1 INSTITUTO FEDERAL CATARINENSE CAMPUS AVANÇADO SOMBRIO. Série : 8ª série Nível: Ensino Fundamental Turma:

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1 PLANO DE AULA Dados de identificação 1 INSTITUTO FEDERAL CATARINENSE CAMPUS AVANÇADO SOMBRIO Município: Sombrio - SC Disciplina: Matemática Série : 8ª série Nível: Ensino Fundamental Turma: Professor: Joel de Oliveira Bassani Tempo previsto: 3 ha Tema: Fundamentos do conceito de função e suas aplicações Subtemas: No estudo de funções abordaremos os seguintes conteúdos: - Definição de função; - Domínio e Imagem; - Função polinomial do 1º grau; - Gráfico da função polinomial do 1º grau; - Função polinomial do 2º grau; - Gráfico da função do 2º grau; - Esboço da parábola; - Valor máximo e valor mínimo da função do 2º grau; - Estudo do sinal; - Aplicações

2 3) Justificativa Sabemos que o tema função trata-se de um dos conceitos mais abordados no estudo da matemática Em um simples cálculo de preços, de áreas, de distância percorrida em relação ao tempo, dentre muitos outros, utilizamos funções e não nos damos conta disso Abordar esse tema em sala de aula significa auxiliar o aluno a transpor de um registro discursivo para um registro algébrico e geométrico É proporcionar a transposição didática, ou seja, aplicar o conhecimento matemático científico de uma forma contextualizada e aplicada a situações reais A construção de gráficos, que estudaremos aqui possibilitarão ao aluno interpretar as relações entre grandezas de maneira mais clara e sob diferentes pontos de vista 4) Objetivos: a) Construir o conceito de função; b) Fazer a conversão do registro discursivo para o registro algébrico a partir de problemas contextualizados; c) Identificar funções de 1º e 2º graus; d) Construir gráficos a partir da lei da função ; e) Construir o esboço da parábola a partir da lei da função; f) Identificar as raízes da função, as coordenadas do vértice a partir de um esboço de parábola; g) Encontrar ponto máximo e mínimo de uma função do 2ºgrau 5) Conteúdos envolvidos (conteúdos pré-requisitos para o desenvolvimento da aula) - Polinômios; - Equações do 1º Grau; - Equações do 2 Grau; - Potenciação; - Radiciação; - Conjuntos;

3 6) Estratégias: 61- recursos: disponível em sala de aula, televisão ou data show, folhas de papel, software GeoGebra 62- técnicas: Aula expositiva e dialogada, atividades em sala de aula, e utilização de software matemátco 7) Procedimentos: A aula iniciará com uma modelagem matemática, na qual partiremos de dois problemas sobre os quais os alunos serão convidados a interpretá-los conforme seus pontos de vista Posteriormente faremos uma releitura dos mesmos utilizando o registro algébrico, por meio da explicação dos conteúdos envolvidos Finalizaremos a aula com a resolução de exercícios e aplicação da prova 71- Problematização: Primeira Problematização: (BONJORNO, 2006, p 84) Numa corrida de táxi é cobrada uma taxa fixa de R$ 3,00 mais R$ 2,50 por quilômetro rodado a) Se um passageiro percorrer 10 Km no táxi, qual o valor a pagar? E 15 Km? b) Se um passageiro pagou R$ 23,00 numa corrida, qual a distância percorrida pelo táxi? c) Que fórmula matemática relaciona o valor a pagar y com a quilometragem percorrida x? Segunda problematização: (Fundamentada em DANTE, 2005) Um retângulo com perímetro 40 uc e um lado medindo x cm

4 a) Calcule a medida do outro lado usando a Função x b) Encontre a função que define a área do retângulo: 72- Historicização De acordo com Brito (2010), o conceito de funções desenvolvido pelos Babilônios foi aperfeiçoado ao longo dos séculos, uma prova disso é o fato de a Astronomia da época ser baseada em tábuas de quadrados, cubos e de raízes quadradas Os gregos também deram sua contribuição relacionando grandezas físicas como: alturas dos sons e dos comprimentos das cordas fibrantes (leis da acústica) Na época da Alexandria contribuíram com a construção de tabelas de comprimento de cordas de um círculo, mais tarde denominado raio de uma circunferência Desde então houve vários acontecimentos ao longo dos séculos relacionados à utilização de funções, como exemplo temos: a representação da velocidade de um móvel ao longo do tempo, informação gerada pelo francês Nícolas Oresme; utilização de eixos cartesianos para a representação de uma função, pelo matemático e filósofo René Descartes; a descoberta das leis sobre as trajetórias planetárias por Keppler; com o estudo da queda dos corpos e a relação entre espaço e tempo por Galileu Deve-se ao matemático alemão Leibniz, com a invenção da linguagem matemática distribuídos em diversos termos e simbologias, a primeira utilização do termo função propiciando sua utilização nas análises matemáticas no século XVIII No entanto, a definição de função surge mais tarde com Leonard Euler, contudo só foi no século XIX que apareceu o significado mais amplo de função

5 Com o passar dos tempos, a partir de investigações matemáticas percebeu-se a grande importância da empregabilidade das funções distribuídas nos mais variados campos da ciência moderna, podendo ser considerada como pilar de inúmeras bases de conhecimento A historicização será abordada por meio do vídeo disponível no link: Operacionalização da aula Inicialmente o professor abordará a turma com duas problematizações comuns ao cotidiano, resolvendo as mesmas com o auxílio dos alunos fazendo assim uma investigação dos conhecimentos já adquiridos, fazendo uma transposição da linguagem discursiva para um registro algébrico, a partir de modelagem matemática Num segundo momento será apresentada a historicização do conteúdo, ressaltando a importância das funções na vida das pessoas, qual pode ser encontrada em um simples cálculo de distância em relação a tempo e velocidade, em um calculo de valores quanto a compras, entre outros, muitos presente na realidade social Resolução das problematizações: Primeira Problematização: (BONJORNO, 2006, p 84) Numa corrida de táxi é cobrada uma taxa fixa de R$ 3,00 mais R$ 2,50 por quilômetro rodado a) Se um passageiro percorrer 10 Km no táxi, qual o valor a pagar? E 15 Km? b) Se um passageiro pagou R$ 23,00 numa corrida, qual a distância percorrida pelo táxi? c) Que fórmula matemática relaciona o valor a pagar y com a quilometragem percorrida x?

6 Resolução: Vamos construir uma tabela que mostre, a cada quilômetro percorrido pelo táxi x, o valor correspondente y que deve ser pago Quilometragem (x em km) Valor a pagar (y em reais) ,50 1 = 5, ,50 2 = 8, ,50 3 = 10, ,50 10 = 28, ,50 15 = 40,50 x 3 + 2,50 x a) Para x = 10 km, temos y = 28 reais Logo, o passageiro pagará R$ 28,00 Para x = 15 km, temos y = 40,50 reais Nesse caso, o passageiro pagará R$ 40,50 b) Temos y = 23,00 reais e devemos encontrar o valor de x Vamos, então resolver a equação: 3+2,50 x=23,00 2,50 x=20,00 x= 20,00 2,5 =8,00 Portanto o táxi percorreu 8 quilômetros c) Da tabela, obtemos a função procurada: y = 3 + 2,50 x, em que y é o preço a pagar em reais, e x é a distância percorrida em quilômetros

7 Segunda problematização: Um retângulo com perímetro 40 uc e um lado medindo x cm a) Calcule a medida do outro lado usando a Função x b) Encontre a função que define a área do retângulo: Resolução: a) Se o perímetro do retângulo mede 40 uc, temos então que a soma dos dois lados diferentes é 20 uc Se um lado mede x, temos que o outro lado necessariamente medirá 20 x b) Sabendo que a medida da área de um retângulo dá-se por (lado x lado), temos: L 1 = x L 2 = 20 x Área = L 1 L 2 Área = x (20 x) Área = -x² + 20x F(x) = -x² + 20x Definição de Função, Domínio e Imagem Função de A em B é toda relação em que cada elemento de A associa-se apenas um elemento de B f : A B O conjunto de valores que a variável x pode assumir chama-se domínio da função e é indicado por D O valor da variável y correspondente a um determinado valor de x é chamado imagem do número x dado pela função O conjunto formado por todos os valores de y que correspondem a algum x do domínio é chamado conjunto imagem da função e é indicado por Im (Utilizaremos os dois exercícios que resolvemos no quadro para exemplificar e explicar o conceito de função, domínio e imagem)

8 Função polinomial do 1º Grau Uma função é chamada função polinomial do 1º grau quando é definida pela sentença matemática y=ax+b, com a R,b Rea 0 A função polinomial do 1º grau ou simplesmente função do 1º grau também é chamada de função afim Ex: O perímetro do retângulo abaixo pode ser descrito pela função do 1º grau onde x é dado em cm: y=x+3 cm+x+3 cm y=2 x+6 cm Gráfico da função polinomial do 1º Grau De acordo com Bonjorno (2006), existem muitas situações onde a relação entre duas grandezas podem ser expressas graficamente por uma reta, semirreta ou por segmentos de reta Todos os dias nos deparamos em jornais, revistas, televisão, dentre outros com gráficos que procuram transmitir de forma mais simples e clara informações sobre os mais diversos temas, tais como inflação, vendas de determinados produtos, movimento de um carro, etc Vamos criar o gráfico da função que determina o perímetro do retângulo ilustrado anteriormente, dado por f(x) = 2x + 6cm, para todo x > 0, uma vez que não existe distância negativa

9 A raiz da função f(x) = ax + b é o valor de x para o qual f(x) = 0, isto é x= b a,coma 0 assim temos na f : R R : y=2 x+6 0=2 x+6 2 x= 6 x= 3 Quanto a inclinação da reta no gráfico da função f(x) = ax + b, em relação ao a, podemos afirmar três coisas: 1º) Se a > 0, a inclinação da reta é positiva, é uma função crescente; 2º) Se a < 0, a inclinação da reta é negativa, é uma função decrescente; 3º) Se a = 0, a inclinação da reta é nula, é uma função constante

10 Função polinomial do 2º Grau Chama-se função polinomial do 2º grau ou função quadrática qualquer função fde R em R dada por uma lei da forma f (x)=ax 2 +bx+c, com a, b e c números reais e a 0 Ex: Temos como exemplo a função f (x)=x 2 +2 x 3, que representa a planta de uma sala de aula cujas medidas são :

11 Gráfico da função polinomial do 2º Grau Se na função de 1º grau, o gráfico no plano cartesiano é sempre uma reta, na função polinomial do 2º grau será sempre uma parábola O exemplo que citamos anteriormente, tem o seguinte comportamento: f (x)=x 2 +2 x 3 De um modo geral o gráfico da função y=ax²+bx+c tem as seguintes características: Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; Quanto ao estudo do sinal, na função dada acima temos: y = 0, para x = -3 ou x = 1 y > 0, para o intervalo { x R,talque 3>x>1 } y < 0, para o intervalo { x R,talque 3<x<1 }

12 Esboço da parábola Dada a função definida por y=ax ²+ bx+ c, os valores reais de x para os quais se tem y=0(ou ax ²+bx +c=0) são denominados zeros da função quadrática Algebricamente, os zeros da função quadrática são obtidos quando resolvemos a equação de 2º grau ax ²+bx +c=0 Há de se considerar três casos: > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes; = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais; < 0, a equação não tem raiz real Valor máximo e valor Mínimo da função do 2º Grau Conhecendo o gráfico de uma função do tipo y=ax ²+bx+c, onde teremos sempre uma parábola, também podemos tirar outras duas conclusões no que diz respeito ao vértice: 1º) Quando a > 0, o vértice será o ponto mais baixo da parábola Como y v é o menor valor que y pode assumir, ele será chamado de valor mínimo da função, e V(x v, y v ) é ponto de mínimo 2º) Quando a < 0, o vértice será o ponto mas alto da parábola Como y v é o maior valor que y pode assumir, ele será chamado valor máximo da função, e V(x v, y v ) é ponto de máximo Como podemos encontrar xv e yv: x v = x 1 +x 2 2 y v =a(x v )²+b x v +c, Conclusão da aula: A conclusão da aula se dará pela resolução de exercícios e pela aplicação da prova 74- Conclusão da aula (atividades e sugestão de atividade)

13 Exercícios: 1) (BONJORNO, 2006, pg 85) O consumo de energia elétrica y de um eletrodoméstico é diretamente proporcional ao tempo x que ele fica ligado Um televisor, por exemplo, consome 150 watt de energia por hora de uso a) Que energia o televisor consumirá em 2 horas? E em 10 horas? b) Escreva a sentença matemática que relaciona y e x 2) (BONJORNO, 2006, pg 91) Uma função f : {3, 6, 9} R associa a cada elemento do domínio a sua terça parte Represente essa função por um diagrama e escreva qual sua imagem 3) Para a função f(x) = -x² + 2x + 3 : a) Encontre as raízes ou zeros da função: b) A concavidade é voltada para baixo ou para cima? c) Faça o esboço da parábola: d) Encontre x v e y v e diga se é máximo ou mínimo? e) Construa o gráfico e faça o estudo do sinal: 8- Avaliação A prova será individual, sem consulta, composta de cinco questões onde cada uma valerá dois pontos 81 Instrumentos de avaliação Prova Individual

14 9- Referências BONJORNO, José Roberto et al Matemática: fazendo a diferença 1 ed São Paulo: FTD, 2006 BRITO, Flamarion de Almeida História das Funções UNOPAR, 2010 Disponível em: file:///home/joel/downloads/matem%c3%a1tica-hist%c3%b3ria%20das%20fun %C3%A7%C3%B5espdf 01/10/2014, às 22:21 hs DANTE, Luiz Roberto Matemática, volume único 1 ed São Paulo: Ática, 2005 GIOVANNI, José Ruy et al A conquista da matemátca: a + nova 1 ed São Paulo: FTD, 2002 GIOVANNI, José Ruy et al A conquista da matemática: 9º ano 1 ed São Paulo: FTD, 2009 GOULART, Márcio Cintra Matemática no ensino médio: volume 1 São Paulo: Scipione, /10/2014, às 15:44 hs IMENES, Luíz Márcio Pereira et al Matemática: 1 ed São Paulo: Scipione, 1997 NETTO, Scipone di Pierro Matemática: conceitos e histórias 6 ed São Paulo: Scipione, 1998