MATEMÁTICA Revisão I Aula 3. Professor Marcelo Gonzalez Badin

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1 MATEMÁTICA Revisão I Aula 3 Professor Marcelo Gonzalez Badin

2 Se um evento A pode ocorrer de m maneiras distintas e se, para cada uma dessas m maneiras, um outro evento B pode ocorrer de n modos diferentes, então o número de maneiras de ocorrer o evento A seguido do evento B é igual a m.n P n = n! P (α,β,γ) n = n! α!β!γ! Ordem importa Escolha ordenada ARRANJO A n,p = n! (n p)! Regra do produto usando fatoriais Regra do Produto Ordem não importa Escolha não ordenada COMBINAÇÃO C n,p = n! p!(n p)! n = p Regra do Produto e divide o resultado pelo fatorial do número de casinhas

3 1. (Vunesp-2009)Uma rede de supermercados fornece a seus clientes um cartão de crédito cuja identificação é formada por 3 letras distintas (dentre 26), seguidas de 4 algarismos distintos. Uma determinada cidade receberá os cartões que têm L como terceira letra, o último algarismo é zero e o penúltimo é 1. A quantidade total de cartões distintos oferecidos por tal rede de supermercados para essa cidade é A) B) C) L 1 0 D) E) = 33600

4 2. (UEL-2003) Quando os deputados estaduais assumiram as suas funções na Câmara Legislativa, tiveram que responder a três questionamentos cada um. No primeiro, cada deputado teria que escolher um colega para presidir os trabalhos, dentre cinco previamente indicados. No segundo, deveria escolher, com ordem de preferência, três de seis prioridades previamente definidas para o primeiro ano de mandato. No último, deveria escolher dois dentre sete colegas indicados para uma reunião com o governador. Considerando que todos responderam a todos os questionamentos, conforme solicitado, qual o número de respostas diferentes que cada deputado poderia dar? a) 167 b) 810 c) 840 d) e) Três escolhas feitas em conjuntos diferentes 1 presidente 3 prioridades 2 colegas = = ! É a regra do produto com três casonas

5 3.(ESPM) Três dos doze quadradinhos da figura abaixo deverão ser pintados de preto, de modo que não ocupem três posições consecutivas, nem na horizontal, nem na vertical. O número de maneiras diferentes de isso ser feito é: a) 190 b) 200 c) 210 d) 220 e) ! = = na mesma linha 3 na mesma coluna

6 4.(Fuvest) Uma classe de Educação Física de um colégio é formada por dez estudantes, todos com alturas diferentes. As alturas dos estudantes, em ordem crescente, serão designadas por h 1, h 2,..., h 10 (h 1 < h 2 <... < h 9 < h 10 ). O professor vai escolher cinco desses estudantes para participar de uma demonstração na qual eles se apresentarão alinhados, em ordem crescente de suas alturas. 10 Dos 5 = 252 grupos que podem ser escolhidos, em quantos, o estudante, cuja altura é h 7, ocupará a posição central durante a demonstração? a) 7 b) 10 c) 21 d) 45 e) 60 h 1 h h 2 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h 8 h 9 h 10 Como o estudante de altura h 7 deve estar entre os 5 escolhidos, para completar o grupo o professor deve escolher 4 dentre os 9 alunos restantes. Para que ele ocupe a posição central, basta escolher 2 menores e 2 maiores que h 7 2men2mai São duas escolhas em conjuntos diferentes! ! 2! 15.3 = 45

7 P Número de casos favoráveis = Número de casos possíveis Complementares P(A) + P(A) = 1 P(A) = n(a) n(s) União (ou) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Se A e B são mutuamente exclusivos, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(B/A) = P(A B) = P(A).P(B/A) P(A) Se A e B são independentes, P(B/A) = P(B) A e B independentes P(A B) = P(A).P(B)

8 5. (Vunesp-2009) Numa pesquisa feita com 200 homens, observou-se que 80 eram casados, 20 separados, 10 eram viúvos e 90 eram solteiros. Escolhido um homem ao acaso, a probabilidade de ele não ser solteiro é a) 0,65 b) 0,6 c) 0,55 d) 0,5 e) 0,35 A probabilidade de ele não ser solteiro é 110 = = 55 = 0,

9 6. (Unicamp-2011) O sangue humano costuma ser classificado em diversos grupos, sendo os sistemas ABO e Rh os métodos mais comuns de classificação. A primeira tabela abaixo fornece o percentual da população brasileira com cada combinação de tipo sanguíneo e fator Rh. Já a segunda tabela indica o tipo de aglutinina e de aglutinogênio presentes em cada grupo sanguíneo. Muda o espaço amostral! Em um teste sanguíneo realizado no Brasil, detectou-se, no sangue de um indivíduo, a presença de aglutinogênio A. Nesse caso, a probabilidade de que o indivíduo tenha sangue A+ é de cerca de a) 34%. b) 81%. c) 76%. d) 39%. 34 = ,5 + 0,5 45 = 75,56%

10 7.(Fuvest-2009) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de 2 a) 9 1 b) 3 4 c) 9 5 d) 9 2 e) 3 Número de casos possíveis = 6.6 = 36 Número de casos favoráveis: (1, 2); (2, 1); (2, 3); (3, 2); (3, 4); (4, 3); (5, 6); (6, 5) Assim, a probabilidade é dada por: = 2 9

11 8. (Fuvest-2011) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b? 4 a) b) 54 7 c) d) e) 34 Número de casos possíveis = = 216 Número de casos favoráveis = = 56 a e b consecutivos ou b e c consecutivos e c qualquer e a qualquer a b c a b c (1,2,3,4,5) = 30 a, b e c consecutivos a b c (1,2,3,4) = (1,2,3,4,5) P = 56 = = 30 Note que os casos onde a, b e c são consecutivos foram contados 2 vezes!

12 9.(Fuvest/2004) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos? a) 12 b) 18 c) 36 d) 72 e) 108 Empresas: A, B e C Trabalhos: T 1, T 2, T 3 e T 4 T 1 T 2 T 3 T 4 A B C A A B C B A B C C 4! 2! = 12.3 = 36

13 10.(Vunesp-2010) A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela caminhará sempre nos sentidos de baixo para cima ou da esquerda para a direita. O número de percursos diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B é: (A) (B) (C) 924. (D) 792. (E) 35. Sejam: C = andar uma quadra de baixo para cima D = andar uma quadra da esquerda para direita O número de caminhos é igual ao número de permutações dos elementos da seqüência CCCCCDDDDDDD Portanto, temos 12! = 792 caminhos 5!7!

14 11. (Fuvest-2010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? a) 551 b) 552 c) 553 d) 554 e) 555 Total de senhas possíveis: Senhas indesejáveis: = = 25 = = 25 Note que a senha 1313 foi contada duas vezes (no primeiro e no último caso) Assim, o número de senhas indesejáveis é = 74 Portanto Maria pode escolher sua senha de = 551 maneiras

15 12.(Unifesp-2009) Duzentos e cinquenta candidatos submeteram-se a uma prova com 5 questões de múltipla escolha, cada questão com 3 alternativas e uma única resposta correta. Admitindo-se que todos os candidatos assinalaram, para cada questão, uma única resposta, pode-se afirmar que pelo menos: A) um candidato errou todas as respostas. B) dois candidatos assinalaram exatamente as mesmas alternativas. C) um candidato acertou todas as respostas. D) a metade dos candidatos acertou mais de 50% das respostas. E) a metade dos candidatos errou mais de 50% das respostas. Cada questão admite 3 possibilidades de resposta; Assim, o número total de respostas distintas para a prova é AABBC = 3 5 = 243 BABAC Como 250 candidatos submeteram-se à prova, e há 243 possibilidades de resposta, pelo menos 2 candidatos assinalaram as mesmas alternativas. Princípio das Gavetas de Dirichlet ou Princípio das Casas do Pombos. Se n objetos forem colocados em, no máximo, n 1 gavetas, então pelo menos uma delas conterá pelo menos dois objetos

16 log n 13. (Unifesp-2004) O valor de é: a) n 2 2 n! b) 2n c) n n log2 d) 2log 2 n n! e) log 2 n (2.1)(2.2)(2.3)...(2.n) ( )( n) n fatores n! n 2 n! n! n = log2 = log2 2 n = n

17 14. (UFSCar-2009) Todas as permutações com as letras da palavra SORTE foram ordenadas alfabeticamente, como em um dicionário. A última letra da 86ª palavra dessa lista é a) S E O R S T b) O Fixando a primeira letra e permutando as demais, obtemos 4! = 24 anagramas c) R Como 3.24 = 72, as palavras começadas por E, O e R estão antes da 86ª d) T e) E É evidente que a 86ª palavra começa por S. Vamos continuar a fixar letras: S E As próximas 6 começam por SE (73ª a 78ª) S O 3! As 6 seguintes começam por SO (79ª a 84ª) 3! É claro que a 86ª palavra começa por SR. Vamos continuar a fixar letras: S R E O T 85ª S R E T O 86ª

18 15. (Vunesp-2005) O número de maneiras que 3 pessoas podem sentar-se em uma fileira de 6 cadeiras vazias de modo que, entre duas pessoas próximas (seguidas), sempre tenha exatamente uma cadeira vazia, é a) 3. b) 6. c) 9. d) 12. P1 P2 P3 e) 15. Total = = 12 3! P1 P2 P3 3!

19 16. (Vunesp 2007) Dois rapazes e duas moças irão viajar de ônibus, ocupando as poltronas de números 1 a 4, com 1 e 2 juntas e 3 e 4 juntas, conforme o esquema. R 1 M 1 R 2 M 2 O número de maneiras de ocupação dessas quatro poltronas, garantindo que, em duas poltronas juntas, ao lado de uma moça sempre viaje um rapaz, é A) 4. B) 6. C) 8. D) 12. E) 16. R 1 M 1 R 2 M 2 2!. 2!. 2!. 2! = 16 PFC P entre R e M bancos 3 e 4 P entre R e M bancos 1 e 2 P entre M 1 e M 2 P entre R 1 e R 2

20 17. (Vunesp 2007) Dado um poliedro com 5 vértices e 6 faces triangulares, escolhem-se ao acaso três de seus vértices. A probabilidade de que os três vértices escolhidos pertençam à mesma face do poliedro é: 3 a) 10 1 b) 6 3 c) 5 1 d) 5 6 e) 35 Nº de casos possíveis: Nº de maneiras de escolher 3 dos 5 vértices V 1 V 2 V 3 = V 3 V 1 V = ! Não deu diferença A ordem não importa Escolha não ordenada Nº de casos favoráveis: Nº de maneiras de escolher 3 vértices pertencentes à mesma face: Combinação Como as faces são triangulares, o nº de casos favoráveis é igual ao nº de faces = 6 P = 6 10 = 3 5

21 18. (Vunesp 2008) Numa certa região, uma operadora telefônica utiliza 8 dígitos para designar seus números de telefones, sendo que o primeiro é sempre 3, o segundo não pode ser 0 e o terceiro número é diferente do quarto. Escolhido um número ao acaso, a probabilidade de os quatro últimos algarismos serem distintos entre si é 63 a) b) c) d) e) 125 Nº de casos possíveis: Nº de casos favoráveis: P = = Informações que só atrapalham!!! Deu diferença A ordem importa Escolha ordenada Arranjo

22 19. Uma empresa tem 5000 funcionários. Desses, 48% têm mais de 30 anos e 36% são especializados. Entre os especializados, 1400 têm mais de 30 anos. Escolhendo um funcionário ao acaso, a probabilidade de ele ter até 30 anos e não ser especializado é de a) 8%. b) 32%. c) 36%. d) 44%. Mais de 30 = 0, = 2400 Até 30 = 2600 Especializados = 0, = 1800 Especializados com até 30 = 400 P = = = 44%

23 20. (ENEM-2010) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de Gols f Md = = 6, Página Exercício A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo? A) 6 gols B) 6,5 gols C) 7 gols D) 7,3 gols E) 8,5 gols Número par de termos: 18 9º termo + 10º termo = 9 Md = 2 2

24 21. (ENEM-2010) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols =45 Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então A) X = Y < Z. B) Z < X = Y. C) Y < Z < X. D) Z < X < Y. E) Z < Y < X Número par de termos: = 10 Md = Z = 0 X = = 2,25 Y = º termo + 11º termo 2 = 2 \ Z < Y < X

25 22. (UEL) Dois números a e b têm média aritmética 4,1 e a média geométrica 4. Assinale a alternativa que apresenta o maior deles. S = 8,2 (a) 1 a + b P = 16 (b) 2 = 4,1fi a + b = 8,2 fi b = 8,2 a (c) 4 2 (d) 5 ab = 4 fi ab = 16 fi a.(8,2 a) = 16 fi 8,2a a 2 = 16 (e) 8,2 a 2 8,2a + 16 = 0 D = ( 8,2) = 3,24 8,2 ± 3, 24 8, 2 ± 1,8 a = = 2 2 a = 3,2 a = 5

26 23. (UEL) A média aritmética de um conjunto de 22 números é 50,5. Retirando-se os números 21 e 48 desse conjunto, a média aritmética dos 20 números restantes será: a) 51,2 b) 51,4 c) 52,1 d) 52,4 e) 52,2 x = soma dos 22 números x 22 = 50,5 x = 1111 Nova média: = = 52,1

27 24. Num concurso há 500 mulheres e 100 homens. Na prova de Matemática, a média foi 4,0. Considerando-se apenas as mulheres, a média cai para 3,8. A média dos homens na prova de Matemática, foi: a) 4,2 b) 5,0 c) 5,2 d) 6,0 e) 6,2 M: 500 H: 100 : 600 x = 4,0 fi 3, h.100 = 4,0 600 xm = 3, h = 2400 (divide por 100) xh = h 19 + h = 24 h = 5 Página 138 Exercício 1

28 25. (ESPM-2010) Um oráculo mente sempre às segundas, terças e quartas feiras, mas fala sempre a verdade nos outros dias. Num certo dia, ao ser perguntado se hoje é domingo, ele respondeu sim. A probabilidade de ele estar mentindo é: a) 3/7 b) 4/7 c) 3/4 d) 1/4 e) 1/7 Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo Mentiras 3 P = 4 Verdades Muda o espaço amostal!

29 26. (Puccamp) A tabela a seguir mostra os resultados de uma pesquisa sobre a faixa salarial dos funcionários de uma empresa que usam bicicletas para ir ao trabalho. Faixa salarial em reais Número de funcionários Total = [350,450[ O salário médio desses trabalhadores é: (a) R$ 400,00 Para calcular a média, vamos (b) R$ 425,00 determinar o representante de (c) R$ 480,00 cada faixa salarial. (d) R$ 521,00 (e) R$ 565,00 x = x = 1200 x = 565

30 27. (ENEM-2009) Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0. Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe A) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0. B) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10. C) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8. D) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno. E) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9. Excluindo o zero do aluno que faltou, ordenando as notas da equipe Gama, temos: 6; 6,5; 6,5; 7; 7; 8; 8; 10; 10 Com essa notas e considerando dez notas, a maior mediana possível seria Md = Gama teria essa mediana se o aluno que faltou tivesse = 7,5 2 comparecido e tido nota maior ou igual a 8 Ainda assim, Gama teria a menor mediana e permaneceria na terceira posição