ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Departamento de Engenharia Mecânica

Transcrição

1 MECÂNICA I (Reoferecimento) - PME 3100 Prova de Recuperação - 6 de julho de 018 Duração da Prova: 110 minutos (não é permitido uso de quaisquer dispositivos eletrônicos) 1ª Questão (3,5 pontos). Uma polia de centro D, raio R e peso P, é vinculada à extremidade D da barra BCD. Um bloco de peso Q mantém-se em equilíbrio suspenso por um fio ideal apoiado sobre a polia e ligado à barra AEC, conforme indicado na figura. As barras AEC e BCD, ambas de peso desprezível, são ligadas entre si através da articulação C. A extremidade A da barra AEC apoia-se em uma parede vertical rugosa, ao passo que a extremidade B da barra BCD é vinculada a essa parede por meio da articulação B. Pede-se: (a) desenhar os diagramas de corpo livre da polia e das barras BCD e AEC; (b) determinar os esforços reativos em A e em B; (c) determinar o valor mínimo do coeficiente de atrito µe para que o conjunto se mantenha em equilíbrio estático. ª Questão (3,0 pontos). A peça ABCDE gira em torno do eixo vertical z com velocidade angular constante k 1 = 1, transportando em sua extremidade E um disco de raio R, o qual, por sua vez, gira com velocidade angular = j ( constante) em relação à peça ABCDE. Utilizando o sistema de referência Bxyz, solidário à peça ABCDE, e considerado o instante ilustrado na figura, determine: (a) o vetor rotação absoluta do disco; (b) o vetor aceleração rotacional absoluta do disco; (c) as velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P do disco; (d) as acelerações relativa, de arrastamento, de Coriolis e absoluta do ponto P do disco. 3ª Questão (3,5 pontos). As barras AB, de massa m, e BC, de massa 4m, são articuladas entre si no ponto B, conforme mostrado na figura. A extremidade A da barra AB é vinculada a uma parede vertical por meio de uma articulação. A extremidade C da barra BC é apoiada em uma superfície horizontal isenta de atrito. Admitindo que as barras se encontrem inicialmente em repouso na configuração indicada na figura, pede-se, para o instante em que o sistema inicia o seu movimento: (a) os diagramas de corpo livre das barras AB e BC; (b) a relação entre as acelerações angulares αab e αbc das barras AB e BC, respectivamente; (c) a aceleração do centro de massa G da barra BC em função da aceleração angular αbc; (d) as acelerações angulares αab e αbc das barras em função dos parâmetros dados; (e) a reação na extremidade C da barra BC. Dado: I z Gbarra M = barra L 1 barra

2 RESOLUÇÃO (Versão: 7/07/018) 1ª Questão (3,5 pontos). Uma polia de centro D, raio R e peso P, é vinculada à extremidade D da barra BCD. Um bloco de peso Q mantém-se em equilíbrio suspenso por um fio ideal apoiado sobre a polia e ligado à barra AEC, conforme indicado na figura. As barras AEC e BCD, ambas de peso desprezível, são ligadas entre si através da articulação C. A extremidade A da barra AEC apoia-se em uma parede vertical rugosa, ao passo que a extremidade B da barra BCD é vinculada a essa parede por meio da articulação B. Pede-se: (a) desenhar os diagramas de corpo livre da polia e das barras BCD e AEC; (b) determinar os esforços reativos em A e em B; (c) determinar o valor mínimo do coeficiente de atrito µe para que o conjunto se mantenha em equilíbrio estático. (a) desenhar os diagramas de corpo livre da polia e das barras BCD e AEC; (b) determinar os esforços reativos em A e em B; Equilíbrio da polia: X R = 0 { D + Q = 0 Y D P Q = 0 X D = Q Y D = P + Q (1) Equilíbrio da barra BCD: R = 0 { X D + X C + X B = 0 Y D + Y C + Y B = 0 M D = 0 {Y C. 3R + Y B. 5R = 0 X C + X B = Q Y C + Y B = P + Q Y C = 5 3 Y B X C + X B = Q Y B = 3 (P + Q) () Y C = 5 (P + Q)

3 Equilíbrio da peça AEC: R = 0 { Q X C N = 0 Y C + F at = 0 M C = 0 {QR N. R + F at. R = 0 Portanto, as reações em A e B são: X C = (5P+8Q) F at = 5 (P + Q) N = (5P+6Q) (3) N = (5P+6Q) (5P+6Q) X B = F at = 5 (P + Q) Y B = 3 (P + Q) (c) determinar o valor mínimo do coeficiente de atrito µe para que o conjunto se mantenha em equilíbrio estático. F at μ e N μ e 5(P+Q) (5P+6Q) (4)

4 ª Questão (3,0 pontos). A peça ABCDE gira em torno do eixo vertical z com velocidade angular constante k 1 = 1, transportando em sua extremidade E um disco de raio R, o qual, por sua vez, gira com velocidade angular = j ( constante) em relação à peça ABCDE. Utilizando o sistema de referência Bxyz, solidário à peça ABCDE, e considerado o instante ilustrado na figura, determine: (a) o vetor rotação absoluta do disco; (b) o vetor aceleração rotacional absoluta do disco; (c) as velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P do disco; (d) as acelerações relativa, de arrastamento, de Coriolis e absoluta do ponto P do disco. (a) vetor rotação absoluta do disco; v abs P = v rel arr v rel v rel P = ω Rk P + v P { P = ω (P E) v arr P = v B + ω 1 (P B) { v arr P = ω 1 (L + R)j v abs P = ω 1 (L + R)j ω Rk (1) (b) o vetor aceleração rotacional absoluta do disco; a rel P = α (P E) + ω [ω (P E)] a abs P = a rel P + a arr Cor P + a P { a arr P = a B + α 1 (P B) + ω 1 [ω 1 (P B)] a Cor rel P = ω 1 v P Como as velocidades angulares da estrutura e do disco possuem módulo constante, α 1 = α = 0, então: a P rel = ω Ri a P arr = ω 1 (L + R)i a P Cor = (ω 1 k ) ( ω Rk ) = 0 { a abs P = [ω R + ω 1 (L + R)]i () (c) as velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P do disco; ω abs = ω rel + ω arr ω abs = ω j + ω 1 k (3) (d) as acelerações relativa, de arrastamento, de Coriolis e absoluta do ponto P do disco. α abs = α rel + α arr + ω arr ω rel α abs = ω 1 ω i (4)

5 3ª Questão (3,5 pontos). As barras AB, de massa m, e BC, de massa 4m, são articuladas entre si no ponto B, conforme mostrado na figura. A extremidade A da barra AB é vinculada a uma parede vertical por meio de uma articulação. A extremidade C da barra BC é apoiada em uma superfície horizontal isenta de atrito. Admitindo que as barras se encontrem inicialmente em repouso na configuração indicada na figura, pede-se, para o instante em que o sistema inicia o seu movimento: (a) os diagramas de corpo livre das barras AB e BC; (b) a relação entre as acelerações angulares αab e αbc das barras AB e BC, respectivamente; (c) a aceleração do centro de massa G da barra BC em função da aceleração angular αbc; (d) as acelerações angulares αab e αbc das barras em função dos parâmetros dados; (e) a reação na extremidade C da barra BC. z M barra Lbarra Dado: I Gbarra = 1 (a) os diagramas de corpo livre das barras AB e BC; (b) a relação entre as acelerações angulares αab e αbc das barras AB e BC, respectivamente; Devido às características geométricas do problema, tem-se: a B = ( Lα AB )j e a C = a C i (1) Como o sistema parte do repouso, ω AB = ω BC = 0, logo as acelerações a B e a C podem ser correlacionadas, como segue: a C = a B + α BC k (C B) a C i = ( Lα AB )j + α BC k (3Li 4Lj) a B = 3Lα BC a C = 4Lα BC 1,0 ponto () α AB = 3 α BC

6 (c) a aceleração do centro de massa G da barra BC em função da aceleração angular αbc; Novamente, como o sistema parte do repouso, ω AB = ω BC = 0, a aceleração do centro de massa da barra BC pode ser escrita como: a G = a C + α BC k (G C) a G = (4Lα BC )i + α BC k ( 3L i + Lj) a G = α BC L (i 3 j) (3) (d-e) as acelerações angulares αab e αbc das barras em função dos parâmetros dados, e a reação na extremidade C da barra BC. TQMA para a barra AB com respeito ao pólo A (movimento plano): M A = m(g A) a A + (J A α AB )k ; sendo a A = 0 e α AB = 3 α BC (Eq. ), tem-se: (mgl LY B )k = ( m4l + 1 ml ) α AB k mg Y B = mlα BC (4) TQMA para a barra BC com respeito ao pólo G (movimento plano): M G = (J G α BC )k ; logo: 3L (Y B + Y 3L C + X BL) k = ( 4m5L ) α 1 BC k 3(Y B + Y C ) + 4X B = 50mL α 3 BC (5) TQM para a barra BC (movimento plano): X R = 4ma G { B = 8mLα BC (6) Y B 4mg + Y C = 6mLα BC Portanto, resolvendo o sistema de Eqs. 4-6, tem-se: α BC = 45g 18L ; α AB = 135g 436L ; Y C = 333mg 109 (7)