TEORIA DAS ESTRUTURAS

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1 CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TEORIA DAS ESTRUTURAS Caderno de Conteúdo e Exercícios da disciplina de Teoria das Estruturas do Curso de Engenharia Civil da Estácio de Sá, Unigran e Facsul. Professor: Eng. Civil Talles Mello eng.tallesmello@gmail.com Acadêmico: Campo Grande MS 1ª Edição

2 Solicita-se aos usuários deste trabalho a apresentação de sugestões que tenham por objetivo aperfeiçoa-lo ou que se destinem à supressão de eventuais incorreções. As observações apresentadas, mencionando a página, o parágrafo e a linha do texto a que se referem, devem conter comentários apropriados para seu entendimento ou sua justificação. A correspondência deve ser enviada diretamente ao autor, por meio do eng.tallesmello@gmail.com Ficha Catalográfica Mello, Talles. Teoria das Estruturas /Talles Teylor dos Santos Mello Campo Grande,MS, p. : il. color. (Material didático) Caderno de aula de exercícios da disciplina de Teoria das Estruturas da Estácio de Sá, Unigran e Facsul, de Campo Grande/MS. 1. Engenharia Civil composição, proporção, etc. 2. Estruturas. 3. Apostila.I. Estácio. Unigran. Facsul. Curso de Engenharia Civil.II.Título. CDD (20)

3 Sumário 1 TRELIÇAS DEFINIÇÃO MÉTODOS DOS NÓS OU MÉTODO DE CREMONA TRELIÇA: EXERCÍCIOS FLEXÃO SIMPLES PROJETO DE VIGAS FLEXÃO: EXERCÍCIOS DESLOCAMENTOS ELÁSTICOS (FLECHA) CONTRA-FLECHA MÓDULO DE ELASTICIDADE DOS MATERIAIS DESLOCAMENTO DE ACORDO O CARREGAMENTO MÉTODO DE CROSS PRINCÍPIOS DO PROCESSO MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO RIGIDEZ DAS BARRAS E COEFICIENTES DE TRANSMISSÃO BARRA BI-ENGASTADA BARRA ENGASTADA-ROTULADA CONVENÇÃO DE SINAIS COEFICIENTES DE DISTRIBUIÇÃO MÉTODO DE CROSS: EXERCÍCIOS MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS TABELAS MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: EXERCÍCIOS MÉTODO DAS FORÇAS ANEXO A ANEXO B

4 1 Treliças São estruturas constituídas por barras de eixo retilíneo, articuladas entre si em suas extremidades, formando malhas triangulares. As articulações (ou juntas) são chamadas de nós. Como as cargas externas são aplicadas somente nos nós, as barras das treliças são solicitadas apenas por forças normais. Hipóteses de Cálculo: 1) As barras que formam a treliça ligam-se por meio de articulações sem atrito. 2) As cargas e as reações são aplicadas somente nos nós da treliça. 3) O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulações nas extremidades. 4) As barras são solicitadas somente por esforço normal Definição Denomina-se treliça plana, o conjunto de elementos de construção (barras redondas, chatas, cantoneiras, I, U, etc.), interligados entre si, sob forma geométrica triangular, através de pinos, soldas, rebites, parafusos, que visam formar uma estrutura rígida, com a finalidade de resistir a esforços normais apenas. A denominação treliça plana deve-se ao fato de todos os elementos do conjunto pertencerem a um único plano. A sua utilização na prática pode ser observada em pontes, viadutos, coberturas, guindastes, torres, etc. Dois métodos de dimensionamento podem ser utilizados para as treliças: Método dos Nós ou Método de Cremona Método de Ritter ou Método das Seções (analíticos e usados com maior freqüência) 1.2. Métodos dos Nós ou Método de Cremona A resolução de treliças planas pelo método dos nós consiste em verificar o equilíbrio de cada nó da treliça, seguindo-se os passos descritos a seguir: (a) determinação das reações de apoio (b) identificação do tipo de solicitação em cada barra (barra tracionada ou barra comprimida) 4

5 (c) verificação do equilíbrio de cada nó da treliça, iniciando-se sempre os cálculos pelo nó que tenha o menor número de incógnitas Treliça: Exercícios 1) Calcule as forças nas barras da treliça. 5

6 2) Calcule as forças nas barras da treliça. 6

7 vale 0,5 tf. 3) Calcule as forças nas barras da treliça, sabendo que P1 vale 2 tf, P2 vale 4 tf e P3 7

8 4) Calcule as forças nas barras da treliça. 5) Calcule as forças nas barras da treliça, sabendo que P1 vale 2 tf e P2 vale 4 tt. 6) Calcule as forças nas barras da treliça. 7) Calcule as forças nas barras da treliça. 8

9 8) Calcule as forças nas barras da treliça, sabendo que P1 vale 2 tf e P2 vale 4 tf. 9) Calcule as forças nas barras da treliça. 10) Calcule as forças nas barras da treliça. 9

10 2. Flexão simples No estudo da flexão simples serão analisadas as tensões internas decorrentes de momentos fletores. Supondo uma viga biapoiada com um carregamento qualquer e um momento fletor Mx conhecido na seção S e isolando-se a zona à esquerda de S tem-se: Na seção transversal, x e y são eixos principais de inércia (passando pelo centro de gravidade). Supondo que a seção S, plana antes da atuação do momento Mx, continuará plana após a atuação deste momento, então a seção S antes da atuação de Mx, passará para a posição S após a atuação de Mx. Analisando uma fibra genérica f na parte inferior da viga, observa-se que o seu alongamento é proporcional à coordenada y e independe da coordenada x. Logo, as tensões normais causadas por Mx nos diversos pontos da seção S têm distribuição linear ao longo de y e independentes de x. Assim, o diagrama de tensões será: De acordo com o exposto é possível admitir uma lei de variação das tensões normais nos diversos pontos da seção. Tal lei é σ = c.y, onde c é uma constante não nula. Como as tensões normais são provocadas pelo momento Mx, o momento resultante das tensões em relação ao eixo x deve ser o próprio Mx. Logo a tensão normal será dada por:. Sendo: ã â h é çã ã 10

11 2.1. Projeto de vigas O projeto de vigas de seção constante e material homogêneo segue os seguintes passos: a) Calcular o momento fletor máximo; b) Verificar as tensões máximas de tração e compressão em função do momento; c) Comparar as tensões máximas de tração e compressão com as tensões admissíveis do material; d) Calcular as dimensões da seção transversal Flexão: exercícios 1) Sabendo-se que a tensão de ruptura do material utilizado na viga abaixo é de 500 N/cm², verifique a sua resistência à flexão. 2) Dada a estrutura abaixo, determine a carga máxima que ela suportará. A tensão admissível é de 150 MPa e I x = 5140 cm 4. 11

12 3. Deslocamentos elásticos (flecha) É o maior deslocamento vertical do plano da laje. Este valor deverá respeitar os limites prescritos pela norma NBR 6118; 3.1. Contra-flecha "Procedimento construtivo que consiste na introdução de deslocamentos verticais ascendentes em vigotas, geralmente a meio vão, através de escoramento, de forma a prevenir a formação de flechas elevadas, com deformação da laje após o término da construção. Valor da translação vertical, de sentido oposto ao da flecha, na secção de meio vão de uma viga." "É o deslocamento vertical intencional aplicado nas vigotas pré-fabricadas durante a montagem das mesmas, por meio do escoramento, contrário ao sentido da flecha." 3.2. Módulo de Elasticidade dos Materiais É uma grandeza proporcional à rigidez de um material quando este é submetido a uma tensão externa de tração ou compressão. Basicamente, é a razão entre a tensão aplicada e a deformação sofrida pelo corpo, quando o comportamento é linear, como mostra a equação E=δ/ε, em que: E= Módulo de elasticidade ou módulo de Young (Pascal) δ= Tensão aplicada (Pascal) ε= Deformação elástica longitudinal do corpo de prova (adimensional). Imaginando-se uma borracha e um metal, e aplicando-se a mesma tensão em ambos, verificaremos uma deformação elástica muito maior por parte da borracha comparada ao metal. Isto mostra que o módulo de Young do metal é mais alto que o da borracha e, portanto, é necessário aplicar uma tensão maior para que ele sofra a mesma deformação verificada na borracha, veja figura abaixo. 12

13 Tabela com os módulos de elasticidade dos materiais. Material GPa Madeira 13.0 Aço 207 Concreto 21 Aluminio 69 Diamante 1000 Cobre 124 Vidro Deslocamento de acordo o carregamento 13

14 4. Método de Cross Baseado no método dos deslocamentos Equação de equilíbrio de forças em torno dos nós O Processo de Cross ou da Distribuição de Momentos consiste em obter os esforços nas barras por equilíbrio de nó, distribuindo o momento total no nó (o aplicado mais os de engastamento perfeito das barras que concorrem no nó) de acordo com a rigidez das barras. Este processo foi proposto por Hardy Cross, em 1932, no artigo intitulado Analysis of Continuous Frames by Distribuing Fixed End Moment, publicado no Proceedings of Americal Society of Civil Engineers (Transactions). Concebidos principalmente para o cálculo de sistemas de nós fixos cujos nós estão submetidos unicamente a rotações, o método foi generalizado para os sistemas de nós deslocáveis, ou seja, que podem sofrem translações Princípios do Processo O processo desenvolvido por Cross é inspirado em um processo matemático de resolução por aproximações sucessivas dos sistemas lineares. Supõe-se, inicialmente, que os nós da estrutura estão bloqueados e não podem sofrem nenhuma rotação. Depois da aplicação das cargas, os nós são liberados sucessivamente, os quais sofrem rotação. Em seguida, o nó liberado é bloqueado antes de passar ao nó seguinte. Estas operações são repetidas até que a liberação dos nós não provoque mais rotações. Isto significa que o estado de equilíbrio foi atingido. Segundo Cross, a ideia principal do processo de resolução de estruturas hiperestáticas resume-se em simples operações aritméticas, o que não é inteiramente verdadeiro. O processo de Cross, para vigas de seção constante, depende da solução de três problemas: a determinação dos momentos de engastamento perfeito, da rigidez de cada viga e do fator de distribuição de carga de cada membro da estrutura em consideração. Sobre o Método de Distribuição de Momentos, Cross escreveu que deveria ser imaginado que todos os nós da estrutura não pudessem girar e que os momentos de engastamento perfeito nas extremidades das barras fossem calculados para esta condição. Para cada nó da estrutura, distribui-se os momentos de engastamento perfeito desequilibrados entre os membros conectados na proporção de cada rigidez. Multiplica-se o momento distribuído para cada membro para o nó pelo fator de distribuição de carga. Distribui-se somente a carga recebida. Repete-se este processo até que os momentos transportados sejam tão pequenos que possam ser negligenciados. Somam-se todos os momentos 14

15 das extremidades das barras de cada membro a fim de obter o momento verdadeiro. Para uma estrutura com um único nó a solução é exata, mas para mais de um nó, a solução é aproximada (Processo Iterativo) Momentos de Engastamento Perfeito Os momentos de engastamento perfeito já são conhecidos e podem ser encontrados em tabelas. O anexo B apresenta a expressão de alguns momentos de engastamento em função do carregamento e do tipo de vinculação das barras Rigidez das Barras e Coeficientes de Transmissão A rigidez de uma barra (k) em nó é o valor do momento aplicado nesse nó capaz de provocar um giro unitário neste nó Barra bi-engastada A rigidez da barra bi-engastada (Figura 1b) é dado por!"#, o qual equivale ao $ momento que surge no nó A devido ao giro unitário desse mesmo nó. O giro unitário do nó A produz o aparecimento de um momento no nó B de mesmo sentido da rotação em A (Figura 1b). Desta forma, o coeficiente de transmissão de um momento de um nó para outro nó engastado, supondo a barra com inércia constante, é definido como sendo a relação devido ao giro unitário na extremidade A. sendo MB e MA os momentos nas extremidades B e A da barra, (a) Viga (b) Momentos devidos ao giro unitário em A Figura 1: Viga bi-engastada Barra engastada-rotulada (a) Viga (b) Momento devido ao giro unitário em A Figura 2: Viga engastada-rotulada 15

16 4.3. Convenção de Sinais Será utilizada a convenção de Grinter. No cálculo de equilíbrio dos nós será considerado positivo o momento que atua no nó no sentido horário (mantendo a convenção de esforço positivo na extremidade da barra no sentido anti-horário). (a) No nó e na barra (b) Momentos de engastamento perfeito Figura 3: Convenção de momentos positivos 4.4. Coeficientes de Distribuição Seja o pórtico plano indeslocável mostrado na Figura 4. O único grau de liberdade da estrutura é a rotação (ϕ) do nó A. Figura 4: Pórtico plano indeslocável Devido à atuação do binário M (Figura 5a), as barras irão se deformar e os esforços internos nas extremidades das mesmas serão proporcional à rigidez das mesmas e à rotação sofrida pelo nó A (Figura 5b). Figura 5: Pórtico sujeito a um binário M No nó, estes momentos atuam com o sentido inverso pois representam os esforços das barras sobre o nó (Figura 6). Para que haja equilíbrio deve-se ter MA=0. k1 φ + k2 φ + k3 φ M = 0 ou (k1 + k2 + k3 ) φ = M ou ki φ = M Figura 6: Momentos atuando no nó A da Figura 4-5b. 16

17 Como M e ki são conhecidos, logo obtém-se o valor da rotação φ em A. Os momentos nas extremidades dos elementos são determinados por: Donde podemos concluir que um binário aplicado no nó irá se distribuir pelas barras que concorrem neste nó proporcionalmente à rigidez de cada uma das barras deste nó. Chama-se de coeficiente de distribuição (βi), da barra i, a relação Já foram introduzidos todos os conceitos necessários à utilização do processo de Cross. No caso de existirem cargas atuando ao longo das barras, os esforços de engastamento perfeito devem ser levados em conta no equilíbrio dos nós Método de Cross: Exercícios Utilize o Método de Cross para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo. Considere todos os trechos com a mesma inércia EI. Trace, também, os diagramas de esforços solicitantes. 1) 17

18 2) 18

19 3) 19

20 Utilize o Método de Cross para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo. Os trechos têm inércias, EI, distintas. Trace, também, os diagramas de esforços solicitantes. 4) 5) 20

21 6) Utilize o Método de Cross para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo. Considere todos os trechos com a mesma inércia EI. Trace, também, os diagramas de esforços solicitantes. 7) 21

22 8) 9) 22

23 10) 23

24 11) 24

25 12) 25

26 4.6. Método de Cross: Exemplo Figura 8.6 Viga contínua com duas deslocabilidades. Os coeficientes de distribuição de momento estão indicados em cada nó na Figura Os cálculos destes coeficientes para o primeiro nó são: & '( )"# * )"# +!"# *, Para o segundo nó, tem-se: 0,36 & '( & 2' & 23!"#,!"# +!"#,,!"#, )"# +!"# *, 0,50 0,64 Figura 8.12 Processo de Cross para a viga contínua da Figura 8.6 (momentos em knm). O processo mostrado na Figura 8.12 inicia no Estágio 0, que corresponde a uma situação de engastamento perfeito. Observa-se que existe desequilíbrio de: 64, ,0 = +50,0 knm No primeiro nó. O segundo nó tem um desequilíbrio de: 114,0 + 84,0 = 30,0 knm. No Estágio 1, o primeiro nó é equilibrado. No caso geral de uma estrutura com várias deslocabilidades, não existe uma ordem preferencial para equilíbrio dos nós: qualquer nó 26

27 desequilibrado pode ser o próximo a ser equilibrado. Entretanto, o processo converge mais rapidamente se em cada estágio o nó que tiver o maior desequilíbrio em módulo naquele instante for o nó a ser equilibrado.. O equilíbrio do primeiro nó resulta nas seguintes parcelas equilibrantes: (+50,0) 0,36 = 18,0 knm; (+50,0) 0,64 = 32,0 knm. Conforme está mostrado na Figura 8.12, após o equilíbrio do nó as parcelas equilibrantes são sublinhadas para indicar que os momentos fletores acima naquele nó estão em equilíbrio (somados dão um valor nulo). O equilíbrio desse nó não transmite momento fletor para a esquerda pois a extremidade oposta da barra à esquerda é articulada. A parcela transmitida para a direita é igual à metade da parcela equilibrante (t = 1/2): 32,0 1/2 = 16,0 knm. Esta parcela transmitida vai se somar ao momento fletor na seção à esquerda do segundo nó. Como este nó ainda não foi equilibrado, o seu desequilíbrio total agora é: 114,0 + 84,0 16,0 = 46,0 knm. No Estágio 2, o equilíbrio do segundo nó resulta em parcelas equilibrantes iguais (as parcelas aparecem sublinhadas na Figura 8.12): ( 46,0) 0,50 = +23,0 knm. As parcelas transmitidas nesse equilíbrio são iguais também: +23,0 1/2 = +11,5 knm. A parcela transmitida para a direita vai para a seção do engaste. A única consequência é que esta parcela se soma ao momento fletor inicial na seção do engaste (que absorve qualquer valor de momento fletor). A parcela transmitida para a esquerda, por sua vez, desequilibra o primeiro nó já equilibrado. Não tem problema: é só começar um novo ciclo de equilíbrio nodal, iterando até convergir. O desequilíbrio de +11,5 knm no primeiro nó é equilibrado no Estágio 3. As parcelas equilibrantes são: (+11,5) 0,36 = 4,1 knm; (+11,5) 0,64 = 7,4 knm. Estes valores foram aproximados de tal maneira que, utilizando uma casa decimal, resultasse em uma soma exatamente igual a 11,5 knm, dessa forma forçando o equilíbrio de momentos fletores dentro da precisão desejada. Observa-se que um procedimento semelhante é feito no Estágio 4, que equilibra a parcela transmitida de 3,7 knm. Os valores das parcelas equilibrantes de +1,9 knm e +1,8 knm foram obtidos de maneira a somar exatamente +3,7 knm, mesmo que em princípio eles devessem ser 27

28 iguais (os dois coeficientes de distribuição de momento no nó são iguais a 0,50). Com esse procedimento, os momentos fletores finais do processo vão satisfazer o equilíbrio com o número de casas decimais especificados para precisão. No Estágio 4 as parcelas transmitidas para a esquerda e para a direita são iguais (+0,9 knm). Como se está utilizando apenas uma casa decimal para representar os valores de momentos, o arredondamento da metade de +1,9 knm poderia ter sido para cima ou para baixo. Optou-se por arredondar para baixo pois isso vai fazer o processo iterativo convergir mais rapidamente. Observe que as diferenças de valores são muito pequenas (da ordem da precisão especificada). No último estágio (Estágio 6) ocorre o mesmo que no Estágio 4. As parcelas equilibrantes de +0,1 knm e +0,2 knm não são iguais, mas equilibram o momento desequilibrante de 0,3 knm com uma casa decimal. Neste estágio, a parcela transmitida para a esquerda (metade de +0,1 knm) foi arredondada para um valor nulo. Dessa forma o primeiro nó permaneceu em equilíbrio e o processo termina. Deve-se observar que as parcelas transmitidas sempre decrescem em módulo, o que garante a convergência do processo iterativo. Isso se deve a dois motivos. Primeiro, as parcelas equilibrantes decrescem em módulo em relação ao momento desequilibrante em cada nó pois os coeficientes de distribuição de momento são no máximo iguais a uma unidade (em geral, menores do que uma unidade). Segundo, porque os coeficientes de transmissão de momento também são menores do que uma unidade. Os valores dos momentos finais nas extremidades de todas as barras, mostrados no final da tabela da Figura 8.12, são determinados com base no acúmulo (soma com sinal) dos momentos fletores de todos os estágios do processo. O diagrama de momentos fletores na viga contínua é mostrado na Figura 8.13 desenhado do lado da fibra tracionada. Figura 8.13 Diagrama de momentos fletores da viga contínua da Figura

29 5. Método dos Deslocamentos Neste método determinam-se inicialmente os deslocamentos e indiretamente, a partir destes, os esforços; as incógnitas são os deslocamentos. O método pode ser usado para analisar qualquer estrutura, isostática ou hiperestática. A única estrutura que não pode ser resolvida por este método é a viga bi-engastada. No caso de estruturas reticuladas, que são formadas por barras ligadas por pontos nodais denominados nós, o número de incógnitas será o número de deslocamentos nodais ou o número total de graus de liberdade (GL) de todos os nós da estrutura. Define-se grau de liberdade de um nó a direção possível deste se deslocar. No caso de estruturas planas, no plano XY (Figura 1a), existem três direções possíveis de deslocamento para cada nó: translação paralela ao eixo X; translação paralela ao eixo Y e rotação em torno do eixo Z (Figura 1b). Em uma extremidade livre, assim como numa extremidade ligada a um vínculo, também existe um nó. (a) Sistema de referência (b) Direções possíveis de deslocamento Figura 1: Sistema de referência e direções possíveis de deslocamento No caso de vigas, não serão considerados deslocamentos axiais, portanto cada nó terá apenas 2GL: translação paralela ao eixo Y (1) e rotação em torno do eixo Z (2) (Figura 2). Figura 2: Graus de liberdade de uma viga Quando existirem forças horizontais aplicadas nas vigas, estas serão modeladas como pórtico plano. O método consiste em inicialmente fixar a estrutura, introduzindo-se vínculos fictícios, tornando a estrutura cinematicamente determinada, com grau de hiperestaticidade maior do que a estrutura real, porém, mais fácil de se resolver. Consideram-se as cargas aplicadas nas barras e calculam-se os esforços causados pelas cargas para a estrutura fixa (sistema principal). Impõem-se em seguida os deslocamentos nos nós e calculam-se os esforços decorrentes destes na estrutura. Por superposição de efeitos calculam-se os esforços totais que devem estar 29

30 em equilíbrio com as forças externas aplicadas nos nós. Chega-se a um sistema de equações de equilíbrio de forças em torno dos nós da estrutura. Para estruturas reticuladas, o único sistema principal possível é obtido pela fixação de todos os nós. É por isto que este método é mais conveniente para utilização em programas computacionais de que o Método das Forças. Exemplo - Viga engastada-apoiada Seja a viga engastada-apoiada de rigidez à flexão EI mostrada na Figura 4a. Esta viga apresenta apenas um grau de liberdade, a rotação em B (θb) (Figura 4b). As vigas de maneira geral apresentam 2 graus de liberdade por nó. (a) Viga engastada-apoiada (b) Deformada da viga engastada-apoiada Figura 4: Viga engastada-apoiada e sua deformada Primeiramente fixa-se a estrutura e calculam-se os esforços de engastamento perfeito. Calcula-se, para a estrutura fixa, o esforço (momento) que surge na barra na direção do GL devido ao carregamento externo (Figura 5). Figura 5: Esforços devidos ao carregamento externo Em seguida, impõe-se o deslocamento θb no nó e calculam-se os esforços correspondentes. Como na verdade a estrutura não é fixa, o nó B sofre um deslocamento θb. Impõe-se este deslocamento no nó e calcula-se o esforço correspondente na barra, na direção do GL (Figura 6). Este esforço será proporcional ao deslocamento imposto (θb), proporcionalidade está dada pelo coeficiente de rigidez da barra (4EI /l). Figura 6: Esforço devido ao deslocamento θb imposto 30

31 Finalmente efetua-se o equilíbrio de forças em torno do nó B. Por superposição de efeitos calcula-se o esforço total na extremidade da barra e iguala-se à força (momento) aplicada no nó Resolvendo-se esta equação, cuja incógnita é θb, obtém-se: De uma maneira geral, pode-se escrever a equação de equilíbrio de forças: Sendo FEP o esforço de engastamento perfeito; S o coeficiente de rigidez; d o deslocamento e A a ação (força ou binário) aplicada no nó. Para sistematizar o Método dos Deslocamentos, ao invés de se impor os deslocamentos reais, impõem-se deslocamentos unitários na direção dos GL. Para d1 = 1 tem-se (Figura 7). Logo, para d1 = θb tem-se ou MB =S11.θB = S11.d1, onde S11 representa o esforço na barra na direção 1 causado por um deslocamento unitário na direção 1. Figura 7: Esforço na barra causado por um deslocamento unitário De uma maneira geral, tem-se para um grau de liberdade a seguinte equação de equilíbrio de forças na direção 1: Para muitos graus de liberdade encontra-se um sistema de equações de equilíbrio de forças: Onde {FEP} é o vetor de esforços de engastamento perfeito; [S] é a matriz de rigidez da estrutura; {D} é o vetor de deslocamentos nodais e {A} é o vetor de ações nodais. Cada coeficiente Sij da matriz de rigidez (onde: i = efeito, j = causa), representa o esforço na barra na direção ou GL i, causado por um deslocamento unitário na direção ou grau de liberdade j. -1 Δ1 β11 β12 β10 =. Δ2 β21 β22 β20 31

32 5.1. Tabelas 32

33 33

34 5.2. Método dos deslocamentos: Exercícios 1. Utilize o Método dos deslocamentos para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo. Considere todos os trechos com a mesma inércia EI. Trace, também, os diagramas de esforços solicitantes. a) b) 34

35 c) a) 2. Utilize o Método dos deslocamentos e o método de Cross para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo. Os trechos têm inércias, EI, distintas. Trace, também, os diagramas de esforços solicitantes. 35

36 b) c) 36

37 3. Utilize o Método dos deslocamentos e o método de Cross para encontrar as reações de apoio das vigas abaixo. Considere todos os trechos com a mesma inércia EI. Trace, também, os diagramas de esforços solicitantes. a) b) 37

38 c) d) 38

39 e) f) 39

40 6. Método das Forças A metodologia utilizada pelo Método das Forças para analisar uma estrutura hiperestática é somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio, mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original, para a superposição restabelecer as condições de compatibilidade. Cada solução básica (chamada de caso básico) não satisfaz isoladamente todas as condições de compatibilidade da estrutura original, as quais ficam reestabelecidas quando se superpõem todos os casos básicos. A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral, uma estrutura isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original pela eliminação de vínculos. Essa estrutura isostática é chamada Sistema Principal (SP). As forças ou os momentos associados aos vínculos liberados são as incógnitas do problema e são denominados hiperestáticos. 6a) O Método das Forças propriamente Seja a estrutura abaixo, 3 (três) vezes hiperestática que desejamos resolver: 6a2) Forma Principal 6a3) Aplicando o Princípio da Superposição de Efeitos 6a4) Equações de Compatibilidade O giro em A deve ser nulo, pois temos um vínculo perfeito de terceira espécie (engaste) O giro em B deve ser nulo, pois temos um vínculo perfeito de terceira espécie (engaste) O deslocamento horizontal em B deve ser nulo, pois temos um vínculo perfeito de terceira espécie (engaste) 40

41 Assim possuímos um sistema de 3 (três) equações e com 3(três) incógnitas, que pode ser resolvido por qualquer processo. Os deslocamentos são os deslocamentos em uma estrutura isostática onde: Reescrevendo o sistema de equações de forma matricial teremos: Matriz de Flexibilidade Vetor de Termos Independentes Vetor de incógnitas 3a5) Cálculo das solicitações finais que podem ser obtidas pelo Princípio da Superposição de Efeitos. 41

42 Anexo A 42

43 Anexo B 43