determinar x 1, pesquisei na rede qual pode ser a força transmitida pelos ventos, que é da ordem de 22680N. Se ela for transformada completamente em uma força interna, a mola deverá imprimir essa força ao amortecedor: Daí, a amplitude dessa oscilação será F = k eq x 1. x 1 = F 22680N = k eq N/m = m. Fazendo referência à Figura 1.3, verifica se que tal deslocamento se dá no sentido negativo ao do eixo x e portanto será considerado um valor negativo: x 1 = m. Bom, mas sendo assim, a amplitude da oscilação do prédio será determinada pela equação 1.3: x 1 M 1 + x 2 M 2 = 0 x 2 M 2 = x 1 M 1 x 2 = x 1M 1 = M 2 ( m ) ( kg ) kg m = 16µm. Um resultado excelente! Mas, muito cuidado! A hipótese de que a força exercida pelo vento seja convertida totalmente na força da mola no amortecedor é ingênua! Muito provavelmente, há outros mecanismos internos que concorrem com a força da mola, e além disso, há outras formas de se tratar esse tipo de fenômeno como por exemplo o que se vê quando se estuda um módulo de compressão de Young. Então, certamente, há formas mais adequadas de se tratar esse problema. Não obstante, esse exemplo mostra como problemas complexos são tratados: são usadas hipóteses simples, refinadas com hipóteses corrigidas e aprimoradas. 9

10 Figura 1.6: Diagrama esquemático ilustrando que a posição do centro de massa se manterá inalterada durante uma oscilação do sistema prédio + amortecedor. 10