n! ( n 1)! 2!.( n 1)! n n ( n 1)!( n 1)! ! 102! 100! 20! 6! c) 20! 6! 20! 5! e) 20! 6! Gabarito: B

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1 Tarefas 14, 15 e 16 Professor Luiz Exercícios de sala 01. Simplifique: n! a) ( n 1)! ( n 3)! 5 n! ( n 1)! b) n! 03. (PUC-RS) Se a) 13 b) 11 c) 9 d) 8 e) 6 Gabarito: C ( n 1)! 1, então n é igual a: ( n 1)! n! (FEI-SP) Se (n+4)!+(n+3)! = 15(n+)!, então: a) n = 4 b) n = 3 c)n = d) n = 1 e) n = Resolva a equação: n ( n!) ( 1)!. 1 4! 04. (PUC) O número natural n que torna verdadeira ( n )! ( n )! a igualdade 35 n ( n 1)!( n 1)! é: a) número ímpar b) número par c) quadrado perfeito d) número irracional e) não existe Exercícios propostos 01. (FMABC-SP) Simplificando a fração obtém-se: a) b) 10! c) d) 101! e) Gabarito: E 101! 10!, 100! 0. O número x, abaixo, representa o produto de todos os números naturais de 7 até 0: x = Assinale a alternativa que representa a expressão cujo resultado é igual ao número x. a) 0! b) 0! 6! c) 0! 6! d) 0! 5! e) 0! 6! Gabarito: B 04. (UFPA) Simplificando a expressão a) n n b) n n c) n n d) n 1 n 1 e) n n 1 Gabarito: B 05. Resolvendo a equação ( n 1)! 0. ( n 1)! afirmar que o valor do x, será: a) número primo. b) número ímpar. c) um quadrado perfeito. d) número irracional e) múltiplo de três. Gabarito: C n! ( n 1)!,!.( n 1)! Podemos Considerando a igualdade n! Podemos afirmar que o número n, será: a) 9 b) 10 c) 11 d) 1 e) 13 Gabarito: B 07. (Ceub-DF) Sendo o valor de m é : a) 9 b) 1 c) 15 d) 18 e) 4 Gabarito: A mm ( 3)( m 1)! 6 ( m )( m 1)! 35 e m > 0,

2 Matemática Avaliação Produtiva 08. (UFPA) O produto dos trinta primeiros números pares positivos é igual a: a) 60! b) 30! c) (60!) d).60! e) 30.30! Gabarito: E 09. (UFA-MG) Resolvendo a equação ( n 1)! n! 7n, ( n 1)! encontramos n igual a: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9 Gabarito: D Permutação simples Permutações simples com repetições Combinações simples 11. (G1 - ifpe 01) Por questão de segurança os bancos instalaram ao lado da maçaneta da porta, que dá acesso à área por trás dos caixas, um teclado como o da figura abaixo. 10. (Uneb-BA) Considere x! ( x 1)! A. ( x 1)! ( x )! Sendo x = 0,5 o valor numérico de A, será: a) b) - c) 1/ d) -1/ e) /9 Gabarito: E RESUMO TEÓRICO Fatorial Seja n um número natural tal que n > 1. Definimos n fatorial e representamos por n!, da seguinte forma: n! = n.(n-1).(n-).(n-3) Propriedade fundamental n! = n.(n-1)! o 0! = 1 o 1! =1 Princípio fundamental da contagem (PFC) Para entrar nessa área, cada funcionário tem a sua própria senha. Suponha que esta senha seja composta por quatro dígitos distintos. Quantas senhas poderão ser criadas se forem usados apenas os números primos que aparecem no teclado? a) 6 b) 4 c) 80 d) 10 e) (Ufrj 011) Um marcador digital é formado por sete segmentos no formato de um 8. Para formar um símbolo, cada segmento pode ficar iluminado ou apagado, com pelo menos um segmento iluminado. T = m.n (Princípio multiplicativo) (Princípio aditivo) T = m + n Arranjos simples n; p IN CE n p Dizemos que um símbolo é conexo se não existe segmento iluminado isolado dos demais. Por exemplo: os três símbolos representados na figura 1 a seguir são conexos e distintos; já o símbolo da figura não é conexo. Os símbolos ilustrados têm, todos, três segmentos iluminados. Desenhe TODOS os símbolos conexos formados por três segmentos iluminados.

3 Exercícios Complementares 13. (Mackenzie 011) Cada um dos círculos da figura deverá ser pintado com uma cor, escolhida dentre três disponíveis. Sabendo que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor, o número de formas de se pintar os círculos é a) 7 b) 68 c) 60 d) 54 e) (Pucsp 011) Na sala de reuniões de certa empresa há uma mesa retangular com 10 poltronas dispostas da forma como é mostrado na figura abaixo. Certo dia, sete pessoas foram convocadas para participar de uma reunião a ser realizada nessa sala: o presidente, o vice-presidente, um secretário e quatro membros da diretoria. Sabese que: o presidente e o vice-presidente deverão ocupar exclusivamente as poltronas das cabeceiras da mesa; o secretário deverá ocupar uma poltrona ao lado do presidente. Considerando que tais poltronas são fixas no piso da sala, de quantos modos as sete pessoas podem nelas se acomodar para participar de tal reunião? a) b).480 c) d) 1.40 e) (Ufal 007) Desde o fim da última era glacial até hoje, a humanidade desenvolveu a agricultura, a indústria, construiu cidades e, por fim, com o advento da Internet, experimentou um avanço comercial sem precedentes. Quase todos os produtos vendidos no planeta atravessam alguma fronteira antes de chegar ao consumidor. No esquema adiante, suponha que os países a, b, c e d estejam inseridos na logística do transporte de mercadorias com o menor custo e no menor tempo. Os números indicados representam o número de rotas distintas de transporte aéreo disponíveis, nos sentidos indicados. Por exemplo, de a até b são 4 rotas; de c até d são rotas, e assim por diante. Nessas condições, o número total de rotas distintas, de a até d é igual a a) 66 b) 65 c) 64 d) 63 e) (Ufes 006) Um avião possui 10 poltronas de passageiros distribuídas em 0 filas. Cada fila tem 3 poltronas do lado esquerdo (denotadas por A, B, C) e 3 do lado direito (denotadas por D, E, F), separadas pelo corredor do avião. Considere que duas poltronas são vizinhas quando elas estão numa mesma fila e não há poltronas entre elas, exceto as de letras C e D, que não são consideradas vizinhas. a) De quantas maneiras distintas dois passageiros podem sentar-se nesse avião, numa mesma fila? b) De quantas maneiras distintas um casal pode sentar-se em poltronas vizinhas? c) De quantas maneiras distintas dois casais podem sentar-se nesse avião, de modo que cada casal fique em poltronas vizinhas. Obs: A inversão de posição de um casal em poltronas vizinhas caracteriza maneiras distintas. 3

4 Matemática Avaliação Produtiva 17. (Enem 005) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caractere é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. Por exemplo, a letra A é representada por 19. (Enem 00) O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste num conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra escura, no número 1. Observe a seguir um exemplo simplificado de um código em um sistema de código com 0 barras. O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é a) 1. b) 31. c) 36. d) 63. e) (Uff 00) O estudo da genética estabelece que, com as bases adenina (A), timina (T), citosina (C) e guanina (G), podem-se formar, apenas, quatro tipos de pares: A-T, T-A, C-G e G-C. Certo cientista deseja sintetizar um fragmento de DNA com dez desses pares, de modo que: - dois pares consecutivos não sejam iguais; - um par A-T não seja seguido por um par T-A e vice-versa; - um par C-G não seja seguido por um par G-C e vice-versa. Sabe-se que dois fragmentos de DNA são idênticos se constituídos por pares iguais dispostos na mesma ordem. Logo, o número de maneiras distintas que o cientista pode formar esse fragmento de DNA é: a) 11 b) 0 c) 10 d) 10 e) 10 Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita irá ler: Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler: No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar em consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, como o código , no sistema descrito acima. Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco barras, a quantidade de códigos com leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras ou todas as escuras, é a) 14. b) 1. c) 8. d) 6. e) (Ufpe 000) A ilustração abaixo é do mapa de uma região onde estão indicadas as cidades A, B, C, D, E, F e as estradas que ligam estas cidades. Um vendedor deseja empreender uma viagem partindo de A para visitar cada uma das outras cidades, exatamente uma vez, e voltar para A. Acerca dos trajetos possíveis de tais viagens, qual das seguintes afirmações é incorreta? a) Existem 6 trajetos para o vendedor. b) Se ele começa visitando D existe um único trajeto. c) Se ele primeiro visita B então existem três trajetos. d) Se ele começa visitando E existe um único trajeto. e) Existem três trajetos em que ele visita C antes de B. 4

5 Exercícios Complementares 1. (Ufrn 1999) A figura a seguir representa um mapa das estradas que interligam as comunidades A, B, C, D, E e F. Gabarito: Resposta da questão 11: B Números primos do teclado:, 3, 5 e 7. Número de senhas: = 4. Resposta da questão 1: São 16 símbolos conexos com três segmentos iluminados. Resposta da questão 13: E Assinale a opção que indica quantos percursos diferentes existem para se chegar à comunidade D (partindo-se de A), sem que se passe mais de uma vez numa mesma comunidade, em cada percurso. a) 7 b) 1 c) 18 d) 36 Temos três possíveis cores para o primeiro círculo e duas para cada um dos demais.. (Ufmg 1998) Observe o diagrama. Resposta da questão 14: A Resposta da questão 15:B O número de ligações distintas entre X e Z é a) 39 b) 41 c) 35 d) (Uel 1996) Para responder a certo questionário, preenche-se o cartão apresentado a seguir, colocando-se um "x" em uma só resposta para cada questão. Resposta da questão 16: a) 600 b) 160 c) Resposta da questão 17: D Cada ponto pode ou não se destacar em relação aos demais. Logo, pelo Princípio Fundamental da contagem, há 64 conjuntos possíveis, sendo que em um deles nenhum dos pontos se destaca em relação aos demais. Portanto, o número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é Resposta da questão 18: A De quantas maneiras distintas pode-se responder a esse questionário? a) 3 15 b) 10 c) 3 d) 5 e) 10 5

6 Matemática Avaliação Produtiva Resposta da questão 19: D Resposta da questão 0:D Resposta da questão 1:C Resposta da questão :B Resposta da questão 3:C 6