FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAU, EXPONENCIAIS E LOGARITMOS

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1 PET-FÍSICA FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAU, EXPONENCIAIS E LOGARITMOS Aula 4 TATIANA DE MIRANDA SOUZA VICTOR ABATH DA SILVA FREDERICO ALAN DA OLIVERIA CRUZ

2 AGRADECIMENTOS Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação e do Programa de Educação Tutorial PET, do MEC - Ministério da Educação Brasil. 2

3 DOS AUTORES Essa apostila foi construída para ser um material de apoio às atividades de tutoria, realizadas pelos bolsistas do Programa de Educação Tutorial Física/UFRRJ, e não tem como pretensão a substituição de materiais tradicionais e mais completos. O conteúdo aqui poderá ser compartilhado e reproduzido, desde que sejam dados os devidos créditos as pessoas responsáveis por compilar os temas aqui presentes. Uma boa leitura! 3

4 SUMÁRIO 1. Potências de base Escrevendo um número em Notação Científica e Regras de Arredondamento Ordem de grandeza (OG) Operações importantes envolvendo notação científica Adição e Subtração Potenciação Obtendo a raiz de uma notação científica Comparação entre algarismos em notação científica Exercícios de fixação Referências Respostas dos exercícios de fixação

5 1. Função Polinomial do 1º grau A função polinomial do 1º grau é qualquer função dada pela expressão: onde a, denominado coeficiente angular, e b, coeficiente linear, são números reais, com, para todo (ALEJANDRO et al, 1997). Se nessa função a = 1 e b = 0 denominamos essa função de identidade, onde: 1.1 Raiz de uma função do 1º grau (1) (2) A raiz de uma função do primeiro grau é o valor para qual podemos escrever:, tal que, Onde: (3) Exemplo 1: Considere a função: Determine: a) os coeficientes angular e linear da função. Para determinar os coeficientes basta comparar a expressão acima com a equação (1) e diretamente temos que a = 5 e b = - 3. b) a raiz desse polinômio. No caso da raiz de uma função do primeiro grau, basta que usemos a equação (3) e assim escrever: 2. Função polinomial do 2º grau A função polinomial do 2º grau é qualquer função dada pela expressão: 5

6 onde a, que determina a concavidade da parábola, b, que define a inclinação da curva, e c, ponto em que a parábola intercepta o eixo y são números reais, com, para todo (ALEJANDRO et al, 1997). 2.1 Raízes de uma função do 2º grau As raízes de uma função polinomial de 2º grau são valores importantes para análise da parábola, eles podem ser obtidos pela relação. (4) onde o termo é denominado de discriminante e representado pela letra grega delta maiúsculo ( ), tal que (SILVA & BARRETO FILHO, 2005): Se o discriminante for maior que zero ( > 0) obteremos duas raízes reais; Se o discriminante for igual à zero ( = 0) obtemos apenas uma única raiz real; Se o discriminante for menor que zero ( < 0) não haverá raízes reais. 2.2 Vértice da parábola Para determinar o valor máximo (y max ) ou mínimo (y min ) de função do segundo grau devemos lembrar que se a for positivo teremos o seu valor mínimo e se a for negativo obteremos o valor máximo. Em ambos os casos o valor de x para qual y é extremo (máximo ou mínimo) é dado por (CORDEIRO, 1982): Sendo o valor extremo de y obtido pela relação: 3. Função exponencial É dito que uma função é exponencial, quando ela é escrita como (SHIGUEKIYO, 2008): 6

7 onde a é um número constante e diferente de zero e a principal característica dessa função é que a parte variável, representada por x, se encontra no expoente Para calcular o valor da função exponencial a para um valor determinado x eleva-se a base ao expoente e multipica-se a base por ela mesma o valor do expoente considerado. Exemplo 2: Considere a função: sendo x = 5 determine o valor da função nessa condição. Nessa condição teremos: Um problema comum é que em algumas situações é conhecido o valor da função e da base, mas não é conhecido o seu expoente. Nessa situação deve-se reeescrever o valor encontrado com a base correspondente, afim de determinar o valor do expoente. Exemplo 3: Considere a igualdade: Determine o valor de x para essa condição. Sabemos que 64 é divisível por 2, tal que: Isto é, se multiplicarmos 2 por ele mesmo seis vezes teremos o número 64. Assim, teremos: O que nos permite escrever que x =

8 O logaritmo pode ser entendido como a operação inversa da exponenciação, isto é, permite conhecer o quando o quanto uma base foi elevada para produzir um determinado número (SHIGUEKIYO, 2008). Tal que se a exponenciação de a, elevado a x, resulta num valor y, da forma: então o logaritmo desse número será: informando que x é o valor do expoente da base a que fornece y. É importante dizer que a base a deve ser sempre maio que zero (a > 0) e diferente de um (a 1), para que seja possível realizar a operação. Exemplo 3: Considere o logaritmo abaixo: Qual o valor de n? Nessa condição a operação é bem simples, visto que para sabermos o valor de n precisamos saber qual deverá ser elevado 10 para fornecer n = 100 Repetindo o procedimento de igualar a base, temos que: 10 n = 10 2 O que nos fornece n = 2, logo podemos dizer que o logaritmo de 100 na base 10 é igual a Propriedades As operações com dos logaritmos requerem em algumas situações a utilização de propriedades, que sem elas não seria possível o desenvolvimento algébrico do que está sendo realizado. Nesse sentido, é importante que sejam conhecidas algumas dessas propriedades (CORDEIRO, 1982):

9 , onde c é uma base qualquer; , onde a é uma base qualquer e n é um número qualquer. 4.2 Logaritmo natural (neperiano) O logaritmo natural, também chamado de neperiano, é o logaritmo no qual sua base é um número irracional com valor aproximado igual a 2, representado pela letra e e chamado de base neper (CORDEIRO, 1982). A sua representação é realizada da seguinte forma: Exemplo 4: Determine a relação entre um logaritmo na base neper e um logaritmo na base 10. que: Para transformar a base para a base decimal faremos uso da relação tal Desenvolvendo essa relação algebricamente, temos: Onde obtemos: 5. Exercícios de fixação 1. Dada uma função afim, e conhecidos e, determine a lei de formação dessa função. 2. Seja a função quadrática em que, e. Determine a lei de formação dessa função. 9

10 3. Resolva: a) b) 4. Resolva: a) b) 5. Considere a função: determine o valor de x. 6. Referências ALEJANDRO, R. A. et al. Help! Sistema de consulta interativa Matemática. São Paulo: Klick Editora, CORDEIRO, B. M. R. Biblioteca de ciências exatas e humanas: Álgebra Matemática comercial e financeira. v. 1. São Paulo: Novo Brasil Editora Brasileira LTDA, SHIGUEKIYO, C. T. Enciclopédia do estudante: matemática I. São Paulo: Moderna, SILVA, C. X.; BARRETO FILHO, B. Matemática Aula por aula. 2 ed. São Paulo: FTD, Respostas dos exercícios de fixação a) b) 4. a) b) 5. x = 0 e x = 1/25 10