Nome: n o : Recuperação de Matemática 3ª. E.M. 2017

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1 Nome: n o : Ensino: Médio Série: 3ª. Turma: Data: Professor: Márcio Recuperação de Matemática 3ª. E.M. 017 Números Complexos 1. Sejam os números complexos z 1 = x 5 + ( + y)i e z = 4 3i. Determine x e y para que z 1 = z. Determine o número complexo z tal que z + 3 z = 4 i. 3. Determine o valor de k, k R, para que (5 i)(k + 3i) seja um número real. 4. Determine x e y, de modo que (4 + i)(x i) = y + 1 i. 5. O número complexo real m? 3 i m i tem a parte imaginária nula. Qual o valor do número 6. (UFAL) Seja o número complexo Z = i i 10 + i i i i 106. Calcule z. 7. Sendo z 1 = 5i, z = 1 + i, calcular: a) z 1 z z1 b) z c) ( z 1 ) + ( z ) 8. Considere o número complexo z = 3 i. a) Calcule ( z ) + 3. i 35. b) Determine x e y reais para que xz + yi = (Fuvest-SP) a) Determine todas as soluções, no campo complexo, da equação z = iz onde i é a unidade imaginária, isto é, i = 1 e z é o conjugado de z. b) Represente essas soluções no plano complexo. 10. Determinar o número complexo z de modo que z = e z i = (UFSC) Dada a expressão Z + Z = Zi 7, sendo Z um número complexo, determine Z.

2 1. Um número complexo z e seu conjugado z são tais que z + z = 4 e z z = 4i. Qual a forma trigonométrica de z? i Represente o número na forma trigonométrica. 1 i 1 i 14. Dados os complexos z 1 = cos isen, z = 4cos isen 4 4 z1 z a) z b) z 3 z z 1 3 e z 3 = cos isen, calcule: Dado z = cos isen, calcular z (UFPE) Encontre o menor número natural n, maior do que 10, tal que ( 3 + i) n seja um número complexo imaginário puro. 17. Calcular as raízes quadradas de z = 3 + i. 18. Resolver a equação x + 8 = 0, sabendo se que x é uma variável complexa. 19. Determine e represente graficamente as raízes cúbicas de: a) 8i b) 7 0. (UFU-MG) Calcule as raízes quartas do complexo z = i. 1. Determine: a) as raízes sextas de 1 b) as raízes cúbicas de 64 Gabarito 1. x = 3 e y = 1 ou x = 3 e y = 1. z = 4/5 + i 3. 15/ 4. x = 17/ e y = m = 3 6. i 7. a) 8 + 9i b) 1 1 i 5 5 c) 4 + 4i 8. a) + 3 i b) x = 1/ e y = 1 9. z 1 = 0, z = i, z 3 = z 4 = 10. z = i 3 1 i e 3 1 i cos isen

3 13. 8cos isen a) 8 cos isen b) cos isen n = z 1 = (cos 15º + i sen 15º) e z 0 = ( cos 15º i sen 15º) 18. S = {i, i} 19. a) 3 i, 3 i e i b) 3, i e 3 3 i i, 3 i, 1 3 i e 3 i 1. a) , 1, i, i, i, i b) 4, 3 i, 3 i

4 Probabilidade 1. (Fuvest) Uma pessoa dispõe de um dado honesto, que é lançado sucessivamente quatro vezes. Determine a probabilidade de que nenhum dos números sorteados nos dois primeiros lançamentos coincida com algum dos números sorteados nos dois últimos lançamentos.. (IBMEC) Oito atletas entre os quais o americano Lind e o jamaicano Usain Bolt disputaram uma prova de 100 metros rasos, em que não há empates nem desistências. Apenas os três primeiros colocados recebem medalhas. Considerando que todas as ordens de chegada sejam igualmente prováveis, a probabilidade de que Lind fique melhor colocado que Bolt e que ambos recebam medalhas é: a) 1/56. b) 1/8. c) 1/8. d) 3/56. e) 1/7. 3. (UEL) De uma urna contendo 8 bolas brancas e 10 bolas pretas, idênticas, sacam-se, ao acaso, bolas sucessivamente, sem reposição. A cor da primeira bola não é revelada. A segunda bola é preta. Sabendo-se disso, qual é a probabilidade de a primeira bola ser branca? a) b) c) d) e) 4. Os 36 cães existentes em um canil são apenas de três raças: poodle, dálmata e boxer. Sabe-se que o total de cães das raças poodle e dálmata excede o número de cães da raça boxer em 6 unidades, enquanto que o total de cães das raças dálmata e boxer é o dobro do número dos de raça poodle. Nessas condições, escolhendo-se, ao acaso, um cão desse canil, a probabilidade de ele ser da raça poodle é: a) 1/4 b) 1/3 c) 5/1 d) 1/ e) /3 5. (Enem) Em um concurso realizado em uma lanchonete, apresentavam-se ao consumidor quatro cartas voltadas para baixo, em ordem aleatória, diferenciadas pelos algarismos 0, 1, e 5. O consumidor selecionava uma nova ordem ainda com as cartas voltadas para baixo. Ao desvirá-las, verificava-se quais delas continham o algarismo na posição correta dos algarismos do número 1,50 que era o valor, em reais, do trio promoção. Para cada algarismo na posição acertada, ganhava-se R$1,00 de desconto. Por exemplo, se a segunda carta da sequência escolhida pelo consumidor fosse e a terceira fosse 5, ele ganharia R$,00 de desconto. Qual é a probabilidade de um consumidor não ganhar qualquer desconto? a) b) 3 c) d) e) 8 6. (IBMEC - Modificada) Cada uma das seis faces de um dado foi marcada com um único número inteiro de 1 a 4, respeitando-se as seguintes regras: Faces opostas foram marcadas com o mesmo número;

5 A soma dos números marcados nas seis faces é igual a. Lançando-se esse dado duas vezes seguidas, a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos nos dois lançamentos seja 7, é igual a: a) b) c) d) e) 7. (PUC SP) Uma urna contém apenas cartões marcados com números de três algarismos distintos, escolhidos de 1 a 9. Se, nessa urna, não há cartões com números repetidos, a probabilidade de ser sorteado um cartão com um número menor que 500 é: a) 3/4. b) 1/. c) 8/1. d) 4/9. e) 1/3. 8. Um jogo de dado funciona da seguinte maneira: a pessoa faz um primeiro lançamento do dado e, se sair a face 5, ela ganha e o jogo termina. se no primeiro lançamento não sair a face 5, o dado é lançado pela segunda e última vez. Se sair um número maior do que 3, a pessoa vence. Caso contrário, ela perde. Qual é a probabilidade de essa pessoa vencer esse jogo fazendo um ou dois lançamentos do dado? Considere que o dado é cúbico e não viciado. a) 9/13 b) 7/1 c) 3/5 d) 4/7 e)7/1 9. Um grupo de turistas apresenta a seguinte composição: HOMENS MULHERES CRIANÇAS FRANCESES INGLESES ITALIANOS ESPANHÓIS 1 1 Sorteando-se uma pessoa deste grupo, pede-se: a) se for criança, qual a probabilidade de ser inglesa? b) se for francesa, qual a probabilidade de ser mulher? 10. A probabilidade de um homem estar vivo daqui a vinte anos é 10% e a de seu filho é 50%. Qual a probabilidade de esse filho ser órfão de pai daqui a vinte anos? 11. (CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. Qual a probabilidade de que cada um dos andares tenha exatamente um apartamento ocupado? 1. (FEI) Uma urna contém dez bolas pretas e oito bolas vermelhas. Retiram-se três bolas, sem reposição. Qual a probabilidade de as duas primeiras bolas serem pretas e a terceira, vermelha?

6 13. (FGV) Em certo país, 10% das declarações de imposto de renda são suspeitas e submetidas a uma análise detalhada; entre estas verificou-se que 0% são fraudulentas. Entre as não suspeitas, % são fraudulentas. a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual é a probabilidade de ela ser suspeita e fraudulenta? b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a chance de ela ter sido suspeita? 14. (CESGRANRIO) O dispositivo que aciona a abertura de uma joalheria apresenta um teclado com nove teclas, sendo cinco algarismos (0, 1,, 3, 4) e quatro letras (x, y, z, w). O segredo do cofre é uma sequência de três algarismos seguidos de duas letras. Qual a probabilidade de uma pessoa, numa única tentativa ao acaso, abrir o cofre? 15. (UFRS) A figura ao lado representa uma parede quadrada na qual estão pintados discos de raio r. Se uma bola é lançada totalmente ao acaso contra a parede, a probabilidade de ela tocar fora dos discos está entre: a) 14% e 16% b) 17% e 19% c) 0% e % d) 3% e 5% e) 6% e 8% GABARITO 1. 35/7. D 3. A 4. B 5. B 6. A 7. D 8. B 9. a) 1/4 b) 5/ % 11. /5 1. 5/ A) % B) 5,63% 14. 1/ C