21 Análise combinatória Banco de questões

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1 UNIDADE V I I análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade CAPÍTULO 21 Análise combinatória Banco de questões 1 (Fuvest SP) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas? a ) 71 b ) 75 c ) 80 d ) 83 e ) 87 2 (UEMG MG) Pretende-se selecionar 6 pessoas de um grupo de 3 professores e 6 alunos, para participarem de uma propaganda da escola. Na propaganda devem aparecer 2 professores e 4 alunos. Esta seleção poderá ser feita de: a ) 360 modos b ) 45 modos c ) 1080 modos d ) 60 modos 3 (UERJ RJ) Sete diferentes figuras foram criadas para ilustrar, em grupos de quatro, o Manual do Candidato do Vestibular Estadual Um desses grupos está apresentado a seguir. Considere que cada grupo de quatro figuras que poderia ser formado é distinto de outro somente quando pelo menos uma de suas figuras for diferente. Nesse caso, o número total de grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual é igual a: a ) 24 b ) 35 c ) 70 d ) (UERJ RJ) Um sistema de numeração de base b, sendo b 2, utiliza b algarismos: 0, 1, 2, 3,, b 1. O sistema de numeração usual é o decimal. Quando escrevemos um número nesse sistema, a base 10 não precisa ser indicada. Por exemplo, o número 3548 corresponde a Em qualquer outro sistema, é preciso indicar a base. Por exemplo, o número ( 2043) 5 está escrito na base b = e corresponde a , ou seja, 273 no sistema decimal. Sabe-se que, em qualquer base, o acréscimo de zeros à esquerda da representação de um número não altera seu valor. Os números ( 301) 7 e ( 0301) 7 são, portanto, iguais e formados por três algarismos. Calcule, no sistema de numeração de base 7, a quantidade total de números que possuem somente quatro algarismos distintos. 5 (UFAC AC) Emanuel investigou os seguintes números: A quantidade máxima de maneiras de preencher, ao acaso, a folha de respostas de uma prova de matemática que contém 7 questões do tipo múltipla escolha, tendo cada questão 5 alternativas e a quantidade máxima de triângulos que podem ser construídos com vértices tomados sobre 30 pontos distintos de uma circunferência de raio r > 0. Se seus cálculos foram feitos corretamente, neles podemos ver que: a ) o maior número de triângulos que podem ser construídos é maior que o maior número possível de folhas de respostas preenchidas ao acaso b ) os números investigados são iguais c ) os números investigados são maiores que 4070 d ) os números investigados são menores que e ) o maior número de triângulos que podem ser construídos é menor que o maior número possível de folhas de respostas preenchidas ao acaso 6 (UFMS MS) Dispomos de quatro cores para colorir os vértices de um retângulo. Sabendose que os vértices adjacentes não podem ter a mesma cor, então, pode-se colorir os vértices do retângulo de L maneiras distintas, em que L vale: a ) 48 b ) 64 c ) 72 d ) 84 e ) 102

2 7 (UFPI PI) A quantidade de números inteiros ímpares de três dígitos, escritos na base 10, tais que em cada um deles nenhum dígito se repita, é igual a: a ) 320 b ) 330 c ) 340 d ) 350 e ) (UFRN RN) Arranjam-se os dígitos 1, 2, 3 e 4 de todos os modos possíveis, formando-se 24 números de 4 dígitos distintos. Listam-se, em ordem crescente, os 24 números formados. Nessa lista, o número 3241 ocupa a: a ) 14. a posição b ) 13. a posição c ) 16. a posição d ) 15. a posição 9 (Ufscar SP) Um encontro científico conta com a participação de pesquisadores de três áreas, sendo eles: 7 químicos, 5 físicos e 4 matemáticos. No encerramento do encontro, o grupo decidiu formar uma comissão de dois cientistas para representá-lo em um congresso. Tendo sido estabelecido que a dupla deveria ser formada por cientistas de áreas diferentes, o total de duplas distintas que podem representar o grupo no congresso é igual a: a ) 46 b ) 59 c ) 77 d ) 83 e ) (Unesp SP) Dois rapazes e duas moças irão viajar de ônibus, ocupando as poltronas de números 1 a 4, com 1 e 2 juntas e 3 e 4 juntas, conforme o esquema. O número de maneiras de ocupação dessas quatro poltronas, garantindo que, em duas poltronas juntas, ao lado de uma moça sempre viaje um rapaz, é: a ) 4 b ) 6 c ) 8 d ) 12 e ) (FGV SP) Uma empresa tem n vendedores que, com exceção de dois deles, podem ser promovidos a duas vagas de gerente de vendas. Se há 105 possibilidades de se efetuar essa promoção, então o número n é igual a: a ) 10 b ) 11 c ) 13 d ) 15 e ) (FGV SP) Três números inteiros distintos, de 20 a 20, foram escolhidos de forma que seu produto seja um número negativo. O número de maneiras diferentes de se fazer essa escolha é: a ) 4940 b ) 4250 c ) 3820 d ) 3640 e ) (Udesc SC) O valor de n, para que o número de combinações de n elementos tomados dois a dois seja igual ao número de combinações de n elementos tomados quatro a quatro, é: a ) 4 b ) 7 c ) 5 d ) 8 e ) 6 14 (Udesc SC) A soma dos valores de m e n, que são soluções do sistema A 2C = 14 m, 2 n, 2, é: C + A = 11 m, 1 n, 2 a ) 6 b ) 7 c ) 8 d ) 5 e ) 3 15 (UESC BA) O valor de x N, tal que ( x + 2)!( 2x + 2)! = 40, é: 2x + 1! x 1 x! ( ) ( + ) a ) 6 b ) 3 c ) 4 d ) 5 e ) 2 16 (UFC CE) Escolhemos cinco números, sem repetição, dentre os inteiros de 1 a 20. Calcule quantas escolhas distintas podem ser feitas, sabendo que ao menos dois dos cinco números selecionados devem deixar um mesmo resto quando divididos por 5.

3 17 (UFPE PE) Um quarteto de cordas é formado por dois violinistas, um violista e um violoncelista, e os dois violinistas exercem funções diferentes. De quantas maneiras se pode compor um quarteto, se podemos escolher entre quatro violinistas, três violistas e dois violoncelistas? 18 (UFS SE) O proprietário de 5 casas enfileiradas deseja pintá-las, cada uma de uma só cor. Ele dispõe de 5 cores de tinta diferentes. Julgue em verdadeira ou falsa as afirmações. ( ) Há 2000 maneiras distintas de pintá-las de modo que não haja duas casas vizinhas com a mesma cor. ( ) Há 150 maneiras distintas de pintá-las de modo que somente a primeira e a última tenham a mesma cor. ( ) Há 60 maneiras distintas de pintá-las de modo que somente as três casas centrais tenham a mesma cor. ( ) Há 20 maneiras distintas de pintá-las de modo que: a primeira, a terceira e a quinta sejam de uma mesma cor; e a segunda e a quarta sejam de uma mesma cor, diferente da anterior. ( ) Há 180 modos distintos de pintá-las utilizando as 5 cores de tinta disponíveis. 19 (UEL PR) Antônio e Bruno são membros atuantes do Grêmio Estudantil e estão se formando numa turma de 28 alunos. Uma comissão de formatura, com 5 membros, deve ser formada para a organização dos festejos. Quantas comissões podem ser formadas de modo que Antônio e Bruno sejam membros? a ) 2600 b ) 9828 c ) 9288 d ) 3276 e ) (UEPB PB) Suponha que n n n n n =. O valor de n será: a ) 14 b ) 12 c ) 13 d ) 15 e ) (Uespi PI) Na eleição para a diretoria de uma Universidade pública, apresentaram-se 7 candidatos a Reitor, sendo 4 docentes e 3 funcionários administrativos, e 5 candidatos a Vice-reitor, sendo 3 docentes e 2 funcionários administrativos. Sabe-se que os 12 candidatos são distintos e que a votação para Reitor seria realizada primeiro e o eleito seria o mais votado entre os 7 inscritos. Em seguida, realizar-se-ia a eleição para Vice-reitor, ocasião em que o mais votado, entre os inscritos da categoria profissional diferente da do Reitor eleito, seria o escolhido, isto é, se o Reitor eleito fosse um docente, o Vice-reitor deveria ser um funcionário administrativo e vice-versa. Com base nesses dados, podemos afirmar que o número de maneiras possíveis de escolher o Reitor e o Vice-reitor dessa Universidade é: a ) 15 b ) 16 c ) 17 d ) 18 e ) (Uespi PI) Num debate entre candidatos a governador de certo Estado, compareceram 7 candidatos, sendo 4 homens e 3 mulheres. A organização do evento resolveu que os candidatos ficariam lado a lado, numa disposição não circular e que os homens não ficariam juntos um do outro, e sim em posição alternada com as mulheres. Para isso, em cada um dos sete locais a serem ocupados pelos candidatos, foi colocado o nome do seu respectivo ocupante. Nessas condições, é correto afirmar que o número de maneiras diferentes de esses candidatos serem arrumados em seus respectivos locais no debate é de: a ) 121 b ) 124 c ) 136 d ) 144 e ) (UFPA PA) No cartão da mega-sena existe a opção de aposta em que o apostador marca oito números inteiros de 1 a 60. Suponha que o apostador conheça um pouco de Análise Combinatória e que ele percebeu que é mais vantajoso marcar um determinado número de cartões usando apenas os oito números, de modo que, se os seis números sorteados estiverem entre os oito números escolhidos, ele ganha, além da sena, algumas quinas e algumas quadras. Supondo que cada aposta seja feita usando apenas seis números, a quantidade de cartões que o apostador deve apostar é: a ) 8 b ) 25 c ) 28 d ) 19 e ) 17

4 exemplo, CACI. O número de siglas possíveis é 12. ( ) Quando sete pessoas se encontram e todas se cumprimentam, o número de apertos de mão possível, sem que os cumprimentos se repitam, é 42. ( ) Numa lanchonete há cinco tipos de sucos: laranja, abacaxi, acerola, limão e morango. Eles são servidos em copos de três tamanhos: pequeno, médio e grande. Não é permitido misturar sabores. O número de maneiras possíveis de se pedir um suco é (Ufpel RS) O futebol de salão, também chamado de futsal, é uma variante do futebol com regras diferentes. As equipes têm 5 participantes, o goleiro e mais 4, e o jogo é realizado em uma quadra menor, com piso de madeira. O Brasil tem se destacado nesse esporte, com a conquista de vários títulos mundiais. Considerando que o treinador da Seleção Brasileira dispõe de 10 jogadores e que três desses são goleiros e só jogam nessa posição, o número de times diferentes que ele poderá formar é: a ) 38 b ) 105 c ) 840 d ) 843 e ) 252 f ) I.R. 25 (UFRJ RJ) Nove pessoas serão distribuídas em três equipes de três para concorrer a uma gincana. O número de maneiras diferentes de formar as três equipes é menor do que 300? 26 (UFRJ RJ) Seja n = 20!. Determine o maior fator primo de n. 27 (UFRJ RJ) Um sítio da internet gera uma senha de 6 caracteres para cada usuário, alternando letras e algarismos. A senha é gerada de acordo com as seguintes regras: não há repetição de caracteres; começa sempre por uma letra; o algarismo que segue uma vogal corresponde a um número primo; o algarismo que segue uma consoante corresponde a um número par. Quantas senhas podem ser geradas de forma que as três letras sejam A, M e R, em qualquer ordem? 28 (UFSC SC) Julgue em verdadeiras ou falsas as seguintes proposições: ( ) Considerando-se um hexágono regular e tomando-se ao acaso uma das retas determinadas pelos seus vértices, a probabilidade de que a reta passe pelo centro do hexágono é 1 8. ( ) Se cinco atletas disputam uma prova de corrida de 800 metros, então o número de resultados possíveis para os dois primeiros lugares, sem que haja empates, é 10. ( ) Antônio, Cláudio, Carlos e Ivan montaram uma empresa de prestação de serviços e decidiram que o nome da empresa será a sigla formada pelas iniciais dos seus nomes, por

5 Respostas do capítulo 21 1 a 2 b 3 b e 6 d 7 d 8 c 9 d 10 e 11 e 12 a 13 e 14 c 15 b F, F, V, V, F 19 a 20 c 21 c 22 d 23 c 24 b 25 Sim, porque 280 é menor do que senhas 28 F, F, V, F, V