Matemática para contabilidade/mário INTRODUÇÃO. Vejamos os problemas.

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1 INTRODUÇÃO Vejamos os problemas. 1- Seja a oferta de mercado de uma utilidade dada por: S = p, com p R$270,00. Poderíamos querer saber: a) A partir de que preço haverá oferta? b) Qual o valor da oferta para p = R$270,00? c) A que preço a oferta será de 80 unidades? d) Faça uma representação gráfica da oferta S, em função do preço p. Solução a) Para haja oferta, esta será maior do que zero, isto é, S > 0, p> 0 2p > 20 p > R$10,00, ou seja, o preço mínimo para que os detentores da utilidade estejam dispostos a vendê-la é acima de R$10,00. b) Para p = 270,00, teremos; S = (270) S = S= 520 unidades c) Para S = 80 unidades, teremos; 80 = p = 2p 100 = 2p p = R$50,00 d) S p 2- Uma pesquisa de mercado sobre a demanda D de um produto A,levou à seguinte escala de demanda. 1

2 p = preço (R$ / unidade) D = quantidade demandada (em unidades) Poderíamos querer saber: a) Qual é a quantidade demandada ao preço de R$ 45,00? b) Qual é o preço, quando a demanda for de unidades? Estas e outras perguntas deverão ser respondidas ao longo desta disciplina e para isso, devemos rever alguns pontos. DEFINIÇÃO FUNÇÃO Seja D um subconjunto dos reais, não vazio. Definir em D uma função f é explicitar uma regra que a CADA elemento x D associa-se a UMÚNICO y R. Notação Observações D: domínio da função f D R R: contradomínio da função f f y = f(x): imagem de x. x. y Exemplo Sendo D = 1, 2, 3, seja definida a função f, tal que f(x) = y = 2x + 3. Se tomarmos: x = 1 y = f(1) = = 5 x = 2 y = f(2) = = 7 x = 3 y = f(3) = = 9 Logo D = 1, 2, 3 Im = 5, 7, 9 R Está contido 2

3 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO REAL A representação gráfica de uma função f:d R com domínio D є R, é o conjunto dos pontos (x,y) do plano, tais que: x D e y = f(x) R. Exemplo Construir os gráficos, explicitar o domínio e o conjunto imagem das funções reais: a- y = 2x 1 D = R e Im = R b- y = x² - 2x 3 D = R e Im = [-4, + [ 3

4 c- y = 2 x D = R e Im = R* FUNÇÕES REAIS USUAIS 1 - Função Constante: f(x) = y = k. Definição Seja k um número real. Denomina-se função constante à função f(x) = k, para todo x real. k y D = R Im = k 0 x Obs: O gráfico de f(x) = k, é uma reta no plano cartesiano, paralela ao eixo Ox. Exemplo: y = f(x) = 3 D = R y 3 Im = 3 0 x 4

5 2- Função afim: y = ax + b. Definição: Sendo a e b números reais com a 0. Denomina-se função afim à função f(x) = ax + b, para todo x real. y D = R Im = R 0 x Obs: o gráfico de y = ax + b, é uma reta do sistema cartesiano. Significado de a e b. y 2 y P 2 (x 2,y 2 ) y 1 x P 1 (x 1,y 1 ) y 0 x 1 x 2 x Se tomarmos o quociente (Taxa de variação da função afim) y x y y ax b ( ax b) ax b ax b a ( x x ) x x x x x x x x a Logo y x = a Sendo x = 1 y / 1 = a y = a. Isto significa que a, é a variação em y para CADA aumento UNITÁRIO em x (chamado assim de coeficiente angular ou declividade da reta). Fazendo ainda x = 0, teremos: y = a.0 +b y = b. Isto é, b identifica o ponto de interseção da reta com o eixo Oy (ordenadas). 5

6 Exemplos 1- Dada a função real y = 5x +2, pede-se: a) o coeficiente angular b) o ponto de interseção com o eixo 0y. c) o gráfico da função. 2- Calcular a equação de uma reta y = ax + b, que contém os pontos P 1 (1, 3) e P 2 (3, 7). 3- Calcular a equação da reta que contém o ponto P(3, 8) e tem declividade a = Obter a equação da reta y = ax + b de uma reta que aproxima um conjunto de pontos: P 1 (1, 5); P 2 (2, 10); P 3 (3, 12); P 4 (4,13). Solução: Regressão linear 6

7 a n i 1 n i 1 x. y n. X. Y i i 2 ( x ) n.( X )² i ; b Y a. X 7

8 Exercícios 1- Representar graficamente as retas dadas por: a)y = 2.x 4 b) y = -2.x + 10 ; 0 x 5 2- Escrever a equação da reta que contém os pontos: a) A = (0, 3) e B = (4, 6) b) A = (2, 10) e B = (8, 1) c) P 1 = (0, 5) e P 2 = (3, 0) 3- Escrever a equação da reta que contém o ponto P e tem o coeficiente angular (declividade) a, em cada caso: a) P = (3, 5) e a = 2 b) P = (0, 5) e a = -1 c) P = (-2, 1) e a = 5 4- Escrever a equação da reta que aproxima o conjunto de pontos dados, usando o critério da regressão linear ( y = ax + b). a) P 1 = (-1, 0); P 2 = (0, 2); P 3 = (1, 3); P 4 = (2, 6); P 5 = (3, 5) b) P 1 = (0, 20); P 2 = (2, 12); P 3 = (4, 7); P 4 = (6, 3); P 5 = (8, 0,5) c) P 1 = (1, 20); P 2 = (5, 40); P 3 = (10, 70); P 4 = (15, 90) Respostas: 4-a: y = 1,4x + 1,8 4-b: y =-2,4x + 18,1 4-c: y = 5,1x + 15,5 8

9 1- DEMANDA DE MERCADO: D Matemática para contabilidade/mário APLICAÇÃO DE FUNÇÃO DO 1º GRAU Seja U uma utilidade qualquer(bem ou serviço) se seja D a demanda ou procura de mercado desta utilidade a um preço p, isto é, a soma das quantidades que todos os compradores do mercado estão dispostos e aptos a adquirir ao preço p, em determinado período de tempo, que pode ser um dia, uma semana, um mês, etc. Insistimos que a demanda ou procura a que nos referimos é a de todos os compradores da utilidade e não a de um comprador individual. A função que a todo preço p associa a demanda ou procura de mercado ao preço p é denominada função demanda ou função procura de mercado da utilidade, no período considerado. Por exemplo, se a quantidade demandada de um bem é dada pela equação D = 10 2p. Representar graficamente D como função de p. Temos p 0 e D 0, pois p e D representam, respectivamente, o preço e a quantidade demandada do bem ou serviço. Como D = 10 2p, devemos ter 10 2p 0, ou seja, -2p -10 (-1) 2p > 10 p > 5 Portanto D = y é uma função afim de p = x, no intervalo 0 p D 0 5 p 2- OFERTA DE MERCADO: S Consideramos uma utilidade qualquer (bem ou serviço) e seja S a oferta de mercado desta utilidade a um preço p, isto é, a soma das quantidades que todos os produtores estão dispostos e aptos a vender ao preço p, durante certo período de tempo. A oferta que nos referimos é a oferta de todos os produtores da utilidade e não a de um produtor, individual. A função que a todo preço p associa a oferta de mercado ao preço p é denominada função oferta de mercado da utilidade, no período considerado. A 9

10 representação grafia desta função constitui a curva de oferta da utilidade, no período. Exemplo 1- Representar graficamente a equação S = p que exprime a quantidade ofertada S = y de determinada bem ou serviço como função do preço p = x do bem. Temos que p 0 e S 0. Logo 3 + 3p 0 3p > 3 p > 1, ou seja, p 1. S p 3- PREÇO DE EQUILÍBRIO O preço de equilíbrio (PE) para dada utilidade é o preço para oqual a demanda e a oferta desta utilidade coincidem. A quantidade correspondente ao preço de equilíbrio é denominada quantidade de equilíbrio de mercado da utilidade (QE). Exemplo. Assim, se D = q = 10 2p e S = q = p, a igualdade D = S acarreta 10 2p = p, donde vem p = 2,6 que é o preço de equilíbrio (PE), isto é, o nível de preço no qual a demanda e a oferta coincidem. A figura abaixo ilustra a situação. 10 q S 3 D ,6 5 p 10

11 Exercício resolvido Suponhamos que a demanda de mercado de um produto, que é vendido em pacotes de 10 kg, seja dada por: D = p a) Determinar o intervalo de variação de p; b) Determinar o intervalo de variação de D; c) Representar graficamente o função demanda de mercado; d) Determinar o valor de demanda para p = R$ 60,00e p = R$ 40.00; e) A que nível de preço a demanda será de pacotes? f) A partir de que preço a demanda será menor que pacotes? g) A partir de que preço a demanda será maior que pacotes? h) A que preços a demanda ficará entre e pacotes? Solução a) D > p > 0-50p > (-1) 50p < < p< R$80,00 b) se p = 0, então D = (0) D = 4000 e se p = 80 D = x80 = , então 0 < D < c) D p 11

12 d) para p = 60, temos que: D = (60) = = 1000 pacotes. para p = 40, temos que: D = (40) = = 2000 pacotes. e)3500 = p 50p = p = 500 p = R$10,00 f) p < p < p < (-1) 50p > 3000 p > R$60,00 g) p > p > p > p < 2000 p < R$ 40,00 h)1500 < p < < - 50p < < - 50p < (-1) 2500 > 50p > 1000 :(50) 50 > p > 20. Logo, 20 < p < 50 Matemática para contabilidade/mário EXERCÍCIOS 1- Representar graficamente as seguintes curvas de demanda a) D = 20 5p b) D = 100 3p 2- Representar graficamente as seguintes funções de oferta a) S = 3p - 6 b) S= 2p Suponha que a oferta de mercado de determinado produto seja dada por: S = 2p 30,com p Determine: a) A partir de que preço haverá oferta? 12

13 b) Representar graficamente a oferta dada por S = 2p 30,p c) Representar graficamente a oferta em questão, invertendo os eixos do sistema de coordenadas. d) A que preço a oferta será de unidades? e) A partir de que preço a oferta será maior que unidades? f) A partir de que preço a oferta será menor que unidades? g) Para que preço a oferta ficará entre 250 e 750 unidades. Obs.: segue o raciocínio do exercício resolvido acima. 4- Determinar o preço de equilíbrio em cada um dos casos seguintes a) D = 34 5pe S = 2p 8 b) D = 10 0,2pe S = 0,5p RECEITA TOTAL: R T Seja U uma utilidade (bem ou serviço) cujo preço de venda por unidade seja um preço fixo p, para quantidades compreendidas entre q 1 e q 2 unidades. A função dada por R T = p.q, com q 1 q q 2, é denominada função receita total ou simplesmente receita total. Exemplo Seja p o preço de venda por unidade de determinado bem e q a respectiva quantidade vendida a este preço. A receita total (R T ) auferida pela venda de q unidades ao preço p é dada por R T = p.q. Se p é fixo, R T é uma função linear de q. Por exemplo se p =2, a receita total obtida com a venda de q unidades do bem é dada por R T = 2q. 2 R T 0 1 q 5- CUSTO TOTAL: C T Seja A o custo unitário de produção de determinado bem. Seja B o custo fixo (C F ) associado à produção deste bem. O custo total (C T ) pela produção do 13

14 referido bem é dado, então, por C T = pq + b, onde pq representa o custo variável (C V ). Por exemplo, se a = 2 e b = 4, o custo total pela produção de q unidades será dado por C T = 2q +4. A representação gráfica seria C T 6 custo total(c T = C V + C F ) custo variável (C V ) 4 custo fixo (C F ) 0 1 q 6- PONTO DE NIVELAMENTO (break-even point) Seja C T a função custo total associada à produção de uma utilidade e R T a função receita total relativa à venda da mesma utilidade. A quantidade q e para a qual R T = C T é denominada ponto de nivelamento(break-even point). Exemplo Se R T e C T são dadas, respectivamente, por R T = 0,4q e C T = 0,1q + 3, para 0 q 20, então, R T = C T 0,4q = 0,1q + 3, de onde vem q = 10. Portanto, q e = 10 é o breakeven point. C T, R T R T = 0,4q 4 C T = 3 + 0,1q 3 0 q e = q 14

15 7- LUCRO TOTAL: L T Seja C T o custo total associado à produção de uma utilidade e R T a receita total referente à venda desta utilidade. A função lucro total (L T ) associada à produção e venda da utilidade é dada por: Exemplo L T = R T C T Se R T = 2qe C T = 1/2 q + 3, temos que: L T = R T C T = 2q (1/2q + 3) = 2q 1/2q 3 representação gráfica seria. L T = 3/2.q 3. Sua L T 0 2 q -3 Observamos que: para q 2, temos L 0 (o que significa prejuízo) para q = 2, temos L = 0 (break-even point) para q 2, temos L 0 (lucro de verdade). Exercício Resolvido Seja C T = CV + CF, o custo total (C T ) associado à produção de um bem. Os seguintes custos unitários, onde q é a quantidade produzida, são significativos: I- Custo Fixo Médio:CFM = CF / q; II- Custo Variável Médio:CVM = CV / q; III- Custo Médio:CM = CT / q; IV- Custo Marginal CMg, dado pela variação do custo total devido a uma variação unitária na produção. CMg = C T (q + 1) C T ( q ), onde C T (q) indica o custo total pela produção de q unidades. Diante dessas informações resolve o problema. 15

16 Se o custo total associado à produção de uma mercadoria é dado, em reais por C T = 4q + 20, para 0 < q < 200, então, para uma produção de 50 unidades, calcule: a) O custo Fixo CF = 20 b) O custo Fixo Médio CFM = CF q , 4 c) O custo Variável CV =4q = 4.50 = 200 u.m. d) O Custo Variável Médio CV CVM = q u.m. e) O Custo Médio CM C T q , 40 u. m. f) O Custo Marginal CM g (50) C (51) C (50) ( ) (200 20) u. m EXERCÌCIOS T T 1- Representar graficamente as seguintes funções de receita total a) RT = 5q b) RT = 0,7q 2- Representar graficamente as seguintes funções de custo total a) CT = 2q + 10 b) CT = 0,3q Determinar o ponto de nivelamento (break even point) nos casos abaixo a) CT = 3q+ 5 e RT = 4q b) CT = 0,5q+ 3 e RT = 0,8q 4- Determinar em cada um dos casos anterior (Exercício 3) o lucro total e sua representação gráfica. 16

17 5 O custo unitário de produção de um bem é R$5,00, e o custo fixo associado a produção é R$30,00. Se o preço unitário de venda do referido bem é R$6,50, determinar: a) a função custo total b) a função receita total c) a função lucro total d) o break even point e) a produção necessária para um lucro de R$120,00 EXERCÍCIO RESOLVIDO Suponhamos que num determinado período tenha sido registrado as seguintes observações relativas a preços e respectivas quantidades demandadas de certo bem, no mercado. p D a) Esboce os pontos num sistema cartesiano e trace uma linha que melhor ajuste este pontos. b) Faça a regressão linear para determinar a reta y = ax + b, onde a n i 1 n i 1 x. y n. X. Y i i 2 ( x ) n.( X )² i ; b Y a. X Solução a) D q 17

18 b) x = p y = D x² = D² x.y = p.d a = ,5.4,5 = -11 b = 4,5 (-11).2,5 = ,5² 5 5 Portanto:D = -(11/5).p + 10, é a reta que melhor ajusta a distribuição (p, D) dada. EXERCÍCIOS 1- Determinar a equação de uma reta que melhor ajuste cada uma das demandas dadas pelas tabelas abaixo: a) p i b) p i q = D i q = D i Resp.:D = -2p + 15,2 D = -3,01p + 36,88 2- Aproximar, pela reta de regressão linear ( y = ax + b), a distribuição de pontos a tabela abaixo que representa as quantidades oferecidas e os preços de um bem num determinado período. p S Resp.: S = 3,4p 21,7 18

19 FUNÇÃO QUADRÁTICA Definição A função f: R R dada por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c reais e a 0, denomina-se função quadrática. Exemplos: f(x) = x² - 4x 3 (a = 1,b = -4, c = -3) f(x) = x² - 9 (a = 1,b = 0, c = -9 ) f(x) = 4x² + 2x 3 (a = 4,b = 2, c = -3) f(x) = -x² - 5x (a = -1, b =-5, c = 0) f(x) = 7x² (a = 7, b = 0, c = 0) Gráfico Para construirmos o gráfico da função quadrática no plano cartesiano, vamos proceder da mesma maneira como fizemos para a função do 1º grau. O gráfico de uma função quadrática é uma curva aberta chamada parábola. Observação: A função f(x) = x² - 2x 3, temos a = 1 > 0 => a parábola tem a concavidade voltada para cima. a> 0 A funçãof(x) = -x² + 2x + 3, temos a = -1 < 0 => a parábola tem a concavidade voltada para baixo. a< 0 Zeros (ou raízes) de uma função do 2º grau. Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x) = 0. Estes valores calcula-se usando o algoritmo de Bhaskara que é: x b 2. a onde = b² - 4ac 19

20 Da mesma forma que, para as equações do 2º grau: Matemática para contabilidade/mário Se > 0 a função y = ax² + bx + c tem duas raízes reais distintas ( x x ). Se = 0 a função y = ax² + bx + c tem duas raízes reais iguais ( x = x ). Se < 0 a função y = ax² + bx + c não tem raízes reais. Observação: As raízes são os valores de x em que a parábola corta o eixo das abscissas (x). Exemplos: Determinar as raízes (zeros) das funções: a) y = x² - 4x 5 solução: Fazendo x² - 4x 5 = 0, teremos = b² - 4ac = (-4)² (-5)= x= b ( 4) a 2(1) 2 b) y = 4x² + 20x + 25 x = -1 e x = 5 solução Resolvendo a equação : 4x² + 20x + 25 = 0, teremos: = (20)² - 4.(4).(25) = = x,logo x = x = -5 / A função f(x) = x² - 2x + 3k tem dois zeros reais iguais. Nestas condições, determinar os valores de k. Solução: A condição para que a função tenha zeros reais iguais é que = 0. = b² - 4.a.c = (-2)² (3k) = 4 12k 4 12k = 0=> 12k = 4 => k = 4 / 12 => k = 1 / 3. EXERCÍCIOS 1- Determinar os zeros das seguintes funções: 20

21 a) y = x² - 7x + 10 b) y = 2x² - 3x + 4 c) y = x² + 2x + 1 ESTUDO DO VÉRTICE DA PARÁBOLA Vamos estudar, neste item, o vértice da parábola e observar as consequências desse estudo: As coordenadas do vértice A parábola, que representa o gráfico da função f(x) = ax² + bx + c, passa por um ponto V, chamado vértice,cujas coordenadas são :x v = (abscissa) e y v = 4.a (ordenada) b 2. a Os esboços dos gráficos, no diversos casos, são os seguintes: > 0 y a > 0 a < 0 y -b/2a - /4.a x -b /2a x 4.a y = 0 a> 0 a < 0 y -b/2.a 0 x 0 -b / 2.a x 21

22 - /4.a < 0 y y a > 0 a < 0 -b/2.a x 0 - /4.a 0 x -b/2.a Logo vértice da parábola é o ponto: V (, b ). 2. a 4. a IMPORTANTE: Quando: a > 0, o vértice funciona como sendo o ponto mínimo. Neste caso o valor mínimo da função é dado por: y min = y v = - /4.a Quando: a < 0, o vértice funciona como sendo o ponto máximo. Neste caso o valor máximo da função é dado por: y max = y v = - /4.a Exemplos: 1- Determinar as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função f(x) = x² - 2x - 3 Solução: b ( 2) 2 xv 2. a 2(1) 2 1 = b² -4.a.c = (-2)² - 4.(1).(-3) = = 16 y v a 4(1) 4 4 Logo: o vértice é o ponto V(1, -4). 2- A função f(x) = x² - x 6 admite valor máximo ou valor mínimo? Qual é esse valor? Solução: f(x) = x² - x 6. Como a = 1 >0, a função admite valor mínimo, que vamos calcular; 22

23 a>0 y min = - / 4.a = b² - 4.a.c= (-1)² - 4.(1).(6) = = 25 y v = - /4.a = -15 / 4 ( valor mínimo). EXERCÍCIO RESOLVIDO Se a equação de demanda de um bem é q = custo associado,determine: 12 2 p D e C T = 3q + 10 o a) a equação da receita total em função da quantidade q vendida, e seu gráfico b) o break even point c) a equação do lucro total d) o valor de q que maximiza o lucro, e o lucro máximo correspondente e) o valor de q que maximiza a receita, e a receita máxima correspondente. Solução; a) Temos que R T = p v.q. Como não temos o preço de venda por unidade (p v ), vamos explicitar p = p v na equação da demanda, logo teremos R T = p v.q = (12 2q).q = -2q² + 12q, isto é 12 p q p p 12 2q v 2 R T =-2q² + 12q Para obter o gráfico, calcularemos as raízes e o vértice da função receita total, isto é. Raízes: R T =-2q² + 12q = 0 q(-2q + 12) = 0 q = 0-2q + 12 = q = -12 q = 6 R T Vértice: b 12 x 3 v 2a 2( 2) y v [12² 4.( 2).0] 144 4a 4.( 2) q 23

24 b) R T = C T -2q² + 12q= 3q q² + 9q 10 = 0 (por Bhaskara) termos: = 9² - 4.(-2).(-10) = = 1 x ( 2) ' 2, x R T = C T = 3.(2,5) + 10 = 7, = 17,5 (2,5 ; 17,5) " x R T = C T = 3.(2) + 10 = 16 (2 ; 16) c) A função lucro total é dada por:l T = R T - C T = -2q² + 12q (3q + 10) = -2q² +12q 3q 10, Logo L T= -2q² + 9q 10 d) O valor de q que maximiza o lucro total é dado pelo b ( 9) 9 x 2, 25. v 2a 2.( 2) 4 [9² 4.( 2).( 10)] 1 O valo do lucro máximo é dado pelo y v 0,125 4a 4.( 2) 8 e) O valor de q que maximiza a receita também é dado pelo x v = 3, calculado no item a( observe o gráfico). O mesmo ocorre com o valor máximo da receita que é dada pelo y v = 18 (ver o gráfico). EXERCÍCIOS Aplicações da função do 2º grau 1- Consideremos a oferta dada por: S = p² - 64,com p< 20. a) A partir de que preço haverá oferta? b) Qual o valor da oferta para p = 20? c) A que preço a oferta será de 300 unidades? d) A partir de que preço a oferta será maior que 57 unidades? e) A partir de que preço a oferta será menor que 105 unidades? 24

25 2- O lucro diário total (LT) é a diferença entre a receita total (RT) e o Custo total (CT) de produção. Supondo que em certa fábrica, a receita gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pelas funções: RT = -x² + 60x e CT = 10x + 400, sendo x o número de itens produzidos e vendidos no dia. Sabendo que a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia, pede-se: a) O número mínimo de itens x que devem ser produzidos por dia, para que a fábrica não tenha prejuízo; b) A quantidade x para que a fábrica tenha lucro máximo; c)o lucro máximo correspondente. 3- O lucro mensal de uma empresa é dado por L(x) = -x² + 30x 5, em que x é quantidade mensal vendida. Pede-se: a) O lucro mensal máximo b) A quantidade x produzida, para obter o lucro máximo c) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195? 25

26 1- Função Exponencial Matemática para contabilidade/mário FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA Seja a um número real positivo a 1. A função dada por y = a x com x R, recebe o nome de função exponencial Exemplos a. y = 2 x b. y = ( 1 2 )x 3- y = 3 x 4- y = ( 1 3 )x Gráfico da função exponencial. Como exemplo faremos o gráfico do exemplo 3 acima, y = 3 x. Inicialmente, faremos uma tabela. x y = 3 x Os outros itens ficam como exercícios. 26

27 EXERCÍCIO RESOLVIDO Em juros compostos, o montante de uma aplicação de capital inicial C, a uma taxa i, em n períodos é dado por: C(n) = C.(1 + i) n. Podemos assim obter, o montante composto de um capital inicial de R$ 3.000,00 aplicados à taxa de 2% a.m. durante 10 meses. Isto é: C = 3.000,00 i = 2% a.m. = 2 / 100 = 0,02 a.m. n = 10 m Logo C(10) = 3.000( 1 + 0,02) 10 = 3.000(1,02) 10 = ,218994= R$3.656,98 Aplicações 1- Suponhamos que a população de um determinado país cresça exponencialmente. Sabe-se que daqui a t anos, sua população P será dada por P = 2, (1,2) t a) Qual é a sua população atual? b) Qual será sua população daqui a 2 anos? 2- Suponhamos que o valor de um carro usado decresça exponencialmente como tempo t.seu valor V, em reais, daqui a t anos, será dado por V = 1, (0,81) t a) Qual é seu valor atual? b) Qual será seu valor daqui a 1 ano? c) Qual será seu valor daqui a 6 meses. 27

28 2- Função logaritmo Seja a um número real positivo, a 1. Se x é um número real positivo existe um único real y tal que a y = x. O número y assim obtido recebe o nome de logaritmo de x na base a, e escrevemos: y = log a x. A função definida por y = log a x com x > 0, recebe o nome de função logaritmo de base a. Exemplos 1- y = log 2 x 2- y = log 1/2 x 3- y = log 3 x 4- y = log 1/3 x Gráfico da função logaritmo. Como exemplo faremos apenas o item 1 y = log 2 x. x y = log 2 x 1/4-2 1/

29 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LAGARITIMOS Sendo a, b, c números reais positivos com b 1, e n R + *, teremos: P 1 ; Logaritmo do produto: log ( a. c) log a log c b b b P 2 : Logaritmo do quociente: log ( ) log og P 3 : Logaritmo da potência: log b a a l c b b b n c a n.log a b Mudança de base: Exemplos: 1- Calcule a) log 180 log b a l og log c c a b b) log 600 c) log 50 d) log Resolva as equações: a) 3 x = 20 b) 2,7 = 1,02 x c) 5 x+1 = 80 29

30 3- Um capital de R$ 6.000,00 foi investido a juros compostos a uma taxa mensal fixa de 3%. Após quanto tampo ele elevou-se a R$ 8.347,80? 4- Durante quanto tempo deve ser aplicado um capital a juros compostos de5% ao mês, para que o rendimento obtido seja equivalente a 2 vezes o capital aplicado? 5- Após ser plantada, a muda de uma árvore começa a crescer. Sabe-se que sua altura H (em cm) após t meses, é dada pela função. H = 15. log 2 ( t +2) Calcule a) a altura da muda ao ser plantada. b) a altura da árvore daqui a 6 meses. c) a altura da árvore daqui a 8 meses. d) Em quanto tempo a altura da árvore atinge 60 cm? e) Em quanto tempo a altura da árvore dobre? 30

31 REFERÊNCIAS: ANTON, Howard. Cálculo Um Novo Horizonte. 6ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2006, vol1, 578p. FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 5ª ed. São Paulo: Makron SILVA, S. M. da et al.matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, ÁVILA, Geraldo. Introdução ao cálculo. Rio de Janeiro: Editora JC, LEITHOLD, L. Matemática aplicada à economia e administração. São Paulo: Harbra, SILVA, S. M. da et al. Matemática para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. 5ª ed., São Paulo: Atlas,