Sistemas de numeração: Decimal, Binário, Octal e Hexadecimal

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1 Sistemas de numeração: Decimal, Binário, Octal e Hexadecimal Pedro Pinto 03 Jan 2013 Na semana passada um leitor lançou-me o desafio para escrever uns artigos sobre os sistema de representação numérica (sistemas de numeração). Nos sistemas digitais/computação é frequente recorrer-se a diferentes sistemas de numeração para proceder à representação da informação digital. O sistema de numeração decimal (ou na base 10), que usa dez algarismos é sem duvida o sistema mais utilizado por seres humanos e o sistema binário é o mais frequente no mundo da computação, apenas são utilizados os valores 0 e 1 (pois facilita a representação de tensões), no entanto, existem outros como o sistema de numeração Octal, Hexadecimal, entre outros. Para iniciar esta rubrica, hoje vamos conhecer as principais diferenças entre os sistemas de numeração Decimal, Binário, Octal e Hexadecimal. A conversão entre sistemas numéricos é realizada com base em regras. A quantidade de algarismos disponíveis num sistema de numeração designa-

2 se de base, sendo que a representação numérica mais utilizada é a notação posicional (valor atribuído a um símbolo dependente da posição em que este se encontra, num conjunto de símbolos). Alguns sistemas de numeração Decimal (base 10) Binário (base 2) Octal (base 8) Hexadecimal (base 16) Sistemas Decimal Tal como referido, o sistema Decimal é o sistema mais utilizado pelos seres humanos, normalmente para indicar quantidades, e é constituído por dez algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. No sistema decimal cada algarismo tem um valor posicional, ou seja, cada algarismo tem um peso de acordo com a sua posição na representação do valor.

3 Sistema Binário O sistema binário é o sistema mais utilizado por máquinas, uma vez que os sistemas digitais trabalham internamente com dois estados (ligado/desligado, verdadeiro/falso, aberto/fechado). O sistema binário utiliza os símbolos: 0, 1, sendo cada símbolo designado por bit (binary digit). Sistema Octal O sistema octal é um sistema de numeração de base 8, ou seja, recorre a 8 símbolos (0,1,2,3,4,5,6,7) para a representação de um determinado valor. O sistema octal foi muito utilizado no mundo da computação, como uma alternativa mais compacta do sistema binário, na programação em linguagem de máquina. Actualmente, o sistema hexadecimal é um dos mais utilizado como alternativa viável ao sistema binário. Sistema Hexadecimal

4 Sistema de numeração muito utilizado na programação de microprocessadores, especialmente nos equipamentos de estudo e sistemas de desenvolvimento. Utiliza os símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 do sistema decimal e as letras A,B,C,D,E,F. Equivalências:A=10,B=11,C=12,D=13,E=14eF=15. Tabela de conversão de bases

5 Num próximo artigo iremos ensinar a proceder à conversão entre sistemas de numeração. Desde já convidamos os leitores que estejam interessados em colaborar com esta rubrica, que enviem um para o nosso endereço geral.

6 Conversão Decimal para Binário, Octal e Hexadecimal Pedro Pinto 13 Jan 2013 Na semana passada um leitor lançou-me o desafio para escrever uns artigos sobre os sistema de representação numérica (sistemas de numeração). Nos sistemas digitais/computação é frequente recorrer-se a diferentes sistemas de numeração para proceder à representação da informação digital. O sistema de numeração decimal (ou na base 10), que usa dez algarismos é sem duvida o sistema mais utilizado por seres humanos e o sistema binário é o mais frequente no mundo da computação, apenas são utilizados os valores 0 e 1 (pois facilita a representação de tensões), no entanto, existem outros como o sistema de numeração Octal, Hexadecimal, entre outros. Depois da apresentação dos sistemas de numeração Decimal, Binário, Octal e Hexadecimal hoje vamos aprender como converter de Decimal para os outros sistemas de numeração.

7 Conversão Decimal > Binário A conversão de decimal para binário (ou seja da base 10 para a base 2), consiste em dividir progressivamente o valor decimal por 2, obtendo-se um resultado e um resto. De referir que o resultado em cada iteração terá sempre o valor de 0 ou 1. Deve-se dividir o número até que o quociente da divisão seja igual a 0 (zero). Depois de finalizado o calculo, basta agrupar todos os valores (ou seja, os restos de cada iteração) de baixo para cima. Resultado: 22 (10) > (2) Outra forma desta conversão (mais prática) é usando informação da tabela CIDR e atribuindo pesos às potencias de 2. Exemplo para valores até 255. Conversão Decimal > Octal

8 A conversão de decimal para octal (ou seja da base 10 para a base 8), consiste em dividir progressivamente o valor decimal por 8, obtendo-se um resultado e um resto. De referir que o resultado em cada iteração terá sempre um valor menor que 7. Tal como no exemplo anterior, depois de finalizado o calculo, basta agrupar todos os valores (ou seja, os restos de cada iteração) no sentido ascendente. Resultado: 407 (10) > 627 (8) Conversão Decimal > Hexadecimal A conversão de decimal para hexadecimal(ou seja da base 10 para a base 16), consiste em dividir progressivamente o valor decimal por 16, obtendose um resultado e um resto. Não esquecer que o sistema hexadecimal utiliza os símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 do sistema decimal e as letras A,B,C,D,E,F. (Equivalências:A=10,B=11,C=12,D=13,E=14eF=15) O resultado da conversão deverá ser também obtido, reunindo o valor dos

9 restos, no sentido ascendente. Resultado: (10) > CF80 (16) Num próximo artigo iremos ensinar a proceder à conversão de octal, binário e hexadecimal para decimal numeração. Espero que tenham gostado desta explicação e apenas deixar um obrigado para o Leandro Costa, que disponibilizou publicamente uma apresentação no slideshare e de onde foram aproveitados alguns esquemas. Desde já convidamos os leitores que estejam interessados em colaborar com esta rubrica, que enviem um para o nosso endereço geral.

10 Conversão de Binário, Octal e Hexadecimal para Decimal Pedro Pinto 27 Jan 2013 Por Guilherme Lawless para o Pplware Em tempos um leitor lançou-me o desafio para escrever uns artigos sobre os sistema de representação numérica (sistemas de numeração). Nos sistemas digitais/computação é frequente recorrer-se a diferentes sistemas de numeração para proceder à representação da informação digital. O sistema de numeração decimal (ou na base 10), que usa dez algarismos é sem duvida o sistema mais utilizado por seres humanos e o sistema binário é o mais frequente no mundo da computação, apenas são utilizados os valores 0 e 1 (pois facilita a representação de tensões), no entanto, existem outros como o sistema de numeração Octal, Hexadecimal, entre outros. Depois da apresentação dos sistemas de numeração Decimal, Binário, Octal e Hexadecimal, e de já termos ensinado a converter de Decimal para Binário, Octal e Hexadecimal hoje vamos aprender a fazer o inverso, ou seja, de Binário, Octal e Hexadecimal para Decimal.

11 Binário para Decimal A conversão do sistema binário para decimal é bastante simples, e baseiase na aplicação da seguinte fórmula: Em que: b i é o algarismo em binário na posição i, sendo a posição 0 à esquerda da vírgula Com um exemplo, torna-se ainda mais claro a sua utilização. Tome-se então o número não inteiro Basta então seguir os seguintes passos: 1) Começar na primeira posição à esquerda da vírgula. 2) Indo para a esquerda, multiplicar cada algarismo por 2i sendo i a

12 sua posição em relação à posição 0 3) Caso o número seja inteiro, passar para o passo 4. Neste passo, segue-se a lógica do passo 2, mas para a direita da vírgula. A posição imediatamente à direita é 1 4) Finalmente, por aplicação da fórmula, obtém-se o mesmo nº em representação decimal a partir da soma de todas as parcelas calculadas: A aplicação desta fórmula é intuitiva e faz sentido, pois como já aprendemos anteriormente, cada algarismo em binário tem um valor correspondente na representação decimal. Exemplo

13 Octal para Decimal A conversão do sistema octal para o sistema decimal é em tudo semelhante à conversão de binário para decimal, com exceção do valor 2 na fórmula, que passa a 8. Exemplo Como já foi aplicado um método muito parecido, vou deixar o desafio ao leitor de tentar converter os seguintes números: Nota: A conversão octal=>decimal pode ser transformada numa conversão binário=>decimal. Para tal, é necessário converter individualmente cada algarismo em octal para binário. Segue um exemplo, para o número (27.5) 8

14 Obtém-se então, em representação binária, Agora basta apenas aplicar o método da conversão binário=>decimal. Hexadecimal para Decimal Como seria de esperar, também nesta conversão verifica-se uma parecença com as anteriores. A fórmula a aplicar será: O método a aplicar é também semelhante aos anteriores, bastando somar as várias parcelas, constituídas pela multiplicação de cada algarismo na posição i (em relação à posição 0, que é à esquerda da vírgula) por 16 i No entanto, é também possível transformar esta conversão numa conversão octal=>decimal ou ainda numa binário=>decimal, consistindo apenas na conversão de cada algarismo hexadecimal no correspondente do sistema de representação pretendido. Exemplo

15 A conversão de hexadecimal foi explicada aqui E segue a seguinte tabela: Em Resumo Conversão Binário > Decimal Multiplicar o algarismo do número binário pela base elevada ao expoente da sua posição no número Conversão Octal > Decimal Multiplicar o algarismo do número octal pela base elevada ao expoente da sua posição no número Conversão Hexadecimal > Decimal Multiplicar o algarismo do número hexadecimal pela base elevada ao expoente da sua posição no número