Resoluções de Exercícios

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1 Resoluções de Exercícios Conhecimentos Numéricos Capítulo 0 Análise Combinatória Parte II 0 E Colocando em cada mês crianças, teríamos 8 crianças distribuídas, e restariam crianças. Então, colocando as crianças restantes em meses diferentes, podemos afirmar que, pelo menos, nasceram no mesmo mês. 0 C O menor número de bolas da mesma cor é. Suponha que sejam tiradas bolas de cada cor, isto é, x = 0 bolas. Ao tirar mais uma bola, temos a garantia de que, pelo menos, teriam a mesma cor. Portanto, devemos tirar bolas. BLOCO 0 0 C Colocando pessoas em cada signo, seriam distribuídos pessoas e restariam. Então, podemos, com certeza, afirmar que, pelo menos, pessoas têm o mesmo signo. 0 B Colocando pessoas em cada mês, teríamos 8 pessoas distribuídas. Então, acrescentando mais pessoa, garantiremos que haverá, pelo menos, pessoas nascidas no mesmo mês. O número mínimo é. 07 E a parte: Todos os modelos: a etapa a etapa (os opcionais) cor a op a op a opc a opc T = x x x x =. a parte: Todos os modelos sem opcionais: T = carros. a parte: Total de opções com, no mínimo, opcional: T = = D a parte: N o de modos para colocar João e Maria juntos (não convém) J M T = 7. P = 7. = BLOCO 0 0 C Com 70 pessoas, poderíamos ter pessoas aniversariando num mesmo dia, pois x = 70. Então, com 7 pessoas existirá, no mínimo, três fazendo aniversário no mesmo dia. 0 8 Numa gaveta há meias pretas e meias brancas. Qual é o número mínimo de meias a se retirar (no escuro) para garantir que: A) as meias retiradas contenham um par da mesma cor? meias Tirando meias, corremos o risco delas serem de cores diferente. Então, tirando meias no mínimo, garantiremos um par da mesma cor. B) As meias retiradas contenham um par de cor branca? 8 meias Tirando meias, corremos o risco das serem pretas. Então, tirando 8 meias, no mínimo, garantiremos que pelo menos um par é de cor branca. 0 B Neste caso, os objetos são os alunos e as gavetas são as possíveis sequências de respostas. Como cada questão pode ser respondida de modos, a prova pode ser preenchida de = 8 = 0 modos. Logo, só se pode ter a certeza de que dois candidatos fornecem exatamente as mesmas respostas se houver pelo menos 0 candidatos. 0 D Num grupo de pessoas, podemos ter duas nascidas em cada dia da semana, pois 7 =. Portanto, com pessoas, teremos, pelo menos, pessoas nascidas no mesmo dia da semana. MATEMÁTICA Volume 0 a parte: N o de modos para dispor João e Maria em cadeiras (sem observar as restrições) T = A 8, = 8. 7 = a parte: O total que convém será: T = = 0 C Inserindo 0 = 0 moedas, ainda teríamos a possibilidade de obtermos exatamente bolas de cada cor. Logo, para garantir a retirada de bolas de uma mesma cor, deverão ser inseridas 0 + = moedas. 0 D Demonstração: Podemos dividir este quadrado em quadrados menores de lado, determinando os pontos médios de cada lado do quadrado e traçando as retas que ligam os pontos médios de lados opostos, como mostra a figura. Podemos, então, aplicar o Princípio da Casa dos Pombos (para n = ), da seguinte forma: Casas: quadrados menores; Pombos: pontos; Relação: Cada ponto está associado ao quadrado onde ele está (se um ponto estiver na fronteira entre dois quadrados, ele pode escolher a qual quadrado quer pertencer).

2 Distribuindo os pontos entre os quadrados menores, teremos, necessariamente, um quadrado com, pelo menos, dois pontos. Agora, como a distância máxima entre dois pontos de um quadrado de lado é a sua diagonal ( ), e a aresta de cada quadrado menor mede, temos que a maior distância possível entre dois pontos deste quadrado é. As, o comprimento de segmento determinado pelos dois pontos que estão em um mesmo quadrado é menor ou igual a. 0 B B BLOCO 0 A 0 Sejam x, y, z e w a quantidade, respectivamente, de refrigerantes do tipo, tipo, tipo e tipo. Estas quantidades devem satisfazer à equação: x + y + z + w = 0. Sendo (x, y, z, w) uma solução, temos alguns exemplos: (, 0,, 7) (, 7,, 0) (0,,, 7) O número de modos para comprar 0 refrigerantes será igual a:! $,0 P = = = $ $ = $ = 8 0!! $ $ 0 A Uma combinação e um arranjo, respectivamente. 0 A garotomais novo velho velho T= $ $ C C C T = 8$ $ $ 8!! 8! = $ $ =!!!!!(!) T O menor caminho será formado por dois lados inclinados (decidas) e quatro lados horizontais.!, P = =!. 0 A De acordo com o enunciado, cada estado do país possui = eleitores. Logo, como o candidato X obteve 0, = votos, pelo Princípio das Ga- 0 vetas de Dirichlet, temos que ele recebeu votos em pelo menos ; E + = estados Obs.: [x] é o maior inteiro menor do que ou igual a x. Conhecimentos de Probabilidade Capítulo 0 Noções de Probabilidade 0 A O número de maneiras que podemos montar uma casquinha com duas bolas corresponde ao número de combinações completas de sabores tomados a, isto é, CR $ = C = e o= = = ! $! 0 D Sabendo que pai e mãe devem ficar juntos, tratá-los como se fossem um único elemento, com o pai a esquerda da mãe. Se o pai e mãe são um único elemento, passamos a ter somente elementos. Portanto, utilizando a permutação circular de elementos, o número de possibilidades desta família sentar-se ao redor da mesa com pai e mãe juntos, sendo que o pai está à esquerda da mãe, será igual a : Pc = ( )! = =... =. 0 B o ) A A P 0 T = = = 0 segundos distintos, descartando sua étrica. o ) O tempo para verificar todas as sequências possíveis será igual a: T = 0., min = 0 min. BLOCO 0 ZEspaç oamostral= X= " K, C,, K= carsaec= coroa. ] 0 A) [ A = " K, ] A = ComplementardeA = " C, \ B) Ω = {,,,,, } A = {,, } e A = {,, } C) Ω = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),..., (, ),..., (, )} A = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} A = a soma não da 7 D) Ω = {(K, C, C), (C, K, C), (C, C, K), (K, K, C), (K, C K), (C, K, K), (K, K, K} A = {(K, K; C), (K, C, K), (C, K, K), (K, K, K)} A = {(K, C, C), (C, K, C), (C, C, K), (C, C, C)} 07 B O número mínimo é cores. Sugestão: pinte a região do meio de amarelo, o próximo país de verde, o adjacente azul, e saia alternando as cores, verde, azul, verde, azul,... até fechar o círculo. BLOCO 0 0 A 7 A probabilidade pedida é dada por $ 00% = 0% B O resultado pedido é dado por 0 0! 0$ $ 8$ 7$ e o$ e o= = =. $ $ $ $ 0 B Temos resultados possíveis (seis vezes seis) e possibilidades cuja soma dos resultados é 8. Podemos então dizer que a probabilidade será dada por: P = MATEMÁTICA Volume 0

3 0 A P =,% +,0% +,0% =,%. 0 D P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 0 0 BLOCO 0 + = = A O número total de anagramas da palavra HOSPITAL é igual a permutação de 8, ou seja, O número de anagramas que começam e terminam com consoantes é igual a: P =! A probabilidade de que, ao sortear-se uma única ficha dessa urna, no anagrama nela marcado as letras inicial e final sejam ambas consoantes será de: $ $! $ $! $ 0 = = = = 8! 8$ 7$! 8$ 7 0 A Seja x a média aritmética entre o número obtido no dado e o da face da moeda. Lançando ultaneamente o dado e a moeda, é possível obter = resultados distintos. Supondo x ], [ tem-se que os eventos favoráveis são (,), (,), (,) e (,) Em consequência, podemos afirmar que a probabilidade pedida é ou seja, 0 B O número de casos favoráveis corresponde ao número de arranjos! ples de objetos tomados a, isto é, A, =. Por outro lado, o número de casos possíveis é igual ao número de arranjos ples 0! de 0 objetos tomados a ou seja, A 0, =. Portanto, a probabilidade pedida é! = 0! 0 0 C Existem P () = = modos de obter exatamente três caras em! lançamentos. Por outro lado, existem apenas duas maneiras de obter caras consecutivamente: ccck e kccc. Em consequência, a probabilidade 0 A 0 D 0 8 P = + - = = 0, Se o bairro tem cinco mil moradores dos quais mil são vegetarianos, então pode-se deduzir que quatro mil não são vegetarianos. Entre os vegetarianos 0% são esportistas, ou seja, 00 moradores (000 0% = 00). Entre os não vegetarianos 0% são esportistas, ou seja, 800 moradores (000 0% = 800). Logo, conclui-se que o bairro possui 00 esportistas ( ). Se uma pessoa escolhida ao acaso é esportista, a probabilidade de esta ser vegetariana será: 00 Pveg ( ) = = 00 BLOCO 0 0 B 0 0! 0 $ Há f p = = = modos de extrairmos duas bolas 8!! brancas e f 0 p = 0 modos de extrairmos uma bola de outra cor. Temos ainda 00 00! 00$ $ 8 f p = = = 0 $ $ 8 modos de 7!! $ retirarmos bolas quaisquer. Portanto, a probabilidade pedida é: $ 0 $ 7 = =, 0,0. 0 $ $ 8 $ C 8 8 P = = = 8 C, 0 C P(feminino ou Matemática) = P(feminino) + P (Matemática) P(Matemática e feminino) 0 0 P(feminino ou Matemática = + = = pedida é ou seja,. 0 B Seja n o número de bolas vermelhas que deverão ser colocadas na caixa. Desse modo, como o número de casos favoráveis é e o e o número de casos possíveis é n+ e o temos f p! = + =! $ n + ( n + )! f p! $ ( n + )! + n + n- 0 = 0 & n =. BLOCO 0 0 E pretas brancas x azuis nx () P(x) = n ( X = x ) (8 + = x = + x x) x = BLOCO 0 0 E 0 A probabilidade de um membro retirar uma bola ímpar é. As, a probabilidade de que a equipe não consiga nenhum ponto é d n =. Portanto, segue que a resposta é - =. MATEMÁTICA Volume 0 0 D Se P(A ganhar) = e P(B ganhar) = então 8 7 P(C ganhar) - - = - = - = 0 0 Daí, podemos concluir que a chance de C ganhar é 7 para.

4 BLOCO 0 BLOCO 0 0 E Entre as regiões, Rural, Comercial, Residencial Urbano e Residencial Suburbano, apenas regiões têm temperaturas inferiores a o C, então a probabilidade será de:. 0 C O total de pessoas vacinadas no posto foi de 00, das quais eram portadores de doenças crônicas. Então, a probabilidade pedida será igual a: = % 00 0 D T = =. espécies.. Logo, P(capturar borboleta) = = 0,,%. 0 D A) Falsa, pois pela Tabela de adição, temos em resultados: resultado igual a, então P(Tadeu ganhar) = resultados igual a, então P(Pedro ganhar) = resultado igual a, então P(Ricardo ganhar) = B) Falsa, pois P(Tadeu ou Ricardo ganhar) = + = resultado menor que P(Pedro ganhar). C) Falso. D) Verdadeiro. E) Falso, as conjecturas são feitas em relação às maiores chances, além disso, o fenômeno é probabilístico, e em nenhum momento é colocado com certeza quem vai ganhar. 0 D Somente a peixaria V satisfaz as condições, então a probabilidade é de. 0 E A sensibilidade é dada por $ 00% = % E Tem-se um resultado favorável dentre seis possíveis. Portanto, a probabilidade é. 08 E P: probabilidade pedida. 0% de 0 = 0% de 0 = Logo, P = = E PA (, A ) = P( A ) + P( A ) = + = = D Z ] 00sadias aposteste ] 00mulheres & [ ] 00doentes aposteste Portanto, ] \ 0 [F] = 0,70 = 70% 00 [F] 00 = 0, = % 00 [F] 0 + = 0,08, 0,8% 0 sadias( resultadonegativo) * 0 doentes( resultado positivo) sadias( resultadonegativo) * doentes( resultado positivo) 0 [V], 0,8, 8% 0 + [F], 0,0,,% E A turma possui = 0 alunos. Logo, como alunos não leram nenhum livro no mês passado, segue que a probabilidade pedida é $ 00% = 7,%. 0 0 C Números já sorteados que possibilitam as resposta da questão : {,,,,0}. Portanto, a probabilidade pedida será, P= = 0 0 B Homens doentes: 0,07 0 = 8, Mulheres doentes: 0, 80 =, Portanto, a probabilidade pedida será 8,+, 8 P = = = = % B Adolescentes que responderam : Adolescente que responderam não: Adultos que responderam : 7 Adultos que responderam não: x x & 00x $ $ x& 8x $ & x. + x = 00 = + = = Portanto, o total de entrevistados é dado pela soma: = 7 0 C 0 É imediato que a probabilidade pedida é igual a B Número de elementos do Espaço amostral: n(e) = = Evento A (A soma dos pontos ser maior ou igual a 0). A{(, ),(,),(, ),(, ),(,) e (,)} e n(a) =. Portanto, a probabilidade pedida será dada por: P= = 08 A P = = = = 00, 00 0 C Com os dados da resolução anterior sabe-se que M =, R =, e P = 70. Portanto, o número total de votos é = votos. As, a probabilidade de que o primeiro voto a ser retirado da urna para conferência seja do presidente eleito (Renato) é de: 7 = = 8 0, " % 0 B Número de elementos do Espaço Amostral: n(e) = = Evento (a soma das faces ser 0): A = " ^, h; ^, h; ^,h, e n(a) =. Portanto, a probabilidade pedida será: P = = 0 A O índice pedido é dado por: $ + 0 $ + 0 $ + 80 $ $ + 0 $ = Matemática V MATEMÁTICA Volume 0

5 BLOCO 0 0 A A probabilidade de se retirar dois fuzis sem defeito: C, P = = = C8, 8! 8! $ (8 - )! Logo, a probabilidade de se retirar de pelo menos uma arma ser defeituosa ou ser pistola é igual a: 7 P = - P ' = - = E Júnior pode escolher três livros que ainda não tenha lido de! f p = = 8 maneiras. Logo, como ele pode escolher três livros! $! quaisquer de! f p = = 0 modos, segue que a probabilidade! $! 8 pedida é dada por 0 =. 0 D A - funcionários com mais de 0 anos: n(a) = 8% de 000 = 00 B funcionários especializados: n(b) = % de 000 = 800 No diagrama de Venn, temos: A = 00 B 0 C Possíveis resultados para: Arthur: {(,); (,0); (,); (,8); (,7)} ( possibilidades); Bernardo: {(,); (,); (,); (,); (,); (7,0);(8,)} (7 possibilidades); Caio: {(7,); (8,); (,); (0,)} ( possibilidades); Portanto, Bernardo apresenta mais chances de vencer. 07 E A probabilidade de sair uma bola azul será 0, 0, = 0, Sendo x o número de bolas e a o número de bolas azuis, temos: a = 0,x 00 a = x 0.a = 7x Logo, a deverá ser no mínimo 7 para que x seja um número inteiro, pois 0 não é múltiplo de E Considere o seguinte diagrama, em que o algarismo pode ocupar espaços apenas à direita do algarismo, () P = = 0! () $ P = $ = 8! () $ P = $ =! () $ P = $ =! () P = =! = = 00 Desse modo, há = 80 senhas em que o algarismo aparece antes do algarismo.! Por outro lado, há P () = = 0 senhas possíveis. Então, a probabilidade pedida é = 0,.! Logo a probabilidade pedida será P = = 0, = % A I. Verdadeira. Três cidades distintas podem ocupar, ordenadamente,! os três primeiros lugares de A, = = $ $ =.0! maneiras diferentes. II. Falsa. O número de classificações possíveis em que uma cidade mineira ganha o primeiro lugar é dado por: 0 $ A, = 0 $ = 0 $ $.! Logo, a probabilidade de uma cidade mineira ganhar o primeiro 0 $ $ lugar é de: =!. $ $ 8 III. Verdadeira. O número de classificações em que os três primeiros lugares são conquistados apenas por cidades paulistas é dado! por: A, = = $ $. Desse modo, a probabilidade de que! os três primeiros lugares sejam conquistados apenas por cidades $ $ paulistas é: =. Portanto, a probabilidade pedida é: $ $ 8 $ $ =. $ $ 8 0 C Sejam A e B os times, em que A foi o vencedor. Considerando a ordem em que os gols foram marcados, temos P (,) = = 0 possibilidades. Além disso, existem P () = = maneiras de construir o!!!! placar de modo que o time A tenha marcado os dois primeiros gols. Portanto, a probabilidade pedida é $ 00% = 0%. 0 MATEMÁTICA Volume 0 0 A Número de elementos do Espaço amostral: n(e) = = Número de elementos do evento: n_ / Ai= $ $ _ dist int osi+ $ $ _ iguaisi = P = = 0 C P = = 0 00 = 00 = % BLOCO 0 0 D O evento complementar do evento soma maior do que ou igual a é soma menor do que ou igual a, e diferente de ou seja, {(,), (,), (,), (,)}. As, como o espaço amostral possui = 8 elementos, segue que a resposta é - =. 0 B O número total de possibilidades de se escolher algarismos ao acaso entre os 0 algarismos disponíveis é de: 0! 0$ $ 8! 0 C0 = = = & C0 = possibilidades!(0- )! $ 8! O número total de possibilidades de escolha de dois algarismos cuja soma é um número primo é igual a: possibilidades Logo, a probabilidade de que, escolhendo-se ao acaso dois algarismos distintos, a soma deles seja um número primo é: 8 P = = 0, & 0%

6 0 C Entre e 00 existem números múltiplos de dentre os quais apenas também são múltiplos de (0, 0 e 0). As a probabilidade de o número sorteado ser, ao mesmo tempo, múltiplo de e é = 0, C Sabendo-se que nenhuma das caixas ficou vazia, só existem possibilidades de distribuição, cada qual com possibilidades de permutação de seus elementos. São elas:! _ Distribuição "# ;;- " Permutação P = = b! b b Distribuição "# ;;- " Permutação P =! = b! ` Totalde possibilidades de distribuição Distribuição "# ;;- " Permutação P = =! b b! Distribuição "# ;;- " Permutação P = = b! a As a probabilidade de uma caixa conter exatamente bolas é igual a: Pdistribuição ( ) = = = 0,0 & 0% Ptotal ( de distribuições) 0 B Espaço amostral: = caras e uma coroa: = Logo, a probabilidade P será dada por P = 0 A 0000 A probabilidade de que um habitante dessa cidade tenha sido vacinado é: = 0000 Desse modo, tomando aleatoriamente 0 habitantes, esperamos que 0 $ = tenham sido vacinados C Dia em que a pergunta foi feita Domingo Segunda-feira Terça-feira Quarta-feira Quinta-feira Sexta-feira Sábado Resposta não não não Portanto, dos quatro ditos pelo oráculo, são falsos. Logo, a probabilidade será: P =. 08 A Comissões possíveis = C, = 0 Comissões com Eloísa e sem César: C, = Logo P = 0 0 A do sexo masculino e do sexo feminino. C P = C, = 7, 0 0 E ' 7 P = = = ' 0 E P = P(uma par e duas ímpares) + P (três pares) C7,. C8, C7, P= + C, C, 7.8 P = + P = Matemática V MATEMÁTICA Volume 0

7 0 A 0 E atropelamentos (0 com mortes e sem mortes) Logo P = / P = /7 0 E 0 D 0 D 08 D 0 D 0 B 07 A MATEMÁTICA Volume 0