Erivaldo. Análise Combinatória, Probabilidade

Transcrição

1 Erivaldo Análise Combinatória, Probabilidade

2 ACAFE Em computação, chama-se um dígito binário (0 ou 1) de bit, que vem do inglês Binary Digit. O "American Standard Code for Information Interchange" comumente referido como ASCII também chamado ASCII completo, ou ASCII estendido, é uma forma especial de código binário que é largamente utilizado em microprocessadores e equipamentos de comunicação de dados. 20) É correto afirmar que os 7 bits do código ASCII permite representar um total de: A 256 caracteres diferentes. B 64 caracteres diferentes. C 1024 caracteres diferentes. D 128 caracteres diferentes. Gabarito: d

3 ACAFE A probabilidade de que um médico acerte o diagnóstico de um paciente é de 95%. Dado que esse médico tenha errado o diagnóstico, a probabilidade de não ser processado pelo paciente é 90%. Qual a probabilidade de que o médico erre o diagnóstico e seja processado pelo paciente? A 4,5% B 3,2% C 0,5% D 3,8% Gabarito: c

4 UDESC Uma turma de 25 alunos precisa escolher 6 representantes. Sabe-se que 28% dos alunos desta turma são mulheres, e que os representantes escolhidos devem ser 3 homens e 3 mulheres. Assim, o número de possibilidades para esta escolha é: A. ( ) B. ( ) 851 C. ( ) D. ( ) E. ( ) 5106 Gabarito: a

5 UFSC 2013 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Jogam-se simultaneamente dois dados, um vermelho e outro branco. A probabilidade de que a soma dos números mostrados nas faces de cima seja menor ou igual a 6 é 1/2. ( Incorreto )

6 UFSC 2013 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 02. A Agência Nacional de Telecomunicações (ANATEL) determinou a inclusão do dígito 9 à frente de todos os números de telefone celular do estado de São Paulo. Dessa forma, cada número de telefone será constituído de nove dígitos. Suponhamos que, em uma determinada região, todos os números de telefone comecem da seguinte forma: ( Incorreto 9 8 6?????? ) Sabendo que os algarismos 9, 8 e 6 permanecem fixos na posição apresentada, e que os números de telefone celular são formados por dígitos distintos, então nessa região pode-se fazer de números de telefone diferentes.

7 UFSC 2013 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 04. Numa empresa, existem 7 funcionários, entre eles Francisco. A direção-geral pediu para formar um grupo de trabalho com 4 desses funcionários de modo que Francisco esteja nesse grupo, então o número de maneiras distintas de formar esse grupo é 35. ( Incorreto )

8 UFSC 2013 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 08. (1 1. 1!).(2 2.2!).(3 3.3!). (4 4.4!).... ( !) = (10!) 11 ( Correto )

9 UFSC 2013 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 16. A expressão é um número inteiro. M = ! ( Correto )

10 UFSC 2013 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 32. Há exatamente 36 anagramas da palavra SORTE em que duas vogais não estão juntas. ( Correto )

11 Questão 01 UNIFESP Duzentos e cinquenta candidatos submeteram-se a uma prova com 5 questões de múltipla escolha, cada questão com 3 alternativas e uma única resposta correta. Admitindo-se que todos os candidatos assinalaram, para cada questão, uma única resposta, pode-se afirmar que pelo menos: a) um candidato errou todas as respostas. b) dois candidatos assinalaram exatamente as mesmas alternativas. c) um candidato acertou todas as respostas. d) a metade dos candidatos acertou mais de 50% das respostas. e) a metade dos candidatos errou mais de 50% das respostas. Resolução: Total de respostas possíveis: 3p. 3p. 3p. 3p. 3p = 243 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Gabarito: b

12 Questão 02 ESPM Apenas 40% dos hóspedes de um hotel de São Paulo são estrangeiros, sendo que 70% deles são ingleses e os demais, franceses. Sabe-se que 25% dos franceses e 50% dos ingleses falam Português. Escolhendo-se, ao acaso, um dos hóspedes desse hotel, a probabilidade de que ele fale Português é: a) 65% b) 72% c) 68% d) 77% e) 82% Gabarito: d

13 Questão 03 UFSC Um campeonato de futebol de salão é disputado por várias equipes, jogando entre si, turno e returno. Sabendo-se que foram disputadas 272 partidas, determine o número de equipes participantes. Resolução: Número de equipes: n Número de partidas de um turno : C n 2 Número de partidas de dois turnos : 2.C n 2 = 272

14 Questão 03 UFSC Um campeonato de futebol de salão é disputado por várias equipes, jogando entre si, turno e returno. Sabendo-se que foram disputadas 272 partidas, determine o número de equipes participantes. Resolução: 2.C n 2 = 272 (2) n! 2!.(n 2)! = 136 n 2 n 272 = 0 n = 17 ou n = 16 n.(n 1).(n 2)! 2.1.(n 2)! = 136 G a b a r i t o : 17

15 Questão 04 FUVEST Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é: a) menor que 7%. b) maior que 7%, mas menor que 10%. c) maior que 10%, mas menor que 13%. d) maior que 13%, mas menor que 16%. e) maior que 16%. Gabarito: b

16 Questão 05 (UFMG) Em uma lanchonete, os sorvetes são divididos em três grupos: o vermelho, com 5 sabores; o amarelo, com 3 sabores; e o verde, com 2 sabores. Pode-se pedir uma casquinha com 1, 2 ou 3 bolas, mas cada casquinha não pode conter 2 bolas de um mesmo grupo. O número de maneiras distintas de se pedir uma casquinha é: a) 71 b) 86 c) 61 d) 131 Resolução: Casquinha com 1 bola: 5 vermelhas + 3 amarelas + 2 verdes = 10 casquinhas. Casquinha com 2 bolas: Casquinha com 3 bolas: (Verm. e Am.) ou (Verm. e Verd.) ou (Verd. e Am) 5p. 3p + 5p. 2p + 2p. 3p = 31 Vermelha e Amarela e Verde 5p. 3p. 2p = 30 Total de Casquinhas: = 71 Gabarito: a

17 Questão 06 UFC Considere os números inteiros maiores que que possuem cinco algarismos todos distintos, e que não contêm os dígitos 3 e 8. A quantidade desses números é: a) 2160 b) 1320 c) 1440 d) 2280 e) 2880

18 Questão 07 (FEI) Quantos valores inteiros entre 100 e 999 possuem a seguinte característica: a soma do algarismo das centenas com o algarismo das dezenas é igual ao algarismo das unidades? a) 450 b) 45 c) 90 d) 9 e) 1 Resolução: = fixo = fixo = fixo = fixo = fixo = fixo = 4 fixo.. 5 = 5 fixo = 9 fixo = 45 Gabarito: b

19 Questão 08 UERJ Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de cada cor. Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é expelida ao acaso. Observe a ilustração: Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o menor número de moedas a serem inseridas na máquina corresponde a: a) 5 b) 13 c) 31 d) 40

20 Questão 09 FUVEST Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? a) 551 b) 552 c) 553 d) 554 e) 555

21 Questão 10 UNICAMP Em Matemática, um número natural é chamado palíndromo se seus algarismos, escritos em ordem inversa, produzem o mesmo número. Por exemplo, 8, 22 e 373 são palíndromos. Pergunta-se: a) Quantos números naturais palíndromos existem entre 1 e 9.999? b) Escolhendo-se ao acaso um número natural entre 1 e 9.999, qual é a probabilidade de que esse número seja palíndromo? Tal probabilidade é maior ou menor que 2%?

22 Questão 10 a) Quantos números naturais palíndromos existem entre 1 e 9.999? Resolução: a) Palíndromos de 1 algarismo : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 Palíndromos de 2 algarismos : 9p. 1p = 9 = 8 Palíndromos de 3 algarismos : 9p. 10p. 1p = 90 Palíndromos de 4 algarismos : 9p. 10p. 1p. 1p = 90 Total de palíndromos : = = Gabarito: 196

23 Questão 10 b) Escolhendo-se ao acaso um número natural entre 1 e 9.999, qual é a probabilidade de que esse número seja palíndromo? Tal probabilidade é maior ou menor que 2%? Resolução: b) A quantidade de números no intervalo entre 1 e é : A quantidade de palíndromos no intervalo entre 1 e é : 196 A probabilidade de um palíndromo no intervalo entre 1 e é : P = P = 1,96% Gabarito: 1,96%

24 Questão 11 Empregando o raciocínio combinatório, calcule o número de diagonais de um polígono de: a) 8 lados b) b) n lados

25 Questão 12 Considere os conjuntos P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19} e Q = {23, 29, 31, 37, 41, 43}. a) Determine o número total de produtos distintos de seis fatores distintos, que podem ser obtidos, escolhendo se três fatores entre os elementos do conjunto P e três fatores entre os elementos do conjunto Q. b) Determine quantos dos produtos obtidos no item (a) são divisíveis, pelo menos, por um dos números 2 ou 29.

26 Questão 12 Conjuntos P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19} e Q = {23, 29, 31, 37, 41, 43}. a) Determine o número total de produtos distintos de seis fatores distintos, que podem ser obtidos, escolhendo se três fatores entre os elementos do conjunto P e três fatores entre os elementos do conjunto Q. Resolução: C 8 3 8! 3!.(8 3)! C 6 3 6! x = !.(6 3)!

27 Questão 12 Conjuntos P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19} e Q = {23, 29, 31, 37, 41, 43}. b) Determine quantos dos produtos obtidos no item (a) são divisíveis, pelo menos, por um dos números 2 ou 29. Resolução: Produtos que não interessam (sem os fatores 2 e 29): Total: 1120 C 7 3 7! 3!.(7 3)! C 5 3 5! x = 350 3!.(5 3)! Sem Int.: 350 Casos de interesse: = 770

28 Questão 13 As embalagens dos produtos vendidos por uma empresa apresentam uma seqüência formada por barra verticais: quatro de largura 1,5 mm; três de largura 0,5 mm e duas de largura 0,25 mm como na figura abaixo. Cada seqüência indica o preço de um produto. Quantos preços diferentes podem ser indicado por essas nove barras? Resolução: 4 de largura 1,5 mm; 3 de largura 0,5 mm e 2 de largura 0,25 mm: P 4,3,2 9! 9 = 4!.3!.2! P 4,3,2 9 = 1260

29 Questão 14 ENEM O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? a) 2 (0,2%) 4. b) 4 (0,2%) 2. c) 6 (0,2%) 2 (99,8%) 2. d) 4 (0,2%). e) 6 (0,2%) (99,8%). Resolução: D e D e ND e ND (0,2%) x (0,2%) x (99,8%) x (99,8%) = (0,2%) 2 x(99,8%) 2 P 2,2 4 = 4! 2!.2! = 6 D, D, ND, ND Gabarito: c

30 Questão 15 FUVEST Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão? a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

31 Questão 15 Dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão? Resolução: Sendo x o número de homens, temos: Cumprimentos entre dois homens: 2.C x,2 Cumprimentos entre um homem e uma mulher: x.(37 x) Portanto: 2.C x,2 + x.(37 x) = x! 2!.(x 2)! + x.(37 x) = 720

32 Questão 15 Resolução: 2. x! 2!.(x 2)! + x.(37 x) = x.(x 1).(x 2)! 2.1.(x 2)! + 37x x 2 = 720 x 2 x + 37x x 2 = 720 Mulheres: 37 x x = 720 x = Gabarito: b

33 Questão 16 Com n letras iguais a A e 3 letras iguais a B formam-se um total de 8n + 16 permutações. Calcule n. Resolução: A A..... A B B B n letras 3 letras P n,3 n+3 = 8.n+16 (n+ 3)! = 8.n+16 n!.3! n 2 + 4n 45 = 0 n = 5 n = 9 Gabarito: 05

34 Questão 17 Um oráculo mente sempre às segundas, terças e quartas feiras, mas fala sempre a verdade nos outros dias. Num certo dia ao ser perguntado se hoje é domingo, ele respondeu sim. A probabilidade de ele estar mentindo é: a) 3/7 b) 4/7 c) 3/4 d) 1/4 e) 1/7 Resolução: Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado V M M M V V V Dias em que o oráculo poderia responder SIM: Probabilidade do oráculo estar mentindo: Domingo (V); Segunda(M); Terça(M) ; Quarta(M). P = 3 4 Gabarito: c

35 Questão 18 Sobre uma mesa, há 15 bolas de bilhar: 8 vermelhas, 4 amarelas e 3 pretas.de quantos modos podem-se enfileirar essas bolas de modo que duas da mesma cor nunca fiquem juntas? Resolução: Há 7 bolas de bilhar, 4 amarelas e 3 pretas, para 7 espaços. P 3,4 7 = 7! 3!.4! P 3,4 7 = 35 Gabarito: 35

36 Questão 19 UERJ Numa sala existem cinco cadeiras numeradas de 1 a 5. Antônio, Bernardo, Carlos, Daniel e Eduardo devem se sentar nestas cadeiras. A probabilidade de que nem Carlos se sente na cadeira 3, nem Daniel na cadeira 4, equivale a: a) 16% b) 54% c) 65% d) 96% Gabarito: c

37 Questão 20 CEM O número de maneiras que pode-se distribuir 10 moedas, todas idênticas, entre 4 crianças, de modo que cada criança receba pelo menos uma moeda é:

38 Extra CEM O número real positivo x que satisfaz a condição x 2 = x + 1 é chamado de número de ouro. Para este número x, temos que x 5 é igual a 5x + 3. Correto

39 Extra UNICAMP Com as letras x, y, z e w podemos formar monômios de grau k, isto é, expressões do tipo x a y b z n w t, onde a, b, n e t são inteiros não negativos, tais que a + b + n + t = k. Quando um ou mais desses expoentes é igual zero, dizemos que o monômio é formado pelas demais letras. Por exemplo, y 3 z 4 é um monômio de grau 7 formado pelas letras y e z [nesse caso, a = t = 0]. a) Quantos monômios de grau 4 podem ser formados com, no máximo, 4 letras? b) Escolhendo-se ao acaso um desses monômios do item (a), qual a probabilidade dele ser formado por exatamente duas das 4 letras?

40 Extra (UFMG) Num grupo constituído de 15 pessoas, cinco vestem camisas amarelas, cinco vestem camisas vermelhas e cinco vestem camisas verdes. Deseja-se formar uma fila com essas pessoas de forma que as três primeiras vistam camisas de cores diferentes e que as seguintes mantenham a seqüência de cores dada pelas três primeiras. Nessa situação, de quantas maneiras distintas se pode fazer tal fila? a) 3(5!) 3 b) (5!) 3 c) (5!) 3 (3!) d) 15!/(3!5!) Resolução: 5 vestem camisas amarelas, 5 vestem camisas vermelhas e 5 vestem camisas verdes. A V Vd A V Vd A V Vd A V Vd A V Vd P 3. P. 5 P. 5 P 5 (3!).(5!).(5!).(5!) = (5!) 3.(3!) Gabarito: C

41 Extra Um grupo formado por 4 rapazes e uma senhorita vai visitar uma exposição de arte. Um dos rapazes é um perfeito cavalheiro e, portanto, não passa pela porta da sala de exposições sem que a senhorita já o tenha feito. Considerando que a entrada é de uma pessoa por vez, então haverá 72 diferentes possibilidades para a ordem de entrada do grupo. Resolução: 4 rapazes e 1 senhorita: R 1, R 2, R 3, R 4, S. S. 4p. 3p. 2p. = 1p 24 fixo 3p. S. 3p. 2p. = 1p 18 fixo 3p. 2p. S. 2p. = 1p 12 fixo 3p. 2p. 1p. S. = 1p 6 fixo 60 números Falso

42 Erivaldo FIM