Curso de Licenciatura em Engenharia Informática. Curso de Licenciatura em Informática de Gestão

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1 Curso de Licenciatura em Engenharia Informática Curso de Licenciatura em Informática de Gestão Sistemas Digitais Bibliografia de referência para a elaboração do texto de apoio Sistemas Digitais, A. Padilla, McGraw-Hill, 1993; Sistemas Digitais Princípios e Prática, M. Dias, FCA, 2012; Digital Fundamentals, Prentice Hall, T. Floyd, 2006; Octávio Dias Sistemas Digitais/1

2 1 Introdução Grandeza física Grandeza física é tudo o que pode ser medido e expresso por intermédio de um número e uma unidade de medida. A grandeza física permite caracterizar avaliar em termos qualitativos e quantitativos a evolução de um dado fenómeno físico, ou seja, estudar uma dada ocorrência física observável relativa à matéria, energia ou espaço-tempo. São exemplos de grandezas físicas: a temperatura; a massa; a força; a velocidade; a aceleração Octávio Dias Sistemas Digitais/2

3 1 Introdução Sinal eléctrico Em muitas situações uma grandeza é avaliada por intermédio de sinais eléctricos. Assim, o sinal eléctrico, sendo ele próprio uma grandeza física, representa a variação de outra grandeza física. Deste modo pode definir-se sinal eléctrico como a variação de uma tensão ou corrente eléctrica, gerada por um sistema de medida adequado à avaliação da gradeza física em estudo. v(t) i a (t) t Octávio Dias Sistemas Digitais/3

4 1 Introdução Grandezas analógicas Na natureza as grandezas são analógicas, ou seja variam de uma forma contínua no tempo e na amplitude. Por conseguinte, uma grandeza analógica pode tomar um número infinito de valores. A temperatura do ar constitui um exemplo de uma grandeza analógica. Gráfico de uma grandeza analógica contínua (Fonte: Digital Fundamentals, T. Floyd, 2006) Octávio Dias Sistemas Digitais/4

5 1 Introdução Grandezas analógicas No caso da grandeza analógica ser avaliada (amostrada) em intervalos de tempo regulares (ou não), a grandeza/sinal resultante da amostragem é ainda analógica uma vez que a sua amplitude continua a poder assumir um número infinito de valores. Diz-se então que a grandeza/sinal é analógica discreta. Gráfico de uma grandeza analógica discreta (Fonte: Digital Fundamentals, T. Floyd, 2006) Octávio Dias Sistemas Digitais/5

6 1 Introdução Grandezas digitais Diz-se que uma grandeza/sinal é digital se apenas pode assumir um número finito de valores, isto é, se varia de forma descontínua de um valor possível para outro valor possível. As grandezas/sinais digitais foram criadas pelo Homem, por em muitas aplicações, oferecerem um vasto conjunto de vantagens sobre as gradezas/sinais analógicas Octávio Dias Sistemas Digitais/6

7 1 Introdução Grandezas digitais Os sinais podem ser classificados como analógicos ou digitais; Os sinais analógicos podem ser contínuos ou discretos no tempo; Os sinais digitais são discretos no tempo e na amplitude. sinais a analógicos a digitais a t contínuos no tempo discretos no tempo t t conversor A/D Octávio Dias Sistemas Digitais/7

8 1 Introdução Sistema Um sistema é uma associação de dispositivos e/ou componentes interligados que desempenha uma função complexa. Por exemplo, um amplificador de som é um sistema constituído pelos dispositivos microfone, amplificador e alto-falante. Sistema de amplificação de som (Fonte: Digital Fundamentals, T. Floyd, 2006) Octávio Dias Sistemas Digitais/8

9 1 Introdução Dispositivo Um dispositivo é um circuito constituído por vários componentes que realiza uma função simples. Esquema electrónico de um amplificador de som Octávio Dias Sistemas Digitais/9

10 1 Introdução Componente Um componente é cada uma das partes que constitui um dispositivo. Componentes de um amplificador de som Octávio Dias Sistemas Digitais/10

11 1 Introdução Exemplo de um sistema electrónico analógico O sistema de amplificação de som ilustrado na figura, é um sistema analógico puro, uma vez que todos os sinais processados estão na forma analógica. Amplificador de áudio analógico (Fonte: Digital Fundamentals, T. Floyd, 2006) Octávio Dias Sistemas Digitais/11

12 1 Introdução Exemplo de um sistema electrónico analógico e digital O sistema de amplificação de som ilustrado na figura, é um sistema que tem por entrada sinais digitais, provenientes do CD, que após convertidos para a forma analógica são processados pelo amplificador linear. Leitor de CD áudio (Fonte: Digital Fundamentals, T. Floyd, 2006) Octávio Dias Sistemas Digitais/12

13 2 Sistemas de numeração Sistema decimal O sistema decimal ou de base dez é a linguagem natural do Homem. De facto, na vida diária usamos um sistema de numeração baseado nos dez dígitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o que justifica a designação de sistema decimal. Por exemplo, no sistema decimal, o número 4728 corresponde a 4 milhares, 7 centenas, 2 dezenas e 8 unidades, ou seja, 4728=4 (1000)+7 (100)+2 (10)+8 (1) Conclui-se assim que, cada digito no número é multiplicado por dez elevado a uma potência que corresponde à posição do digito no número, isto é, 4728=( )+( )+( )+( ) Octávio Dias Sistemas Digitais/13

14 2 Sistemas de numeração Sistema decimal No sistema decimal, uma fracção é representada segundo o mesmo princípio, porém, os expoentes das potências de base 10 são negativos. Assim, um número com parte inteira e parte decimal, comporta dígitos ponderados por potências de base dez com expoente positivo ou negativo, em função da posição que ocupam no número, à esquerda ou à direita da vírgula, respectivamente. Por exemplo, 472,256=( )+( )+( )+( )+( ) +( ) Generalizando, pode concluir-se que, um número N na base dez tem a representação, d d d d d d 2 10 d 3... N = d i 10 d i são os dígitos que constituem o número, com i a indicar a sua posição no número. i i Octávio Dias Sistemas Digitais/14

15 2 Sistemas de numeração Sistema de base b O raciocínio usada para interpretar a representação de um número N na base dez, pode ser generalizado a um qualquer sistema de numeração ponderado de uma qualquer base b natural. Ou seja, a representação de um número N em um qualquer sistema ponderado de base b natural, é descrita pelo algoritmo, d 3 b + d 2 b + d 1 b + d 0 b + d 1 b + d 2 b d N = d i b i i Onde d representa os dígitos que constituem o número, b representa a base do sistema de numeração, e o índice i representa a posição do digito no número. Realça-se que nestes sistemas de numeração o número de dígitos diferentes é igual ao valor b da base Octávio Dias Sistemas Digitais/15

16 2 Sistemas de numeração Sistema binário No sistema binário, ou sistema de base dois, os números são representados por intermédio de dois dígitos diferentes (0 e 1), ponderados por potências de base 2. O sistema binário é a linguagem natural dos computadores. De facto, nestes dispositivos, a informação é guardada por intermédio de códigos que se baseiam em dois estados, que correspondem à presença (símbolo binário 1) ou ausência (símbolo binário 0) de energia eléctrica. Sempre que a situação se preste a equívocos, a representação do número, é complementada por um índice que indica a base de representação. Por exemplo, os números 0 e 1 têm a mesma representação nos sistemas binário e decimal. 0 2 = 0 10 ; 1 2 = Octávio Dias Sistemas Digitais/16

17 2 Sistemas de numeração Sistema binário Em coerência com que atrás foi dito, o valor expresso na base dez de um número binário é determinado por intermédio do algoritmo, d3 2 + d2 2 + d1 2 + d0 2 + d d 2 2 d 3... N = d i 2 i i Assim, o valor número binário, 1001,101 2 expresso no sistema decimal toma a forma, (1 2 3 )+(0 2 2 )+(0 2 1 )+(1 2 0 )+(1 2-1 )+(0 2-2 )+(1 2-3 )= /2+0+1/8 =9+0,5+0,125=9, Octávio Dias Sistemas Digitais/17

18 2 Sistemas de numeração Conversão do sistema binário para o sistema decimal E Converta para decimal =(1 2 3 )+(0 2 2 )+(1 2 1 )+(1 2 0 )= =1110 E Converta 0,001 2 para decimal 0,001 2 =(0 2-1 )+(0 2-2 )+(1 2-3 )=0, E Converta 1011,101 2 para decimal 0,001 2 =0, ,101 2 =(1 2 3 )+(0 2 2 )+(1 2 1 )+(1 2 0 )+(1 2-1 )+(0 2-2 )+(1 2-3 )=11, ,101 2 =11, Octávio Dias Sistemas Digitais/18

19 2 Sistemas de numeração Conversão do sistema decimal para o sistema binário Para converter um número representado na base dez para a base dois, a parte inteira e a parte fraccionária são convertidas separadamente. Parte inteira A parte inteira de um número decimal é convertida para binário, por intermédio de divisões sucessivas por 2. E 2.4- Converta para binário LSD MSD = Octávio Dias Sistemas Digitais/19

20 2 Sistemas de numeração Conversão do sistema decimal para o sistema binário Parte fraccionária A parte fraccionária de um número decimal é convertida para binário, por intermédio de multiplicações sucessivas por 2, como se mostra nos exemplos que a seguir expõem. E Converta 0, para binário 0, =0,011 2 (valor exacto) Octávio Dias Sistemas Digitais/20

21 2 Sistemas de numeração Conversão do sistema decimal para o sistema binário Parte fraccionária E Converta 0,81 10 para binário com seis dígitos 0,81 2=1,62 d -1 =1 0,62 2=1,24 d -2 =1 0,24 2=0,48 d -3 =0 0,48 2=0,96 d -4 =0 0,96 2=1,92 d -5 =1 0,92 2=1,94 d -6 =1 0,81 10 =0, (valor aproximado) Octávio Dias Sistemas Digitais/21

22 2 Sistemas de numeração Sistema octal O sistema octal ou sistema de base oito, utiliza os oito dígitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Cada um dos dígitos que integram um número representado na base oito, é ponderado por potências de base 8, cujo expoente depende da posição que ocupam no número. Por exemplo, para o número 24,6 8 tem-se, 24,6 8 =(2 8 1 )+(4 8 0 )+(6 8-1 ) = /8= 20,75 10 De facto, o número representado pela soma de cada um dos dígitos ponderados por potências de 8, com os expoentes a dependerem da posição que ocupam no número, constitui a sua conversão para a forma decimal Octávio Dias Sistemas Digitais/22

23 2 Sistemas de numeração Conversão do sistema octal para o sistema decimal E Converta para decimal =(1 8 3 )+(6 8 2 )+(3 8 1 )+(4 8 0 ) E Converta 0,34 8 para decimal 0,34 8 =(3 8-1 )+(4 8-2 ) = E Converta 16,34 8 para decimal 16,34 8 =(1 8 1 )+(6 8 0 )+(3 8-1 )+(4 8-2 ) 0,34 8 =0, ,34 8 =14, Octávio Dias Sistemas Digitais/23

24 2 Sistemas de numeração Conversão do sistema decimal para o sistema octal E Converta para octal LSD MSD E Converta 0, para octal = , =1, d -1 =1 0,625 8=5, d -2 =5 0, =0,15 8 (valor exacto) Octávio Dias Sistemas Digitais/24

25 2 Sistemas de numeração Conversão do sistema decimal para o sistema octal E Converta 0, para octal com quatro dígitos 0,9473 8=7,7944 d -1 =7 0,7944 8=6,3552 d -2 =6 0,3552 8=2,8416 d -3 =2 0,8416 8=6,7328 d -4 =6 0, =0, (valor aproximado) E Converta 943, para octal com quatro dígitos na parte fraccionária Dos exercícios E2.10 e E2.12 conclui-se que, 943, = , =1657, , =1657, (valor aproximado) Octávio Dias Sistemas Digitais/25

26 2 Sistemas de numeração Conversão do sistema octal para o sistema binário Para converter um número representado na base oito para a sua representação na base dois, converte-se cada um dos dígitos octais para a sua representação binária. O número representado na base dois é formado pelo dígitos binários assim obtidos, respeitando a ordem pela qual foram determinados. E Converta para binário = = Octávio Dias Sistemas Digitais/26

27 2 Sistemas de numeração Conversão do sistema octal para o sistema binário E Converta 0,746 8 para binário 0, ,746 8 =0, E Converta 323,746 8 para binário 3 2 5, ,746 8 = , Octávio Dias Sistemas Digitais/27

28 2 Sistemas de numeração Conversão do sistema binário para o sistema octal Para converter um número da base dois para a base oito, procede-se do seguinte modo: Parte inteira do número - agrupam-se os dígitos que formam o número binário em grupos de três bits, da direita para a esquerda. Se necessário acrescentam-se zeros à esquerda para completar o último grupo. Parte fraccionária do número - agrupam-se os dígitos que formam o número binário em grupos de três bits, da esquerda para a direita. Se necessário acrescentam-se zeros à direita para completar o último grupo. Em seguida converte-se para octal cada um dos grupos. O número representado em octal é formado pelo conjunto de dígitos obtidos respeitando a ordem pela qual foram determinados Octávio Dias Sistemas Digitais/28

29 2 Sistemas de numeração Conversão do sistema binário para o sistema octal E Converta para octal E Converta 0, para octal , E Converta , para octal = , =0,746 8 Dos exercícios E2.17 e E2.18 conclui-se que, , = 323, Octávio Dias Sistemas Digitais/29

30 2 Sistemas de numeração Sistema hexadecimal O sistema hexadecimal ou sistema de base dezasseis, utiliza os dezasseis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F com, A=10 10, B=11 10, C=12 10, D=13 10, E=14 10, F=15 10, Cada um dos símbolos que formam um número representado na base dezasseis, é ponderado por potências de base 16, cujo expoente depende da posição que ocupam no número. Por exemplo, para o número 24,6 16, tem-se: 24,6 16 = 24,6H=( )+( )+( ) = /16= 36, O número representado pela soma dos seus símbolos ponderados por potências de base 16, com os expoentes a dependerem da posição que ocupam no número, constitui a representação do número na base dez Octávio Dias Sistemas Digitais/30

31 2 Sistemas de numeração Conversão do sistema hexadecimal para o sistema decimal E Converta 123A 16 para decimal 123A 16 =( )+( )+( )+( ) = A16 = E Converta 0,2F 16 para decimal 0,2F 16 =( )+( ) = (2 1/16) + (15/16 2 ) = 0,125+0, =0, ,2F 16 =0, E Converta 123A,2F 16 para decimal Dos exercícios E2.20 e E2.21 conclui-se que, 123A,2F 16 =4666, Octávio Dias Sistemas Digitais/31

32 2 Sistemas de numeração Conversão do sistema decimal para o sistema hexadecimal E Converta para hexadecimal LSD 3 0 MSD =3AF 16 E Converta 0, para hexadecimal com quatro digitos 0, =15,5888 d -1 =F 0, =9,4208 d -2 =9 0, =6,7328 d -3 =6 0, =11,7248 d -4 =B 0, =F96B Octávio Dias Sistemas Digitais/32

33 2 Sistemas de numeração Conversão do sistema decimal para o sistema hexadecimal E Converta 943, para hexadecimal Parte inteira LSD 3 0 Parte fraccionária MSD 0, =15,5888 d -1 =F =3AF 16 0, =9,4208 d -2 =9 0, =6,7328 d -3 =6 0, =11,7248 d -4 =B 0, =0,F96B 16 Assim: 943, =3AF,F96B Octávio Dias Sistemas Digitais/33

34 2 Sistemas de numeração Conversão do sistema hexadecimal para o sistema binário Para converter um número representado na base dezasseis para a sua representação na base dois, converte-se cada um dos símbolos hexadecimais para a sua representação binária. O número representado na base dois é formado pelos dígitos binários assim obtidos, respeitando a ordem pela qual foram determinados. E Converta F2B 16 para binário F 2 B F2B 16 = Octávio Dias Sistemas Digitais/34

35 2 Sistemas de numeração Conversão do sistema binário para o sistema hexadecimal Para converter um número da base dois para a base dezasseis, procede-se do seguinte modo: Parte inteira do número - agrupam-se os dígitos que formam o número binário em grupos de quatro bits, da direita para a esquerda. Se necessário acrescentam-se zeros à esquerda para completar o último grupo Parte fraccionária do número - agrupam-se os dígitos que formam o número binário em grupos de quatro bits, da esquerda para a direita. Se necessário acrescentam-se zeros à direita para completar o último grupo. Em seguida converte-se cada um dos grupos para a representação hexadecimal. O conjunto dos símbolos obtidos constituem a representação hexadecimal do número Octávio Dias Sistemas Digitais/35

36 2 Sistemas de numeração Conversão do sistema binário para o sistema hexadecimal E Converta para hexadecimal E Converta 0, para hexadecimal. 0, E Converta , para hexadecimal =153H 0, =0,A8H Dos exercícios E2.26 e E2.27 conclui-se que, , =153, A8H Octávio Dias Sistemas Digitais/36

37 2 Sistemas de numeração Correspondência entre as notações decimal, binária octal e hexadecimal Octávio Dias Sistemas Digitais/37

38 3 Operações aritméticas Algoritmo da adição numa base b O algoritmo da soma em uma qualquer base b de numeração, corresponde aos seguintes passos: Começa-se pela coluna mais à direita. Se o resultado da adição dessa coluna for inferior ao valor da base b, o valor da soma é colocado na coluna sem alteração. Se a soma da coluna for igual ou maior do que o valor b da base do sistema de numeração, então o resultado da adição é a diferença entre o valor produzido e o valor b, gerando-se um transporte C (Carry) igual a 1 para a coluna seguinte. Este procedimento é aplicado sucessivamente às colunas seguintes Octávio Dias Sistemas Digitais/38

39 3 Operações aritméticas Adição na base 10 Tabela de adição no sistema decimal Octávio Dias Sistemas Digitais/39

40 3 Operações aritméticas Adição na base 10 E Considere-se a adição Coluna 1. A soma desta coluna é igual ou maior a b=10, então o resultado é dado por (9+5) - 10 = = 4. Gera o transporte C=1, para a coluna 2. Coluna 2. O transporte (C=1) da coluna anterior é contabilizado na soma desta coluna. Tem-se assim: 1+3+8=12, por consequência, o resultado da soma é dado por 12-10=2, e gera o transporte C=1, para a coluna 3. Coluna 3. O transporte (C=1) da coluna anterior é contabilizado na soma desta coluna. Tem-se assim: = 8. Não gera transporte, pois 8 é inferior a Octávio Dias Sistemas Digitais/40

41 3 Operações aritméticas Adição na base 2 Tabela de adição no sistema binário =0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 (resultado = 0; transporte=1) Octávio Dias Sistemas Digitais/41

42 3 Operações aritméticas Adição na base 2 E Determine a soma Coluna 1. A soma desta coluna é igual ou maior a b=2, deste modo, o resultado é dado por (1+1) -2= 2-2 = 0. Gera o transporte C=1, para a coluna 2. Coluna 2. O transporte C=1 da coluna anterior é contabilizado na soma desta coluna. Logo, 1+1+0=2, e o resultado é 2-2=0. Gera o transporte C=1, para a coluna 3. Coluna 3. O transporte C=1 da coluna anterior é contabilizado na soma desta coluna. Logo, 1+1+1=3, portanto, o resultado é 3-2=1. Gera o transporte C=1, para a coluna 4. Coluna 4. Com o transporte C=1 da coluna 3, tem-se: 1+1=2; 2-2=0, com C=1. Logo, a soma desta coluna é Octávio Dias Sistemas Digitais/42

43 3 Operações aritméticas Adição na base 8 Tabela de adição no sistema octal Octávio Dias Sistemas Digitais/43

44 3 Operações aritméticas Adição na base 8 E Determine a soma Coluna 1. A soma desta coluna é igual ou maior a b=8, deste modo, o resultado é dado por (6+7) = 13-8 = 5. Gera o transporte C=1, para a coluna 2. Coluna 2. O transporte C=1 da coluna anterior é contabilizado na soma desta coluna. Logo, 1+(7+0)=8, e o resultado é 8-8=0. Gera o transporte C=1, para a coluna 3. Coluna 3. O transporte C=1 da coluna anterior é contabilizado na soma desta coluna. Logo, 1+(2+3)=6, portanto, o resultado é 6, uma vez que 6 é menor do que b=8. Não gera transporte Octávio Dias Sistemas Digitais/44

45 3 Operações aritméticas Adição na base 16 Tabela de adição no sistema hexadecimal Octávio Dias Sistemas Digitais/45

46 3 Operações aritméticas Adição na base 16 E Determine a soma 4A D Coluna 1. A soma desta coluna é menor do que b=16. De facto, 7+3=10=A. Assim, o resultado é A. Não gera transporte. Coluna 2. A soma desta coluna é menor do que b=16. De facto, 5+9=14=E. Assim, o resultado é E. Não gera transporte. Coluna 3. A soma desta coluna é menor do que b=16. De facto, 10+2=12=C. Assim, o resultado é C. Não gera transporte. Coluna 4. A soma desta coluna é maior ou igual do que b=16. De facto, 4+13=17. Tem-se assim, 17-16=1. Gera o transporte C=1. Logo, a soma desta coluna é Octávio Dias Sistemas Digitais/46

47 3 Operações aritméticas Algoritmo da subtracção numa base b O algoritmo da subtracção em uma qualquer base b de numeração, corresponde aos seguintes passos: Começa-se pela coluna mais à direita. Se numa qualquer coluna i, o aditivo for maior do que o subtractivo, o resultado dessa coluna corresponde à subtracção simples; Se numa qualquer coluna i, o aditivo for menor do que o subtractivo, soma-se o valor da base do sistema de numeração ao aditivo e coloca-se na coluna i o resultado da diferença entre o valor dessa soma e o subtractivo, gerando-se um transporte C (Carry) igual a 1 que se soma ao subtractivo da coluna i+1; Este procedimento é aplicado sucessivamente a todas as colunas Octávio Dias Sistemas Digitais/47

48 3 Operações aritméticas Subtracção na base 10 E Determine a subtracção Coluna 1. Como o aditivo 3 é menor do que subtractivo 8, soma-se o valor da base do sistema b=10 ao aditivo, faz-se a diferença (10+3)-8=5. Gera o transporte C=1, que é somado ao subtractivo da coluna 2. Coluna 2. Soma-se o transporte C=1 da coluna anterior, ao subtractivo desta coluna 0+1=1. Como o aditivo não é menor do que 1, obtém-se, 2-1 = Octávio Dias Sistemas Digitais/48

49 3 Operações aritméticas Subtracção na base 2 E Determine a subtracção Coluna 1. Como o aditivo 0 é menor do que subtractivo 1, soma-se o valor da base do sistema b=2 ao aditivo, faz-se a diferença (2+0)-1=1. Gera o transporte C=1, que é somado ao subtractivo da coluna 2. Coluna 2. Soma-se o transporte C=1 da coluna anterior, ao subtractivo desta coluna 0+1=1. Como o aditivo não é menor do que 1, obtém-se, 1-1 = Octávio Dias Sistemas Digitais/49

50 3 Operações aritméticas Subtracção na base 8 E Determine a subtracção Coluna 1. Como o aditivo 2 é menor do que subtractivo 6, soma-se o valor da base do sistema b=8 ao aditivo e faz-se a diferença (2+8)-6=4. Gera o transporte C=1, para somar ao subtractivo da coluna 2. Coluna 2. Soma-se o transporte C=1 da coluna 1, ao subtractivo desta coluna, obtendose 0-(1+7) = 0-8.Como o aditivo 0 é menor do que 8, soma-se o valor da base do sistema (b=8) ao aditivo (0+8=8) e faz-se a subtracção 8-8=0. Gera o transporte C=1 para somar ao subtractivo da coluna 3. Coluna 3. Soma-se o transporte C=1 da coluna 2, ao subtractivo desta coluna (1+3=4). Como o aditivo 7 é maior do que 4, calcula-se 7-4=3. Não gera transporte Octávio Dias Sistemas Digitais/50

51 3 Operações aritméticas Subtracção na base 16 E Determine a subtracção 9F1B 16-4A Coluna 1. O aditivo B é maior do que o subtractivo 6, logo, faz-se a diferença 11-6= 5. Não gera transporte. Coluna 2. O aditivo 1 é menor do que o subtractivo 3, então, soma-se o valor da base do sistema (b=16) ao aditivo 16+1=17, e faz-se a subtracção, 17-3= E. Gera o transporte C=1 para somar ao subtractivo da coluna 3. 9 F 1 B - 4 A E 5 Coluna 3. Soma-se o transporte C=1 da coluna 2, ao subtractivo desta coluna (1+A=11=B). O aditivo F é maior do que B, tem-se, F-B=15-11=4. Não gera transporte. Coluna 4. O aditivo 9 é maior do que o subtractivo 4, calcula-se 7-4=3. Não gera transporte Octávio Dias Sistemas Digitais/51

52 3 Operações aritméticas Algoritmo da multiplicação numa base b O algoritmo da multiplicação de um número a por um número b em uma qualquer base de numeração resume-se ao seguinte: Os dois números a multiplicar são colocados um sob o outro; O número na posição superior é designado por multiplicando; O número na posição inferior é designado por multiplicador;.a 4 a 2 a 3 a 2 a 1 a 0 multiplicando....b 1 b 0 multiplicador Passo 1 - O símbolo mais à direita (b 0 ) do multiplicador, multiplica cada um dos símbolos do multiplicando; Se o produto de cada multiplicação é inferior ao valor da base do sistema de numeração, regista-se o valor obtido sob o traço abaixo do multiplicador; Octávio Dias Sistemas Digitais/52

53 3 Operações aritméticas Algoritmo da multiplicação numa base b Se o produto de cada multiplicação é superior ao valor da base do sistema, regista-se o símbolo da direita do produto sob o traço abaixo do multiplicador e o símbolo da esquerda é somado à multiplicação do símbolo seguinte do multiplicando. O procedimento mantém-se até esgotar todos os símbolos do multiplicando..a 4 a 2 a 3 a 2 a 1 a 0 multiplicando...b 1 b 0 multiplicador c 5 c 4 c 3 c 2 c 1 c Octávio Dias Sistemas Digitais/53

54 3 Operações aritméticas Algoritmo da multiplicação numa base b Passo 2 Passa-se ao símbolo seguinte do multiplicador. Os resultados obtidos são colocados sob os anteriores, mas deslocados de uma posição para a esquerda..a 4 a 2 a 3 a 2 a 1 a 0 multiplicando.....b 1 b 0 multiplicador c 5 c 4 c 3 c 2 c 1 c 0 d 5 d 4 d 3 d 2 d 1 d 0 Passo 3 Repete-se o procedimento até esgotar todos os algarismos do multiplicador. O resultado final é obtido somando as parcelas, obtidas pela multiplicação de cada um dos símbolos do multiplicador por cada um dos símbolos do multiplicando. a 4 a 2 a 3 a 2 a 1 a 0 multiplicando...b 1 b 0 multiplicador c 5 c 4 c 3 c 2 c 1 c 0 parcela da multiplicação por b 0 d 5 d 4 d 3 d 2 d 1 d 0 parcela da multiplicação por b 1 e 5 e 4 e 3 e 2 e 1 e 0 resultado Octávio Dias Sistemas Digitais/54

55 3 Operações aritméticas Multiplicação na base 10 Tabela de multiplicação no sistema decimal Para realizar multiplicações na base dez, é necessário recorrer a esta tabela. Porém como a base dez é o nosso sistema natural, fazemos esta operação de forma automática Octávio Dias Sistemas Digitais/55

56 3 Operações aritméticas Multiplicação na base 10 E Determine o produto Algarismo 3 do multiplicador 3 7=21 1 para a parcela e C=2; 3 5+2=17 7 para a parcela e C=1; 3 1+2=5 5 para a parcela e C=0; Algarismo 2 do multiplicador 2 7=14 4 para a parcela e C=1; 2 5+1=11 1 para a parcela e C=1; 2 1+1=3 3 para a parcela e C=0; Em seguida procede-se à soma das parcelas Octávio Dias Sistemas Digitais/56

57 3 Operações aritméticas Multiplicação na base 2 Tabela de multiplicação no sistema binário Realça-se que na base dois o produto não gera transporte, uma vez que o valor dos produtos parciais são sempre inferiores a b=2. Para realizar multiplicações na base dois, é necessário recorrer a esta tabela. Porém pela sua simplicidade, realizamos esta operação de forma automática Octávio Dias Sistemas Digitais/57

58 3 Operações aritméticas Multiplicação na base 2 E Determine o produto Algarismo 1 do multiplicador (LSB) 1 ( ) = ; Algarismo 0 do multiplicador 0 ( ) = ; Algarismo 1 do multiplicador (MSB) 1 ( ) = ; Em seguida procede-se à soma das parcelas Octávio Dias Sistemas Digitais/58

59 3 Operações aritméticas Multiplicação na base 8 Tabela de multiplicação no sistema octal Para multiplicar na base oito, é necessário recorrer a esta tabela, a qual é construída fazendo o produto na base dez, que em seguida é convertido para a base oito Octávio Dias Sistemas Digitais/59

60 3 Operações aritméticas Multiplicação na base 8 E Determine o produto Algarismo 4 do multiplicador (LSB) 4 7=34 4 para a parcela e C=3; = =17 7 para a parcela e C=1; 4 5= =25 5 para a parcela e C=2; Algarismo 2 do multiplicador 2 7=16 6 para a parcela e C=1; 2 3=6 6+1=7 7 para a parcela e C=0; 2 5= =12 2 para a parcela e C=1; Em seguida procede-se à soma das parcelas Octávio Dias Sistemas Digitais/60

61 3 Operações aritméticas Multiplicação na base 16 Tabela de multiplicação no sistema hexadecimal Para multiplicar na base 16, é necessário recorrer a esta tabela, a qual é construída fazendo o produto na base 10, que em seguida é convertido para a base Octávio Dias Sistemas Digitais/61

62 3 Operações aritméticas Multiplicação na base 16 C 2 A 1 D 9 E 2 2 C 2 A C 2 Símbolo D do multiplicador (LSB) D A=82 2 para a parcela e T=8; D 2=1A 1A+8=22 2 para a parcela e T=2; D C=9C 9C+2=9E E para a parcela e T=9; Símbolo 1 do multiplicador 1 A=A A para a parcela e T=0; 1 2=2 2+0=2 2 para a parcela e T=0; 1 C=C C+0=C C para a parcela e T=0; Em seguida procede-se à soma das parcelas Octávio Dias Sistemas Digitais/62

63 3 Operações aritméticas Algoritmo da divisão numa base b O algoritmo da divisão em uma qualquer base b é muito semelhante à divisão decimal. Recordemos a divisão decimal através de um exemplo Neste exemplo divide-se 517 (dividendo) por 21 (divisor), ambos em decimal, obtendo-se como resultado a divisão inteira, 24 (quociente), e como resto o valor 13. O algoritmo da divisão consiste em seleccionar uma parte do dividendo que seja superior, mas próxima do valor do divisor Octávio Dias Sistemas Digitais/63

64 3 Operações aritméticas Algoritmo da divisão numa base b Em seguida identifica-se o maior factor multiplicativo, de apenas um dígito, que multiplicado pelo divisor dê um resultado igual ou inferior à parte seleccionada do dividendo; Este factor será o digito mais significativo do quociente; O produto da multiplicação do factor escolhido pelo divisor, é subtraído à parte do dividendo seleccionada; No passo seguinte, acrescenta-se ao resultado a subtracção, o dígito seguinte do dividendo; Repete-se o passo anterior até que, esgotar todos os dígitos do dividendo; O resto final da divisão será inferior ao divisor Octávio Dias Sistemas Digitais/64

65 3 Operações aritméticas Divisão binária E Efectue a divisão Octávio Dias Sistemas Digitais/65

66 4 Representação de números em módulo e sinal A representação de números reais tem de ter em conta que os números podem ser positivos, negativos ou o número zero. Uma forma adequada e evidente para identificar se um número binário é positivo ou negativo consiste em reservar um bit para identificar o sinal. Por exemplo, se o bit de sinal for 0 o número é positivo e ser for 1 o número é negativo. Num sistema digital, um número é sempre representado com um determinado número de bits, que constitui o comprimento do número, e corresponde ao número de bits dos registos onde o número é armazenado e ao número de bits dos circuitos que processam os números. Suponhamos, como exemplo, que o comprimento do número é de quatro bits Octávio Dias Sistemas Digitais/66

67 4 Representação de números em módulo e sinal Neste contexto, com quatro bits podem ser representados em módulo e sinal, os números inteiros que se indicam abaixo Octávio Dias Sistemas Digitais/67

68 4 Representação de números em módulo e sinal Esta forma de representar números inteiros é uma das possíveis. Tem porém, tem alguns inconvenientes. Repare-se, por exemplo que o número zero tem duas representações possíveis, o que pode originar problemas. Outro inconveniente desta representação reside na realização de operações do tipo (+5)+(-3) ou (-5)+(+3), uma vez que é necessário identificar qual dos números tem o maior módulo, para que seja atribuído ao resultado o sinal adequado, o que implica uma maior complexidade dos circuitos lógicos, que realizam as operações de soma e subtracção. Por estas razões estudaremos a seguir uma outra forma de representação de números em módulo e sinal, que evita os inconvenientes atrás referidos Octávio Dias Sistemas Digitais/68

69 4 Representação de números em módulo e sinal Notação de complemento para 2 Na representação em complemento para 2, os valores positivos têm a mesma representação do binário natural. Por exemplo na representação em complemento para 2, de 4 dígitos, podem representarse os valores de +7 a -7. O digito mais à esquerda fica reservado para o sinal (0 para valores positivos e 1 para valores negativos) Complemento para 2 Decimal Octávio Dias Sistemas Digitais/69

70 4 Representação de números em módulo e sinal Notação de complemento para 2 A representação dos valores negativos, simétricos de um número x na representação em complemento para 2 de n bits, obtém-se por intermédio da expressão 2 n -x. Por exemplo, o complemento de 0101 é, 2 4 Assim, o número 1011 é o complemento para 2 de 0101, ou seja é o simétrico de 0101 na representação de complemento para 2. Repare-se que, se o número tem n bits, o seu complemento para 2, ou seja o seu simétrico, é também representado por n bits. Para interpretar correctamente o valor de um número tem de saber-se a forma como está representado Octávio Dias Sistemas Digitais/70

71 4 Representação de números em módulo e sinal Notação de complemento para 2 Complemento para 2 Decimal Octávio Dias Sistemas Digitais/71

72 4 Representação de números em módulo e sinal Notação de complemento para 2 Uma forma mais expedita de obter o complemento para 2 de um número consiste em negar todos os bits do número e somar-lhe 1. Como exemplo, determine-se o simétrico do número Naturalmente que a soma de um número com o seu simétrico tem zero como resultado Octávio Dias Sistemas Digitais/

73 4 Representação de números em módulo e sinal Notação de complemento para 2 Soma de dois números representados na notação de complemento para 2, quando o valor do resultado excede (overflow) a gama de representação possível para o número de bits utilizados. transporte afecta o bit de sinal transporte 1º operando 2º operando soma resultado negativo!!! Octávio Dias Sistemas Digitais/73

74 5 Códigos Como sabemos, para representar informação binária apenas se utilizam os símbolos (bits) 0 e 1. A informação binária não se restringe à representação de números. De facto, podem também representar letras e outros símbolos. Estas representações designam-se por códigos que consistem numa sequência de conjuntos de bits que representam números e outos dados. Podem assim, identificar-se duas grandes classes de códigos, os numéricos e os alfabéticos, ou ainda a combinação de ambos que formam os códigos alfanuméricos. No âmbito desta disciplina estudaremos os códigos numéricos, em particular o Código Binário Natural (CBN), o Código Decimal Codificado em Binário (BCD - Binary Coded Decimal) e o Código de Gray.. Estes códigos dizem-se regulares, uma vez que cada sequência tem o mesmo número de dígitos Octávio Dias Sistemas Digitais/74

75 5 Códigos Código Binário Natural (CBN) No código CBN é um código regular uma vez que é formado por palavras de comprimento fixo. Neste código o número máximo de palavras de comprimento n corresponde a 2 n palavras. Por exemplo, o CBN com palavras de comprimento cinco possui 32 palavras, com equivalentes decimais que vão de 0 10 a Octávio Dias Sistemas Digitais/75

76 5 Códigos Código Binário Natural (CBN) E 5.1 Codifique em CBN de cinco bits, o número A codificação em CBN corresponde à conversão da base dez para a base dois Assim, 30 na base dez corresponde a em CBN Octávio Dias Sistemas Digitais/76

77 5 Códigos Código Binary Coded Decimal (BCD) O código BCD (Binary Coded Decimal) que em português Decimal Codificado em Binário, é usado fundamentalmente usado em sistemas de processamento numérico que utilizam o sistema decimal para entrada/saída de dados Octávio Dias Sistemas Digitais/77

78 5 Códigos Código Binary Coded Decimal (BCD) No código BCD cada um dos dígitos que formam o número decimal são convertidos separadamente para a representação binária correspondente. Como o valor máximo de um dígito decimal é nove, utilizam-se quatro dígitos binários para codificar cada um dos algarismos decimais do número decimal a codificar em BCD. Dado que, com 4 bits podem obter-se 2 4 =16 combinações diferentes, e para o código BCD são apenas necessárias 10 combinações, existem 6 combinações possíveis, que são proibidas no código BCD. Deste modo, se uma das combinações proibidas ocorre, o sistema gera uma mensagem de erro e não considera o código recebido/gerado Octávio Dias Sistemas Digitais/78

79 5 Códigos Código Binary Coded Decimal (BCD) E 5.2 Codifique em BCD o número Portanto, 7823 em decimal corresponde a BCD Octávio Dias Sistemas Digitais/79

80 5 Códigos Código Binary Coded Decimal (BCD) E 5.3 Converta para decimal o valor codificado em BCD. Identificam-se os seguintes grupos de dígitos binários, Logo, Portanto, o valor BCD corresponde ao valor decimal Octávio Dias Sistemas Digitais/80

81 5 Códigos Código Binary Coded Decimal (BCD) E 5.4 Converta para decimal o valor BCD. Identificam-se os seguintes grupos de dígitos binários, ERRO O código está errado uma vez que uma das sequências está a codificar um valor superior a 9. O sistema gera uma mensagem de erro e recusa o código Octávio Dias Sistemas Digitais/81

82 5 Códigos Código de Gray O código de Gray proporciona uma forma fácil de detecção de erros, uma vez que, entre dois valores consecutivos apenas se verifica a alteração de um dígito. Por exemplo para uma codificação de três bits tem-se, Valor Decimal Código de Gray Octávio Dias Sistemas Digitais/82

83 5 Códigos Código de Gray Para codificar um número decimal em Código de Gray, converte-se o valor para a base dois e em seguida procede-se do seguinte modo: O primeiro dígito do código de Gray é igual ao primeiro dígito do valor na base dois; O segundo dígito do código de Gray é igual à soma do primeiro dígito com o segundo dígito do código binário; O terceiro dígito do código de Gray é igual à soma do segundo dígito com o terceiro dígito do código binário; O quarto dígito do código de Gray é igual à soma do terceiro dígito com o quarto dígito do código binário; O enésimo do código de Gray é igual à soma do dígitos n -1 +n do código binário Octávio Dias Sistemas Digitais/83

84 5 Códigos Código de Gray E 5.4 Codifique no código de Gray o valor O número é representado na base dois por Em seguida aplica-se o algoritmo de conversão descrito no slide anterior. Dígito n binário Dígito n de Gray Ordem dos dígitos 1 1 1º º º º Deste modo em código de Gray é representado por Octávio Dias Sistemas Digitais/84