UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística Análise de Variância Parte 2 Departamento de Estatística Luiz Medeiros

2 Estimação dos parâmetros e diagnóstico do modelo Estimativas da média geral e dos efeitos dos tratamentos: ) µ τˆ i Estimativa pontual de µ i : dado µ i µ+ τ i, temos:.. i... µˆ µˆ + τˆ i i i. Verificar se as pressuposições básicas do modelo são válidas. Isso é realizado através de uma análise de resíduos. Define-se o resíduo da ij-ésima observação como: e ij ij ŷ ij ondeŷij µˆ + τˆ i i. valores preditos pelo modelo.

3 TESTES NÃO-PLANEJADOS PARA COMPARAÇÃO DE MÉDIAS Se o teste realizado na ANOVA é significante, a única certeza é a de que existe no mínimo um par de médias diferente, mas não se sabe quantas e, pior ainda, quais. Para se determinar qual(is) o(s) par(es) de médias diferentes após a realização da ANOVA, é realizado o que se denomina teste não-planejado, teste a posteriori ou teste pos hoc. Os mais conhecidas são: Teste de Scheffé Para comparações múltiplas Teste de Bonferroni Comparar médias duas a duas (Dados balanceados eou não balanceados) Teste de Tuke (HSD) Comparar médias duas a duas Teste de Duncan Comparar médias duas a duas Teste de Dunnet Quando se quer comparar as médias do tratamento apenas com a média do controle.

4 TESTE DE TUKEY (HSD) É um dos testes de comparação de média mais utilizado, por ser bastante rigoroso e de fácil aplicação; É um teste exato em que, para a família de todas as comparações duas a duas, a taxa de erro da família dos testes é exatamente α (e o intervalo de confiança é exatamente 1-α). Métodos de comparações múltiplas exatos são raros; Não permite comparar grupos de tratamentos entre si; É utilizado para testar toda e qualquer diferença entre duas médias de tratamento; É aplicado quando o teste F para tratamentos da ANOVA (análise de variância) for significativo.

5 TESTE DE TUKEY (HSD) DADOS BALANCEADOS O teste de Tuke tem como base a DMS (diferença mínima significativa). Para dados balanceados é calculado da seguinte forma: DMS q α ( g, N g) QMErro n Em que n é o número de réplicas do tratamento (nível), q α é um valor tabelado (Tabela do Teste de Tuke) e QMErro é o quadrado médio do erro. Rejeita-se a igualdade da média de dois tratamentos (i e l) se: i. l. > TSD. Um intervalo de confiança de 100(1-α)% médias é dado por: i. l. ± qα ( g, N g) para a diferença entre todos os pares de QMErro n

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7 Exemplo - O experimento de absorbância Tabela da análise de variância dos valores de absorbância. Causas de variação Soma de quadrados Graus de liberdade Quadrados médios F calc Entre solventes 0, , ,806 (P<0,0001) Erro 0, ,0006 F (0,01;4;20) 4,43 Total 0, Rejeita-se H 0, e concluímos que as médias de tratamentos diferem entre si; os solventes afetam significativamente as médias de absorbância.

8 Comparações entre Pares de Médias H :µ µ, para todos os i, l. 0 i l Número de comparações: g(g-1)/2. Devem ser realizadas após o teste F da análise de variância rejeitar a hipótese nula

9 Teste de Tuke Exemplo: Dados de absorbância. O valor da Diferença Mínima Significativa é: DMS q QMErro 4,23 0, ,05(5;20) n 5 0, ,5393 0,5669 0,0276 < DMS (0,0479) 1 3 0,5393 0,4496 0,0897 > DMS (0,0479) 1 4 0,5393 0,6078 0,0685 > DMS (0,0479) 1 5 0,5393 0,1968 0,3425 > DMS (0,0479)

10 E70 0,6363 A EAW 0,5669 A B E50 0,5393 B MAW 0,4496 C M1M 0,1968 D Médias seguidas de mesma letra, em uma mesma coluna, não apresentam diferenças significantes, ao nível de significância de 5%, pelo teste de Tuke. Conclusão: pelo teste de Tuke, ao nível de significância de 5%, as médias dos tratamentos E50 e EAW, assim como as médias dos tratamentos EAW e E70 não apresentam diferenças significantes. As médias dos tratamentos E50 e E70 apresentam diferença significante. As médias dos tratamentos MAW e M1M apresentam diferença significativa de todos os tratamentos.

11 EXEMPLO: 3 GRUPOS DE CRIANÇAS RECEBERAM DIFERENTES NÍVIES DE MOTIVAÇÃO PARA A MATEMÁTICA. DEPOIS SE FEZ UM EXAME. HÁ DIFERENÇAS SIGNIFICATIVAS ENTRE OS 3 NÍVEIS DE MOTIVAÇÃO (BAIXA, MÉDIA E ALTA)? Grupo 1 Grupo 2 Grupo X 1 X 1 2 X 2 X 2 2 X 3 X 3 2 Média 5,11 Média 8,67 Média 3,78

12 Tabela da análise de variância dos níveis de motivação. Causas de variação Soma de quadrados Graus de liberdade Quadrados médios F calc Entre solventes 114, ,48 7,82 Erro 176, ,35 Total 291,40 26 F tab (g-1; N-g; 1-α) F tab (2; 24; 0,05) 3,403 Concluindo, F calc > F tab, portanto, rejeita-se H 0.

13 Conclui-se, através do teste, que pelo menos uma média se difere das demais. Em quais tratamentos ocorreram essa diferença? Utilize o teste de Tuke (α0,05) para encontrar as Utilize o teste de Tuke (α0,05) para encontrar as diferenças entre a média dos tratamentos.

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15 EXEMPLO 1 InsectSpras # ver o banco de dados boxplot(count ~ spra, data InsectSpras, col "lightgra") # gerar o boxplot entre count e spra anava <- aov(count~spra,datainsectspras) # gerar a anova summar(anava) # resultado da anova ep as.vector(rstandard(anava)) # resíduo padronizado shapiro.test(ep) # teste de normalidade librar(lmtest) # biblioteca para utilizar o teste dwtest dwtest(anava) # teste de independência - Durbin Watson bartlett.test(count ~ spra, data InsectSpras) # teste de homocedasticidade

16 EXEMPLO 2 ex2 <- read.csv("banco1.txt",headert,dec".",sep"") ## ler o banco attach(ex2) names (ex2) boxplot(nm ~ trat, data ex2, col "red") # gerar o boxplot entre count e spra anava <- aov(nm~trat,dataex2) # gerar a anova summar(anava) # resultado da anova ep as.vector(rstandard(anava)) shapiro.test(ep) # teste de normalidade dwtest(anava) # teste de independência - Durbin Watson bartlett.test(nm ~ trat, data ex2) # teste de homocedasticidade Tuke <- TukeHSD(anava,wich"trat", ordered F,conf.level 0.95) # gerar o teste de Tuke Tuke # resultado do teste plot(tuke) # gerar IC das diferenças

17 EXEMPLO 3 x <- rchisq(10, df 9) <- rgamma(10, 10, 2) z<- rbeta(10, 1, 2) vr<-c(x,,z) tr<-c(rep(1,10),rep(2,10),rep(3,10)) ex3<-cbind(vr,tr) ex3 # ver o banco de dados boxplot(vr ~ tr, col "red") # gerar o boxplot anava <- aov(vr~tr) # gerar a anova summar(anava) # resultado da anova ep as.vector(rstandard(anava)) shapiro.test(ep) # teste de normalidade dwtest(anava) # teste de independência - Durbin Watson bartlett.test(vr ~ tr) # teste de homocedasticidade

18 EXEMPLO 4 x <- rnorm(20, 5, 1) <- rnorm(20, 15, 1) z<- rnorm(20, 25, 1) vr<-c(x,,z) tr<-c(rep(1,20),rep(2,20),rep(3,20)) ex4<-cbind(vr,tr) boxplot(vr ~ tr, col "red") # gerar o boxplot anava <- aov(vr~tr) # gerar a anova summar(anava) # resultado da anova ep as.vector(rstandard(anava)) shapiro.test(ep) # teste de normalidade dwtest(anava) # teste de independência - Durbin Watson bartlett.test(vr ~ tr) # teste de homocedasticidade Tuke <- TukeHSD(anava,wich"trat", ordered F,conf.level 0.95) # gerar o teste de Tuke Tuke # resultado do teste plot(tuke) # gerar IC das diferenças