Matriz. 1 x+ y+ z 3y z+ 0,3 0,47 0,6 A = 0,47 0,6 x 0,6 x 0,77. Ax+ By = E Cx+ Dy = F. (m ) (m ) g(x) = 10, não têm ponto. a 1 1

Transcrição

1 Matriz. (Uerj 5) Observe a matriz A, quadrada e de ordem três.,,47,6 A =,47,6 x,6 x,77 Considere que cada elemento a ij dessa matriz é o valor do logaritmo decimal de (i+ j). O valor de x é igual a: a),5 b),7 c),77 d),87. (Ufsc 4) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). ) O sistema linear, abaixo, de duas equações a duas incógnitas x e y, no qual os coeficientes A,B,C e D são números primos distintos, tem solução única. Ax+ By = E Cx+ Dy = F A B ) A matriz, na qual A,B,C e D são C D números inteiros positivos que não têm fator primo comum, é inversível. 4) Se (x,y ) e (x, y ) são dois pontos da reta x y y = x, então a matriz é inversível. x y 8) A equação log (x ) + log (x+ ) = log4 tem duas soluções reais. 6) log >. ) Os gráficos das funções f :(, + ) e g:, dadas respectivamente por f(x) = log x e comum. x g(x) =, não têm ponto. (Unicamp 4) Considere a matriz a A = b, onde a, b e c são números reais. c 4. (Mackenzie 4) Se a matriz x+ y+ z y z y z+ z é simétrica, o valor de x é a) b) c) 6 d) e) 5 5. (Uema 4) Uma empresa da construção civil faz tipos de casa: tipo, para casal sem filhos; tipo, para casal com até filhos e tipo, para casal com ou mais filhos. A empresa de material de construção Barateiro Umbizal fornece ferro, madeira, telha e tijolo, para a primeira etapa da construção, conforme tabelas de material e de preço. Tipo da Casa Quantidade de Material Fornecido pela Empresa Barateiro Umbizal Ferro (feixe) Madeira (m ) Telha (milheiro) Tijolo (milheiro) Tipo Tipo Tipo Feixe de ferro Preço por Unidade de Material Fornecido em reais Madeira (m ) Telha (milheiro) Tijolo (milheiro) 5, 6, 4,, Sabendo que a empresa construirá, 4 e 5 casas dos tipos, e, respectivamente, o preço unitário de cada tipo de casa e o custo total do material fornecido, para esta primeira etapa de construção, pela empresa, em reais, é de a) Encontre os valores de a, b e c de modo que T A = A. b) Dados a= e b=, para que os valores de c e d x o sistema linear A y = tem infinitas soluções? z d Página

2 a) b) c) d) e) Tipo Tipo Tipo Custo total 5., 7., 8.9, 8., Tipo Tipo Tipo Custo total 4.4, 7., 9., 8.7, Tipo Tipo Tipo Custo total 4.4, 7., 8.9, 8.7, Tipo Tipo Tipo Custo total 4.4, 7.4, 8.9, 8.9, Tipo Tipo Tipo Custo total 4.5, 7., 8.8, 8.4, 6. (Ufg 4) Um modelo matemático usado para a ampliação de uma imagem consiste em considerar uma transformação linear dada pela multiplicação de uma matriz escala E s por uma matriz coluna A, composta pelas coordenadas do ponto P, que forma a imagem que será ampliada. Considerando as matrizes A e E s dadas por x A = y e Ex E s =, E y em que E x e E y são fatores multiplicativos que indicam a mudança da escala, então a matriz Q que indica as novas coordenadas do ponto P, obtidas pela multiplicação das matrizes E s e A, é: xex a) ye y Ex + x b) Ey + y yex c) xe y xex d) ye y Ex x e) y E y 7. (Uel 4) Conforme dados da Agência Nacional de Aviação Civil (ANAC), no Brasil, existem 7 aeródromos públicos e 84 aeródromos privados certificados. Os programas computacionais utilizados para gerenciar o tráfego aéreo representam a malha aérea por meio de matrizes. Considere a malha aérea entre quatro cidades com aeroportos por meio de uma matriz. Sejam as cidades A, B, C e D indexadas nas linhas e colunas da matriz 4 4 dada a seguir. Coloca-se na posição X e Y da matriz 4 4 se as cidades X e Y possuem conexão aérea direta, caso contrário coloca-se. A diagonal principal, que corresponde à posição X = Y, foi preenchida com. A B C D A B C D Considerando que, no trajeto, o avião não pode pousar duas ou mais vezes em uma mesma cidade nem voltar para a cidade de origem, assinale a alternativa correta. a) Pode-se ir da cidade A até B passando por outras cidades. b) Pode-se ir da cidade D até B passando por outras cidades. c) Pode-se ir diretamente da cidade D até C. d) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades A e B. e) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades A e C. 8. (Insper 4) Três amigos foram a uma papelaria para comprar material escolar. As quantidades adquiridas de cada produto e o total pago por cada um deles são mostrados na tabela. Quantidades compradas de Total Amigo cadernos canetas lápis pago (R$) Júlia , Bruno 6 5, Felipe , Os preços unitários, em reais, de um caderno, de uma caneta e de um lápis, são, respectivamente, x, y e z. Dessa forma, das igualdades envolvendo matrizes fornecidas a seguir, a única que relaciona corretamente esses preços unitários com os dados da tabela é 5 5 a) [ x y z] 6 = [ ]. 4 5 x b) y 6 5 =. z c) 6 [ x y z] = [ ] x 96 d) 6 y 5 =. 4 5 z 79 x e) y 5 6 =. z (Upf 4) Dadas as matrizes quadradas A, B e C, de ordem n, e a matriz identidade I n, de mesma Página

3 ordem, considere as proposições a seguir, verificando se são verdadeiras (V) ou falsas (F). A+ B = A + AB+ B ( ) ( ) A B = A B ( ) ( ) ( ) CI= C A sequência correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é: a) V V V. b) V F V. c) F V V. d) F F V. e) F F F.. (Uerj 4) Considere a sequência de matrizes (A, A,A,...), todas quadradas de ordem 4, respectivamente iguais a: ,,, Sabendo que o elemento aij = 754 é da matriz A n, determine os valores de n, i e j.. (Uern ) Sejam duas matrizes A e B: i j,sei j A = (a ij), tal que aij= e B= A. i + j,se > j Assim, a soma dos elementos da diagonal secundária de B é a) 49. b) 5. c) 7. d) 94. a b. (Ufpe ) Seja a inversa da matriz c d. Indique a + b + c + d. 4. (Espm ) A distribuição dos n moradores de um pequeno prédio de apartamentos é dada pela 4 x 5 matriz y, onde cada elemento aij 6 y x+ representa a quantidade de moradores do apartamento j do andar i. Sabe-se que, no º andar, moram pessoas a mais que no º e que os apartamentos de número comportam pessoas ao todo. O valor de n é: a) b) c) d) e) 4 4. (Pucrs ) Num jogo, foram sorteados 6 números para compor uma matriz M = (m ij) de ordem. Após o sorteio, notou-se que esses números obedeceram à regra mij = 4i j. Assim, a matriz M é igual a. a) b) c) d) e) (Unioeste ) Sendo A uma matriz quadrada e n um inteiro maior ou igual a, define-se A n como a multiplicação de A por A, n vezes. No caso de A ser a matriz é correto afirmar que a soma 9 4 A+ A + A + K + A + A é igual à matriz a). 4 b). 4 4 c) d). 4 4 e). 6. (Ufrn ) Considere, a seguir, uma tabela com as notas de quatro alunos em três avaliações e a matriz M formada pelos dados dessa tabela. Avaliação Avaliação Avaliação Thiago Maria Sônia André Página

4 M= O produto M corresponde à média a) de todos os alunos na Avaliação. b) de cada avaliação. c) de cada aluno nas três avaliações. d) de todos os alunos na Avaliação. 7. (Unicamp ) Considere a matriz α A α = que depende do parâmetro real α α >. A A α+ a) Calcule a matriz ( ) α. b) Um ponto no plano cartesiano com as coordenadas x é transformado pela matriz A α em um novo y ponto da seguinte forma: x+ αy x' x = α =. ' A y y x y α Calcule o valor de α, sabendo que o sistema x 6 Aα = admite solução. y 8. (Ufsj ) A matriz inversa de A = é a) A = b) A = c) A = d) A = 9. (Fgv ) Sabendo que a inversa de uma matriz A é A =, 5 e que a matriz X é solução da equação matricial X A = B, em que B= [ 8 ], podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz X é a) 7 b) 8 c) 9 d) e). (Esc. Naval ) Sejam A = 4 e 5 B= e B' a transposta de B. O produto 6 da matriz A pela matriz B' é 9 a) b) c) 6 6 d) e). (Insper ) Considere as matrizes A =, x B =, 8 X= y e x Y =. Se x e y são as y soluções não nulas da equação A Y+ B X =, então x y é igual a a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e).. (Uem ) Duas matrizes quadradas A e B, de mesma ordem, são semelhantes, se existir uma matriz C, possuindo a mesma ordem de A e B, de determinante não nulo, tal que A = C BC. Com relação a matrizes semelhantes, é correto afirmar que ) matrizes com determinantes distintos podem ser semelhantes. ) a matriz identidade de ordem n n só é semelhante a si mesma. 4) se A é semelhante a B, então, necessariamente, A é semelhante a B. Página 4

5 8) se C= e B=, então C BC=. 6) se A é semelhante a B, então, A é semelhante a B. c) a produção mensal de cada tipo de parafuso. d) a produção total de parafusos por caixa. e) a produção média de parafusos por caixa.. (Uern ) Sejam as matrizes 4 M =, N= e P= M N+ N M. 5 O menor elemento da matriz P é a) 7. b). c) 5. d). a b 4. (Espm ) Sendo A = c d uma matriz quadrada de ordem, a soma de todos os elementos t da matriz M= A A é dada por: a) a + b + c + d b) (a + b + c + d) c) (a + b) + (c + d) d) (a + d) + (b + c) e) (a + c) + (b + d) 5. (Ufg ) Uma metalúrgica produz parafusos para móveis de madeira em três tipos, denominados soft, escareado e sextavado, que são vendidos em caixas grandes, com parafusos e pequenas, com 9, cada caixa contendo parafusos dos três tipos. A tabela, a seguir, fornece a quantidade de parafusos de cada tipo contida em cada caixa, grande ou pequena. A tabela fornece a quantidade de caixas de cada tipo produzida em cada mês do primeiro trimestre de um ano. TABELA Parafusos/caixa Pequena Grande Soft 5 Escareado 4 8 Sextavado 7 TABELA Caixas/mês JAN FEV MAR Pequena 5 Grande 5 8 Associando as matrizes 5 5 A = 4 8 e B= às tabelas e, respectivamente, o produto AxB fornece a) o número de caixas fabricadas no trimestre. b) a produção do trimestre de um tipo de parafuso, em cada coluna. Página 5

6 Resolução das Questões Resposta da questão : [B] Sabendo que a = log(+ ) = log,, tem-se que x = a = a = log(+ ) = log5 = log = log log, =,7. Resposta da questão : = 9. [] Correto. O sistema tem solução única se, e somente se, A B AD CB. C D Daí, como A,B,C e D são números primos distintos, segue-se que AD CB e, portanto, o sistema possui solução única. [] Correto. Dado que A,B,C e D são números inteiros positivos que não têm fator primo comum, pelo Teorema Fundamental da Aritmética, seguese que AD BC e, portanto, A B AD BC, C D = A B o que implica em invertível. C D [4] Incorreto. Se (x,y ) e (x,y ) são dois pontos da reta y = x, então a matriz x y x x = x y x x não é invertível, pois a segunda coluna é proporcional à primeira, o que acarreta [8] Incorreto. De fato, sabendo que loga+ logb= loga b e logc = logd c = d, com a,b,c e d reais positivos, temos log(x ) + log(x+ ) = log4 log(x ) (x+ ) = log4 (x ) (x+ ) = 4 x x = x = 5 ou x = 4. Porém, se x= 4, temos x = 4 = 7< e, portanto, segue que x = 5 é a única solução real da equação dada. [6] Correto. Sabendo que logaa = e c logab = c logab, com a>, b> e c um número real qualquer, temos log = log= >. [] Incorreto. Note que f é crescente e g é decrescente. Além disso, como f() = < = g() e f() = log> = g(), segue-se que os gráficos de f e de g têm pelo menos um ponto em comum no intervalo ],[ (na verdade, exatamente um ponto. Esboce os gráficos de f e de g e verifique). Resposta da questão : t a) Se A = A, então A é antissimétrica. Logo, deve-se ter a=, b= e c =. b) Se a = e b=, a matriz ampliada do sistema x A y = é. Logo, efetuando z d c d as operações elementares sobre essa matriz, obtemos a matriz equivalente. c c+ d+ 4 Por conseguinte, o sistema possui infinitas soluções se c = e d= 4. Resposta da questão 4: A matriz dada é simétrica se tivermos x y x y =. Página 6

7 x+ y+ z= 4 x+ y+ z= 4 y z+ = y z+ y = z+ z 5 = z= 5 x = 6 y =. z = 5 Resposta da questão 5: 5 6 Sejam Q= e C =. A matriz V = (v ij), definida por V = Q C, é dada por = Portanto, sendo cada elemento v i da matriz V o custo unitário da casa Tipo i, com i=,,, segue o resultado. Resposta da questão 6: Ex x Ex x y x Ex ES A = E y y = = x Ey y y E y Resposta da questão 7: A identidade (A+ B) = A + AB+ B vale apenas se as matrizes A e B comutarem, isto é, se AB= BA. Portanto, a proposição é falsa. A identidade (A B) = A B é falsa, valendo apenas quando AB= BA. Sejam C = (c jk) n n e I = (i kl ) n n. Assim, o termo geral da matriz A = CI é dado por n ajl = cjk i kl. k= Além disso, como i k l =, se k l e i k l =, se k = l, segue-se que ajl = cjl para todo j e todo l, com j, l=,, K,n. Portanto, temos A = C e a proposição é verdadeira. Resposta da questão : 754= Logo, n= 474+ = 475 e i= e j=. Resposta da questão : A soma dos elementos da diagonal secundária da matriz B é igual a b + b + b= aa + aa + aa + aa + a + aa + aa + + aa+ aa = = 49. Verdadeira, pode se ir de A até B passando por D. [B] Falsa, pois A não possui conexão até B. Falsa, pois a 4 =. [D] Falsa, existe apenas um caminho passando por D. [E] Falsa, existe apenas um caminho (ADBC). Resposta da questão : a b Se a matriz é a inversa de c d, então: 4 Resposta da questão 8: [D] Os totais pagos por Júlia, Bruno e Felipe são dados, respectivamente, por 5x+ 5y+ z= 96, 6x+ y+ z= 5 e 4x+ 5y+ z= 79. Portanto, a única alternativa que relaciona corretamente os preços unitários com os dados da tabela é a alternativa [D]. Resposta da questão 9: [D] a+ b = a b a+ 4b= = c d 4 c+ d= c+ 4d= Portanto, a= 4 b =. c = d= a + b + c + d = = 9. Página 7

8 Resposta da questão : Sabendo que os apartamentos de número comportam pessoas ao todo, temos: 5+ y+ x+ = x+ y= 6. Portanto, o valor de n é dado por: x+ + y+ = 6+ 6=. Resposta da questão 4: Temos m m m M= m m m = = Resposta da questão 5: A = = A = = A partir daí pode-se observar que A elevada a expoente ímpar resulta em e A elevada a expoente par resulta em. A soma pedida poderá ser representada por: 9 4 A+ A + A + K+ A + A = + =. Resposta da questão 6: Efetuando o produto, obtemos M =, = o que corresponde à média de cada aluno nas três avaliações. Resposta da questão 7: α α α a) Aα+ A α = + = α α α b) α α + = = α α ( A ) α A α α x 6. = y α x+ αy 6 x = y α x+ αy = 6 x y = α Multiplicando a segunda equação por α e somando com a primeira, temos: + = α 6; portanto, para que a equação tenha solução, o valor de α deverá ser. Resposta da questão 8: [B] Determinante da Matriz A: det(a) = Matriz dos cofatores da matriz A: A' = T Matriz Adjunta da matriz A: A'' = (A') = Logo, a inversa de A será dada por: Página 8

9 A = det(a) = Resposta da questão 9: Sabendo que A A = I, com I sendo a matriz identidade de ordem, temos X A = B X A A = B A X I= B A X= [ 8 ] 5 X= [ ] [ ] X= 9. Por conseguinte, a soma pedida é igual a 9 + ( ) = 7. Resposta da questão : [D] = = Resposta da questão : Sabendo que x e y, vem x x A Y+ B X= + = y 8 y x y + = y 8x x + y = y + 8x + = x y y + 8x= y = x x(x + 8) = x=. y = 4 Resposta da questão : =. () Falso. A = C BC AC = C BCC AC = C B det(ac ) = det(c B) det A = detb () Verdadeiro. (4) Verdadeiro. AAC AAC A = C B C = C BBCC = C BB det(aac ) = det(c BB) det(aa) det(c ) = det(bb) det(c ) det(a ) = det(b ) (8) Verdadeiro. Sendo C= e B= Temos: C BC= = = (6) Verdadeiro. (A)C (A)C n (A) = C (B)C = C (B)CC = C (B) det((a)c ) = det(c (B)) det(a) det(c ) = det(b) det(c ) det(a) = det(b) Resposta da questão : A matriz P é tal que n Portanto, x y = ( ) ( 4) = 8. Página 9

10 4 4 P= = = =. 7 P é 7. Portanto, o menor elemento da matriz Resposta da questão 4: [E] Como t a c A =, b d segue que a b a c a + b ac+ bd M =. c d b d = ac+ bd c + d Portanto, a soma pedida é a + b + ac+ bd+ c + d = a + ac+ c + b + bd+ d = (a+ c) + (b+ d). Resposta da questão 5: Se cada linha da matriz A representa o tipo de parafuso e cada coluna da matriz B o mês de produção, o produto das matrizes nos revelará a produção mensal de cada tipo de parafusos. Página