Aritmética Binária. Adição. Subtração. Aqui tudo nasce do cálculo.

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1 Aritmética Binária Aqui tudo nasce do cálculo. Todo o hardware computacional está sustentado sobre cálculos de adição e subtração de elementos binários (bits), portanto o estudo da aritmética binária é essencial para a compreensão do funcionamento do computador. As operações efetivamente utilizadas em hardware são a soma e a subtração de binários. Adição Destas regras, a que exige um pouco mais de atenção é aquela que necessita do vai-1, que é calculado como na operação decimal que estamos acostumados. No sistema decimal sabemos que o vai-1 ocorre quando a soma ultrapassa a representação de um dígito (9) e o símbolo vai para a próxima casa. No caso binário é o mesmo procedimento, quando o valor ultrapassa a 1, necessitando outra casa, o símbolo vai para a próxima casa, sendo utilizado no cálculo que ocorre a sua esquerda. Veja os exemplos a seguir. Exemplos: Exercícios: a) b) c) d) e) f) g) h) Subtração Como na subtração que usamos diariamente, quando um valor menor é subtraído de um maior, há o empréstimo de valor do símbolo à esquerda, permitindo a subtração. No caso binário, temos a regra 0-1=1, que necessita pedir emprestado à casa da esquerda para poder concluir a subtração. Para exemplificação, veja a seguir. Prof. Daniel Nehme Müller Aritmética Binária 1/5

2 Exemplos: Exercícios: a) b) c) d) e) f) g) h) Aritmética Complementar Até o momento foi trabalhado apenas números positivos, mas, como representar valores negativos? Para tanto, necessitamos de uma forma transformada de binário para que consigamos apresentar os valores negativos. Esta forma chama-se complemento de 2. A grande vantagem do complemento de 2 é o fato de realizarmos apenas a operação de adição para cálculo. Isso porque é realizado o cálculo com o valor negativo, e soma de um valor positivo com um negativo significa subtração. Para a obtenção do valor negativo, são necessárias duas operações: 1. Invertem-se os valores, o que é 0 torna-se 1 e o que é 1 torna-se Soma-se 1 ao valor invertido Exemplo: Seja o valor Primeiro, devemos invertê-lo, ou seja: Depois, somamos 1 a este valor invertido: ou seja, o valor negativo de 1001 é = 0111 Comparando uma subtração normal: = 0011 com a mesma, mas utilizando o complemento de 2: = (despreza-se o primeiro "1") ao que chegamos no mesmo resultado positivo. Exercício: converta os valores para binário usando complemento de 2 e efetue. a) 7-2 = 5 Prof. Daniel Nehme Müller Aritmética Binária 2/5

3 b) 9-3 = 6 c) 4-1 = 3 d) 8-4 = 4 e) 6-5 = 1 f) 5-2 = 3 Observe que sempre os números maiores estão sendo subtraídos dos menores. Se realizássemos a operação inversa, obteríamos um valor negativo. Como sabemos, o complemento de 2 é um valor negativo, então, o resultado deve estar representado em complemento de 2. Mas aí surge um problema: como saber se o valor está ou não em complemento de 2? Como assim? Observe o exemplo: 3-7 = -4 3 = (0011) 2-7 = (1001) = 1100 O resultado da operação é o valor binário Mas como saber se este é o valor 12 em binário ou é -4 (com complemento de 2)? O que falta para indicarmos o valor correto? Necessitamos, então, realizar a inserção de um bit indicador de sinal para sabermos se um valor é ou não negativo, se está ou não em complemento de 2. Desta forma, adiciona-se um bit a cada valor, indicando se ele é positivo ou negativo. Convenciona-se que 0 (zero) indica que o valor é positivo e 1 (um) indica que o valor é negativo. Desta forma, o cálculo anterior ficaria assim representado: +3 = (011) 2-7 = (1 1001) = ==> -4 em complemento de 2! E se ambos os valores são negativos? -3-7 = = (1 1101) 2-7 = (1 1001) = ==> -10 em complemento de 2 (despreza-se o primeiro 1 do resultado, o segundo 1 em negrito, indica o sinal, e o restante do valor é o número em complemento de 2) Prof. Daniel Nehme Müller Aritmética Binária 3/5

4 Exercício: converta para binário, coloque o bit de sinal 0 se o valor for positivo e 1 se for negativo (representado em complemento de 2), e efetue. a) (+7) + (-3) = +4 b) (-8) + (+2) = -6 c) (-3) + (-5) = -8 d) (-6) - (-4) = -2 Multiplicação Regras: 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 Da mesma forma da multiplicação que estamos acostumados, tudo que é multiplicado por zero resulta em zero. Quando temos mais de uma coluna de dígitos, procedemos como na multiplicação normal. A grande facilidade está no fato de repetirmos o valor ou zerarmos. Veja o seguinte exemplo: Observe que multiplicamos o primeiro valor (1001) por cada um dos dígitos do valor seguinte (1011), a partir do primeiro dígito à direita. Assim temos 1001 x 1 = 1001, depois deslocamos uma casa à direita e fazemos 1001 x 1 = 1001, mais uma casa à direita e 1001 x 0 = 0000, e finalmente 1001 x 1 = Por fim somamos os deslocamentos, obtendo Exercício: converta para binário e efetue. a) 10 x 5 b) 16 x 2 c) 7 x 8 d) 25 x 4 Prof. Daniel Nehme Müller Aritmética Binária 4/5

5 Divisão Regras: 0 0 = impossível 0 1 = = impossível 1 1 = 1 Na divisão devemos tomar cuidado para não dividir por zero. Ao fazer divisões com mais de um dígito devemos prosseguir até processarmos todos os dígitos do dividendo e obtermos resto zero. Veja o exemplo: De forma mais simples que o procedimento que estamos habituados em decimal, os valores do divisor são multiplicados apenas por zero ou um. Assim, nosso divisor sendo 11, temos apenas duas hipóteses: 11 x 1 = 11 e ainda 11 x 0 = 0. E são exatamente essas duas expressões utilizadas no exemplo. Primeiro fazemos = 1 e logo em seguida 0 11 = 00 por duas vezes, obtendo um quociente 100. Portanto, = 100. Exercício: converta para binário e efetue. a) 14 2 b) 15 5 c) 32 4 d) 21 7 Prof. Daniel Nehme Müller Aritmética Binária 5/5