Série: 2º ano Nível: Ensino Médio Turma: 2. Subtemas: Sequências, Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas.
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- Natália Ana do Carmo Santiago Chaplin
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1 PLANO DE AULA Dados de identificação 1-ESCOLA DE ENSINO MÉDIO MACÁRIO BORBA Município: Sombrio, SC Disciplina: Matemática Série: º ano Nível: Ensino Médio Turma: Professora: Erodíades Daboit Possamai Tempo previsto: 4 h.a. -Tema: Sequências e Progressões Subtemas: Sequências, Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas. 3) Justificativa O estudo das sequências e progressões são necessárias na resolução de diversas situações do nosso cotidiano. Existem relatos que há muito tempo atrás os egípcios e babilônicos utilizavam esse método na resolução de problemas. As progressões aritméticas e geométricas estão bastante presentes no nosso cotidiano e são necessárias para calcular as grandezas que sofrem variações iguais em intervalos de tempos iguais, ou seja dentro de um padrão, como o crescimento populacional, o crescimento de uma bactéria, dentre outras. 4) Objetivos: Identificar padrões numéricos e sequências; Diferenciar PA e PG; Conceituar sequências P.A e P.G; Interpretar e calcular os termos gerais da P.A. e P.G; Calcular a soma dos termos de uma PA e de uma PG; Resolver situações problemas que envolvam PA e PG. 5) Conteúdos envolvidos (conteúdos pré-requisitos para o desenvolvimento da aula).
2 As operações básicas; Função.. 6) Estratégias: 6.1- recursos: disponível em sala de aula, televisão ou data show, lousa. 6.- técnicas: Aula expositiva e dialogada, atividades em sala de aula. 7) Procedimentos: 7.1- Problematização: Situação 1:Utilizando se de uma folha de papel A4, representamos a PA e a PG através do estágio de dobradura da folha. Vamos analisar vários aspectos, o primeiro é a quantidade de partes da folha a cada dobradura que realizamos (PG), a segunda é o tamanho da parte da folha em relação ao todo em cada etapa da dobradura(pg) e a terceira é analisar o número de vezes que realizamos a dobra (PA). Situação : As empresas A e B foram inauguradas na mesma data. Nos ultimos anos, a empresa A manteve-se em crescimento: no 1º ano obteve lucro de R$ ,00; após anos obteve lucro de ,00: após 3 anos, ,00; e assim por diante. A empresa B também se manteve em crescimento: no 1º ano obteve lucro de R$ 0.000,00; após anos, obteve lucro de R$ ,00; após 3 anos, R$ ,00; e assim por diante. Escreva a sequencia que representa o lucro de cada empresa. Qual a diferença que se observa entre o crescimento de cada sequencia? Situação 3: maria está com problemas de gargante, e para solucionar seu problema o médico receitou um antiinflamatório de 8 em 8 horas. Maria iniciou ser tratamento as 15 horas. Escreva a sequencia das 5 próximas doses de medicamento que a mesma deverá tomar. Situação 4: Observe o conjunto de figuras que representam os três primeitos termos de uma sequência.
3 Mantendo-se este padrão escreva os 3 próximos termos e responda: qual a relação que há entre o números de retângulos em cada figura? 7.- Historicização As progressões foram estudadas desde povos muito antigos como os babilônicos. Inicialmente, procurou-se estabelecer padrões como o da enchente do Rio Nilo, onde os egípcios de anos atrás tiveram que observar os períodos em que ocorria a enchente do rio, pois para poderem plantar na época certa e assim garantir seus alimentos, os egípcios precisavam saber quando haveria inundação. Havia, portanto, necessidade de se conhecer o padrão desse acontecimento. Eles observaram que o rio subia logo depois que a estrela Sírius se levantava a leste, um pouco antes do Sol. Notando que isso acontecia a cada 365 dias, os egípcios criaram um calendário solar composto de doze meses, de 30 dias cada mês e mais cinco dias de festas, dedicados aos deuses Osíris, Hórus, Seth, Ísis e Nephthys. Os egípcios dividiram ainda os doze meses em três estações de quatro meses cada uma: período de semear, período de crescimento e período da colheita. Na Mesopotâmia surgiram várias tabletas babilônicas muito interessantes, mas nenhuma delas foi tão extraordinária quanto a tableta Plimpton 3 (1900 a 1600 a.c.). Numa dessas tabletas, a progressão geométrica 1++² é somada de forma que a série de quadrados 1²+²+3² ² é achada. A Matemática no Egito antigo nunca alcançou o nível obtido pela Matemática babilônica, talvez porque os egípcios tenham se mantido em semi isolamento, enquanto a babilônia era o centro das rotas de navios, e consequentemente, era um centro de troca de saberes. No entanto, devemos lembrar que os egípcios desenvolveram um papel primordial na preservação de muitos papiros que contribuíram para o nosso conhecimento atual sobre a Matemática. Em um papiro que data de 1950 a. C. podemos encontrar alguns problemas teóricos a respeito de Progressões Aritméticas e Geométricas Operacionalização da aula Para a execução da aula será disponibilizado online a apostila com o conteúdo a ser trabalhado em sala de aula. Problematização do conteúdo em diferentes situações Breve historicização sobre sequências P.A e P.G; Apresentação dos conteúdos; Avaliação. Cada etapa do desenvolvimento da aula será apresentada conforme segue: Sequências Uma sequência é uma função f cujo domínio está contido em IN* e cujo contradomínio é IR. Em muitas situações da vida diária aparece a ideia de sequência ou sucessão.
4 A sequência dos dias da semana (domingo, segunda,..., sábado); A sequência dos meses do ano (janeiro, fevereiro, março,..., dezembro); Nessas situações observamos uma certa ordem nos elementos da sequencia. Esses elementos são chamados termos da sequência. Na sequência dos meses do ano temos: 1º termo: janeiro, º termo: fevereiro, 3º termo: março,..., 1º termo dezembro. Se representarmos o 1º termo por a 1, o º termo por a, o 3º termo por a 3, e assim por diante até o termo de ordem n, ou enésimo termo a n, essa sequência pode ser representada por: (a 1, a, a 3,..., a n ) Determinação de uma sequência numérica Uma sequência numérica pode ser determinada por uma lei de formação, ou seja, uma lei que associe a cada número natural n diferente de zero um termo a n = f(n). Para determinar uma sequência de números naturais ímpares, pode-se utilizar a seguinte lei de formação: f ( n) n 1, em que n IN. Progressão Aritmética (PA) Uma PA é uma sequencia numérica em que cada termo, a partir do segundo é obtido somando se ao anterior uma constante r, intitulada razão da PA. (-7, -4, -1,, 5,...) é uma PA sua razão é: r = a - a 1 = -4 (-7) = 3, PA crescente; (3, 1, -8,...) é uma PA, sua razão é: r = a - a 1 = 1 3 = - 0, PA decrescente; (6, 6, 6, 6,...) é uma PA infinita, sua razão é: r = a - a 1 = 6 6= 0, PA constante. Representações da PA Por meio das representações especiais de uma PA, podemos diminuir a quantidade de cálculos exigidos em algumas situações. Três termos em PA: (x r, x, x + r); Termo geral de uma PA
5 a n = a 1 + (n 1)r Onde: a n = termo geral ou o n-ésimo termo, n = número de termos (até a n ), a 1 = primeiro termo, r = razão da PA. 1) Qual é o 0º termo da PA (, 8,...)? a 1 = r = 8 = 6 n = 0 a 0 = a r = +19 x 6 = 116 ) Quantos múltiplos de 6 existem entre e 5.000? A sequencia dos múltiplos de 6 é uma PA de razão 6. O primeiro múltiplo de 6 existente nesse intervalo é a 1 = 4.00 e o ultimo é a n = substituindo esses valores na expressão a n = a 1 + (n 1)r, obtemos: = (n 1). 6 n = 167 Portanto existem 167 múltiplos de 6 entre e Agora vamos retornar as nossas situações, 3 e 4 do inicio de nossa aula. Soma dos n primeiros termos de uma PA s n = n(a 1 + a n ) Demonstração utilizando o raciocínio de Gauss: 1) Calcular a soma dos 60 primeiros números naturais. A sequência dos números naturais forma uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 0. Assim, a 60 = a r a 60 = x 1 a 60 = 59 s 60 = 60.( a 1 + a 60 ) s 60 = 60.(0+59) s 60 = ) Calcular a soma dos 10 primeiros números impares.
6 Assim, a 10 = a 1 + 9r a 10 = a 10 = (1 + 19) s 10 = S 10 = 100 A soma dos números impares corresponde a um n qualquer a n = n, com n Є IN*. Exercícios 1) Em cada caso abaixo, determine x de modo que a sequência seja uma PA: a) (x, x + 5, 4x) b) (x 1, -3x, 5x + 1) c) (-, x² +, 7x + 1) ) quantos termos possui a PA (4,7,..., 91)? Progressão Geométrica (PG) PG é uma sequência numérica que em cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o anterior por uma constante q chamada razão da PG. Para uma PG de termos não nulos: q = a a 1 = a 3 a = a 4 a 3 = = a n a n 1 No processo de divisão celular por mitose cada célula de divide originando outras duas conforme a imagem Se o processo continua qual a sequência que representa o número de células originadas em cada etapa da divisão? Qual a razão que existe em cada etapa?
7 Outros exemplos: (-, - 4, - 8, -16,...) é uma PG, sua razão é: q = a a 1 = 4 = ; (1, - 3, 9, - 7,...) é uma PG, sua razão é: q = a a 1 = 3 1 = - 3. Classificação de uma PG Dependendo da razão q uma PG pode ser: Crescente: a PG é crescente quando q > 1 e os termos são positivos ou quando 0 < q < 1 e os termos são negativos. Exemplo: (, 6, 18, 54,...) com q = 3 (-40, -0, -10, -5,...) com q = 1 Decrescente: A PG é decrescente quando 0 < q < 1 e os termos são positivos ou quando q > 1 e os termos são negativos. Exemplo: (00, 100, 50, 5,...) em que q =1/ (-4, -1, -36, -108,...) em que q = 3 Constante: A PG é constante quando q = 1. Exemplo: (10, 10, 10, 10,...) em que q = 1 (-5, -5, -5, -5,...) em que q = 1. Alternante: A PG é alternante quando q < 0. Exemplo: (4, -8, 16, -3,...) em que q = -; (-81, 7,-9, 3,...) em que q = -1/3. Termo geral da PG a n = a 1 q n 1 Exemplo: 1) Determinar o oitavo termo da PG (-3, 18, -108,...)
8 a 1 = -3, n = 8 e q = 108 = -6, agora basta aplicar a fórmula: 18 a 8 = (-3).( 6) 8 1 a 8 = Soma dos n primeiros termos de uma PG finita s n = a 1. (q n 1) q 1 Demonstração da fórmula: 1) Calcular a soma dos sete primeiros termos da PG (6, 18, 54,...) a 1 = 6 e q = 3. s 7 = 6 (37 1) s = 6 (37 1) s 7 = 3 (3 7 1) s 7 = s 7 = s 7 = Exercícios 1) Numa PG de razão igual a, a soma dos sete primeiros termos é 635. Calcule o primeiro termo. ) em cada caso abaixo, determine x de modo que a sequencia seja um PG: a) (9, x, 4) b) (x+4, x+0, x+68) Conclusão da aula: Questionar os alunos para ver se os objetivos foram alcançados, buscando a comprovação nos exemplos em sala de aula e na prova. 8- Avaliação 8.1 Instrumentos de avaliação
9 Prova do conteúdo abordado 9- Referências BARROSO, Juliane Matsubara. Conexões com a matemática. 1. Ed. São Paulo: Moderna, 010. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. 3. Ed. São Paulo. Editora Ática, 011. LIMA, Valéria scomparim. História, conceito e aplicações sobre PA e PG. < Acesso em: 13 set. 014.
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