Lista de Exercícios 01

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1 OBS: O exercícios marcados com "*" devem ser entregues na aula seguinte Conjunto: representa uma coleção de objetos. Elemento: é um dos componentes de um conjunto. Lista de Exercícios 01 Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. a. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros. Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê: "pertence". Exemplo: a. 1 N: 1 PERTENCE a N b. 0 N: 0 NÃO PERTENCE a N Algumas notações para conjuntos Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }. a. A={a,e,i,o,u} Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades. a. A={x: x é uma vogal} Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente. Subconjuntos Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A B, se todos os elementos de A também estão em B. Alguns conjuntos especiais Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos (Ø A, para qualquer conjunto A). Reunião (União) de conjuntos A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. A B = { x: x A ou x B } Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A B={a,e,i,o,3,4}. 1

2 Interseção de conjuntos A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. A B = { x: x A e x B } Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A B=Ø. A = {1,2,3,4,5} e B = {3,5,6,7} Diagrama: então A B = {3,5} OBS: Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos. Propriedades dos conjuntos 1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por A B e a interseção de A e B, denotada por A B, ainda são conjuntos no universo. 2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que: A A = A e A A = A 3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A A B, B A B, A B A, A B B 4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A B equivale a A B = B A B equivale a A B = A 5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C 6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A B = B A A B = B A 7. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: I) A (B C ) = (A B) (A C) II) A (B C) = (A B) (A C) Os gráficos abaixo mostram a distributividade no item I. 2

3 Exercício: Construa os diagramas para mostrar o item II. Diferença de conjuntos A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. A-B = {x: x A e x B} Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como: Complemento de um conjunto O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por C A B, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. C A B = A-B = {x: x A e x B} Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por: Exercícios: *01. Observe o diagrama e responda: Quais os elementos dos conjuntos abaixo: a) A = b) B = c) C = d) ( A B ) ( B C ) = e) A C B = f) A B = g) (A B) C = 02 - São dados os conjuntos A = {x IN / x é impar}, B = {x Z / 3 x < 4} e C = {x Ζ / x < 6}. Calcule 3

4 a) A = b) B = c) C = d) ( A B ) ( B C ) = e) A C B 03. Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 150 futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos nenhum. O número total de alunos é a) 230 b) 300 c) 340 d) 380 *04. (ESAL) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 pessoas assistem o canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem outros canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas foi: a) 800 b) 720 c) 570 d) 500 e) 600 *05. Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores por três produtos P1, P2 e P3 mostrou que, dos entrevistados, 20 consumiam os três produtos; 30 os produtos P1 e P2; 50 os produtos P2 e P3; 60 os produtos P1 e P3; 120 o produto P1; 75 o produto P2 Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência à pelo menos um dos produtos, pergunta-se: a) Quantas consumiam somente o produto P3? b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos? c) Quantas consumiam os produtos P1 e P2, e não P3? 06. ( Faap) Numa prova constituída de dois problemas, 300 alunos acertaram somente um deles, 260 o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro, quantos alunos fizeram a prova? 07) Seja A o conjunto de links apresentados pela busca da palavra X em um site. Analogamente temos os conjuntos B e C dos links encontrados com a busca das palavras Y e Z, respectivamente. Se A, B e C são três conjuntos onde n(a)=25, n(b)=18, n(c)=27, n(a B)=9, n(b C)=10, n(a C)=6 e n(a B C)=4, (sendo n(x) o número de elementos do conjunto X), determine o número de links encontrados pela busca (( X ou Y ) e Z ), ou seja, valor de n ((A B) C). 08) Sejam os conjuntos: A = {2n : n Z} e B = {2n - 1 : n Z} Sobre esses conjuntos, pode-se afirmar: I. A B =. II. A é o conjunto dos números pares. III. B A = Z. Está correto o que se afirma em: a) I e II, apenas. b) II, apenas. c) II e III, apenas. d) III, apenas. e) I, II e III. Intervalo Real Intervalo aberto em a e aberto em b, ]a,b[, {x R/a < x < b} Aberto à esquerda e aberto à direita 4

5 Intervalo aberto em a e fechado em b, ]a,b], {x R/a < x b} Aberto à esquerda e fechado à direita Intervalo fechado em a e aberto em b, [a,b[, {x R/a x < b} Fechado à esquerda e aberto à direita Intervalo fechado em a e fechado em b, [a,b], {x R/a x b} Fechado à esquerda e fechado à direita Intervalos infinitos {x R/x > a} ou ]a, [ {x R/x<a} ou ] -, a[ {x R/x a} ou [a, [ {x R/ a} ou ] -, a] Exercícios: *10. Representar graficamente os seguintes conjuntos: a. [2,5] [3,7] = b. [2,5] [3,7] = c. [ 0,3[ ]1,5 [ = d. [1,5] - ]3,6[ = e. [5,8[ ]3,10]= f. ]-,2] [2,3[ = g. ]1,5[ ]-,10] = 11. Represente os conjuntos abaixo sob a forma de intervalo a. { x R/ 1< x 2}= b. { x R/ -2 x < 4}= c. { x R/ x > - 3}= d. { x R/ x 5}= e. { x R/ x < - 1 ou x > 1}= 5

6 *12. Seja A o conjunto dado por A = [1,5] [ -1,4] [3,8]. Qual é o elemento máximo e o elemento mínimo de A? Conjuntos Numéricos I) Números Naturais N = { 0, 1, 2, 3,... } II) Números Inteiros Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z III) Números Racionais - São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0. Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 } Assim como exemplo podemos citar o 1/2, 1, 2,5,... -Números decimais exatos são racionais Pois 0,1 = 1/10 2,3 = 23/ Números decimais periódicos são racionais. 0, = 1/9 0, = 32/99 -Toda dízima periódica 0, é uma outra representação do número 1. IV) Números Irracionais - São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0. -São compostos por dízimas infinitas não periódicas. Exemplos: V) Números Reais - É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais. Intervalos : Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos. Intervalo fechado nos extremos a e b: = Intervalo fechado em a e aberto em b: Intervalo aberto em a e fechado em b: 6

7 Intervalo aberto em a e b: Temos também: Exercícios: 13) Sendo A=]-1;3] e B=[3;5[, determine: a) b) 14) Sendo A=[1;4] e B=]-1;2], determine: a) b) *15) Os números x e y são tais que 5 x 10 e 20 y 30. O maior valor possível de x/y é: *16) Os números reais a e b estão representados na reta: O número a 2 b está: a) à direita de 1 b) entre b e 1 c) entre -1 e 0 d) à esquerda de 0 e) entre 0 e b 17) Sejam os conjuntos: A = {2n : n Z} e B = {2n - 1 : n Z} Sobre esses conjuntos, pode-se afirmar: I. A B =. II. A é o conjunto dos números pares. III. B A = Z. Está correto o que se afirma em: a) I e II, apenas. b) II, apenas. c) II e III, apenas. d) III, apenas. e) I, II e III. Justifique: 18) Se x e y são dois números inteiros, estritamente positivos e consecutivos, qual dos números abaixo é necessariamente um inteiro ímpar? a) 2x + 3y b) 3x + 2y c) xy + 1 d) 2xy + 2 e) x + y + 1 *19) A indústria de computação cada vez mais utiliza a denominação 1K como substituto para o número mil (por exemplo, "Y2K" como o ano dois mil). Há um erro de aproximação neste uso, já que o valor técnico 7

8 com que se trabalha, 1K=2 10, não é Assim, rigorosamente falando, uma notícia como "o índice Dow- Jones pode atingir 3K" significaria que o índice pode atingir: 20) Uma calculadora apresentava, em sua tela, o resultado da soma dos gastos do mês realizados por um pai "coruja" que permitiu a seu filho apertar algumas teclas, alterando esse resultado. O pai observou que o menino havia apertado as teclas, uma única vez, na ordem mostrada na figura 1. Para recuperar o resultado que estava na tela, o pai deverá apertar as teclas. Funções Aplicações das relações e funções no cotidiano Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim em todos os lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano cartesiano. O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal. Domínio e Contradomínio de uma Relação As relações mais importantes são aquelas definidas sobre conjuntos de números reais e nem sempre uma relação está definida sobre todo o conjunto dos números reais. Para evitar problemas como estes, costuma-se definir uma relação R:A B, onde A e B são subconjuntos de R, da seguinte forma: O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por Dom(R) e B é o contradomínio da relação, denotado por CoDom(R). Exemplos f:r R definida por f(x)=x² Dom(f) = R, CoDom(f) = R e Im(f)=[0, ) Funções injetoras 8

9 Uma função f:a B é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A, sempre possuem imagens distintas em B. Exemplos: A função f:r R definida por f(x)=3x+2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x). Funções sobrejetoras Uma função f:a B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja, para todo y em B existe x em A tal que y=f(x). Exemplos: A função f:r R definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função. Funções bijetoras Uma função f:a B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Exemplo: A função f:r R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é injetora e bijetora. Funções crescentes e decrescentes Funções Compostas Dadas as funções f:a B e g:b C, a composta de f com g, denotada por g f, é a função definida por (g f)(x)=g(f(x)). gof pode ser lida como "g bola f". Para que a composição ocorra o CoDom(f)=Dom(g). Exemplo: Sejam as funções reais definidas por f(u)=4u+2 e g(x)=7x-4. As composições fog e gof são possíveis e neste caso serão definidas por: Exercícios 21) Um garoto brinca de arrumar palitos fazendo uma sequência de quadrados como na figura. 9

10 a) Quanto palitos ele deve usar para construir 7 quadrados. b) Quanto palitos ele deve usar para construir k quadrados (ou seja, construir uma função que relaciona o número de palitos com o número que quadrados). c) Determina o domínio e a imagem da função apresentada no intem anterior. 22) Seja f: R R uma função definida por f(x) = ax + b. Se o gráfico da função f passa pelos pontos A (1, 2) e B (2, 3), a função f -1 (inversa de f ) é: *23) Um provedor de acesso à Internet oferece dois planos para seus assinantes: Plano A - Assinatura mensal de R$8,00 mais R$0,30 por cada Gigabite de download. Plano B - Assinatura mensal de R$10,00 mais R$0,20 por cada Gigabite de download. a) Dê a expressão de y(x), onde y é a conta de Internet e x é a quantidade de Gigabite de download. b) Acima de quantos Gigabite de download por mês é mais econômico optar pelo plano B? c) Faça, num mesmo sistema de coordenadas cartesianas, os gráficos das contas de Internet dos dois planos. 24) Sejam as funções f(x) = (x + 1)/(x - 1) definida para todo x real e x 1 e g(x) = 2x+3 definida para todo x real. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). a) ( ) O valor de g(f(2)) é igual a 4/3. b) ( ) A função inversa da g é definida por g -1 (x)=(x-3)/2. c) ( ) A reta que representa a função g intercepta o eixo das abscissas em (-3/2, 0). 25) Os 87 alunos do 3ª ano do ensino médio de certa escola prestaram vestibular para três universidades: A, B e C. Todos os alunos dessa escola foram aprovados em pelo menos uma das universidades, mas somente um terço do total obteve aprovação em todas elas. As provas da universidade A foram mais difíceis e todos os alunos aprovados nesta foram também aprovados em pelo menos uma das outras duas. Os totais de alunos aprovados nas universidades A e B foram, respectivamente, 51 e 65. Sabe-se que, dos alunos aprovados em B, 50 foram também aprovados em C. Sabe-se também que o número de aprovados em A e em B é igual ao de aprovados em A e em C. Quantos alunos foram aprovados em apenas um dos três vestibulares prestados? Justifique. 26) O gráfico abaixo expressa a temperatura em graus Fahrenheit em função da temperatura em graus Celsius. Considere que a função é do tipo y = mx + n a) Encontre a equação que expressa os graus Fahrenheit em função dos graus Celsius; 10

11 b) Determine o valor aproximado da temperatura na escala Celsius correspondente a zero graus Fahrenheit. 27) Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k, ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a: a) -1/3 b) 1/3 c) 0 d) 1 e) -1 *28) Sendo f(x) = -2x+6 e g(x) = 6x-2, determine f(g(x)) e g(f(x)). *29) Um marreteiro compra diariamente objetos por R$ 3,00 e os vende por R$ 5,00, gastando R$ 100,00 com transporte. Se x é a quantidade vendida e y o lucro diário do marreteiro, determine a lei de formação da função: 11

12 Respostas: 01. a) A = {0,1,2,3,4} b) B = {2,4,5,8,9} c) C = {2,3,5,6,7} d) ( A B ) ( B C ) = {2,3,5} e) A C B = {2,3,4} f) A B = {0,1,4} g) (A B) C = {0,1,3,6,7} 02. a) A = {1,3,5,...} b) B = {-3,-2,-1,0,1,2,3} c) C = {..., 3,4,5} d) ( A B ) ( B C ) = B e) A C B = {-3,-2,-1,0,1,2,3,5} d) 500 5) x=200 => x = 35 a) 35 b) =100 c) =75 Número total de aluno = 340 6) 610 7) 8) e (A B) C = 12 9) a) b) {1} {1,2,3,5,6,7,8} 12

13 10) a. [2,5] [3,7] = [2,7] b. [2,5] [3,7] = [3,5] c. [ 0,3[ ]1,5 [ = [0,5[ d. [1,5] - ]3,6[ = [1,3] e. [5,8[ ]3,10]= ]3,10] f. ]-,2] [2,3[ = {2} g. ]1,5[ ]-,10] = ]-,10] 12) A = [1,5] [ -1,4] [3,8] = [3,4]. Assim, o máximo é 4 e o mínimo é 3. 13) a) 3 b) ]-1;5[ 14) a) ]-1;4] b) [1;2] 15) 1/2 16) e 17) e 18) c 19) ) a 21) a) P=32 b) P=3k+1 c)d=naturais Im={x:x=3k+1,k N} 22) f -1 (x)=x-1 23) y A =8+0,3G y B =10+0,2G b)20 26)a) 1,8C+32 b) 21, ) a 28) f(g(x)) = -12x + 10 g(f(x)) = -12x ) y = 2x