ARITMÉTICA BINÁRIA. São duas as operações executadas pelo computador:

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1 ARITMÉTICA BINÁRIA São duas as operações executadas pelo computador: - A adição - A comparação Todas as outras operações são executadas por meio de adições. Assim, para a subtracção, acha-se o complemento do subtractivo e faz-se uma adição. A multiplicação é feita por adições sucessivas e a divisão por subtracções sucessivas. Complemento do sistema binário Denomina-se complemento verdadeiro e basta trocar os uns (1,1) por zeros (0,0) e vice-versa e adicionar um ao último da direita. Exemplo: ADIÇÃO Para somar dois números binários, fazem-se as contas coluna a coluna, da direita para a esquerda, como de costume, fazendo o transporte de um (<e vai um>) quando for o caso. Para isso é necessário ter em conta as seguintes tabelas: Tabela do 0 Tabela do = = = = 10 ( 1 mais 1 é igual a 0 e vai 1 ) = 11 ( 1 mais 1 mais 1 é igual a 1 e vai 1 )

2 Exemplo: ( = 1 ) ( = 1 ) ( = 0, e vai 1 ) ( que ia de trás = 0 e vai 1 ) ( = 1 ) Vamos ver outras formas com outros exemplos. Somar os números e De verificar que não houve transportes nas somas parciais.

3 Somar os números e Transportes Somar os números e Transportes Somar os números e Transportes Somar os números 10,1 e 11, , 1 2, , , , 1 1 5,75

4 SUBTRACÇÃO Existem duas formas para fazer a subtracção binária: 1ª. Forma Como o conjunto de símbolos contém apenas 2 dígitos, ao se efectuar a subtracção parcial entre 2 dígitos, um do diminuendo e outro do diminuidor, se o segundo ( diminuidor ) exceder o primeiro ( diminuendo ), subtrai-se uma unidade ao dígito imediatamente à esquerda no diminuendo ( se existir e o seu valor for 1 ), convertendo-o a 0. Em seguida, substituímos o diminuendo por 2, que corresponde à equivalência 1*2, da unidade extraída. Se o dígito imediatamente à esquerda for 0, procura-se nos dígitos consecutivos, levando em conta que o seu valor é multiplicado por 2 a cada deslocamento à direita. Vamos considerar as seguintes tabelas: Tabela do 1 Tabela do = = = não cabe Exemplos: Subtrair os números e Subtrair os números e

5 Subtrair os números e Subtrair os números 11,01 e 10,1. 2ª. Forma , 0 1 3, , 1 0-2, , 1 1 0, 7 5 Esta subtracção é feita pelo chamado método do complemento para dois. Vejamos um exemplo: Diminuendo Diminuidor Inverte-se o diminuidor, isto é, trocam-se os zeros por uns, e os uns por zeros Soma-se o diminuendo ao inverso do diminuidor

6 3. Soma-se <um> ao resultado Despreza-se o transporte final A resposta é, então = 1001 Outros exemplos: Subtrair os números e Subtrair os números e

7 MULTIPLICAÇÃO A multiplicação na base 2 - ou em qualquer outra base - pode fazer-se por adições sucessivas; para calcular A * B basta somar A a si própria B vezes. Exemplo: * =? De recordar que 100 (2) = 4 (10) então vezes Uma forma, e a ideal, é fazer a operação semelhante à multiplicação decimal, excepto pelo facto da soma final dos produtos se fazer em binário. As tabelas de multiplicação são: Tabela do 0 Tabela do 1 0 * 0 = 0 1 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 1 = 1

8 Exemplos: Multiplicar os números 1011 e * Multiplicar os números 1001 e * Multiplicar os números e *

9 Multiplicar os números e * Multiplicar os números e * DIVISÃO Analogicamente, a divisão pode ser feita por subtracções sucessivas, até obtermos uma diferença igual a zero. Exemplo: =? vez vezes O resultado é 2 (10), isto é, 10 (2)

10 Mas esta divisão pode ser feita de maneira idêntica à divisão decimal, excepto pelo facto das multiplicações e subtracções internas ao processo serem feitas em binário. Exemplo: Dividir e = = o quociente é e o resto é 1 0 Dividir e = = A prova é: quociente * divisor dividendo

11 Dividir e = = A prova é: quociente * divisor resto dividendo Dividir e = =

12 ARITMÉTICA HEXADECIMAL ADIÇÃO Nada como ver um exemplo para verificar como se soma em hexadecimal. 1º. Exemplo: 8 H + 4 H Como sabemos, em decimal, = 12. Em Hexadecimal, a quantidade «doze» é representada por «C», pelo que fica 8 H + 4 H C H 2º. Exemplo: F H + 3 H F H + 3 H 1 2 H Se convertermos para decimal, teremos = 18. Reconvertendo o resultado para a base 16 De reparar que, tal como nos habituámos a fazer na Escola Primária, sempre que o resultado iguala ou ultrapassa a base, subtraímos esta ao resultado, e fazemos um transporte para a coluna seguinte («e vai um», neste caso) = é maior que a base (16), pelo que fazemos = 2

13 e o resultado vem 3º. Exemplo: FH + 3H 2H ( e vai um ) FH + 3H 12H F 8 H + A 3 4 H Não é preciso converter os números F8H e A34H para decimal, somá-los e reconverter o resultado para a base 16. Podemos fazer a conta coluna a coluna, como já sabes. Então fica: F 8 H F 8 H + A 3 4 H + A 3 4 H C H F 8 H + A 3 4 H e vai um 2 C H F 8 H + A 3 4 H B 2 C H porque A + 1 = B

14 Exemplos: Fazer a adição dos seguintes números hexadecimais: 906H e A1DH H + A 1 D H H Fazer a adição dos seguintes números hexadecimais: AAABH e A9DH A A A B H + A 9 D H B H SUBTRACÇÃO 1º. Exemplo: 0H - 0H = 1H - 0H = BH - AH = completa 2º. Exemplo: B B 0 1 H - A H 1 A 0 1 H

15 3º. Exemplo: 2 7 H - 1 E H Efectuamos a operação coluna a coluna. Na primeira coluna, o diminuidor (E) é superior ao diminuendo (7). Então, adicionamos a base ao diminuendo, executamos a subtracção, e há transporte de uma unidade que somamos ao diminuidor da coluna seguinte. 2 7 H - 1 E H 9 H «e vai um» 1 (de transporte) e 1 (diminuidor da coluna da esquerda) = 2 2 (diminuendo) - 2 = 0 (resultado) 2 7 H - 1 E H 0 9 H Exemplos: Fazer a subtracção dos seguintes números hexadecimais: E71H e 958H E 7 1 H H H

16 Fazer a subtracção dos seguintes números hexadecimais: 22ABCH e 358FH 2 2 A B C H - 3 C F F H 1 E D B D H MULTIPLICAÇÃO Esta operação pode fazer-se facilmente por meio da tabela de dupla entrada apresentada: MULTIPLICAÇÃO HEXADECIMAL A B C D E F A 0B 0C 0D 0E 0F A 0C 0E A 1C 1E C 0F B 1E A 2D C C C C A 0F E D C B C E 24 2A C E 54 5A E 15 1C 23 2A F 46 4D 54 5B B 24 2D 36 3F A 63 6C 75 7E 87 A 0A 14 1E C A 64 6E C 96 B 0B C D E F 9A A5 C 0C C C C A8 B4 D 0D 1A E 5B F 9C A9 B6 C3 E 0E 1C 2A 38 4C E 8C 9A A8 B6 C4 D2 F 0F 1E 2D 3C 4B 5A A5 B4 C3 D2 E1 Como se vê, temos todos os algarismos hexadecimais ( excepto o zero ) nas entradas verticais e horizontais da tabela. Se quiséssemos calcular 5H * 9H, por exemplo, encontraríamos o resultado na intersecção da coluna 5 com a linha 9. Então, 5H * 9H = 2DH. Uma vez que a multiplicação é comutativa, então, o mesmo resultado se verifica na intersecção da coluna 9 com a linha 5.

17 1º. Exemplo: 2º. Exemplo: AH * 2H = 2H * 7H = completa 6 7 A H * 3 2 H Procedendo como de costume, vamos começar pelo produto do multiplicando pelo algarismo mais à direita do multiplicador: 6 7 A H * 3 2 H 6 7 A H Na tabela, vemos que A * 2 = 14; então, * 3 2 H escrevemos «4» e há transporte de 1 unidade 4 H (e vai um) 6 7 A H 2H * 7H = 0EH; 0EH + 1 (de transporte) * 3 2 H = 0FH; escreve-se «F», e não há transporte. F 4 H 6 7 A H 2H * 6H = 0CH; escreve-se «C», e não há * 3 2 H transporte. C F 4 H

18 Calculámos em seguida o produto do multiplicando pelo 2º. algarismo (contando a partir da direita) do multiplicador. 6 7 A H * 3 2 H C F E Agora é só somar os produtos parciais. Fica: 6 7 A H * 3 2 H C F E D 4 H Exemplo: Fazer o produto dos seguintes números hexadecimais: B12H e 3FCH B 1 2 H * 3 F C H 8 4 D 8 A 6 0 E C 1 B B 8 H

19 DIVISÃO Esta é a operação mais difícil de fazer sem recorrer-mos á tabela anterior. Vamos ver um exemplo muito simples: 1º. Exemplo Dividir os números hexadecimais 2F por F 1 2 B 2 2 * 2 = 4; F - 4 = B 2 F B 2 2 * 1 = 2; 2-2 = 0 Para verificarmos se é verdade, nada melhor que fazer a prova: 1 2 H divisor * 2 H quociente 2 4 H + B H resto 2 F H dividendo 2º. Exemplo Dividir os números hexadecimais 3F4 por 1A. 3 F 4 1 A B 2 2 * A = 4 (e vai um); F - 4 = B 3 F B 2 2 * 1 = do transporte = 3; 3-3 = 0

20 3 F 4 1 A 0 B * A = C (e vão três); 4 - C = 8 (e vão 4) * 1 = do transporte = 10; B - A =1 Para verificarmos se é verdade, nada melhor que fazer a prova: 1 A H divisor * 2 6 H quociente 9 C D C H H resto 3 F 4 H dividendo Exemplo: Dividir os números hexadecimais 21F por A1 2 1 F A 1 3 C 3 A 1 * 3 1 D C 2 1 F