UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Análise de Variância Parte 1 Departamento de Estatística Luiz Medeiros MOTIVAÇÃO Em uma experiência para comparar a eficiência de diversas técnicas no tratamento da dor produzida por uma intervenção cirúrgica superficial, 28 pacientes foram agrupados, ao acaso, em quatro grupos de sete pacientes, tratando-se o primeiro com placebo e, os demais, com dois tipos de analgésicos (A e B) e acupuntura Os tratamentos são equivalentes? Que conclusões podem ser obtidas desta experiência? EXPERIMENTOS COM UM ÚNICO FATOR: A ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA) Situações frequentemente ocorrem nas quais em lugar de duas médias deseja-se comparar várias médias Um dos métodos mais utilizados para resolver problemas deste tipo é a análise de variância (ANOVA) Trata-se de um método estatístico que por meio de teste de igualdade de médias, verifica se fatores produzem mudanças em alguma variável de interesse Pode ser considerada uma extensão do testet Esse método consiste em analisar a variância entre as médias das populações com a variância dentro das populações EXEMPLOS: Testar um determinado efeito terapêutico de três métodos (GI, GII e GIII) de administração de uma droga flebotrópica Verificar se o grau de ansiedade é o mesmo, em três enfermidades diferentes Verificar se três diferentes dietas surtem o mesmo efeito ALTERNATIVA: ANÁLISE DE VARIÂNCIA Testar 4 drogas diferentes (diuréticos) ao mesmo tempo e avaliar o efeito de cada droga sobre o débito urinário em 16 voluntários É possível realizar o teste t para comparar os grupos 2 a 2 (6 testes separados)? i) Perda de tempo ii) Erro tipo I maior que o desejado Obs: Não é adequado realizar o teste de igualdade de média de várias amostras através de uma multiplicidade de testes de igualdade de médias de duas em duas amostras Tabela 1- Dados gerais de um experimento com um único fator Tratamentos (níveis) Observações Totais Médias 1 y11 y12 y1n y1 y1 2 y21 y22 y2n y2 y2 g yg1 yg2 ygn yg yg Obs: O número de observações em cada tratamento não precisam ser iguais 1

2 Modelo estatístico y = µ + τ + ε ij i ij i=1,2,,g j=1,2,,n y ij = é a ij-ésima observação; µ é uma constante para todas as observações (média geral); τ i é o efeito do i-ésimo tratamento; ε ij é o erro aleatório(erros de medida, fatores não controláveis, diferenças entre as unidades experimentais, etc) Pressuposições: 1) As observações devem ser independentes; 2) As variâncias populacionais devem ser iguais nos grupos; 3) A distribuição das observações em cada grupo deve ser normal PASSOS PARA CONSTRUÇÃO DA ANOVA Realizar um estudo descritivo da variável de interesse com o intuito de compreender melhor o seu comportamento nos diversos tratamentos e possíveis violações das suposições do modelo Verificar, através da ANOVA, se existe diferença entre a média dos fatores Realizar um teste para verificar se o resíduo do modelo segue distribuição normal Realizar um teste para verificar a igualdade das variâncias entre os níveis Essa condição é fundamental na análise de variância Realizar um teste de aleatoriedade Se existir diferença entre os níveis do tratamento, onde ocorre a diferença (Ex: Teste de Tukey) Conclusão BOX PLOT BOX PLOT: COMANDOS NO R boxplot(count ~ spray, data = InsectSprays, col = "lightgray") boxplot(decrease ~ treatment, data = OrchardSprays, col = "bisque ", xlab = "Eixo X", ylab = "Eixo Y") title("modelos de Decisão em Saúde") 2

3 HISTOGRAMA HISTOGRAMA: COMANDOS NO R hist(islands) x <- rchisq(100, df = 4) hist(x, freq = FALSE, ylim = c(0, 02)) curve(dchisq(x, df = 4), col = 2, lty = 2, lwd = 2, add = TRUE) SIMETRIA TESTE DE NORMALIDADE: KOLMOGOROV-SMIRNOV (K-S) Compara a distribuição real dos dados (amostra) com uma distribuição normal gerada por uma média e um desvio padrão supostamente conhecidos O teste K-S também pode ser efetuado sob a suposição de que os parâmetros da normal são desconhecidos Esse processo é conhecido como probabilidade de Lillefors Neste caso, os parâmetros da normal são estimados a partir dos dados O teste de normalidade é formulada da seguinte forma: H 0 : Os dados provem de uma distribuição normal H 1 : Os dados não provem de uma distribuição normal TESTE DE NORMALIDADE: SHAPIRO-WILKS(S-W) O teste de Shapiro-Wilks, assim como o de Lillefors, estima os parâmetros da Normal através dos dados amostrais O teste pode ser efetuado em amostras de até 2000 observações Nos últimos anos, o teste S-W tem sido preferido ao teste K-S pela sua capacidade de adaptação a uma variada gama de problemas sobre avaliação de normalidade EXEMPLO: setseed(33) y<-rnorm(100, mean = 5, sd = 3) kstest(y,"pnorm",5,3) library(nortest) lillietest(y) shapirotest(y) y<-rgamma(200, 5, 3) kstest(y,"pnorm",5,3) library(nortest) lillietest(y) shapirotest(y) 3

4 TESTE DE HOMOCEDASTICIDADE DE BARTLETT O teste de homoscedasticidade é utilizado quando se tem interesse em testar: H 0 : σ = σ = L = σ 1 2 g 2 2 H 1 : σ σ, para algum i e algum l tais que i l i l Este teste tem como pressuposto a normalidade das populações EXEMPLO plot(count ~ spray, data = InsectSprays) bartletttest(insectsprays$count, InsectSprays$spray) bartletttest(count ~ spray, data = InsectSprays) plot(obs ~ type, data = pot) bartletttest(pot$obs, pot$type) bartletttest(obs ~ type, data = pot) Só é aplicável quando se tem no mínimo 4 observações em cada tratamento ANOVA ANOVA o Após checar os pressupostos do modelo, é dado continuidade ao processo de comparação de médias ANOVA 4

5 F ( g 1; N g; α )

6 EXEMPLO: 3 GRUPOS DE CRIANÇAS RECEBERAM DIFERENTES NÍVIES DE MOTIVAÇÃO PARA A MATEMÁTICA DEPOIS SE FEZ UM EXAME HÁ DIFERENÇAS SIGNIFICATIVAS ENTRE OS 3 NÍVEIS DE MOTIVAÇÃO (BAIXA, MÉDIA E ALTA)? Grupo 1 Grupo 2 Grupo X 1 X 2 1 X 2 X 2 2 X 3 X 2 3 Média = 5,11 Média = 8,67 Média = 3,78 Realizando os cálculos, temos: Cálculo de SQTrat (entre os grupos) SQTrat = (46) 2 + (78) 2 + (34) 2 - (158) 2 = 235, ,49-924, SQTrat = 114,96 Cálculo de SQT (total dos grupos) SQT = ( ) 2 = ,6 27 SQT = 291,4 Cálculo de SQErro (dentro dos grupos) SQErro = SQT SQTrat = 291,4 114,96 = 176,45 QMTrat = SQTrat = 114,96 = 57,48 g QMErro = SQErro = 176,45 = 7,35 N g 27-3 F calc = QMTrat = 57,48 = 7,82 F tab (g-1; N-g; α) = F tab (2; 24; 0,05) = 3,40 QMErro 7,35 EXEMPLO: UMA BIOQUÍMICA (TECNOLOGIA DE ALIMENTOS) ESTÁ INTERESSADA EM ESTUDAR A EXTRAÇÃO DE PIGMENTOS NATURAIS, COM APLICAÇÃO COMO CORANTE EM ALIMENTOS NUMA PRIMEIRA ETAPA TEM-SE A NECESSIDADE DE ESCOLHER O MELHOR SOLVENTE EXTRATOR A ESCOLHA DO(S) MELHOR(ES) SOLVENTES FOI REALIZADA ATRAVÉS DA MEDIDA DA ABSORBÂNCIA DE UM PIGMENTO NATURAL DO FRUTO DE BAGUAÇÚ HÁ DIFERENÇAS SIGNIFICATIVAS ENTRE OS 5 NÍVEIS DE CORANTE AO NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA DE 1%? Solventes Observações Total Média Desvio Variância Padrão E50 0,5553 0,5623 0,5585 0,5096 0,5110 2,6967 0,5393 0,0266 0,0007 EAW 0,5436 0,5660 0,5860 0,5731 0,5656 2,8343 0,5669 0,0154 0,0002 MAW 0,4748 0,4321 0,4309 0,5010 0,4094 2,2482 0,4496 0,0372 0,0014 E70 0,6286 0,6143 0,5826 0,6079 0,6060 3,0394 0,6078 0,0166 0,0003 M1M 0,1651 0,1840 0,2144 0,2249 0,1954 0,9838 0,1968 0,0238 0,0006 Concluindo, F calc > F tab, portanto, rejeita-se H 0, ou seja, os níveis de motivação não surtiram o mesmo efeito BOX PLOT DA ABSORBÂNCIA DE CADA SOLVENTE Conclui-se, através do teste, que pelo menos uma média se difere das demais Existe uma forte suspeita de que o tipo de solvente esteja afetando a absorbância Distribuições simétricas Sem presença de valor discrepante É possível determinar em quantos tratamentos ocorreram essa diferença? Em quais tratamentos ocorreram essa diferença? Uma vez constatado que existe diferenças significativas, é interessante conhecer quais níveis do fator são os que mais influíram mais Assim, se faz necessário um novo teste para detectar onde ocorreram as diferenças 6