Exercícios de Aprofundamento Mat. Combinação e Probabilidade

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1 1. (Unifesp 2015) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas quadradas. Duas dessas casas formam uma dupla de casas contíguas se estão lado a lado, compartilhando exatamente um de seus lados. Veja dois exemplos de duplas de casas contíguas nos tabuleiros. Dispõem-se de duas peças, uma na forma, e outra na forma, sendo que cada uma cobre exatamente uma casa do tabuleiro. a) De quantas maneiras diferentes é possível colocar as peças e em duplas de casas contíguas de um tabuleiro de xadrez? b) Considere as 64 casas de um tabuleiro de xadrez como sendo os elementos de uma matriz A (a ij) 8 8. Coloca-se a peça, ao acaso, em uma casa qualquer do tabuleiro tal que i j. Em seguida, a peça será colocada, também ao acaso, em uma casa qualquer do tabuleiro que esteja desocupada. Na situação descrita, calcule a probabilidade de que as peças e tenham sido colocadas em duplas de casas contíguas do tabuleiro. 2. (Unesp 2015) Um dado viciado, que será lançado uma única vez, possui seis faces, numeradas de 1 a 6. A tabela a seguir fornece a probabilidade de ocorrência de cada face. número na face probabilidade de ocorrência da face Sendo X o evento sair um número ímpar e Y um evento cuja probabilidade de ocorrência seja 90%, calcule a probabilidade de ocorrência de X e escreva uma possível descrição do evento Y. 3. (Espcex (Aman) 2015) De uma caixa contendo 50 bolas numeradas de 1 a 50 retiram-se duas bolas, sem reposição. A probabilidade do número da primeira bola ser divisível por 4 e o número da segunda bola ser divisível por 5 é a) b) c) d) e) (Unesp 2015) Renato e Alice fazem parte de um grupo de 8 pessoas que serão colocadas, ao acaso, em fila. Calcule a probabilidade de haver exatamente 4 pessoas entre Renato e Alice na fila que será formada. Página 1 de 12

2 Generalize uma fórmula para o cálculo da probabilidade do problema descrito acima com o mesmo grupo de "8 pessoas, trocando "4 pessoas por "m pessoas, em que 1 m 6. A probabilidade deverá ser dada em função de m. 5. (Fuvest 2014) Deseja-se formar uma comissão composta por sete membros do Senado Federal brasileiro, atendendo às seguintes condições: (i) nenhuma unidade da Federação terá dois membros na comissão, (ii) cada uma das duas regiões administrativas mais populosas terá dois membros e (iii) cada uma das outras três regiões terá um membro. a) Quantas unidades da Federação tem cada região? b) Chame de N o número de comissões diferentes que podem ser formadas (duas comissões são consideradas iguais quando têm os mesmos membros). Encontre uma expressão para N e simplifique-a de modo a obter sua decomposição em fatores primos. c) Chame de P a probabilidade de se obter uma comissão que satisfaça as condições exigidas, ao se escolher sete senadores ao acaso. Verifique que P 1/ 50. Segundo a Constituição da República Federativa do Brasil 1988, cada unidade da Federação é representada por três senadores. 6. (Unifesp 2014) Uma população de 10 camundongos, marcados de 1 a 10, será utilizada para um experimento em que serão sorteados aleatoriamente 4 camundongos. Dos 10 camundongos, apenas 2 têm certa característica C 1, 5 têm certa característica C 2 e nenhum deles tem as duas características. Pergunta-se: a) Qual é a probabilidade de que ao menos um dos camundongos com a característica C 1 esteja no grupo sorteado? b) Qual é a probabilidade de que o grupo sorteado tenha apenas 1 camundongo com a característica C 1 e ao menos 2 com a característica C 2? 7. (Unesp 2014) Um professor, ao elaborar uma prova composta de 10 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas cada e apenas uma correta, deseja que haja um equilíbrio no número de alternativas corretas, a serem assinaladas com X na folha de respostas. Isto é, ele deseja que duas questões sejam assinaladas com a alternativa A, duas com a B, e assim por diante, como mostra o modelo. Modelo de folha de resposta (gabarito) A B C D E 01 X 02 X 03 X 04 X 05 X 06 X 07 X 08 X 09 X 10 X Nessas condições, a quantidade de folha de respostas diferentes, com a letra X disposta nas alternativas corretas, será a) b) c) d) Página 2 de 12

3 e) (Insper 2014) Um dirigente sugeriu a criação de um torneio de futebol chamado Copa dos Campeões, disputado apenas pelos oito países que já foram campeões mundiais: os três sulamericanos (Uruguai, Brasil e Argentina) e os cinco europeus (Itália, Alemanha, Inglaterra, França e Espanha). As oito seleções seriam divididas em dois grupos de quatro, sendo os jogos do grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do grupo B em São Paulo. Considerando os integrantes de cada grupo e as cidades onde serão realizados os jogos, o número de maneiras diferentes de dividir as oito seleções de modo que as três sul-americanas não fiquem no mesmo grupo é a) 140. b) 120. c) 70. d) 60. e) (Ita 2014) Seja Ω o espaço amostral que representa todos os resultados possíveis do lançamento simultâneo de três dados. Se A Ω é o evento para o qual a soma dos resultados dos três dados é igual a 9 e B Ω o evento cuja soma dos resultados é igual a 10, calcule: a) n( Ω ); b) n(a) e n(b); c) P(A) e P(B). 10. (Fgv 2014) A figura abaixo representa a face superior de um recipiente em forma de cubo de lado igual a L. Esta face está parcialmente tampada por uma placa de metal (área em cinza) e parcialmente destampada (área em branco), sendo AE AF L / 2. João e Maria arremessam bolinhas de diâmetro desprezível sobre essa face. Considere que a probabilidade de a bolinha atingir qualquer região dessa face é proporcional à área da região e que os arremessos são realizados de forma independente. a) Dado que uma bolinha arremessada por João caia na região do quadrado ABCD, qual é a probabilidade de que passe diretamente pela parte branca (destampada)? b) Se João arremessar uma bolinha e Maria arremessar outra, dado que em ambos os lançamentos as bolinhas caiam na região do quadrado ABCD, qual é a probabilidade de que ao menos uma passe diretamente pela parte branca? c) Se João efetuar seis arremessos, e em todos eles a bolinha cair na região do quadrado ABCD, qual é a probabilidade de que em exatamente 4 desses arremessos a bolinha passe diretamente pela parte branca? 11. (Enem 2014) O psicólogo de uma empresa aplica um teste para analisar a aptidão de um candidato a determinado cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quando o psicólogo fizer a décima pergunta ou Página 3 de 12

4 quando o candidato der a segunda resposta errada. Com base em testes anteriores, o psicólogo sabe que a probabilidade de o candidato errar uma resposta é 0,20. A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é a) 0, b) 0, c) 0, d) 0, e) 0, (Espcex (Aman) 2014) Se escolhermos, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores inteiros positivos do número 360, a probabilidade de esse elemento ser um número múltiplo de 12 é: a) 1 2 b) 3 5 c) 1 3 d) 2 3 e) (Unesp 2014) Em um condomínio residencial, há 120 casas e 230 terrenos sem edificações. Em um determinado mês, entre as casas, 20% dos proprietários associados a cada casa estão com as taxas de condomínio atrasadas, enquanto que, entre os proprietários associados a cada terreno, esse percentual é de 10%. De posse de todos os boletos individuais de cobrança das taxas em atraso do mês, o administrador do empreendimento escolhe um boleto ao acaso. A probabilidade de que o boleto escolhido seja de um proprietário de terreno sem edificação é de a) b) c) d) e) (Unicamp 2014) Uma loteria sorteia três números distintos entre doze números possíveis. a) Para uma aposta em três números, qual é a probabilidade de acerto? b) Se a aposta em três números custa R$ 2,00, quanto deveria custar uma aposta em cinco números? 15. (G1 - ifsp 2014) O sangue humano é classificado em quatro tipos: A, B, AB e O. Além disso, também pode ser classificado pelo fator Rh em: Rh+ ou Rh. As pessoas do tipo O com Rh são consideradas doadoras universais e as do tipo AB com Rh+ são receptoras universais. Feita uma pesquisa sobre o tipo sanguíneo com 200 funcionários de uma clínica de estética, o resultado foi exposto na tabela a seguir. Página 4 de 12

5 A B AB O Rh Rh Um desses 200 funcionários será sorteado para um tratamento de pele gratuito. A probabilidade de que o sorteado seja doador universal é a) 7,5%. b) 10%. c) 15%. d) 17,5%. e) 20%. 16. (Mackenzie 2014) Em uma secretaria, dois digitadores atendem 3 departamentos. Se em cada dia útil um serviço de digitação é solicitado por departamento a um digitador escolhido ao acaso, a probabilidade de que, em um dia útil, nenhum digitador fique ocioso, é a) 1 2 b) 3 4 c) 7 8 d) 2 3 e) (Fgv 2014) a) Lançam-se ao ar 3 dados equilibrados, ou seja, as probabilidades de ocorrer cada uma das seis faces são iguais. Qual é a probabilidade de que apareça soma 9? Justifique a resposta. b) Um dado é construído de tal modo que a probabilidade de observar cada face é proporcional ao número que ela mostra. Se lançarmos o dado, qual é a probabilidade de obter um número primo? 18. (Unicamp 2014) Um caixa eletrônico de certo banco dispõe apenas de cédulas de 20 e 50 reais. No caso de um saque de 400 reais, a probabilidade do número de cédulas entregues ser ímpar é igual a a) 1. 4 b) 2. 5 c) 2. 3 d) 3. 5 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Em um curso de computação, uma das atividades consiste em criar um jogo da memória com as seis cartas mostradas a seguir. Página 5 de 12

6 Inicialmente, o programa embaralha as cartas e apresenta-as viradas para baixo. Em seguida, o primeiro jogador vira duas cartas e tenta formar um par. 19. (Insper 2014) Suponha que o primeiro jogador tenha virado as duas cartas mostradas abaixo. Como não foi feito par, o programa desvira as duas cartas e é a vez do segundo jogador, que utiliza a seguinte estratégia: ele vira uma das quatro cartas que não foi virada pelo primeiro jogador. Se a carta virada for um quadrado ou um triângulo, ele certamente forma um par, pois sabe onde está a carta correspondente. Caso contrário, ele vira uma das outras três cartas que ainda não foram viradas. A probabilidade de que o segundo jogador forme um par usando a estratégia descrita é a) 1. 2 b) 5. 8 c) 2. 3 d) 3. 4 e) 5. 6 Página 6 de 12

7 Gabarito: Resposta da questão 1: a) Há três tipos de casas no tabuleiro: 4 situadas nos vértices; 24 nas bordas, exceto os vértices e 36 interiores. Para cada uma das casas nos vértices, existem 2 casas contíguas; 3 para cada uma das casas nas bordas, e 4 para cada uma das interiores. Portanto, o resultado pedido é b) Para as casas a 11 e a 88 existem duas casas contíguas, enquanto que para as outras 6 casas do tipo i j há 4 casas contíguas. Desse modo, a probabilidade pedida é dada por Resposta da questão 2: A probabilidade de sair um número ímpar será dada por: P(x) 55% Poderemos admitir o evento Y como sendo Sair um número menor ou igual a quatro, pois neste caso, a probabilidade de ocorrência do evento Y seria dada por: P(y) = % Resposta da questão 3: [D] Divisíveis por 4: A {4,8,12,16,20,,48} e n(a) 12 Divisíveis por 5: B {5,10,15,,50} e n(b) 10 Divisíveis por 4 e 5: A B {20,40} e n(a B) 2 Portanto, a probabilidade pedida será: P Resposta da questão 4: Existem 2 maneiras de posicionar Renato e Alice. Podemos dispor m pessoas entre os dois 6! de A6, m maneiras. Além disso, considerando agora as 8 (m 2) 6 m pessoas (6 m)! restantes, temos P(6 m) 1 P 7 m (7 m)! possibilidades. Por outro lado, podemos organizar o grupo em fila de P8 8! modos, sem qualquer restrição. Desse modo, a probabilidade pedida é dada por 6! 2 (7 m)! (6 m)! 7 m. 8! 28 Em particular, se m 4, temos Página 7 de 12

8 Resposta da questão 5: a) A região Norte possui 7 unidades, a Nordeste 9, a Centro-Oeste 4, a Sudeste 4, e a Sul ! b) Sabendo que as regiões Nordeste e Sudeste são as mais populosas, há ! 2! 4 4! modos de escolher duas unidades da região Nordeste e 6 modos de escolher 2 2! 2! duas unidades da região Sudeste. Além disso, existem 7 maneiras de escolher uma unidade da região Norte, 4 modos de escolher uma unidade da região Centro-Oeste e 3 maneiras de escolher uma unidade da região Sul. Portanto, como cada unidade da Federação é representada por três senadores, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos N c) Como existem senadores, podemos escolher 7 senadores quaisquer de 81 81! 7 74! 7! maneiras. Logo, 5 11 P , 50 pois 18 63, e são menores do que 1. Resposta da questão 6: C8, a) (Onde C 8,4 é a quantidade de sorteados em que nenhum C10, camundongo tenha a característica C 1 ) b) C5,1 C5,2 C3,1 C2,1 C 5, C10,4 C Resposta da questão 7: [B] C10,2 C8,2 C6,2 C4,2 C2, Resposta da questão 8: [D] Página 8 de 12

9 3 Existem 2 maneiras de escolher o grupo que terá duas seleções sul-americanas, ! modos de escolher essas duas seleções, e 10 modos de escolher as duas 2 3! 2! seleções europeias que irão formar o grupo com as duas sul-americanas. Como o segundo grupo é determinado univocamente pelas escolhas do primeiro, segue-se que o resultado pedido, pelo Princípio Fundamental da Contagem, é Resposta da questão 9: a) Supondo que os dados possuem seis faces e que os resultados possíveis no lançamento de um desses dados sejam 1, 2, 3, 4, 5 e 6, pelo Princípio Multiplicativo, segue-se que n( ) b) Se (a, b, c) é a terna ordenada que exprime um resultado do lançamento dos três dados, então o número de elementos do conjunto A corresponde ao número de soluções inteiras e positivas da equação a b c 9, com 1 a 6, 1 b 6 e 1 c 6. Esse resultado é dado por 6 8 8! CR ! 2! Contudo, ainda devemos descontar as soluções (7,1,1), (1, 7,1) e (1,1, 7). Assim, vem que n(a) Analogamente, o número de soluções inteiras e positivas da equação a b c 10 é igual a 7 9 9! CR ! 2! Dentre essas soluções devemos descontar aquelas em que {a, b, c} {1, 1, 8} (3 soluções) e {a, b, c} {1, 2, 7} (3! 6 soluções). Portanto, segue-se que n(b) c) Supondo que os dados são equilibrados, vem n(a) 25 P(A) n( ) 216 e n(b) 27 1 P(B). n( ) Resposta da questão 10: a) A probabilidade pedida é dada por 1 L L L 4 b) A probabilidade de que as duas bolinhas atinjam a parte tampada é igual a Página 9 de 12

10 Portanto, a probabilidade de que ao menos uma passe diretamente pela parte branca é c) Sendo o acerto de uma bolinha na parte branca considerado sucesso, tem-se que o resultado pedido é dado por ! ! 2! ,30%. Resposta da questão 11: [B] Para que o teste termine na quinta pergunta, o candidato deverá errar exatamente uma pergunta dentre as quatro primeiras e errar a quinta. Por conseguinte, o resultado é 4 (0,8) 3 0,2 0,2 4 0,512 0,04 0, Resposta da questão 12: [C] 360 = Número de divisores positivos de 360: (3 + 1).(2 + 1).( 1 + 1) = 24 Divisores de 360 que são múltiplos de 12: {12,24,36,60,72,120,180,360} n = 8 Portanto, a probabilidade pedida será: P = 8/24 = 1/3. Resposta da questão 13: [E] P: probabilidade pedida. 20% de 120 = 24 10% de 230 = Logo, P Resposta da questão 14: a) Podemos sortear três números distintos entre doze possíveis de maneiras. Portanto, a probabilidade pedida é ! ! 9! 5 5! b) Uma aposta em cinco números corresponde a 10 apostas de três números. 3 3! 2! Em consequência, uma aposta em cinco números deveria custar 2 10 R$ 20,00. Resposta da questão 15: [C] Página 10 de 12

11 % Resposta da questão 16: [B] Cada departamento pode solicitar um digitador de 2 maneiras distintas. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, os três departamentos podem solicitar um digitador de modos em um dia útil. Por outro lado, um dos digitadores ficará ocioso, em um dia útil, desde que o outro digitador seja solicitado por todos os departamentos, e isso pode ocorrer de 2 maneiras. Em 2 3 consequência, a probabilidade pedida é dada por Resposta da questão 17: a) Seja (a, b, c), com 1 a 6, 1 b 6 e 1 c 6 a terna ordenada que representa um resultado do lançamento dos três dados. O número de ternas que apresentam soma igual a 9 corresponde ao número de soluções inteiras e positivas da equação a b c 9, ou seja, 6 8 8! CR ! 2! Contudo, desse resultado devemos descontar as ternas (1,1, 7), (1, 7,1) e (7,1,1) e, portanto, existem ternas favoráveis. Finalmente, sendo o número de ternas possíveis, tem-se que a probabilidade pedida é igual a b) Sabendo que P(1) k, P(2) 2k, P(3) 3k, P(4) 4k, P(5) 5k e P(6) 6k, com k sendo a constante de proporcionalidade, obtemos 2k 3k 5k 10 P(primo). 21k 21 Resposta da questão 18: [B] Sejam x, y e n, respectivamente, o número de cédulas de 20 reais, o número de cédulas de 50 reais e o número total de cédulas, isto é, n x y. Logo, para um saque de 400 reais, temos: 20x 50y 400 n x y 0 x 20 0 y 8 5n 40 3x 0 x 20 0 y 8 Como 40 3x é um múltiplo de 5, por inspeção, encontramos 2 Ω {(x, y) ; (0, 8), (5, 6), (10, 4), (15, 2), (20, 0)}.. Portanto, como os únicos casos favoráveis são (5, 6) e (15, 2), segue-se que a probabilidade pedida é igual a 2. 5 Página 11 de 12

12 Resposta da questão 19: [C] A probabilidade de que o segundo jogador ganhe na primeira tentativa, isto é, ao virar a primeira carta, é igual a 2 1. Assim, como a probabilidade dele ganhar ao virar a segunda carta é 1, tem-se que a probabilidade dele formar um par usando a estratégia descrita é igual a Página 12 de 12