Preparatórios e Cursos Eduardo Chaves - 1

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1 1 3 ANÁLISE COMBINATÓRIA 3.1 Princípio Fundamental da Contagem Suponhamos que vamos a um restaurante e temos, no cardápio, 8 opções de prato principal, 10 opções de bebida e 6 opões de sobremesa. De quantos modos podemos escolher 1 prato principal, 1 bebida e 1 sobremesa? É só multiplicarmos: 8 x 10 x 6 = 480 modos diferentes de escolhermos 1 prato principal, 1 bebida e 1 sobremesa. Exercício: Uma bandeira deve ser pintada com cinco cores diferentes dentre 10 cores diferentes disponíveis. De quantos modos diferentes pode realizar esta tarefa se amarelo e vermelho não podem ficar ocupar simultaneamente a primeira e a quinta faixas? Dica para resolução de problemas Em toda situação que sentirmos que é e devemos multiplicar e quando for ou devemos somar. Volte no primeiro exemplo: como vamos escolher um prato principal e uma sobremesa e uma bebida, multiplicamos os valores para achar o total de possibilidades. Se tivéssemos que escolher um prato principal ou uma bebida ou uma sobremesa, teríamos que somar as possibilidades de cada um para achar a resposta. 3.2 Tipos de Agrupamentos Arranjo Simples a) A ordem é importante. b) Os elementos são distintos c) n maior que p, sendo: n = número de elementos disponíveis e p = número de vagas. Fórmula A n,p = n! : ( n p)! ou o princípio multiplicativo Obs.: Na resolução de um problema,que é arranjo,você pode usar a fórmula ou usar o PFC (princípio fundamental da contagem).de acordo com minha experiência em concursos e vestibulares,recomento aos alunos saberem resolver pelos dois processos. Exemplo: Com os algarismos 2, 4, 6, 8 e 9, quantos números com 3 algarismos distintos podemos formar? Utilizando a fórmula: Exemplo: Com os algarismos 2, 4, 6, 8 e 9, quantos números com 3 algarismos distintos podemos formar, contendo sempre o 2?

2 2 O 2 pode aparecer na posição das centenas, dezenas ou unidade Arranjo com Repetição a) A ordem pode ser importante. b) Os elementos se repetem c) n > p Fórmula: AR = n p ou o princípio multiplicativo Exemplo: a) Com os algarismos 2, 4, 6, 8 e 9 quantos números com 3 algarismos podemos formar? 5 x 5 x 5 = 125 números Pela fórmula: AR 5,3 = 5 3 Exemplo 1: Com os algarismos 2, 4, 6, 8 e 9 quantos números com 3 algarismos podemos formar? 5 x 5 x 5 = 125 números Exemplo 2 :Com os algarismos 2, 4, 6, 8 e 9 quantos números com 3 algarismos podemos formar, sabendo que em todos eles, pelo menos 1 algarismo se repete? AR 5,3 A 5,3 = = 65 números Permutação Simples 1. A ordem é importante. 2. Os elementos são distintos. 3. n = p 4. Fórmula: Pn = n! ou o princípio multiplicativo Exemplo 1: Quantos anagramas podemos formar com M O E D A? Usando o princípio: 5x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 anagramas ou pela fórmula P5 = 5! = 120 Exemplo 2:Com as letras da palavra M O R E N A quantos anagramas podemos formar começando com consoante e terminando com vogal? A palavra possui 3 consoantes e 3 vogais, logo: Permutação com repetição a) A ordem é importante.

3 3 b) Os elementos se repetem. c) n = p Fórmula: Pn = n! : ( a!.b!.c!) ou o princípio multiplicativo corrigido sendo n: número total de letras incluindo as que repetem repete na palavra a,b,c : número de vezes que determinada letra se Exemplo 1: Calcule o nº de anagramas da palavra Combinação Simples a ordem não é importante Os elementos são distintos o número de opções pode ser maior ou igual ao número de vagas Fórmula: Cn,p = n! / p!( n p )! ou o princípio multiplicativo corrigido Importante : O segredo é percebermos quando, no exercício, existe a conotação de ordem. Podemos perceber,que, em situações como permuta de algarismos, permuta de posições em filas, em bancos, classificação em provas esportivas, em concursos,fotos, a ordem é importante. Portanto, nestes casos, nunca será combinação. 3.3 Exercícios 01) Duas meninas A e B e três meninos C, D e E ocupam o banco traseiro de um ônibus. De quantos modos diferentes podem se organizar se nas janelas devem estar um menino e uma menina? a) 20 b) 72 c) 80 d) 55 02) Um professor dispõe de 6 questões de álgebra e 4 de geometria para montar uma prova de 4 questões. Quantas provas diferentes poderá montar usando no mínimo 2 questões de álgebra? a) 180 b) 198 c) 185 d) ) Usando se os algarismos do conjunto a = {1, 3, 5, 7, 9}, são formados x números de 4 algarismos, de modo que, pelo menos, 2 algarismos sejam iguais. Calcule x. a) 500 b) 450 c) 235 d) ) De quantos modos podem ser dispostos 4 meninos e 4 meninas, numa fila de forma que não fiquem juntos dois meninos e duas meninas? a) 1152 b) 565 c) 345 d) ) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Quantos não são divisíveis por 5? a) 320 b) 300 c) 450 d) ) Calcular m sabendo que Am,4 : Am,2 = 2 a) 6 b) 2 c) 4 d) 8 07) Provar a identidade de (n-1)![( n+1)! n!] = (n!) 2 08) No sistema de numeração decimal, determinar os números de 3 algarismos sem repetição.

4 4 a) 658 b) 456 c) 458 d) ) Com uma letra m, uma letra b e um certo número de letras a podemos formar 20 permutações. Calcular o número de letra a a) 8 b)3 c) 4 d) 10 10) Quantos são os números de 4 algarismos no sistema de numeração decimal? a) 9000 b) 8000 c) 6000 d) ) São dados 10 pontos num plano dos quais 8 sobre uma mesma reta r, e os outros dois não alinhados com qualquer um dos 8 que pertencem a r. Quantos triângulos podem ser formados usando os pontos como vértices? a) 38 b) 64 c) 82 d) 55 12) De quantos modos 5 livros idênticos podem ser escolhidos por 8 estudantes,de modo cinco peguem um e três ficam sem livros? a) 24 b) 35 c) 45 d) 56 13) Resolver a equação: (n+2)! + (n+1)! = (n+3)! a) -5 b) -3 c) -10 d) 10 14) Um grupo de 9 professores, 5 lecionam Matemática. Quantas comissões de 3 componentes podem ser formados, de modo que em cada comissão compareça pelo menos um professor de matemática? a) 60 b) 70 c) 80 d) ) Quantos são os números compreendidos entre 1000 e 2000 formados por algarismos escolhidos entre 1, 3, 5, 7 e 9, sem repetição? a) 24 b) 30 c) 28 d) 40 16)Determinar o número de diagonais de um polígono convexo com n lados, usando a análise combinatória. 17) Quantas permutações podemos obter com as letras da palavra "arranhar"? a) 1200 b) 1345 c) 1120 d) ) Quantos números de 10 algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, de modo que cada número comece e termine por um dos 3 primeiros algarismos? a) b) c) d) ) Escolhidos entre 8 rapazes e 4 moças, quantos grupos de 5 pessoas podemos formar, de modo que figurem, pelo menos, duas moças? a) 478 b) 456 c) 542 d) ) Quantos números inteiros positivos de 3 algarismos apresentam algarismos repetidos? a)300 b) 378 c) 252 d) ) Quantos números distintos de 5 algarismos podemos formar com 1, 2, 3, 4, 5 (sem repetição), de modo que os números pares não fiquem juntos? a) 86 b) 70 c) 72 d) 84 22) Quantos anagramas podemos formar com a palavra problema se P, R e B ficarem juntas nesta ordem? a) 400 b) 890 c) 356 d) ) Mamãe tem 4 filhos; titia A tem 3 filhos; titia B 5 filhos. A relação "x é primo de y" tem quantos elementos? a) 35 b) 47 c) 56 d) 80 24) Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletós de cores diferentes. Qual é o número mínimo

5 5 de peças necessárias para se apresentar 24 vezes com conjuntos diferentes? a) 14 b) 12 c) 10 d) 15 25) Seis pessoas A, B, C, D, E, F ficam de pé, uma ao lado da outra, para uma fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, de quantos modos diferentes podem posar para foto? a) 128 b) 144 c) 156 d) ) Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão. De quantas maneiras o grupo poderá ser selecionado se, dois dos dez são marido e mulher e só irão juntos? a) 100 b) 45 c) 98 d) ) Em uma circunferência tomam-se 12 pontos. Se unirmos cada um destes pontos aos restantes, quantas retas serão formadas? a) 66 b) 65 c) 68 d) 69 28) (FAFIMG)Um indivíduo possui cinco discos dos Beatles, oito dos Rolling Stones e quatro do Dire Straits. Ele foi convidado par ir a uma festa e, ao sair, levou dois discos dos Beatles, dois dos Rolling Stones e três do Dire Straits. O número de modos distintos de escolher os discos é: a) 280 b) 42 c) 160 d) 1120 e) ) (Unificado RJ) As novas placas dos veículos são formadas por três letras seguidas por quatro algarismos,como, por exemplo, GYK O número de placas diferentes que podem ser construídas é, em milhões de placas, aproximadamente igual a: a) 1 b) 25 c) 75 d) 100 e) ) (ANPAD) As atuais placas de automóveis possuem três letras e quatro algarismos. O número de placas que não repetem nem letras nem algarismos é( considere o alfabeto com 26 letras): a)menor que b)maior que e menor que c)maior que e menor que d)maior que e menor que e)maior que ) (ANPAD) Com os algarismos 2,3,5,6,7 e 8 são formados números de quatro algarismos distintos. Dentre eles, quantos são divisíveis por 5: a) 60 b) 30 c) 20 d) 120 e) 50 32) (PUC MG) Uma prova de Matemática contém 30 questões do tipo múltipla escolha, tendo cada questão cinco alternativas. Se todas as questões forem respondidas forem respondidas ao acaso, o número de maneiras de preencher a folha de respostas é: a) 5 30 b) 30 5 c) 2 30 d) 150 e) 60 33) (UNIFORCE) O segredo de um cofre é constituído de duas letras distintas (escolhidas entre as 23 do alfabeto) e três algarismos distintos (escolhidos de 0 a 9). Sabendo-se que a letra da esquerda é um vogal e que o algarismo da direita é divisível por 5, qual é o número máximo de tentativas que podem ser feitas para se abrir esse cofre? a) b) c) d) e) ) (FUVEST SP) Quantos são os números inteiros positivos de cinco algarismo que não têm algarismos adjacentes iguais? a) b) 9843 c) 8940 d) 8500 e) ) (UNAMAPA) Dispõe-se de oito tipos de frutas para fazer uma salada. Se cada salda é composta de cinco frutas diferentes, então o número de saladas diferente que se pode preparar é: a) 8 b) 10 c) 56 d) 120 e) ) (UFRN) Um casal e seus quatro filhos, ao posar para uma fotografia, ficam em pé, um ao lado do outro. O número de modos que eles poderão se dispor, se os pais devem ficar sempre juntos, é:

6 6 a) 60 b) 36 c) 240 d) 720 e) ) (UFMG) Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. O número ocupa, nessa disposição, o lugar: a) 21º b) 64º c) 88º d) 92º e) 120º 38) (UFMG) Duas das 50 cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das 50 cadeiras, para ocupá-las, é: a) b) c) 250 d) 49! e) 50! 39) (FUVEST-SP) Num programa transmitido diariamente,uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis sequências dessas músicas, serão necessários aproximadamente: a) 100 dias b) 10 anos c) 1 século d) 10 séculos e) 100 séculos 40) (FE Edson Queiroz CE) Seja A o conjunto dos números naturais de 1 a 15. O número de possibilidades de escolher três elementos de A, de modo que a soma dos elementos escolhidos seja ímpar, é: a) 56 b) 77 c) 224 d) 378 e) ) (UFMG-1998) Observe o diagrama. O número de ligações distintas entre X e Z é: A) 39 B) 41 C) 35 D) 45 42) (UFMG-1999) Um teste é composto por 15 afirmações. Para cada uma delas, deve-se assinalar, na folha de respostas, uma das letras V ou F, caso a afirmação seja, respectivamente, verdadeira ou falsa. A fim de se obter, pelo menos, 80% de acertos, o número de maneiras diferentes de se marcar a folha de respostas é A) 455 B) 576 C) 560 D) ) (UFMG-2000) Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Nesse caso, o número de maneiras diferentes de se fazer a programação dessa semana é A) 144 B) 576 C) 720 D) ) (UFMG-2001) Um aposentado realiza diariamente, de segunda a sexta-feira, estas cinco atividades: a) leva seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a escola; b) pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica; c) passeia com o cachorro da família; d) pega seu neto Pedrinho, às 17 horas, na escola; e) rega as plantas do jardim de sua casa. Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre na mesma ordem, ele resolveu que, a cada dia, vai realizálas em uma ordem diferente. Nesse caso, o número de maneiras possíveis de ele realizar essas cinco atividades, em ordem diferente, é A) 24 B) 60 C) 72 D) ) (UFMG-2002) Em uma lanchonete, os sorvetes são divididos em três grupos: o vermelho, com 5 sabores; o amarelo, com 3 sabores; e o verde, com 2 sabores. Pode-se pedir uma casquinha com 1, 2 ou 3 bolas, mas

7 7 cada casquinha não pode conter 2 bolas de um mesmo grupo. O número de maneiras distintas de se pedir uma casquinha é A) 71 B) 86 C) 131 D) 61 46) (UFMG-2004) Num grupo constituído de 15 pessoas, cinco vestem camisas amarelas, cinco vestem camisas vermelhas e cinco vestem camisas verdes. Deseja-se formar uma fila com essas pessoas de forma que as três primeiras vistam camisas de cores diferentes e que as seguintes mantenham a sequencia de cores dada pelas três primeiras. Nessa situação, de quantas maneiras distintas se pode fazer tal fila? a) 3.5! 3 b) 5! 3 c) 3!.5! 3 d) (15!) : (3!.5!) 47) (FUVEST 2008) Um lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso: 1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco; 2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação é igual a: a) 928 b) 1152 c) 1828 d) 2412 e) ) (ESPCEX 2002) Numa classe de 30 alunos da EsPCEx, 10 são oriundos de Colégios Militares (CM) e 20, de Colégios Civis (CC). Pretende-se formar grupos com três alunos, de tal forma que um seja oriundo de CM e dois de CC. O número de grupos distintos que podem ser constituídos dessa forma é a)200 b)900 c)1260 d)1900 e) ) (ESPCEX 2003) Um conjunto contém 5 números inteiros positivos e 6 números inteiros negativos. Os valores absolutos destes 11 números são primos distintos. A quantidade de números positivos distintos que podem ser formados pelo produto de 3 destes números é A) 25. B) 70. C) 85. D) 120. E) ) (FUVEST 2007) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas? a) 71 b) 75 c) 80 d) 83 e) 87 51) (FUVEST 2006) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão? a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 52) (FUVEST 2005) Participam de um torneio de voleibol, 20 times distribuídos em 4 chaves, de 5 times cada. Na 1ª fase do torneio, os times jogam entre si uma única vez (um único turno), todos contra todos em cada chave, sendo que os 2 melhores de cada chave passam para a 2ª fase. Na 2ª fase, os jogos são eliminatórios; depois de cada partida, apenas o vencedor permanece no torneio. Logo, o número de jogos necessários até que se apure o campeão do torneio é a) 39 b) 41 c) 43 d) 45 e) 47 53) (FUVEST 2004) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos? a) 12 b) 18 c) 36 d) 72 e) ) (FUVEST 2003) Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo 4 itens distintos cada, para distribuir entre a população carente. Esses 4 itens devem ser escolhidos entre 8 tipos de produtos de limpeza e 5 tipos de alimentos não perecíveis. Em cada sacola, deve haver pelo menos um item que seja alimento não perecível e pelo menos um item que seja produto de limpeza. Quantos tipos de sacolas distintas podem ser feitos? a) 360 b) 420 c) 540 d) 600 e) 640

8 8 55) (FUVEST 2001) Uma classe de Educação Física de um colégio é formada por dez estudantes, todos com alturas diferentes. As alturas dos estudantes, em ordem crescente, serão designadas por h1, h2,..., h10 (h1 < h2 <... < h9 < h10). O professor vai escolher cinco desses estudantes para participar de uma demonstração na qual eles se apresentarão alinhados, em ordem crescente de suas alturas. Dos grupos que podem ser escolhidos, em quantos, o estudante, cuja altura é h7, ocupará a posição central durante a demonstração? a) 7 b) 10 c) 21 d) 45 e) 60 56) (UFMG2010) Para montar a programação de uma emissora de rádio, o programador musical conta com 10 músicas distintas, de diferentes estilos, assim agrupadas: 4 de MPB, 3 de Rock e 3 de Pop.Sem tempo para fazer essa programação, ele decide que, em cada um dos programas da emissora, serão tocadas, de forma aleatória, todas as 10 músicas. Assim sendo, é CORRETO afirmar que o número de programas distintos em que as músicas vão ser tocadas agrupadas por estilo é dado por: a) 4! x 3! x 3! x 3! b) 10! : 7! c) 4! x 3! x 3! d) 10! : ( 7! x 3!) Gabarito 1-b 2-c 3-d 4-a 5-b 6-c 7-8-d 9-b 10-a 11-b 12-d 13-b 14-c 15-a c 18-a 19-b 20-c 21-c 22-d 23-b 24-a 25-b 26-c 27-a 28-d 29-e 30-d 31-a 32-a 33-a 34-e 35-c 36-c 37-c 38-a 39-e 40-c 41-b 42-b 43-c 44-b 45-d 46-c 47-e 48-d 49-c 50-a 51- b 52- e 53-c 54-c 55-d 56-a