A, B, C, D, E, F, G A, B, D, E, F, G A, B, C, D, E, G A, B, C, E, F, G. Capitulo 3 A, B, C, D. Curvas e Superfícies 2014 IC / UFF

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "A, B, C, D, E, F, G A, B, D, E, F, G A, B, C, D, E, G A, B, C, E, F, G. Capitulo 3 A, B, C, D. Curvas e Superfícies 2014 IC / UFF"

Orlando Nicholas Alcaide Porto
5 Há anos
Visualizações:

1 Capitulo 3 A, B, C, D, E, F, G A, B, D, E, F, G A, B, C, D, E, G A, B, C, E, F, G A, B, C, D Curvas e Superfícies 2014 IC / UFF

Onde se usa: Qualquer representação de curvas Os contornos dos caracteres (pictogramas) em fontes TrueType são feitas de segmentos de retas e curvas Bézier quadrática.

2 Onde se usa: Qualquer representação de curvas Os contornos dos caracteres (pictogramas) em fontes TrueType são feitas de segmentos de retas e curvas Bézier quadrática. Um segmento de curva quadrática de Bézier é definido por 2 pontos extremos e 1 de controle. O circulo ao lado é formado por 8 segmentos. Os quadrados são os pontos de extremidade e os anéis os de controle.

3 Elementos 1D Comprimento Distancia ao inicio define a posição na curva Mas ela pode ser 2D e 3D

$Curvas Formas de representação: Procedural ( exemplo curvas fractais ) Conjunto de pontos$

4 Curvas Formas de representação: Procedural ( exemplo curvas fractais ) Conjunto de pontos (digitalizadores: x i, y i ) Analítica: Explicita : y = f(x) Implícita : x+y=0 Paramétrica : x= f(t), y = f(t)

6 Também podem ser

13 Exemplo circunferência representações paramétricas

14 Exemplo circunferência representações não paramétricas

15 E essas?

17 Outros exemplos: Lemniniscata de Bernoulli => símbolo infinito Quarto grau!

20 Peculiaridades das curvas em CG

21 Peculiaridades das curvas em CG

24 Reta na forma paramétrica

25 Parametrizando polinômios

26 Peculiaridades das curvas em CG

28 Propriedades desejáveis de curvas para modelagem em CG Independência dos eixos usados

29 Propriedades desejáveis de curvas para modelagem em CG Deve poder ter Pontos com coordenadas múltiplas

30 Propriedades desejáveis de curvas Deve ter uso intuitivo e poder ter Controle local: para modelagem em CG i.e. em ajuste finos: alterar um trecho não altera toda a curva

31 Propriedades desejáveis de curvas O numero de pontos de para modelagem em CG Controle local não deve estar associado ao grau da curva ou sua oscilação

32 Propriedades desejáveis de curvas Ser possível representar diversos graus de continuidades que o usuário desejar para modelagem em CG

33 Propriedades desejáveis de curvas para modelagem em CG Ser possível representar curvas abertas, fechadas, com pontos de inflexão, etc. : ter a versatilidade que o usuário desejar

34 Propriedades desejáveis de curvas para modelagem em CG ter pontos com distâncias constantes ao longo do seu comprimento: parâmetro uniformemente distribuídos.

35 Solução em CG Curvas de formas livres Representadas por uniões Descritas por polinômios Parametrizadas Até grau 3 Com continuidade paramétrica

36 Porque polinômios até terceiro grau?

37 9 parâmetros para cada curva

38 Em 3D

40 Em 3D 12 parâmetros para cada curva

41 De forma genérica

42 continuidade paramétrica e geometrica Foley at al p

43 Com continuidade paramétrica

44 Requisitos para os parâmetros: Com continuidade paramétrica

45 Continuidade geométrica x paramétrica

46 parametricas

47 Curva de Bezier

49 Forma geral:

50 Bezier cúbica:

51 Polinômios cúbicos de

52 A soma dos resulta:

54 Cont.

55 Demonstrando essas propriedades para uma Bezier cúbica:

56 A ordem e posição dos pontos controla a curva!

57 Fecho convexo Convex hull

59 Representação matricial :

61 Outras formas de Bezier

62 Outras formas de Bezier

63 Outras formas de Bezier

65 Algoritmo geométrico

69 Outras formas de Bezier

70 Cont.

73 Curvas de Hermite

75 Curvas de Hermite

76 Mesmos pontos iniciais e finais, apenas alterando a direção da tangente

77 Mesmos pontos iniciais e finais, apenas alterando a intensidade da tangente

79 Forma matricial

80 Funções de mistura

83 Funções de mistura de Hermite

85 Curvas Splines

86 Splines

87 Spline é uma curva polinomial definida por partes Com maior suavidade que as anteriores (tem curvatura continuas) e são conectadas formando curvas mais complexas (knots).

88 Spline física

89 Metal flexível com continuidade de curvatura: C 2 Pesos que dão forma = ducks

90 Exemplo de como são usadas

92 B-spline ou basis spline Cardinal B-splines têm knots que são eqüidistantes uns dos outros. Cúbicas tem m+1 pontos de controle onde, m 3

93 Nos + pontos de controle

96 A curva inteira B-spline é considerada composta por segmentos de curvas spline

98 Nós:

99 1/6

100 Funções de mistura

101

102 Unido 3 curvas B-Splines

103 Exemplo de controle local: Alterando o penúltimo ponto, não se altera o trecho inicial e só parte do trecho intermediário

104 Ao ser controlada por 4 pontos, só se aproxima dos 2 centrais

105 Para criar uma curva spline fechada: Apenas se repete no final das seqüência dos pontos de controle da curva os 3 pontos iniciais P 0, P 1, P 2, P P m, P 0, P 1, P 2

106 Spline com pontos controle coincidentes seguidos => Ela acaba por passar pelo ponto

107 Spline com pontos controle coincidentes seguidos => Ela acaba perde nivel de continuidade

108 Spline : efeito das multiplicidades dos pontos de controle ou coincidencias dos mesmos nas funções de base

109 Propriedades

110

111 Spline => propriedades

112 Spline com pontos controle coincidentes seguidos => perda nivel de continuidade

113 Spline com pontos controle coincidentes seguidos

114 Spline com pontos controle coincidentes seguidos

115

116

117 Spline controlada por 4 pontos

118 Funções de mistura

119 NURBS

120

121

122 Curvas racionais

123 Trabalho 12: Implente em qualquer linguagem a geração de segmentos de curvas que sejam controladas por 4 pontos dados (uma spline 2D). Isso é implemente a equação:

124 Usuário fornece os pontos X[i],Y[i] e:

125

126 B-Splines

127 Interpolação por Splines Cubicas Veja seção 11.5 De Algebra Linear com Aplicações A. Anton e C. Rorres, Bookman, 2001

128 Superfícies

129 Formas de geração:

130 Revolução

131

132 Por equações tri-dimensionais :

133 Superfícies Por equações tri-dimensionais : representações não paramétricas

134 exemplos Representações paramétricas

135 Por equações tri-dimensionais : Representações não paramétricas, implicita

136 Por equações tri-dimensionais : Quádricas

137 Geradas por interpolação

138

139 Lofting

140

141

142 Patches

143

144 Superfície de Bezier

145

146

147

148

149

150

151 Superfície B-Splines

152 T-spline surface Superfcie que pode ser considerada como uma NURBS na qual uma seguencia de pontos de controle determina a superficies, que lembra a letra "T". Ess tipo de superficies facilita a fusão de pedaços.

153

154 Bibliografia Abel Gomes, Irina Voiculescu, Joaquim Jorge, Brian Wyvill, Callum Galbraith Implicit Curves and Surfaces: Mathematics, Data Structures and Algorithms, Springer, 2009 Computer Graphics: Principles and Practice, Foley,van Dam, Feiner and Hughes; Capítulo 11 3D Computer Graphics, A. Watt, Capítulo 6

Documentos relacionados

aula7 Curvas Splines 2016/2 IC / UFF Spline física

aula7 Curvas Splines 2016/2 IC / UFF Spline física Curvas Splines Com maior suavidade que as anteriores (tem curvatura continuas) e são conectadas formando curvas mais complexas. Spline é uma curva polinomial