A Importância da Estatística na Pesquisa Científica e na Tomada de Decisão

Transcrição

1 A Importância da Estatística na Pesquisa Científica e na Tomada de Decisão Ricardo Alves de Olinda Universidade Estadual da Paraíba - UEPB Centro de Ciências e Tecnologia - CCT Departamento de Estatística ricardo.estat@yahoo.com.br Novembro de 2015 Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

2 Investigação Científica Por serem mais precisos do que as palavras, os números são particularmente mais adequados para transmitir as conclusões científicas"(pagano e GAUVRE, 2004). Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

3 Investigação Científica Por serem mais precisos do que as palavras, os números são particularmente mais adequados para transmitir as conclusões científicas"(pagano e GAUVRE, 2004). 2+2=? (Você quer que dê quanto?) No entanto tal como se pode mentir com palavras, pode-se fazer o mesmo com números. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

4 Pesquisa Científica Estatística É atribuída ao primeiro ministro Britânico Benjamin Dissaeli a seguinte frase: Existem 3 tipos de mentiras: mentiras, mentiras condenáveis e estatísticas" Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

5 Pesquisa Científica Estatística É atribuída ao primeiro ministro Britânico Benjamin Dissaeli a seguinte frase: Existem 3 tipos de mentiras: mentiras, mentiras condenáveis e estatísticas" É fácil mentir com a estatística, mas é mais fácil mentir sem ela. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

6 Atitude Crítica Os dados estatísticos podem ser manipulados para determinados objetivos, comerciais, sociais, políticos, e apresentados de forma a fazer crer na mensagem que se deseja promover. Com efeito, mesmo sendo corretos, os dados estatísticos podem ser usados de uma forma sensacionalista ou confusa, dando origem a interpretações equivocadas. É necessário manter uma atitude vigilante e crítica face às mensagens estatísticas com que, frequentemente, nos deparamos Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

7 Pesquisa Científica A pesquisa científica tem por finalidade o descobrimento de princípios gerais ou leis naturais". Esses princípios nada mais são do que hipóteses que formuladas para explicar o fenômeno, são postas à prova por meio de experimentos e podem ser aceitas como verdadeiras. Novas hipóteses mais gerais são formuladas as quais devem explicar os fatos velhos e os novos. Em seguida, as hipóteses são postas à prova por meio de novos experimentos, dessa forma, a pesquisa científica é circular. O método científico consiste em aplicar normas racionais ao estudo de um fenômeno e abrange várias fases: Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

8 Pesquisa Científica 1 Um exame daquilo que já é conhecido acerca do fenômeno que nos interessa; 2 Formulação de uma hipótese que procura explicar satisfatoriamente a natureza do mesmo; 3 Delineamento experimental para pôr em prova a hipótese formulada; 4 Coleta de observações ou dos dados que representam o resultado do experimento; 5 A análise dos dados que nos levarão à aceitação ou rejeição da hipótese. A Estatística pode ser de grande utilidade para o pesquisador nas 3 últimas fases do processo, se bem que é na fase de formulação das hipóteses do trabalho que o estatístico pode influir de maneira satisfatória. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

9 O que a Estatística Proporciona ao Método Científico? Esquemas eficientes para a tomada das observações, tópico conhecido como delineamento de experimentos ou esquemas de amostragem; Técnicas para a eliminação ou redução das fontes de erro na tomada das observações propriamente ditas; Métodos para a comparação dos resultados obtidos com os esperados pela teoria, com o uso dos testes de hipóteses. A ideia da utilização de um Modelo Estatístico na solução de um problema científico é comum nos diferentes setores da ciência. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

10 Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

11 Todos os experimentos são planejados. A diferença é que alguns são mal planejados e outros são bem planejados"(montgomery, 2001). Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

12 Seus conceitos podem ser aplicados aos diversos campos que incluem 1 Agricultura: Comparar vários tipos de fertilizantes e tipos de solo para a plantação de laranja; 2 Indústria: Reduzir variabilidade, tempo e custo na produção de um componente eletrônico; 3 Biologia: Comparar a resistência de diferentes tipos bactérias à temperaturas extremas; 4 Saúde: Estabelecer a dosagem ótima de um antibiótico no tratamento de uma infecção; 5 Economia: Comparar o desempenho de carteiras de investimento; 6 Física: Estudar o impacto de fontes radioativas em certos ambientes; 7 Psicologia: Estudar se métodos de ensino diferentes produzem benefícios aos alunos. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

13 PROBLEMAS OBSERVADOS Alta incidência de erros em delineamentos experimentais e análise estatística nos periódicos Anesthesia and Analgesia" e Anesthesiology"(AVRAM et al., 1985). Os erros mais frequentes envolvem o emprego de testes de hipóteses elementares: Testes para observações independentes e pareadas; Testes para comparar 2 grupos e mais de dois grupos. 73, 5% dos artigos tinham algum erro de estatística (CRUESS, 1989). Problemas mais comuns: Não definição do teste estatístico; Observações pareadas tratadas como independentes. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

14 Pesquisa Científica Estatística Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

18 Causa dos erros Segundo Colton (1975), na opinião de professores que ministram cursos de Bioestatística em relação aos estudantes, eles acreditam que: 4% acham aborrecedor"; 31% não gostam; 49% toleram. Uma pesquisa comparando 18 Disciplinas para estudantes de Medicina na Grã Bretanha a Estatística ficou em último lugar no ranking em interesse e a primeira em dificuldade. Para Glantz (1980), a principal causa dos erros é: Poucos pesquisadores e clínicos tiveram treinamento formal nas disciplinas de Bioestatística. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

19 Causa dos erros Os trabalhos que necessitam de maior revisão estatística são os que utilizam métodos mais simples: Metodologias discutidas em livros básicos e cursos introdutórios de estatística. Análises são normalmente realizadas pelo próprio pesquisado: Algumas vezes sem conhecimento de conceitos básicos de estatística. Austin e Attanasio (1991), criticam a utilização de média, desvio padrão ou variância para variáveis ordinais. Aritmeticamente correta mas totalmente inapropriada: Para observações nominais e ordinais são mais apropriadas tabelas de frequência absolutas e relativas, mediana ou moda. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

20 Becker et al. (1995) 51% dos artigos publicados em periódicos da área médica utilizam metodologia estatística INCORRETA; Mas essa porcentagem pode ser MAIOR, pois 16% dos artigos não especificaram a metodologia e podem ter utilizado processos não adequados. Wang e Zhang (2008) Entre os que usaram estatística, a porcentagem que utilizou métodos impróprios aumentou de 25% a 48% de 1995 para 2005 Problemas mais comuns: Apresentação do p-valor sem especificar o teste usado; Uso de múltiplos teste t no lugar de análise de variância; Uso de teste t não pareado quando testes pareados deveriam ser utilizados. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

21 Segundo Moses e Louis (1984), os erros ocorrem porque normalmente a conversa entre o pesquisador e o estatístico é muitas vezes feita por telefone começando pela frase: Eu tenho um simples problema de estatística e precisaria tomar um minuto de seu tempo" Após o mesmo já ter coletado os dados ou mesmo após o trabalho ter retornado para a correção da análise estatística. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

23 Comparação de Duas Médias: Amostras Independentes Exemplo: Suplementação alimentar ajuda no emagrecimento? Ind.(j) Suplemento(y 1j ) Ind.(j) Placebo(y 2j ) Ind.(j) Suplemento(y 1j ) Ind.(j) Placebo(y 2j ) 1-S 1,85 1-P -1,62 6-S 4,04 6-P -4,87 2-S 2,40 2-P -0,75 7-S 4,96 7-P -2,34 3-S -1,21 3-P 1,70 8-S 0,15 8-P 3,02 4-S 0,35 4-P 2,12 9-S -0,59 9-P -0,08 5-S 3,52 5-P 3,98 10-S 2,57 10-P -1,27 Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

24 Comparar médias de 2 grupos Qual técnica estatística podemos usar? Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

25 Comparar médias de 2 grupos Qual técnica estatística podemos usar? Teste t (amostras independentes) Suposições: y ij N(µ i, σ 2 ), i = 1, 2; j = 1, 2,, 10 Hipóteses: H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 Estatística do teste: t 0 = ȳ1 ȳ 2 2Sp 2 n em que H 0 t2(n 1) ȳ i = 1 n n j=1 y ij e S 2 p = (n 1)S2 1 +(n 1)S2 2 2(n 1) E se as variâncias forem diferentes? Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

26 Comparar médias de 2 grupos Qual técnica estatística podemos usar? Teste t (amostras independentes) Suposições: y ij N(µ i, σ 2 ), i = 1, 2; j = 1, 2,, 10 Hipóteses: H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 Estatística do teste: t 0 = ȳ1 ȳ 2 2Sp 2 n em que H 0 t2(n 1) ȳ i = 1 n n j=1 y ij e S 2 p = (n 1)S2 1 +(n 1)S2 2 2(n 1) E se as variâncias forem diferentes? Estatística do teste sob H 0 : t 0 = ȳ1 ȳ 2 S 1 2 ν = ( ) s s2 2 n 1 n2 ( ) 1 s 2 2 ( ) s n 1 1 n 1 n 2 1 n 2 n 1 + S2 2 n 2 t ν, em que, Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

27 Teste t (amostras independentes) As variâncias são iguais? Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

28 Teste para Igualdade das Variâncias H 0 : σ 2 1 = σ2 2 versus H 1 : σ 2 1 σ2 2. Por definição temos que: F = S2 1 S 2 2 F [n1 1,n 2 1], sob H 0, em que n i é o tamanho da amostra do grupo i = 1, 2, lembrando que (n i 1)S 2 i σ 2 i. Valor observado f = s2 1 s 2 2 Checar suposições do teste t 1 Normalidade 2 Independência das populações 3 Observações são variáveis aleatórias independentes 4 Variâncias iguais Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

29 Comparação de Duas Médias: Amostras Pareadas Exemplo: Suponha que queremos testar se existe diferença no desempenho dos alunos entre a Prova 1 e Prova 2. Aluno(j) Nota P1(y 1j ) Nota P2(y 2j ) Aluno(j) Nota P1(y 1j ) Nota P2(y 2j ) 1 7,5 6,3 6 9,2 7,7 2 3,2 4,5 7 7,9 8,5 3 5,4 6,2 8 3,5 1,2 4 1,5 2,7 9 4,7 7,2 5 6,0 6,9 10 6,2 6,5 Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

30 Teste t (amostras pareadas) Diferença: d j = y 1j y 2j, j = 1, 2,..., n Hipóteses: H 0 : µ d = 0 H 1 : µ d 0 Estatística do Teste: t 0 = S d / n tn 1, em que, d = 1 n n j=1 d j e Sd 2 = 1 n n 1 j=1 (d j d) 2 d H 0 Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

31 Exemplos de motivação Um engenheiro está interessado em investigar a resistência de uma nova fibra sintética usada na produção de camisas. Sabendo que a resistência é afetada pela quantidade de algodão usada na fibra, e que a quantidade desejada de algodão no produto final deve estar no intervalo de 10 a 40%, o engenheiro planeja um experimento controlando as condições experimentais, com as seguintes quantidades de algodão: 15, 20, 25, 30 e 35%, e cinco repetições por tratamento. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

32 Fator Simples Experimento na Área Industrial: Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

33 Fator Simples Experimento na Área Industrial:Investigar a resistência à tensão y de novas fibras sintéticas na produção de tecidos. Fator (ou Tratamento): Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

34 Fator Simples Experimento na Área Industrial:Investigar a resistência à tensão y de novas fibras sintéticas na produção de tecidos. Fator (ou Tratamento):Porcentagem de algodão. Níveis do Fator: Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

35 Fator Simples Experimento na Área Industrial:Investigar a resistência à tensão y de novas fibras sintéticas na produção de tecidos. Fator (ou Tratamento):Porcentagem de algodão. Níveis do Fator:15%, 20%, 25%, 30% e 35% Variável Resposta: Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

36 Fator Simples Experimento na Área Industrial:Investigar a resistência à tensão y de novas fibras sintéticas na produção de tecidos. Fator (ou Tratamento):Porcentagem de algodão. Níveis do Fator:15%, 20%, 25%, 30% e 35% Variável Resposta:Resistência à tensão das fibras sintéticas. Repetição: Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

37 Fator Simples Experimento na Área Industrial:Investigar a resistência à tensão y de novas fibras sintéticas na produção de tecidos. Fator (ou Tratamento):Porcentagem de algodão. Níveis do Fator:15%, 20%, 25%, 30% e 35% Variável Resposta:Resistência à tensão das fibras sintéticas. Repetição:cinco repetições Unidades Experimentais: Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

38 Fator Simples Experimento na Área Industrial:Investigar a resistência à tensão y de novas fibras sintéticas na produção de tecidos. Fator (ou Tratamento):Porcentagem de algodão. Níveis do Fator:15%, 20%, 25%, 30% e 35% Variável Resposta:Resistência à tensão das fibras sintéticas. Repetição:cinco repetições Unidades Experimentais:25 unidades experimentais. Modelo Estatístico: Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

39 Fator Simples Experimento na Área Industrial:Investigar a resistência à tensão y de novas fibras sintéticas na produção de tecidos. Fator (ou Tratamento):Porcentagem de algodão. Níveis do Fator:15%, 20%, 25%, 30% e 35% Variável Resposta:Resistência à tensão das fibras sintéticas. Repetição:cinco repetições Unidades Experimentais:25 unidades experimentais. Modelo Estatístico: y ij = µ + τ i + ε ij Objetivos Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

40 Fator Simples Experimento na Área Industrial:Investigar a resistência à tensão y de novas fibras sintéticas na produção de tecidos. Fator (ou Tratamento):Porcentagem de algodão. Níveis do Fator:15%, 20%, 25%, 30% e 35% Variável Resposta:Resistência à tensão das fibras sintéticas. Repetição:cinco repetições Unidades Experimentais:25 unidades experimentais. Modelo Estatístico: y ij = µ + τ i + ε ij Objetivos Avaliar o efeito da porcentagem de algodão na resistência da fibra sintética; Identificar a porcentagem ideal de algodão de forma a se obter máxima resistência. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

41 Tabela 1: Dados de resistência (em libras/pol 2 ) para o experimento de fibra sintética. Porcentagem Observação de Algodão (%) Fonte: Montgomery, D. C. John Wiley & Sons, > y = c(7, 7,..., 15, 11); w = gl(5, 5, labels = c(15, 20, 25, 30, 35)) > tapply(y, w, sum) #soma dos totais > tapply(y, w, mean) #média de cada nível > mean(tapply(y, w, mean)) #média geral Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

42 > boxplot(y w); plot(as.numeric(w), y); points(tapply(y, w, mean), > pch = 20, col = red ) Queremos testar se há diferença entre as médias da resistência dos cinco níveis da porcentagem de algodão Análise de Variância. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

43 A Análise de Variância Queremos testar se existe diferença entre as resistências média para todos os a=5 níveis do fator porcentagem de algodão. E por que não aplicar o teste t para todos os pares de médias? P(não rejeitar H 0 H 0 é verdadeira)=(1 0, 05) 10 = 0, 60 P(Erro Tipo I) = 1 0, 60 = 0, 40 O procedimento apropriado para testar a igualdade de várias médias é conhecido como Análise de Variância Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

44 Análise de Variância (ANOVA) Use o modelo estatístico y ij = µ + τ i + ε ij para o tratamento i = 1,..., a e repetição j = 1,..., n. Observação y ij (i-ésimo tratamento e j-ésima repetição) O parâmetro µ é comum a toda observação (Média geral) O parâmetro τ i refere-se ao i-ésimo tratamento (o efeito do i-ésimo tratamento) O termo ε ij refere-se ao componente do erro aleatório Sob a suposição: ε ij iid N(0, σ 2 ). Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

45 Efeito dos Tratamentos τ i Fixo: Os a" tratamentos são fixados(escolhidos) pelo pesquisador. Testes e conclusões só serão aplicados aos níveis do fator considerado (Modelo de Efeito Fixo). Outros exemplos: Estudar o efeito da Classe Social (Alta, Média ou Baixa) no peso das crianças. (Fator: Classe Social, três níveis qualitativos). Estudar o efeito de Dose do Adubo (0, 20, 40, 60 e 80 kg/ha) na produção de uma determinada cultura. (Fator: Doses de adubo, cinco níveis quantitativos, crescentes e igualmente espaçados). Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

46 Aleatório: Os a" tratamentos é uma amostra aleatória da população dos possíveis níveis. Somos capazes de extender as conclusões para todos os tratamentos da população (Modelo de Efeitos Aleatórios). Outros exemplos: Suponhamos que o Governo do Estado queira saber se a marca da vacina interfere no controle de uma determinada virose. Como existem no mercado várias marcas, o pesquisador casualiza t marcas para o experimento. O experimento trará informações sobre a população de vacinas, não apenas para os t tratamentos. Este é um caso de fator de efeito aleatório. Voltando ao exemplo do algodão... Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

47 Modelo de efeitos fixos Os efeitos do fator τ i são usualmente definidos como os desvios em relação à média geral µ = 1 a µ i = 1 a (µ + τ i ) = µ + 1 a τ i, a a a i=1 i=1 assim, temos uma restrição desses efeitos, a saber a τ i = 0. i=1 Aqui, µ i = E(y ij ) é a média de todas as observações y ij do i-ésimo tratamento. OBS: Temos k médias µ i = µ + τ i : média populacional do Fator I k + 1 parâmetros! Identificabilidade! i=1 Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

48 Decomposição da ANOVA Estamos interessados em testar a igualdade das médias dos a tratamentos: H 0 = µ 1 = µ 2 =... = µ a H 0 = τ 1 = τ 2 =... = τ a que é equivalente a testar a igualdade dos efeitos de todos os tratamentos. A decomposição da soma de quadrados é valida SQ total = SQ trat. + SQ res., em que SQ trat. é a Soma de Quadrado devido aos Tratamentos, que está relacionada apenas com os efeitos dos tratamentos τ i. Sendo assim, temos a n (y ij ˆµ) 2 = i=1 j=1 a n a n (ˆµ i ˆµ) 2 + (y ij ˆµ i ) 2 i=1 j=1 i=1 j=1 Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

49 ˆµ é o estimador da média geral µ, onde assumimos que todos os y ij pertencem a mesma população. Portanto, a estimativa é dada por: ˆµ = 1 a n y ij = ȳ, N i=1 j=1 em que N = an é o número total de observações. ˆµ i é o estimador da média do i-ésimo tratamento. Isto dá a estimativa ˆµ i = 1 n y ij = ȳ i n Em conjunto isto dá a i=1 j=1 n (y ij ȳ ) 2 = n j=1 a (ȳ i ȳ ) 2 + i=1 a i=1 j=1 n (y ij ȳ i ) 2 Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

50 Portanto, a variabilidade total dos dados pode ser particionada em uma soma de quadrados das diferenças entre as médias dos tratamentos e da média geral, além de uma soma de quadrados das diferenças entre as observações e as médias dos tratamentos. Tabela 2: Tabela da Análise de Variância(ANOVA) Fonte de Graus de Soma de Quadrados F Variação Liberdade Quadrados Médios Calculado Entre Trat. a 1 SQ trat. QM trat. QM trat. /QM res. Dentro de Trat. (Erro) N a SQ res. QM res. Total N 1 SQ total Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

51 Construção do Teste F O valor esperado de cada Quadrado Médio: ( ) SQres. E(QM res. ) = E = σ 2 N a ( ) SQtrat. E(QM trat. ) = E = σ 2 + n a i=1 τ i 2 a 1 a 1 QM res. é um estimador não viciado de σ 2 Sob H 0 : τ 1 = τ 2 = = τ a, QM trat. também é um estimador não viciado de σ 2. Então, um teste de hipótese para testar igualdade das médias pode ser elaborado através da comparação de QM res. e QM trat.. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

52 Construção do Teste F Assumimos que ε ij iid N(0, σ 2 ) Isso implica que y ij iid N(µ + τi ; σ 2 ) Então, as quantidades SQ total, SQ trat. e SQ res. são somas de quadrados de variáveis aleatórias normais e pode-se mostrar que SQ total σ 2 χ 2 N 1 SQ res. σ 2 χ 2 N a SQ trat. H 0 χ 2 σ 2 a 1 SQ res. e SQ trat. são independentes? Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

53 Construção do Teste F Teorema de Cochran Seja Z i iid N(0, 1) para i = 1, 2,..., ν e ν i=1 Z 2 i = Q 1 + Q Q s, em que, s ν e Q i tem ν i graus de liberdade (i = 1, 2,..., s). Então Q 1, Q 2,..., Q s são variáveis aleatórias qui-quadrado independentes com graus de liberdade ν 1, ν 2,..., ν s, respectivamente, se a somente se ν = ν 1 + ν ν s. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

54 Construção do Teste F Como gl trat. + gl res. = gl total (a-1)+(n-a)=n-1 pelo Teorema de Cochran temos que SQ trat. /σ 2 e SQ res. /σ 2 são variáveis aleatórias qui-quadrado independentes. Temos então a estatística teste F calculado = SQ trat./(a 1) SQ res. /(N a) = QM trat. QM res. F [a 1,N a] Se H 0 é falsa, o valor esperado de QM trat. é maior que o valor esperado de QM res. e então, devemos rejeitar H 0 para valores grandes de F calculado, isto é, rejeita-se H 0 se F calculado > F [a 1,N a;α] Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

55 Teste F para análise de variância Figura 1: Distribuição F. F calculado < F tab a 5% - o teste não é significativo no nível de 5% de probabilidade F calculado F tab a 5% - o teste é significativo no nível de 5% de probabilidade. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

56 Voltando ao exemplo do algodão... Dados de fibra sintética: Teste H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 = µ 5 versus H 1 : pelo menos um par de médias difere Tabela 3: Tabela da Análise de Variância(ANOVA) para verificar o efeito da porcentagem de algodão na resistência da fibra sintética Fonte de Graus de Soma de Quadrados Variação Liberdade Quadrados Médios F [4;20] p-valor Porcentagem de Algodão 4 475,76 118,94 14,76 < 0, 001 Erro(Dentro dos Trat.) ,20 8,06 Total ,96 Assim, rejeitamos H 0 e concluímos que há diferença entre as porcentagens de algodão na resistência da fibra sintética. > summary(aov(y w)) Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

57 Além disso, QM res. é um estimador não viesado para σ 2 e o intervalo de confiança (1 α) para a i-ésima média do tratamento é dado por: [ ȳ i ± t [N a;1 α/2] ] QM res. /n Teste de Bartlett para igualdade de variâncias: H 0 : σ 2 1 = σ2 2 = σ2 a K 2 é baseado nas variâncias amostrais seguindo aproximadamente χ 2 a 1. = Concluindo que as variâncias são estatisticamente iguais OBS: Este teste é sensível a suposição de normalidade! Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

58 Tabela 4: Exemplo: Valores de quatro diferentes métodos de estimação da vazão máxima(metro cúbico por segundo) de uma bacia hidrográfica. Método Vazão Máxima(m 3 /s) ȳ i S i A 0,34 0,12 1,23 0,70 1,75 0,12 0,71 0,66 B 0,91 2,94 2,14 2,36 2,86 4,55 2,63 1,09 C 6,31 8,37 9,75 6,09 9,82 7,24 7,93 1,66 D 17,15 11,82 10,95 17,20 14,35 16,82 14,72 2,77 > y = c(0.34, 0.12,, 14.35, 16.82); m = gl(4, 6, labels = c( A, B, C, D )) Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

59 > r = residuals(ajuste); f = fitted(ajuste); plot(f, r) > ls = log(tapply(y, m, sd)); lm = log(tapply(y, m, mean)) > plot(lm, ls); abline(lm(ls lm)) #inclinação de 0.45 Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

60 O teste de Bartlett rejeita a igualdade de variâncias. Assim analisamos y = y. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

61 > r < residuals(aov(ry m)); f < fitted(aov(ry m)); plot(f, r) > library(mass); boxcox(y m); abline(v = 0.55, col = red ) Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

62 Teste de Kruskal-Wallis Se a suposição de normalidade não se justifica, uma alternativa não paramétrica ao teste F da ANOVA deve ser utilizado para verificar as diferenças das médias µ i dos a" tratamentos. Com o teste de Kruskal-Wallis podemos testar H 0 : µ 0 = = µ a. Para os dados de tensão temos Estamos novamente rejeitando a hipótese nula e concluímos que há diferença significativa entre os tratamentos. Esta é a mesma conclusão do teste F da ANOVA. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

63 Voltando ao exemplo do algodão... Interpretação Prática dos Resultados Até agora, assumimos que os fatores (tratamentos) envolvidos no experimento é quantitativo ou qualitativo. Com um fator quantitativo geralmente o pesquisador está interessado num estudo de análise de regressão. Exemplo Para a resistência à tensão y de novas fibras sintéticas assumimos os modelos de regressão linear e cúbica na porcentagem de algodão x. Uma análise previa mostra que a resistência máxima à tensão ocorre quando x 30% (processo de otimização). Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

64 > p2 < predict(m2, data.frame(x = seq(15, 35))) > p3 < predict(m3, data.frame(x = seq(15, 35))) > plot(x, y); points(seq(15, 35, 5), tapply(y, w, mean), pch = 20, col = red ) > lines(15 : 35, p2); lines(15 : 35, p3) Exercício: Como escolher o melhor modelo?? Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

66 Comparações Múltiplas Na Análise de Variância, realizamos o teste F para verificar a igualdade de todas as médias dos tratamentos. Suponha que H 0 é rejeitada, ou seja, existe diferença entre as médias. Mas a partir desse teste não sabemos dizer exatamente quais médias diferem. Para isso, utilizamos os chamados Métodos de Comparações Múltiplas Estes fazem comparações entre pares de médias de tratamentos ou combinações lineares das médias. Suponha que queremos testar todas as possíveis combinações de pares de médias: H 0 : µ i = µ j H 1 : µ i µ j, para todo i j E por que não devemos usar testes t individuais de nível para fazer tais comparações? Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

67 Comparações Múltiplas Existem procedimentos para fazer tais comparações controlando o nível de significância geral. Teste de Tukey Tukey (1953) propôs um procedimento para comparar todos os a(a-1)/2 possíveis pares de médias. Nível de significância geral: exatamente α (balanceado) no máximo α (desbalanceado) Quando pode ser aplicado, esse procedimento produz intervalos de confiança mais estreitos que qualquer outro teste de comparação das médias Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

68 Teste de Tukey Baseado na distribuição da amplitude estudentizada q = ȳmax ȳ min QMres. /n onde ȳ max e ȳ min são a maior e a menor média dos tratamentos, respectivamente. Regra de decisão: duas médias µ i e µ j são significativamente diferentes se ȳ i ȳ j > DMS, sendo a Diferença Mínima Significativa (DMS)= q [a,n a;α] QM res. n Teste de Tukey é utilizado para testar todo e qualquer contraste entre duas médias. Limitação: não permite comparar grupos de médias entre si. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

69 Voltando ao exemplo do algodão... Teste de Tukey (Exemplo da fibra sintética) Temos a = 5 tratamentos. Para α = 0, 05, temos MQ DMS = q res. 8,06 [5,20;0,05] n = 4, 23 5 = 5, 37 Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

70 Teste de Tukey (Exemplo da fibra sintética) > plot(ttukey, sub = Tukey stest, las = 1) Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

71 Voltando aos problemas observados... Estudo realizado com residentes na área de cirurgia nos Estados Unidos(JUZYCH et al., 1992) 25% a compreensão de procedimentos estatísticos é muito importante para a leitura e completa compreensão de um artigo; 25% responderam ser importante. Quando questionados sobre o seu conhecimento em Estatística: 57% responderam que tinha muito pouco conhecimento; 10% disseram que não tinham nenhum. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

72 Exemplos de Motivação: Controle da Ansiedade Pesquisadores querem testar um novo medicamento no combate a ansiedade. Eles irão testar três dosagens (0mg, 50mg e 100mg). 21 pacientes participaram do estudo e foram divididos igualmente entre os três grupos. Depois de tomar a medicação, os pacientes dão uma nota de 1 a 10 para o nível de ansiedade. Pergunta: Existe diferença entre as dosagens da medicação no controle da ansiedade? Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

73 Nível de Ansiedade(y ij ) Dosagem(mg) y i ȳ i , , Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

74 Teste de Dunnett Suponha que o tratamento a é o controle e então iremos testar H 0 : µ i = µ a H 1 : µ i µ a, i = 1, 2,..., a 1 Para cada hipótese, calculamos a diferença: Rejeitamos H 0 se ȳ i ȳ a, i = 1, 2,..., a 1 ȳ i ȳ a > d [a 1,N a;α] 2 QMres. n em que d [a 1,N a;α] é o quantil estutentizado da Tabela de Dunnett; α é o nível de significância conjunto dos a 1 testes Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

75 Teste de Dunnett (Exemplo Ansiedade) Nesse exemplo temos a = 3 tratamentos, sendo um placebo (0mg) e duas dosagens (50mg e 100mg) Lembre-se que: ȳ 1 = 8, 14; ȳ 2 = 6, 71; ȳ 3 = 3 Calculamos: 2 MQ d res. 2 0,571 [2,18;0,05] n = 2, 40 7 = 0, 97 e ȳ 2 ȳ 1 = 6, 71 8, 14 = 1, 43 ȳ 3 ȳ 1 = 3, 00 8, 14 = 5, 14 Ambas as dosagens diferem significativamente do placebo O teste de Dunnett serve para comparações múltiplas onde apenas um tratamento serve de referência, quer dizer, deseja-se apenas comparar todos com apenas um. Por exemplo, o tratamento padrão (pode ser chamado de controle) não havendo interesse na comparação dos demais tratamentos entre si. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

76 Contrastes Muitos métodos de comparações múltiplas usam a ideia de contrastes No exemplo da fibra sintética, a engenheira suspeita que a resistência aumenta com a % de algodão. Então podemos, por exemplo, comparar os níveis extremos: H 0 : µ 1 = µ 5 H 1 : µ 1 µ 5 ou de forma equivalente, H 0 : µ 1 µ 5 = 0 H 1 : µ 1 µ 5 0 Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

77 Voltando ao exemplo da ansiedade... Testando Contrastes (Exemplo Ansiedade) Dosagem (mg) Coeficientes 0 (placebo) (nível 1) (nível 2) 1 1 Veja que os contrastes com c i = 2, 1, 1 e d i = 0 1, 1 são ortogonais. Contraste I com coeficientes c i = 2, 1, 1 2µ 1 + µ 2 + µ 3 = 0 µ 1 = µ 2 + µ 3 2 Contraste II com coeficientes d i = 0 1, 1 0µ 1 µ 2 + µ 3 µ 2 = µ 3 Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

78 Voltando ao exemplo da ansiedade... Testando Contrastes (Exemplo Ansiedade) Hipóteses Contrastes H 0 : 2µ 1 = µ 2 + µ 3 C 1 = 2ȳ 1 + ȳ 2 + ȳ 3 H 0 : µ 2 = µ 3 C 2 = ȳ 2 + ȳ 3 Calculando o valor dos contrastes e suas Somas de Quadrados: C 1 = 2 (8, 14) + 6, = 6, 57; C 2 = 6, = 3, 71 SQ C1 = ( 6,57)2 1/7 6 = 50, 38; SQ C 2 = ( 3,71)2 1/7 2 = 48, 29 Tabela 5: Tabela da ANOVA Fonte de Graus de Soma de Quadrados Variação Liberdade Quadrados Médios F p-valor Dosagem (2) 98,67 49,33 86,33 < 0, 001 C ,38 50,38 88,17 < 0, 001 C ,29 48,29 84,50 < 0, 001 Erro(Dentro dos Trat.) 18 10,29 0,57 Total ,95 Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

79 Modelo de efeitos aleatórios: Estamos interessados em um fator que possui um número elevado de possíveis níveis. Se o pesquisador seleciona aleatoriamente a" desses níveis de uma população de níveis desse fator, então dizemos que o fator é aleatório. Exemplo: Uma empresa têxtil tece tecidos num grande número de teares. Os teares são considerados homogêneos, de modo que o tecido desses teares possuem uma resistência uniforme. O estatístico responsável pelo controle de qualidade da empresa, seleciona 4 teares de forma aleatória e mede a determinação da resistência em 4 tecidos. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

80 Novamente, o modelo é: Observações Teares y i A B C D y ij = µ + τ i + ε ij mas ambos, τ i e ε ij são variáveis aleatória agora. Se eles são independentes e Var(τ i ) = σ 2 τ e Var(ε ij ) = σ 2, então a variância de qualquer observação é Var(y ij ) = σ 2 τ + σ 2, σ 2 τ e σ 2 são chamados de componentes de variância. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

81 Para testar hipóteses precisamos definir τ i iid N(0, σ 2 τ ) e ε ij iid N(0, σ 2 ). Hipóteses individuais sobre os efeitos dos tratamentos não têm sentido. Em vez disso, testamos H 0 : σ 2 τ = 0 versus H 1 : σ 2 τ > 0. Se σ 2 τ = 0 : todos os tratamentos são iguais; σ 2 τ > 0 : existe variabilidade entre os tratamentos. A decomposição da ANOVA SQ total = SQ trat. + SQ res. ainda é valido. Assim, sob a hipótese nula de que σ 2 τ = 0 e τ 1 = τ 2 =... = τ a = 0, a razão F = SQ trat./(a 1) SQ res. /(N a) = QM trat. QM res. tem distribuição F com a 1 e N a graus de liberdade. É fácil ver que E(QM trat. ) = σ 2 + nσ 2 τ e E(QM res. ) = σ 2. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

82 Assim, sob H 0 ambos são estimadores não viesados de σ 2. Mas, sob H 1 é esperado que o numerador seja maior que o denominador. Então rejeitamos H 0 para valores de F maiores que F > F [1 α;a 1,N a] Como encontrar os estimadores dos componentes de variância? Método AoV: Igualando os quadrados médios esperados e observados QM trat. = ˆσ 2 + nˆσ 2 τ e QM res. = ˆσ 2 ˆσ 2 = QM res. e ˆσ 2 τ = 1 n (QM trat. QM res. ) Observe que ˆσ 2 τ pode ser negativo!! Exemplo: Os teares são homogêneos? Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

83 Sendo assim, rejeitamos H 0 e concluímos que há variabilidade entre os teares. Obtemos também a estimativa de ˆσ 2 = QM res. = 1, 90 e ˆσ 2 τ = (QM trat. QM res. )/4 = 6, 96. A variância de qualquer observação sobre a resistência nos tecidos é estimado por ˆσ 2 + ˆσ 2 τ = 8, 86. A maior parte dessa variabilidade é atribuída a diferença entre teares. O engenheiro de processo agora deve tentar reduzir as diferenças de desempenho dos teares (possivelmente causada pela instalação defeituosa, falta de manutenção,... ). Se as fontes de variabilidade entre os teares forem identificadas e eliminadas, consequentemente, a variabilidade da saída do processo (resistência dos tecidos) pode ser reduzida, possivelmente tão baixo quanto ˆσ 2 = 1, 90. Isto iria aumentar consideravelmente a qualidade do produto. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

84 Sugestões Os periódicos da área médica devem incluir consultores em estatística"(white, 1979; JAMART, 1992). Ter um Estatístico incluído na equipe de pesquisa desde o início do experimento" (WHITE, 1979; AVRAM et al., 1985; JAMART, 1992; BECKER et al., 1995). Comitês de éticas em pesquisa com humanos devem exigir projetos bem delineados e com análise dos dados descrita corretamente" (GLANTZ, 1980). Os editores dos periódicos devem exigir a aplicação correta da estatística" (GLANTZ, 1980). Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

85 Os testes devem ser adequadamente descritos para que o leitor possa avaliar CRITICAMENTE a sua aplicação." (SCHWART et al., 1996) Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

86 Os testes devem ser adequadamente descritos para que o leitor possa avaliar CRITICAMENTE a sua aplicação." (SCHWART et al., 1996) Comissão editorial dos periódicos: adotar um formato mínimo padronizado para descrição das técnicas estatísticas (HOKANSON et al., 1987). Incluindo: Tamanho da amostra; Metodologia utilizada; Nível de significância. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

87 Os testes devem ser adequadamente descritos para que o leitor possa avaliar CRITICAMENTE a sua aplicação." (SCHWART et al., 1996) Comissão editorial dos periódicos: adotar um formato mínimo padronizado para descrição das técnicas estatísticas (HOKANSON et al., 1987). Incluindo: Tamanho da amostra; Metodologia utilizada; Nível de significância. Os pesquisadores devem saber estatística suficiente para a CORRETA ANÁLISE de seus trabalhos quando necessitam de testes mais simples e reconhecer as situações em que NECESSITAM da colaboração do estatístico." (JAMART, 1992) Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74

88 Obrigado! No futuro, o pensamento estatístico será tão necessário para a cidadania eficiente como saber ler e escrever" Herbert George Wells ( ). Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 74