Visite : c) 2 d) 1. a) 1000.(P t.q) -1 b) P t.q.1000 c) Q -1.P.1000 d) 1000.(Q t ) -1.P e) (Q -1 ) t.p.

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1 Exercícios de Matemática, Matrizes Se e satisfaz a identidade matricial ) (Unicamp-999) Considere as matrizes: 5 cos sen x cos sen sen cos y sen cos =, então, o valor M=, X = z e Y = correto de tg é igual a : a) Calcule o determinante de M e a matriz inversa de M. a) b) Resolva o sistema MX = Y. b) ) (ITA-6) Sejam as matrizes 5 5 A = e B = 5 5 Determine o elemento c 4 da matriz C = (A + B) -. ) (ESPM-6) A toda matriz não nula [x y], corresponde um ponto P(x; y) no plano cartesiano, diferente da origem. Ao se c) d) a) Determine [-, ] para que a matriz, sen() cos() cos() sen( ) seja idempotente. 8) (UFC-4) A matriz quadrada M, de ordem n >,,, satisfaz a equação M = M - I, onde I é a matriz identidade de ordem n >. Determine, em termos de M e I, a matriz b) Determine e para que a matriz M. sen() sen() cos() sen( ) 9) (FGV-4) Uma matriz X tem elementos cuja soma vale seja idempotente.. Seja X t a transposta da matriz X. Sabendo que 5) (UFC-5) X..X t = [], podemos afirmar que o produto dos elementos de X vale: a) b),5 e) 6) (ITA-5) Sejam A e B matrizes x tais que AB = BA e que satisfazem à equação matricial A + AB - B =. Se B é inversível, mostre que: a) AB - = B - A e que b) A é inversível. 7) (FGV-5) O montante aplicado de R$5., foi dividido em duas partes, x e y, uma tendo rendido % em um mês, e a outra % no mesmo período. O total dos multiplicar essa matriz pela matriz, o ponto P: rendimentos dessa aplicação foi de R$4.,. Sendo M, P a) Sofre uma rotação anti-horária de 9º em torno da x 5, origem. b) É projetado ortogonalmente no eixo das abscissas. e Q as matrizes M = y, P = 4 e Q =,, a c) Sofre uma reflexão em torno do eixo das abscissas. matriz M pode ser obtida pelo produto d) Sofre uma reflexão em torno do eixo das ordenadas. e) Sofre uma rotação horária de 9º em torno da origem. 4) (IBMEC-5) Uma matriz quadrada M é chamada de idempotente se M = M M = M. a).(p t.q) - b) P t.q. c) Q -.P. d).(q t ) -.P e) (Q - ) t.p.

2 c),6 d) - e) -6 ) (Vunesp-996) Considere as matrizes reais x do tipo cosx senx A(x) = senx cosx a) Calcule o produto A(x).A(x). b) Determine todos os valores de x[, ] para os quais A(x).A(x)=A(x). ) (ITA-995) Dizemos que duas matrizes nxn A e B são semelhantes se existe uma matriz nxn inversível P tal que B=P - AP. Se A e B são matrizes semelhantes quaisquer, então: a) B é sempre inversível. b) se A é simétrica, então B também é simétrica. c) B é semelhante a A. d) se C é semelhante a A, então BC é semelhante a A. e) det(i-b)=det(i-a), onde é um real qualquer. 4) (UFSCar-9) Considere a transformação de coordenadas cartesianas (x, y), dos pontos que compõem a figura a seguir, em coordenadas (x, y ), através da operação matricial indicada ao lado da figura. x` x = 6. y` x y Com essa transformação, a figura que se obtém no plano (x, y ) é a) a b ) (UFSCar-) Seja A = c d uma matriz x cujos coeficientes são números reais. Vamos chamar de a c transposta de A à matriz A t = b d b). Dizemos que uma matriz A é simétrica se A = A t e dizemos que A é antisimétrica se A = - A t. a) Dada uma matriz A qualquer, verifique que B = (A + A t ) é uma matriz simétrica e que C = (A - A t ) é uma matriz anti-simétrica. c) b) Mostre que toda matriz x é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz anti-simétrica. ) (Fuvest-994) a) Dada a matriz A, calcule a sua inversa A -. b) A relação especial que você deve ter observado entre A e A -, seria também encontrada se calculássemos as matrizes inversas de B, C e D. Generalize e demonstre o resultado observado. d) A = B= ; C= 4 5 ; D=

3 e) 5) (Mack-7) Considere a matriz e uma matriz A = [ - ] e uma matriz B = [b ij ]. Se A.B.A = A, então, é correto afirmar que, na matriz B, a) b = b b) b = - + b c) b = + b d) b = + b e) b = b 7) (UFSCar-8) Admita que a matriz cuja inversa seja formada apenas por elementos inteiros pares receba o nome de EVEN. Seja M uma matriz, com elementos reais, tal que M = x x x. Admita que M seja EVEN, e que sua inversa tenha o elemento da primeira linha e primeira coluna igual a. a) Determine o valor de x nas condições dadas. b) Determine a inversa de M nas condições dadas. 8) (VUNESP-7) Uma fábrica produz dois tipos de peças, P e P. Essas peças são vendidas a duas empresas, E e E. O lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P é R$, e de cada peça P é R$,. A matriz abaixo fornece a quantidade de peças P e P vendidas a cada uma das empresas E e E no mês de novembro. 6) (Mack-8) A tabela mostra as quantidades de grãos dos tipos G e G produzidos, em milhões de toneladas por ano, pelas regiões agrícolas A e B. A tabela indica o preço de venda desses grãos. tabela tabela Região A Região B G 4 5 G 6 Sendo x o total arrecadado com a venda dos grãos 9 produzidos pela região A e y pela região B, a matriz b) x 48 y 76 é c) d) a) e) b) c) d) 6 4 x,8, a y, e) 6 58 d c z A matriz, onde x e y representam os lucros, em reais, Preço por tonelada obtidos pela fábrica, no G referido mês, com a venda das peças às empresas E e G 8 E, respectivamente, é: 5 a) 9) (UERJ-6) Três barracas de frutas, B, B e B, são propriedade de uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento b ij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas B i e B j, em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira. B =

4 Calcule, para esse dia, o valor, em reais: a) arrecadado a mais pela barraca B em relação à barraca B b) arrecadado em conjunto pelas três barracas. ) (UFC-6) As matrizes A e B são quadradas de ordem e tais que AB = BA. 9. Determine a matriz 4) (UFV-5) Sejam as matrizes A = x x y ) (Vunesp-6) Sejam A = x y d) 4, B = e) 4 e C = 5 matrizes reais. a) Calcule o determinante de A, det(a), em função de x e y, e represente no plano cartesiano os pares ordenados (x, y) que satisfazem a inequação det(a) det(b). b) Determine x e y reais, de modo que A + B = C. x ) (Mack-6) Dadas as matrizes A = y a) x.y = x b) y c) log y x = d) x + y = 8 e) x = y, se A.B = B.A, então ) (Mack-4) Se o produto de matrizes e B =. 6 e M = y, onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto x y é: a) b) c) 5) (Vunesp-6) Numa pequena cidade realizou-se uma pesquisa com certo número de indivíduos do sexo masculino, na qual procurou-se obter uma correlação entre a estatura de pais e filhos. Classificaram-se as estaturas em grupos: alta (A), média (M) e baixa (B). Os dados obtidos na pesquisa foram sintetizados, em termos de probabilidades, na matriz O elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz, x y que é 4, significa que a probabilidade de um filho de pai. é a matriz nula, x + y é igual a: alto ter estatura média é 4. Os demais elementos a) interpretam-se similarmente. Admitindo-se que essas probabilidades continuem válidas por algumas gerações, a b) probabilidade de um neto de um homem com estatura c) - média ter estatura alta é: d) e) - a)

5 9 b) 64 c) 4 5 d) 64 e) 6 cada um dos jogos. Em relação às regras do torneio e à matriz A, sabe-se que: - as equipes jogaram entre si uma única vez no torneio; - em cada jogo, cada equipe ganhou pontos por vitória, por empate ou por derrota; - foi considerada campeã a equipe que totalizou o maior número de pontos; - as equipes foram numeradas de a ; - a ij representa os pontos ganhos pela equipe i no jogo contra a equipe j, sendo que para i = j adota-se a ij = ; - cada uma das equipes empatou ao menos um jogo. Sabendo-se que a equipe número 5 foi a campeã do torneio, a i5 6) (IBMEC-5) Uma agência de propaganda utiliza nas com um total de 48 pontos, é correto afirmar que i é campanhas publicitárias que elabora para seus clientes três igual a tipos de material para divulgação em papel: a) 6. impresso tipo PB, em preto e branco no papel simples, b) 9. impresso tipo CK, colorido no papel simples, c). impresso tipo CKX, colorido no papel mais grosso. d). Para fazer este tipo de trabalho, a agência contrata e) 5. normalmente três gráficas, que cobram preços unitários diferentes para cada tipo de impressão conforme tabela abaixo. 9) (Santa Casa-98) Se uma matriz quadrada A é tal que Tabela A t = -A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que Tipo PB CK CKX M é anti-simétrica e Gráfica A R$, R$, R$4, Gráfica B R$, R$, R$4, 4 a Gráfica C R$, R$, R$6, a b... a) Determine a gráfica que, para fazer M = b c c 8 Obs. M: Matriz quadrada impressões do tipo PB, 5 do tipo CK e do tipo CKX apresentaria o menor custo. b) No último ano, a agência fez 5% dos seus impressos com a gráfica A, 45% com a gráfica B e o restante com a gráfica C. Supondo que, em cada campanha deste último ano, a agência sempre fez os três tipos de impressão com a mesma gráfica e que os preços unitários foram os valores dados na Tabela, determine o custo unitário médio que a agência teve com cada tipo de impressão. de ordem. Os termos a, a e a da matriz M valem, respectivamente: a) -4, - e 4 b) 4, e -4 c) 4, - e -4 d), -4 e e) n.d.a. x y z x 7) (Vunesp-5) Considere as matrizes A = y, B = 4 5 x ) (Santana-98) Se a matriz é simétrica, -y e C = 6 45 então x é igual a:,com x, y, z números reais. Se AB = C, a soma dos elementos da matriz A é: a) 9. b) 4. c) 4. d) 5. e) 8. 8) (FMTM-5) A matriz A= (a ij ) x indica a pontuação das equipes que disputaram um torneio de futebol por a) 9 b) 8 c) d) 8 e) 9

6 y 4 5 x ) (UFRS-98) Se a matriz z 6 ica, c) for simétr então x + y + z é: a) 7 b) 9 c) d) d) e) e) ) (Mack-996) Sejam as matrizes a seguir A a ij,a 4x ij i j 5) (Mack-5) Considere as matrizes A e B, tais que A = i B b ij x4,b ij j e A.B =. A soma dos elementos da Se C = A.B, então c vale: a) b) 4 c) 9 d) 84 e) 5 primeira coluna da matriz B é igual a: a) b) c) d) 4 e) 5 ) (FEI-996) Considere as matrizes A e B a seguir : 6) (UFC-4) O valor de a para que a igualdade matricial a a b b A = a e B = b. a = seja verdadeira é: Se a inversa da matriz A é a matriz B então: a) a) a = ou b = b) b) ab = c) c) ab = d) - e) - d) a = e b = e) a + b = 7) (FGV-4) É dada a matriz A = 6 4 4) (FEI-994) Se as matrizes A= (a ij ) e B= (b ij ) estão assim definidas: a ij se i j a) Se B = A t - A,onde A t a matriz transposta de A e B = y a ij se i j 5x 7y x b ij se i j 4 5 x 7 b ij se i j 4 y y onde i, j, então a matriz A + B é: x 7y x determine o número real w, tal que w = x. y a) b) Considere a matriz C, tal que C = - A t. Encontre o valor do número real p, sendo p o determinante da matriz C b). A -, isto é, p = det (C. A - ) e A - matriz inversa da matriz A.

7 mx y 4 A x my 6 8) (FGV-4) Com relação à matriz, a k opção correta é: m A 4 I I b) Dadas as matrizes A = e B = a), sendo a matriz identidade de ordem. para que A valores de k e m, a matriz A é a inversa de B? b) I, sendo I a matriz identidade de ordem. c) A A 4) (UFPR-995) Considere a matriz A[a ij ], de ordem 4x4, cujos elementos são mostrado a seguir. A d) A, se i j A e) A a ij =, se i j 9) (FGV-4) Seja a matriz A = elementos da matriz A é a). b) 8. c) 5. d) 75. e).. A soma dos É correto afirmar que:. Na matriz A, o elemento a é igual ao elemento a.. Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos. 4. O determinante da matriz A é igual a Se a matriz B é [ - -], então o produto B.A é a matriz -B. 6. Sendo I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A+I possui todos os elementos iguais a. 4) (UFSCar-4) A matriz M = 4 Marque como resposta a soma dos itens corretos. está sendo 44) (UEL-) Uma nutricionista recomendou aos atletas usada para representar as coordenadas dos vértices A(, de um time de futebol a ingestão de uma quantidade ),B(, ) e C(4, ) de um triângulo ABC. Multiplicando-se mínima de certos alimentos (fruta, leite e cereais) M por uma constante k >, a matriz resultante da operação necessária para uma alimentação sadia. A matriz D fornece indicará os vértices do triângulo A B C, de acordo com o a quantidade diária mínima (em gramas) daqueles mesmo padrão anterior de representação. Em tais alimentos. A matriz M fornece a quantidade (em gramas) condições, a área do triângulo A B C será igual a de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida por cada a) k grama ingerida dos alimentos citados. b) 6k fruta c) k d) k D leite e) 6k 6 cereais b fruta leite cereais A 4) (Fatec-) Seja a matriz a,6 tal que M,,8 proteínas,,5,8 gorduras 9 A 8,84,5,6 carboidratos 9. A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em É verdade que a + b é igual a gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão daqueles alimentos é: a) 8, 9,7 48, b) c) 9 6, 6, 6, d) - 454, a) 46, b) 4,4 c) d) e) -9 5,9 75,9 48,,5 4) (FGV-) a) Discuta, em função de m, o sistema nas 45,6 4, e) incógnitas x e y:

8 45) (UFSCar-) Sejam as matrizes: log, d) M - = A = log, 5 e B = 4 Calcule: a) o determinante da matriz (B - A). b) a matriz inversa da matriz (B - A). 46) (Mauá-) Para acessar suas contas correntes via Internet, os clientes de um banco devem informar x: número do banco; y: número da agência; r: número da 5) (Vunesp-999) Seja A =. conta corrente; s: senha de acesso. Para garantir a segurança desses dados, que trafegam pela Internet, a matriz de a) Justifique, através do cálculo do determinante, que A é inversível. x y b) Mostre que A =A informação I = r s é pré-multiplicada por A = 5. Assim, a informação que trafega pela rede é I.A. 5) (FGV-998) Considere a matriz A =. Obtenha Se um cliente digitar x=; y=57; r=89 e s=46, qual será a informação que trafegará pela Internet? as matrizes: a) A + A - t 47) (ESPM-995) Considere as matrizes: I. A = (a ij ), x6, definida por a ij = i-j II. B = (b ij ), 6x8, definida por b ij = i III. C = (c ij ), C = A.B A l b) l O elemento c 4 é: 5) (Vunesp-994) Determine os valores de x, y e z na igualdade a seguir, envolvendo matrizes reais x: a) -64 b) - x x y z 4 c) -9. d) x x z e) Não existe y z 48) (AFA-999) Se os elementos da matriz A x4 são definidos por a ij = i - j, então, o elemento b da matriz B = - A.A t é a). b) 7. c). d). 49) (UFRN-) Dada a matriz M = a matriz -B. podemos afirmar que: 5) (UFPR-995) Considere a matriz A[aij], de ordem 4x4, cujos elementos são mostrado a seguir.,se i j Aij =,se i j É correto afirmar que:. Na matriz A, o elemento a é igual ao elemento a.. Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos. 4. O determinante da matriz A é igual a Se a matriz B é [ - -], então o produto B.A é 6. Sendo I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A+I possui todos os elementos iguais a. a) M 5 = M.M.M...M = M 5 vezes b) DET (M) = c) M.X = M = Marque como resposta a soma dos ítens corretos. 54) (UECE-996) Sejam as matrizes M e M a seguir e considere a operação entre estas matrizes:

9 p q - L L L M =, M = e M.M - M.M = - - P 9 P 5 8 Nessas condições p + q é igual a: P a) 5 6 b) 6 c) 7 d) 8. Analisando a matriz, podemos afirmar que a) a quantidade de produtos do tipo P vendidos pela loja L é. b) a quantidade de produtos do tipo P vendidos pela loja L é. c) a soma das quantidades de produtos do tipo P vendidos 55) (UECE-) A solução da equação matricial x pelas três lojas é 4.. d) a soma das quantidades de produtos do tipo P i vendidos pelas lojas L y i, i =,,, é 5. e) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P e P é: vendidos pela loja L é 45. a) b) c) d) a b 59) (Fuvest-999) Se as matrizes A = c d e B = 56) (UFSCar-) Seja a matriz M = (m ij ) x, tal que m ij = j - i. a) Escreva M na forma matricial. b) Sendo M t a matriz transposta de M, calcule o produto M M t. 57) (UFPR-) Para cada número x, considere as x - x matrizes: A = - x - e B = correto afirmar: de A. Se A =. Então, é y a) - Se x =, então A + B = 4. b) 4 - Se x =, então AB = -. c) - Existe número real x tal que det A = det B. - Existe número real x tal que A é inversa de B. - O número complexo +i é raiz da equação det A =. d) - (det A)(det B) é um polinômio cujas raízes têm soma igual a. são tais que AB = BA, pode-se afirmar que a) A é inversível b) det A = c) b = d) c = e) a = d = 6) (Fuvest-4) Uma matriz real A é ortogonal se A.A t = I, onde I indica a matriz identidade e A t indica a transposta e) x é ortogonal, então x + y é igual a: z 58) (Vunesp-) Considere três lojas, L, L e L, e três tipos de produtos, P, P e P. A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento a ij da matriz indica a quantidade do produto P i vendido pela loja L j,i, j =,,. 6) (Unifesp-) Uma indústria farmacêutica produz, diariamente, p unidades do medicamento X e q unidades do medicamento Y, ao custo unitário de r e s reais, respectivamente. Considere as matrizes M, x, e N, x: r M = [p q] e N = s A matriz produto M.N representa o custo da produção de a) dia. b) dias.

10 c) dias. d) 4 dias. e) 5 dias. 6) (Mack-5) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. O traço da matriz A = (a ij ) x, tal que a ij = i j, é: a). b) 5. c) 5. d) 4. e) 6. 6) (ESPM-5) Uma matriz quadrada de ordem é tal que o elemento situado na linha x e coluna y vale x - y. Com relação à inversa dessa matriz, pode-se afirmar que: a) O elemento situado na linha x e coluna y vale x - y b) O elemento situado na linha x e coluna y vale x + y c) O elemento situado na linha x e coluna y vale y - x d) O elemento situado na linha x e coluna y vale y - x e) Essa matriz não tem inversa 64) (UFRS-984) A matriz A = (a ij ), de segunda ordem, é definida por a ij = i - j. Então, A - A t é: a) b) c) d) e) 4 4 d) 4 4 e) 66) (Vunesp-) Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Em que condição pode-se afirmar que (A + B) = A + AB + B? a) Sempre, pois é uma expansão binomial. b) Se e somente se uma delas for a matriz identidade. c) Sempre, pois o produto de matrizes é associativo. d) Quando o produto AB for comutativo com BA. e) Se e somente se A = B. 67) (FGV-) Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem e a matriz nula também de ordem. Assinale a alternativa correta: a) Se AB = então A = ou B = b) det(a) = det(a) c) Se AB = AC então B = C d) A(BC) = (AB)C e) det(a + B) = det(a) + det(b) 68) (UEL-) Sendo A uma matriz m n e B uma matriz p q, é correto afirmar que a) (A t ) t = A e (B t ) t = B b) Sempre é possível efetuar (A + B) c) Se n = p, então A.B = B.A d) Sempre é possível efetuar o produto A.B e) Se n = p, então A.B t = B t.a 69) (FGV-) A, B e C são matrizes quadradas de ordem, e I é a matriz identidade de mesma ordem. Assinale a alternativa correta: a) (A + B) = A + AB + B b) B.C = C.B c) (A + B).(A - B) = A - B d) C.I = C e) I.A = I 65) (UFSE-984) São dadas as matrizes A = e B = x 5 x 7) (FAZU-) Se a matriz x 5 não é. A matriz X = A t + B, onde A t é a matriz invertível, então o valor de x é: transposta de A, é igual a: a) 5 b) 4 a) 5 c) -5 d) - e) b) c) 7) (Vunesp-999) Se A, B e C forem matrizes quadradas quaisquer de ordem n, assinale a única alternativa verdadeira:

11 a) AB = BA. b) Se AB = AC, então B = C. c) Se A = O n (matriz nula), então A = O n. d) (AB)C = A(BC). e) (A + B) = A + AB + B. 7) (UFRJ-999) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida: S = 5 e D = S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. Cada elemento a ij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número, Bernardo o número e Cláudio o número (a ij representa o elemento da linha i, coluna j de cada matriz). Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, chope de Bernardo e 4 de Cláudio ( primeira linha da matriz S). a) Quem bebeu mais chope no fim de semana? b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio? 7) (UniAra-) Sobre as sentenças: I. O produto de matrizes A 4x.B x é uma matriz 4x II. A soma de matrizes A x +B x é uma matriz x III. A soma de matrizes A x +B x é uma matriz x É verdade que: a) somente a II é falsa b) somente a I é falsa c) I, II e III, são falsas d) I e III são falsas e) somente a III é falsa 74) (UEL-995) Sejam as matrizes A e B, respectivamente, x4 e pxq. Se a matriz A.B é x5, então é verdade que: a) p = 5 e q = 5 b) p = 4 e q = 5 c) p = e q = 5 d) p = e q = 4 e) p = e q =

12 Gabarito ) a) det M = e M - = x cos y sen cos sen -sen cos ) Alternativa: E a b a c d d ) a) Seja A = c e A t = b temos B = (A + a b c a b c b c d b) z = A t ) = b c d = x = cos; y = sen e z=. a b c b c ) Resposta : d Como B t = = B então B é matriz simétrica. Para obter um elemento específico da matriz inversa, o ideal é usar o método de obter a matriz inversa via matriz a b a c adjunta. c d Seja A = e A t = b d temos C = (A - A t ) = b c ) Alternativa: A b c c b c b = 4) a). c b 5 b c t = -C então C é matriz anti- b) = 6, = ou = Como C = simétrica. 5) Alternativa: B b) Se A, B e C são matrizes x, B é matriz simétrica dada 6) Resposta a) Se AB = BA, então B - AB = B - BA = B - AB B - = B - BA por B = (A + A t ) e C é anti-simétrica dada por C = (A B - = B - A.I = I.A.B - = B - A = A.B -, ou seja, AB - = B - ª - A t ) temos que B + C = A + A t + A - A t = A b) A + AB - B = (A + AB - B).B - =.B - A.(AB - ) + A - I = A.[AB - + I ] = I Assim, det(a.[ab - + I ]) = det I deta det(ab - + I) = Assim, concluímos que deta, portanto A é inversível. + A = A. Logo, podemos dizer que qualquer matriz A do tipo x é a soma uma matriz simétrica com uma anti-simétrica devidamente escolhidas. 7) Alternativa: D e E Ambas representam a mesma matriz, pois.(q t ) -.P = ) a) A - = (Q - ) t.p. a b c a 8) M b) Isso acontece com matrizes do tipo = I - M com determinante -, pois: (obtenha as potências de M e perceba que elas formam uma seqüência de período 6, portanto M = M 5 ) a b a b Se A = A - = c a e A. A - = I, então c a 9) Alternativa: A Dica: perceba que a matriz X precisa ser do tipo (x). a b a bc c a = a bc = a +bc = - senx a -bc = - det = - ) a) A(x).A(x) = senx b) x {, }

13 4) Alternativa: C 5) Alternativa: B 6) Alternativa: B 7) a) x = b) 6 8 8) Alternativa: C b b,8 9) a) b b, (b + b ) -(b + b ) = b - b =, -,8, milhares de reais. reais b b,8 b b, b b, b) (b + b ) + (b + b ) + (b + b ),8 +, +, b + b + b = 6,8 b + b + b =,4 milhares de reais.4 reais ) B.A = ) a) deta = - 4x + y; gráfico. ) Alternativa: C 4) Alternativa: A 5) Alternativa: A 6) a) Resposta: Gráfica C b) Resposta: Os custos unitários médios, em reais, são,5,,7 e 4,6, respectivamente, para os tipos de impressão PB, CK e CKX. 7) Alternativa: B 8) Alternativa: A 9) Alternativa: B ) Alternativa: B ) Alternativa: C ) Alternativa: D ) Alternativa: C 4) Alternativa: D 5) Alternativa: C 6) Alternativa: B 7) a) 7 b) p = 8 8) Alternativa: A b) x = e y =. 9) Alternativa: A 4) Alternativa: D 4) Alternativa: B 4) a) SPD: m SI: m = b) k = e m = - 6 4) V V F V V = = 7 ) Alternativa: C 44) Alternativa: E

14 5 6) e) Multiplique a matriz A pela sua transposta e iguale à 45) B-A = 5 8 identidade. Resolva o sistema mantendo as incógnitas x, y e z ao quadrado. a) det (B-A) = 4+ = 5 4 6) Alternativa: B 5 5 b) (B-A) - = 6) Alternativa: B 6) Alternativa: E 8 46) Resposta: trafegará a matriz IA = ) Alternativa: E 48) Alternativa: D 49) Alternativa: A 5) a) Aplicando a regra de Sarrus, obtemos o determinante da matriz como sendo det A =. Assim, a matriz é inversível, pois det A. b) Se mostrarmos que A.A t = I (identidade) então estaremos mostrando que A t = A - (pela definição de Matriz Inversa). De fato, multiplicando a matriz A pela sua transposta obtemos a identidade de ordem. 64) Alternativa: B 65) Alternativa: D 66) Alternativa: D 67) Alternativa: D 68) Alternativa: A 69) Alternativa: D as alternativas A, B e C são falsas pois a multiplicação de matrizes não possui a propriedade comutativa. E como a matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação, C. I = C. 5) a) 5 b) 5 5 5) x =, y =, z = 4. 5) V V F V V = = 7 54) Alternativa: C 7) Alternativa: C 7) Alternativa: D 7) a) Cláudio bebeu mais (5 chopes) b) chopes. 7) Alternativa: D 74) Alternativa: B 55) Alternativa: B 56) a) M = 8 7 b) M.M t = ) V F V F V F 58) Alternativa: E 59) Alternativa: D