Secretaria de Estado da Educação de Santa Catarina 22ª GEREI

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1 Secretaria de Estado da Educação de Santa Catarina 22ª GEREI 1) Escola de Ensino Médio Macário Borba Município: Sombrio Disciplina: Matemática Série: 2º ano Nível: Ensino Médio Turma: 01 Professora: Patrícia Becker Delfino Tempo Previsto: 3 horas/aula 2) Tema: Trigonometria Subtemas: Equações Trigonométricas 3) Justificativa Sabemos que o ato de medir envolve sempre uma comparação entre grandezas, mas há vários caminhos pelos quais podemos fazer uma medição, a escolha de um deles depende da necessidade e da possibilidade de cada situação Por exemplo, como é possível medir a altura de uma torre ou de uma árvore, a largura de um rio ou a distância entre dois planetas, para resolver estes certos problemas é necessário termos noções de Trigonometria A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados Em relação ao conteúdo de equações trigonométricas, uma das grandes diferenças dessas equações para as demais equações é a natureza periódica das funções que originam estas equações 4) Objetivos: a) Identificar equações trigonométricas do tipo seno, cosseno, tangente, cotangente, cossecante, secante; b) Resolver problemas que envolvam equações trigonométricas; c) Determinar soluções das equações trigonométricas em IR e em Intervalos Determinados

2 5) Conteúdos envolvidos: - Funções trigonométricas; - Valores dos arcos e ângulos; - Números Reais; - Intervalos no Ciclo Trigonométrico 6) Estratégia: 61 recursos: quadro, folha de papel, multimídia, jogo da trilha 62 técnicas: aula expositiva dialogada, atividades em sala de aula 7) Procedimentos 71 Problematização: 1) Por causa das variações das marés oceânicas, a profundidade de certos rios variam periodicamente em função do tempo Suponha que determinado rio tenha sua profundidade determinada pela função d(t) = 3sen [ π/6 (t 4) ] + 8, onde d é a sua profundidade em metros e t é a sua hora do dia ( sendo t = 0 à meia noite e t medido na forma de 24 h) Qual o horário em que esse rio atinge 6,5 m de profundidade? 2) A escada magirus de um caminhão de bombeiros atinge um ponto de um edifício a 13 m de altura em relação ao solo plano e horizontal Sabe-se que a base dessa escada está a 3m de altura em relação ao solo e a 10m de distância do edifício, conforme mostra a figura Qual a medida do cateto vertical do triângulo destacado? Qual é a medida α do ângulo agudo que a escada forma com a horizontal?

3 72 Historicização: A origem da trigonometria é incerta Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V ac, com os egípcios e babilônios A palavra trigonometria significa medida das partes de um triângulo Não se sabe ao certo se o conceito da medida de ângulo surgiu com os gregos ou se eles, por contato com a civilização babilônica, adotaram suas frações sexagesimais Mas os gregos fizeram um estudo sistemático das relações entre ângulos - ou arcos - numa circunferência e os comprimentos de suas cordas O astrônomo Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 ac, ganhou o direito de ser chamado "o pai da Trigonometria", pois, na segunda metade do século II ac, fez um tratado em doze livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas O objetivo principal da trigonometria é determinar medidas de ângulos e distâncias inacessíveis 731 Operacionalização da aula: A aula será iniciada relembrando o que são equações e que já estudamos equações do 1º grau, do 2º grau, exponenciais e logarítmicas Também lembraremos o ciclo trigonométrico, bem como suas posições; em seguida cada aluno receberá um ciclo trigonométrico

4 Após este breve diálogo, entraremos nas equações trigonométricas, apresentando primeiramente aos educandos as problematizações e a historicização Logo, começarei a seguinte explicação Equações Trigonométricas Equações trigonométricas são aquelas que envolvem funções trigonométricas de incógnita que se deseja determinar Equações do tipo: Utilizaremos como exemplo: No intervalo : Marcando no eixo das ordenadas o valor Em seguida, traçamos pelo ponto 2 1 uma reta horizontal paralela ao eixo das abscissas Logo, no intervalo, o conjunto solução da equação é S= No conjunto dos Números Reais: Todo arco côngruo a também tem seno igual a Logo, O mesmo pode-se considerar para, assim tem-se Logo, no conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação é S=

5 - E para? O que precisamos fazer para chegar ao valor de x no intervalo No intervalo? E em IR? Resolução: : Localizamos o quadrante em que o seno tem valor negativo e em seguida onde ele vale Assim, obtemos os valores de x Em IR: Todo arco côngruo a também tem seno igual a Logo, O mesmo pode-se considerar para, assim tem-se Logo, no conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação é S= Exemplos: 1) Resolver a equação a) para Determinando os pontos do círculo trigonométrico que tem ordenada igual a 1, obtemos apenas um ponto que satisfaz essa condição, o ponto A representado a seguir Assim temos Logo,

6 b) em IR: O conjunto solução da equação é formado pelos números reais associados ao ponto A, nas infinitas voltas do círculo trigonométrico, logo: 2) Resolva a equação, sendo U=IR: ou Logo, 3) Resolva a equação a) no intervalo Fazendo

7 Resolvendo a equação: Voltando a substituição: Resolvendo as equações trigonométricas: Logo, b) em IR: O conjunto solução da equação é formado pelos números reais associados ao ponto A, nas infinitas voltas do círculo trigonométrico, logo: Utilizaremos como exemplo : No intervalo : Marcando no eixo das abscissas o valor, traçamos pelo ponto uma reta vertical, paralela ao eixo das ordenadas Logo, no intervalo o conjunto solução da equação é

8 No conjunto dos Números Reais: Todo arco côngruo a também tem cosseno igual a Logo, O mesmo pode-se considerar para, assim tem-se Logo, no conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação é S= - E para? O que precisamos fazer para chegar ao valor de x no intervalo No intervalo? E em IR? Resolução: : Localizamos o quadrante em que o cosseno tem valor negativo e em seguida onde ele vale Assim, obtemos os valores de x

9 Em IR: Todo arco côngruo a também tem cosseno igual a Logo, O mesmo pode-se considerar para, assim tem-se Logo, no conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação é S= Exemplos: 1) Resolva a equação para e para em IR: Para : Devemos localizar no ciclo trigonométrico onde o cosseno tem valor negativo, após onde ele vale Assim, obtemos ou Logo, o conjunto solução para a equação no intervalo é Em IR, sabemos que o conjunto solução da equação é formado pelos números reais associados a ou, nas infinitas voltas do círculo trigonométrico, logo:

10 2) Resolver a equação a) para : Quando uma equação apresenta seno e cosseno, um recurso muito útil para transformá-la em uma equação equivalente, que apresente somente seno ou cosseno, é aplicar uma das identidades: ou Na equação proposta, vamos substituir por, obtendo: Efetuamos a mudança da variável Como, temos Resolvendo essas equações temos:

11 Logo, b) em IR: Observando que as raízes obtidas estão associadas a pontos que dividem a circunferência trigonométrica em três arcos congruentes, temos, no universo IR, o conjunto solução S da equação: 3) Resolva a equação, para Precisamos encontrar os pontos da circunferência trigonométrica que tem Portanto, os valores de x são Sabendo que em IR o conjunto solução da equação é formado por e, nas infinitas voltas da circunferência trigonométrica, logo: Com o que estudamos até o momento podemos resolver o nosso primeiro problema proposto no início da aula: Por causa das variações das marés oceânicas, a profundidade de certos rios variam periodicamente em função do tempo Suponha que determinado rio tenha sua profundidade determinada pela função, onde d é a sua profundidade em metros e t é a sua hora do dia ( sendo t = 0 à meia noite e t medido na forma de 24 h) Qual o horário em que esse rio atinge 6,5 m de profundidade? Resolução: Se

12 Agora devemos verificar onde, logo obtemos e Assim, podemos resolver as equações: Para Para Para Para ou Para Para Para Para Levando-se em conta que, a solução da equação tem como resoluções, ou seja, o rio atinge a profundidade de 6,5 metros às 3h, 11h, 15h e 23h Utilizaremos como exemplo : No intervalo Marcamos no eixo das tangentes o valor da ordenada Unimos esse ponto de ordenada com o ponto O, até obter um diâmetro na circunferência Logo, no intervalo, o conjunto solução para a equação é:

13 No conjunto dos Números Reais: Todo arco côngruo a também tem tangente igual a Logo, O mesmo pode-se considerar para, assim tem-se Logo, no conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação é S= Exemplos: 1) Determine o conjunto solução da equação, para Fazendo Daí, obtemos: ou Voltando à substituição: Logo, Temos como solução: 2) Resolver a equação a) para Marcamos no eixo das tangentes o ponto de ordenada -1 e traçamos por ele uma reta que passa pelo centro da circunferência trigonométrica Essa reta intercepta a

14 circunferência em dois pontos, aos quais são as raízes da equação Assim encontramos o conjunto solução, onde Logo, b) em IR: No universo dos números reais, o conjunto solução da equação é formado pelos números reais associados aos pontos obtidos, nas infinitas voltas da circunferência trigonométrica, logo: 3) Resolva a equação para Marcamos no eixo das tangentes o ponto de ordenada 1 e traçamos por ele uma reta que passa pelo centro da circunferência trigonométrica Essa reta intercepta a circunferência em dois pontos, aos quais são as raízes da equação Assim encontramos o conjunto solução, onde Logo, Agora conseguimos resolver o segundo problema proposto: A escada magirus de um caminhão de bombeiros atinge um ponto de um edifício a 13 m de altura em relação ao solo plano e horizontal Sabe-se que a base dessa escada está a 3m de altura em relação ao solo e a 10m de distância do edifício, conforme mostra a figura

15 Qual a medida do cateto vertical do triângulo destacado? Qual é a medida α do ângulo agudo que a escada forma com a horizontal? Resolução: Para calcularmos a medida do cateto vertical basta diminuirmos da altura do ponto do edifício em que a escada magirus alcança a altura da base da mesma em relação ao solo Assim temos, Logo, a medida do cateto vertical é de 10m Agora devemos achar a medida de α que a escada forma com a horizontal Obtemos, Olhando no ciclo trigonométrico podemos verificar que, ou ainda, 45º Ou seja, a escada forma um ângulo agudo de 45º com a horizontal, para Utilizaremos como exemplo No intervalo Sabendo que e que, para verificarmos em que ponto a, basta sabermos em que ponto e tem o mesmo valor Assim, podemos verificar que Logo,

16 No Conjunto dos Números Reais: Todo arco côngruo a também tem cotangente igual a Logo, O mesmo pode-se considerar para, assim tem-se Logo, no conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação é S= Exemplos: 1) Resolva a equação: : a) para Podemos utilizar a circunferência trigonométrica e ir calculando a razão entre os cossenos e os senos até obter Mas caso não tenhamos a circunferência trigonométrica, podemos fazer da seguinte maneira: Logo, ou b) em IR: No universo dos números reais, o conjunto solução da equação é formado pelos números reais associados aos pontos obtidos, nas infinitas voltas da circunferência trigonométrica, logo: 2) Resolva a equação: : a) para

17 Logo, ou b) em IR: No universo dos números reais, o conjunto solução da equação é formado pelos números reais associados aos pontos obtidos, nas infinitas voltas da circunferência trigonométrica, logo: para Utilizaremos No intervalo Sabendo que e que, para verificarmos em que ponto a, basta sabermos em que ponto tem valor que podemos dividir de 1 e que podemos obter 2 Assim, podemos verificar que Caso não tenhamos o circulo trigonométrico podemos calcular da seguinte maneira: Assim, ou Logo, No Conjunto dos Números Reais: Todo arco côngruo a também tem secante igual a Logo, O mesmo pode-se considerar para, assim tem-se

18 Logo, no conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação é S= Exemplos: 1) Resolva a equação sendo : Assim, ou Sabendo que, temos: S= 2) Resolva a equação : a) para Assim, ou Logo,

19 b) em IR: No universo dos números reais, o conjunto solução da equação é formado pelos números reais associados aos pontos obtidos, nas infinitas voltas da circunferência trigonométrica, logo: para Utilizaremos No intervalo Sabendo que e que, para verificarmos em que ponto a, basta sabermos em que ponto tem valor que podemos dividir de 1 e que podemos obter -1 Assim, podemos verificar que Caso não tenhamos o circulo trigonométrico podemos calcular da seguinte maneira: Assim, Logo, No Conjunto dos Números Reais: Todo arco côngruo a também tem cossecante igual a Logo, Logo, no conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação é S= Exemplos: 1) Resolva a equação : a) para Assim, ou Logo,

20 b) em IR: No universo dos números reais, o conjunto solução da equação é formado pelos números reais associados aos pontos obtidos, nas infinitas voltas da circunferência trigonométrica, logo: 2) Resolva a equação : a) para Assim, ou Logo, b) em IR: No universo dos números reais, o conjunto solução da equação é formado pelos números reais associados aos pontos obtidos, nas infinitas voltas da circunferência trigonométrica, logo:

21 Após o término da explicação e da aplicação de exemplos a turma será dividida em grupo de 4 componentes para jogar o jogo da trilha Onde o aluno que cair na casa verde deverá avançar uma casa, o que cair na casa vermelha deverá ficar uma rodada sem jogar e o que cair na casa amarela deverá pegar uma pergunta sobre equações trigonométricas e responder, caso acerte poderá avançar uma casa, se errar deverá voltar uma casa??? corresponde ao que no ciclo trigonométrico? Resolva a equação: Resolva a equação: Resolva a equação: Resolva a equação: Obtenha o conjunto solução da equação: Resolva, em IR, a equação: Resolva a equação: O que significa TRIGONOMETRIA?

22 Qual o objetivo principal da trigonometria? Identifique no ciclo trigonométrico onde Identifique no ciclo trigonométrico onde Identifique no ciclo trigonométrico onde Identifique no ciclo trigonométrico onde Identifique no ciclo trigonométrico onde Identifique no ciclo trigonométrico onde Identifique no ciclo trigonométrico onde Identifique no ciclo trigonométrico onde Identifique no ciclo trigonométrico onde Identifique no ciclo trigonométrico onde Identifique no ciclo trigonométrico onde Logo alguns exercícios serão passados para que os alunos resolvam e possam tirar suas dúvidas Exercícios 1) Calcule as seguintes equações, para : a) d) b) e) c) f) 741 Conclusão da aula: Aplicação da prova 8) Avaliação O seguinte trabalho será entregue para que os alunos para resolverem durante a aula a fim de identificar os conceitos abordados sobre equações trigonométricas

23 Instituto Federal Catarinense Campus Avançado Sombrio Nome: Turma: Data: / / Conteúdo: Equações Trigonométricas Peso: 10 pontos Nota: PROVA DE MATEMÁTICA 1) Considerando os conceitos aprendidos sobre equações trigonométricas, determine se as sentenças abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando as que julgar falsas: A origem da trigonometria é incerta Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V ac, com os egípcios e babilônios Não se sabe ao certo se o conceito da medida de ângulo surgiu com os egípcios ou se eles, por contato com a civilização babilônica, adotaram suas frações sexagesimais para Equações trigonométricas são aquelas que envolvem funções trigonométricas de incógnita que se deseja determinar 2) Na equação, o conjunto solução é: a) b) c) d) 3) Resolva a equação, para

24 4) Um engenheiro projetou uma rampa reta e plana, com 100m de comprimento, que vai unir dois patamares horizontais entre os quais há um desnível vertical de 50m iniciada a construção a partir do patamar inferior, determine a inclinação da rampa, ou seja, a medida do ângulo agudo que deve ser mantida constante, entre o plano da rampa e o plano horizontal, para que a construção termine exatamente no nível do patamar superior: 5) Determine a soma das alternativas verdadeiras: 02 Na equação, temos 05 Na equação, temos conjunto solução 08, para 01 para SOMA: BOA SORTE!!!

25 811 Instrumentos de avaliação Prova 9) Bibliografia PAIVA, Manoel Matemática São Paulo: Editora Moderna 1ª Edição; 2009 GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; JR, José Ruy Giovanni Matemática Fundamental Uma nova abordagem São Paulo: Editora FTD SA Volume único; 2002 SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez Matemática Ensino Médio São Paulo: Editora Saraiva 8ª Edição; 2013 DANTE, Luiz Roberto Matemática Contexto e Aplicações São Paulo: Editora Ática 4ª Edição; 2010