Conteúdos: Análise Combinatória, Conjuntos, Fatorial e Binomial.

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1 Lista de exercícios Prof: Maurício Baffi 06/2017 Ensino Médio - 3º ano Conteúdos: Análise Combinatória, Conjuntos, Fatorial e Binomial. 1. (G1 - ifsul 2017) Em uma consulta à comunidade acadêmica sobre a necessidade de melhorias na área física de um determinado campus do IFSul, foi obtido o seguinte resultado: sugerem reformas nas salas de aula sugerem reformas na biblioteca sugerem reformas nas salas de aula e na biblioteca sugerem reformas em outras instalações. Quantas pessoas foram entrevistadas nessa consulta? a) 770 b) 880 c) d) (G1 - ifal 2017) Em um certo grupo de pessoas, 40 falam inglês, 32 falam espanhol, 20 falam francês, 12 falam inglês e espanhol, 8 falam inglês e francês, 6 falam espanhol e francês, 2 falam as 3 línguas e 12 não falam nenhuma das línguas. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa desse grupo, qual a probabilidade de essa pessoa falar espanhol ou francês? a) 7,5%. b) 40%. c) 50%. d) 57,5%. e) 67,5%. 3. (G1 - cp2 2016) Numa creche com 32 crianças: - 5 crianças moram na Tijuca, vão de ônibus e jantam na creche. - 3 crianças moram na Tijuca, vão de ônibus, mas não jantam na creche. - 9 crianças não moram na Tijuca, não vão de ônibus e não jantam na creche crianças moram na Tijuca e jantam na creche crianças moram na Tijuca. - 9 crianças vão de ônibus e jantam na creche crianças vão de ônibus. Quantas crianças jantam na creche? a) 11. b) 15. c) 17. d) (G1 - ifal 2016) Em uma enquete, realizada com 2016 candidatos a uma das vagas nos cursos do IFAL, para saber em quais matérias, entre Matemática, Física e Química, eles sentiam mais dificuldade, obteve-se o seguinte resultado: 920 sentiam dificuldade em Página 1 de 10

2 Matemática, 720 em Física, 560 em Química, 400 em Matemática e Física, 360 em Matemática e Química, 320 em Física e Química e 200 nas três matérias. O número de candidatos que afirmaram não ter dificuldade em nenhuma matéria é a) 136. b) 336. c) 416. d) 576. e) (Ufpa 2016) Em uma turma de cinquenta alunos de Medicina, há dezoito cursando Anatomia, quinze cursando Citologia e treze cursando Biofísica. Seis alunos cursam simultaneamente Anatomia e Citologia, cinco cursam simultaneamente Citologia e Biofísica e quatro cursam simultaneamente Anatomia e Biofísica. Dezesseis alunos não cursam nenhuma destas disciplinas. O número de alunos que cursam, simultaneamente, exatamente duas disciplinas é a) 31. b) 15. c) 12. d) 8. e) (Ufmg 2003) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados: - 40% dos entrevistados leem o jornal A. - 55% dos entrevistados leem o jornal B. - 35% dos entrevistados leem o jornal C. - 12% dos entrevistados leem os jornais A e B. - 15% dos entrevistados leem os jornais A e C. - 19% dos entrevistados leem os jornais B e C. - 7% dos entrevistados leem os três jornais pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais. Considerando-se esses dados, é CORRETO afirmar que o número total de entrevistados foi a) b) c) d) (Pucpr 2009) Com o objetivo de melhorar a produtividade das lavouras, um grupo de 600 produtores de uma determinada região resolveu investir no aumento da produção de alimentos nos próximos anos: 350 deles investiram em avanços na área de biotecnologia; 210 em uso correto de produtos para a proteção de plantas e 90 em ambos (avanços na área de biotecnologia e uso correto de produtos para a proteção de plantas). Com base nas informações acima, considere as seguintes afirmativas: I. 260 produtores investiram apenas em avanços na área de biotecnologia. II. 120 produtores investiram apenas em uso correto de produtos para a proteção de plantas. III. 470 produtores investiram em avanços na área de biotecnologia ou uso correto de produtos para a proteção de plantas. IV. 130 produtores não fizeram nenhum dos dois investimentos. Está(ão) CORRETA(S) a(s) afirmativa(s): Página 2 de 10

3 a) I, II e III, apenas. b) II e IV, apenas. c) I e II, apenas. d) I, II, III e IV. e) I e III, apenas. 8. (Ufsm 2005) Para efetuar suas compras, o usuário que necessita sacar dinheiro no caixa eletrônico deve realizar duas operações: digitar uma senha composta por 6 algarismos distintos e outra composta por 3 letras, escolhidas num alfabeto de 26 letras. Se essa pessoa esqueceu a senha, mas lembra que 8, 6 e 4 fazem parte dos três primeiros algarismos e que as letras são todas vogais distintas, sendo E a primeira delas, o número máximo de tentativas necessárias para acessar sua conta será a) 210 b) 230 c) d) e) (Enem 2015) Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco. O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por a) 9! 2! 9! b) 7! 2! c) 7! d) 5! 4! 2! e) 5! 4! 4! 3! 10. (Pucsp 2015) No vestiário de uma Academia de Ginástica há exatamente 30 armários, cada qual para uso individual. Se, no instante em que dois alunos dessa Academia entram no vestiário para mudar suas roupas, apenas 8 dos armários estão desocupados, quantas opções eles terão para escolher seus respectivos armários? a) 14 b) 28 c) 48 d) 56 e) 112 Página 3 de 10

4 11. (Pucsp 2017) Uma pessoa dispõe das seguintes cores de tinta: amarela, azul, verde, vermelha e branca, e irá utilizá-las para pintar um pote. Nesse pote serão pintadas a tampa, a lateral e uma lista na lateral, de modo que a tampa e a lateral poderão ter a mesma cor ou cores diferentes. O número de maneiras distintas de pintar esse pote é a) 100 b) 80 c) 60 d) (Uece 2017) Quantos números inteiros positivos pares, com três dígitos distintos, podemos formar com os algarismos 3, 4, 5, 6 e 7? a) 24. b) 28. c) 32. d) (Uemg 2016) Genius era um brinquedo muito popular na década de 1980 (...). O brinquedo buscava estimular a memorização de cores e sons. Com formato semelhante a um OVNI, possuía 4 botões de cores distintas que emitiam sons harmônicos e se iluminavam em sequência. Cabia aos jogadores repetir o processo sem errar. Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. (Adaptado). Considerando uma fase do jogo em que 3 luzes irão acender de forma aleatória e em sequência, podendo cada cor acender mais de uma vez. O número máximo de formas que essa sequência de 3 luzes poderá acender é: a) 12. b) 24. c) 36. d) (Uepg 2013) Assinale o que for correto. n n 01) 2 n ) ) A soma das soluções da equação x 3 2 é ) A equação tem duas soluções distintas. x 2x 4 Página 4 de 10

5 n n n 1 16) Página 5 de 10

6 Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Tome reforma nas salas de aula como x e reformas na biblioteca como y. Sabendo que 350 pessoas sugerem reformas nas salas de aula e na biblioteca, ou seja, a intersecção entre x e y. Logo, pode-se aplicar o Diagrama de Venn para tal situação da seguinte maneira: Como 350 representa a intersecção entre reformas nas salas de aula e na biblioteca, basta achar a diferença da parte das duas partes com a parte em comum. Desta forma: e Transcrevendo para o Diagrama de Venn, temos: Para obter a quantidade de pessoas entrevistadas basta somar todos os valores. Note que a amostra possui 110 pessoas que opinaram reformas em outras instalações. Somando todos os valores: pessoas. Resposta da questão 2: [D] Seja o diagrama de Venn com todas as pessoas e as línguas que falam: Página 6 de 10

7 Para obter a probabilidade de quem fala espanhol ou francês deve-se obter a probabilidade de quem fala espanhol mais a probabilidade de quem fala francês menos a probabilidade de quem fala espanhol e francês, ou seja: Sabendo que o total de pessoas é 80, P P(espanhol) P(francês) P(espanhol francês) P P 0,4 0,25 0,075 P 0,575 P 57,5% Resposta da questão 3: [C] temos a seguinte probabilidade: Utilizando as informações contidas no problema, podemos construir o seguinte diagrama. Logo, o número de crianças que jantam na creche será dado por: Resposta da questão 4: [E] Página 7 de 10

8 Total Total 696 Resposta da questão 5: [E] Considere o diagrama, em que A, e C são, respectivamente, o conjunto de alunos que cursam Anatomia, o conjunto dos alunos que cursam Biofísica e o conjunto dos alunos que cursam Citologia B Desde que n(u) 50, temos 18 x 4 5 x x x x 3. Por conseguinte, a resposta é 15 3x 6. Resposta da questão 6: [B] Resposta da questão 7: [D] Considere o diagrama a seguir. Página 8 de 10

9 I. Verdadeira. II. Verdadeira. III. Verdadeira. n(b P) IV. Verdadeira. Resposta da questão 8: [E] Resposta da questão 9: [A] O resultado pedido corresponde ao número de arranjos simples de 9 objetos tomados 7 9! isto é, A 9, 7. 2! a 7, Resposta da questão 10: [D] O número de opções que eles terão para escolher seus respectivos armários é igual ao arranjo de 8 armários 2 a 2. Ou seja: 2 8! 8 7 6! A (8 2)! 6! Resposta da questão 11: [A] Pelo enunciado pode-se deduzir que a cor da listra e a da lateral precisam ser diferentes para que a listra seja visível. Assim, a listra só precisa ser de uma cor distinta da cor da lateral, logo as possibilidades são: 5 possibilidades de cor na tampa, 5 possibilidades de cor na lateral e 4 possibilidades de cor na listra. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, tem-se: possibilidades Resposta da questão 12: [A] Para a última casa decimal, temos 2 possibilidades (4 ou 6), já que o número é par. Como o número é formado por algarismos distintos temos 4 possibilidades para a primeira casa decimal e 3 possibilidades para a segunda casa decimal. Portanto, o total de números inteiros positivos que podemos formar será dada por: Resposta da questão 13: Página 9 de 10

10 [D] Pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é Resposta da questão 14: = 23. [01] Verdadeira, pois n 2 2 n (binomiais complementares) [02] Verdadeira, pois [04] Verdadeira, pois x 3 ou x x 3 2 x x 2 ou x 8 e [08] Falsa, pois x 4 x ou 2x 4 x 10 x 4 ou x (não convém). x 2x 4 3 [16] Verdadeira, pois n n n 1 (relação de Stifel) Página 10 de 10