Unidade 17 - Determinantes. A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa. 10 de agosto de 2013

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Benedito Freire Dias
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1 MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 17 - Determinantes A Hefez e C S Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 10 de agosto de 2013

2 Ao longo desta unidade, denotaremos por M(n) o espaço das matrizes quadradas de ordem n, com entradas num corpo K O objetivo principal é estender a n > 3 a noção de determinante de uma matriz em M(n), que introduzimos na unidade 10 nos casos n = 2 e n = 3 Dada uma matriz A M(n), denotaremos por A 1,, A n K n os seus vetores linhas e escrevemos A = A 1 A n PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 2/9

3 Considere as funções D : M(n) R que satisfazem as seguintes propriedades: (D1) D é linear como função de cada linha separadamente, ou seja, se A j = A j + ta j então D A 1 A j + ta j A n = D A 1 A j A n + td A 1 A j A n (D2) Se duas linhas adjacentes A j e A j+1 são iguais, então D(A) = 0; (D3) Se I n representa a matriz identidade de M(n), então D(I n ) = 1 PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 3/9

4 A pergunta natural é: existe função satisfazendo as propriedades (D1), (D2) e (D3)? Estas propriedades são satisfeitas, por exemplo, pelas funções determinantes D : M(2) K e D : M(3) K De fato, mostra-se o seguinte fato: as propriedades (D1), (D2) e (D3) determinam uma única função que chamaremos de função determinante, ou simplesmente, determinante Inicialmente, estudaremos as propriedades das funções D que decorrem das Propriedades (D1) e (D2) PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 4/9

5 Propriedades da função D: Se A é a matriz obtida de A por meio de uma transformação elementar: L i L j (i j), então D(A ) = D(A) Se uma matriz A é obtida de uma matriz A na qual somamos a uma linha uma combinação linear de outras, mantendo as demais inalteradas, então D(A ) = D(A) Como consequência destas duas propriedades, temos os seguintes fatos: Fato 1: Se A é uma matriz com duas linhas iguais, então D(A) = 0 Fato 2: Se os vetores linhas de uma matriz A são linearmente dependentes, então D(A) = 0 PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 5/9

6 Apresentamos abaixo, como funções D possuindo as Propriedades (D1), (D2) e (D3) se comportam em relação à multiplicação de matrizes Teorema de Binet: Sejam A, B M(n), então D(AB) = D(A)D(B) Como consequência dos fatos apresentados, estamos aptos a provar (exercício para o leitor) o seguinte Teorema: Se existirem duas funções D : M(n) K e D : M(n) K satisfazendo as condições (D1), (D2) e (D3), então D = D PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 6/9

7 O teorema anterior garante a unicidade da função determinante, caso exista Desta forma, nosso propósito agora é estabelecer a existência das funções determinantes para valores de n maiores do que 3, que já sabemos existirem para n = 2 e n = 3 A existência é garantida pelo resultado contido no próximo teorema Teorema: Sejam n 3 e D : M(n 1) K satisfazendo as propriedades (D1), (D2) e (D3) Dado j com 1 j n, a função D j : M(n) K definida por D j (A) = n ( 1) i+j a ij D (A(i j)), i=1 onde A = (a ij ) M(n) e A(i j) M(n 1) é obtida de A suprimindose a i-ésima linha e a j-ésima coluna, satisfaz (D1), (D2) e (D3) PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 7/9

8 O teorema anterior nos mostra que para calcular o determinante de uma matriz A = (a ij ) M(n), escolhe-se uma coluna j qualquer de A, obtendo n D(A) = ( 1) i+j a ij D (A(i j)), i=1 que é usualmente chamado de desenvolvimento de Laplace de D(A) segundo os elementos da coluna j Ressaltamos que, as propriedades dos determinantes que se referem às linhas são todas válidas com relação às colunas Os resultados apresentados nesta unidade são técnicos, desta forma sugerimos ao leitor reservar um pouco de tempo para deleitar-se demonstrando cada fato apresentado PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 8/9

9 Exemplo: Calculemos D(A), onde A = Fazendo o desenvolvimento de Laplace segundo a primeira coluna temos D(A) = 2D D Calculando os determinantes 3 3, acima, pela Regra de Sarrus, obtemos que D(A) = 36 PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 9/9

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