CURTA REVISÃO SOBRE PROBABILIDADE E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

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Marcos Aragão
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1 CURTA REVISÃO SOBRE PROBABILIDADE E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS PARTE i Histórico Probabilidade Axiomática de Kolmogorov Variáveis Aleatórias Densidade de Probabilidade Desigualdade de Chebyshev Versão Fraca da Lei dos Gdes Nos Independência: Momentos e Correlação PARTE ii Processos Estocásticos (P.E. s) Caracterização: Famílias Finito-dimensionais Estacionaridade no sentido estrito Estacionaridade no sentido amplo Expansões de P.E. s em séries ortogonais Expansão de Kahunen-Loève

2 INTRODUÇÃO HISTÓRICA Blaise Pascal (Paris) e Pierre Fermat (Toulouse) Resultados da correspondência: Huygens Sobre o raciocínio em jogos de azar Jaques Bernoulli (post mortem) Ars Conjectandi - Lei fraca dos g des n os. Thomas Bayes ( ) Pierre de Simon Laplace Théorie analytique des probabilités Essai philosophique des probabilités Émile Borel Éléments de la théorie des probabilités Escola Russa: Andrei Markov, Pafnuti Tchebyscheff, Liapunov Andrei Nikolaivich Kolmogoroff Kinchine Pós-guerra Michel Loève PROBLEMAS DE HILBERT (1900- PARIS)

3 AXIOMAS DE KOLMOGOROV Espaço de Probabilidades (Ω,A,P) Ω Espaço Amostral Todos os possíveis resultados de um experimento A Classe de eventos Coleção apropriada de eventos (c/estrutura algébrica) P Medida de Probabilidade Função de conjunto não negativa, aditiva TRATAMENTO AXIOMÁTICO: AX1. Ω,A, Dado um experimento, Ω, e A uma coleção de subconjuntos (eventos). AX2. A A P(A) 0 Cada evento A é associado a um n. não-negativo AX3. P(Ω)=1 Qualquer atribuição de Prob. requer normalização AX4. Se A e B A A B=, então P(A B)=P(A)+P(B) Função de conjunto aditiva AX5. {A i } i=1, com A i A com A i A j = i j; então P( i=1 Ai )=Σ i=1 P(Ai )

4 Função de conjunto σ-aditiva Toda a teoria das Probabilidades está resumida nos axiomas!! CONSEQÜENCIAS TRIVIAIS 1) P(A c )=? A A c = por AX4 P(A A c )=P(A)+P(A c ) Logo P(Ω)=P(A)+P(A c ) e por AX3 P(A c )=1-P(A). 2) P( )=? Ω= por AX4 P( Ω)=P( )+P(Ω) de Ω=Ω P(Ω)=P( )+P(Ω) P( )=0 3) P(A) 1 P(A c )=1-P(A). Por AX2, 1-P(A) 0. 4) P(B-A)=P(B)-P(A B) (A B) (B-A)= por AX4, P((A B) (B-A))=P(A B)+P(B-A) Como (A B) (B-A)=B, segue o resultado. 5) Monotonicidade A B P(A) P(B) Usando P(B-A)=P(B)-P(A B)=p(B)-P(A), tem-se P(A)=P(B)-P(B-A) por AX2 P(B-A) 0 donde P(A) P(B) 6) prove que P(A B)=P(A) + P(B) - P(A B)

5 ALGEBRA F (σ-algebra) Conjuntos munidos com duas operações: e (.) c I) A,B F A B F ii) A F A c F Fechada com todas as operações s/ conjuntos: A B A-B A B.. (vejamos: A, B F A c, B c F logo A c B c F ( A c B c ) c F ou seja A B F PROBABILIDADE TOTAL. i=1 n {Ai } i=1 n partição de Ω i=1 n Ai =Ω e A i A j = i j B Σ i=1 P(Ai B)=P(B)

6 PROBABILIDADE CONDICIONAL. Qual a Probabilidade da ocorrência do evento B, se sabemos que um outro evento A ocorreu? P(A), P(B), P(A B) A B Desde que A ocorreu, o espaço amostral foi reduzido e a distribuição precisa ser atualizada. Nova medida de probabilidade P (induzida) deve obedecer aos axiomas P (X A)= P(X)/P(A) Com X= A B P (A B)=P(A B)/P(A) B só ocorre agora se em A B, define-se então: P(B/A):= P(A B)/P(A) Esta interpretação segue a via freqüentista. P(A B)=P(A) P(B/A) e P(A B C)=P(A) P(B/A)P(C/ A B)

7 REGRA DE BAYES (Rev. Thomas Bayes) Fen. A CANAL Fen. B P(A) P(B/A) P(A/B) a priori a posteriori P(A/B)=P(A B)/P(B)= P(B/A). P(A) / P(B) INDEPENDÊNCIA: P(B/A)=P(B) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS X:Ω R Ω w X x R Corpo ordenado (Ω,A,P) A algebra de eventos (R,B,P ) B algebra de intervalos (Borel) X função mensurável P(X x)=p{w Ω: X(w) x}

8 FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE FDP F X (x)= P(X x) FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE fdp f X (x)=d P(X x)/dx = d F X (x)/dx B B P(B)= f B X (x)dx + f X (x)dx = P(Ω)=1 MOMENTOS E MOMENTOS CENTRAIS m n =E(X n ) mais importante m 1 =E(X) média µ n =E{(X-m 1 ) n } mais importante µ 2 =σ 2 variância

9 DESIGUALDADE DE CHEBYSHEV Suponha Y uma v.a. com média nula e variância finita m y =0 e σ y 2 < e fdp f Y (y) + σ 2 y =E( y 2 2 )= y f ( y ) dy + y 2 y f ( y ) dy σ y 2 2 P( y ) Para uma v.a Y=X-m X, tem-se P( X-m X ) σ X 2 / 2 Chebyshev LEI DOS GRANDES NÚMEROS - VERSÃO FRACA CORRELAÇÃO E INDEPENDÊNCIA X, Y V.A.,s Momento Conjunto m n,k =E(X n Y k ) m 11 =E(XY)=R XY Correlação entre X e Y

10 Momento central conjunto µ n,k =E{(X-m X ) n (Y-m Y ) k } µ 11 =E{(X-m X )(Y-m Y )}=K XY Covariância entre X e Y Cov(X,Y)= K XY =E{(X-m X )(Y-m Y )}= E(XY)- m X m Y K XY = R XY - m X m Y Cov(X,Y)= R(X,Y) - m X m Y Independência E(X n Y k )= E(X n ) E(Y k ) n,k Não correlação E(XY)= E(X) E(Y) X e Y independentes X, Y não correlacionadas

11 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS Coleção indexada de v.a. s {X t }, t T. Variável discreta ou variável contínua. w 1 Amostral W2 X(w 2,t) X(w 1,t) t t Função Função amostral ou Realização de um P.E. (trajetória) É uma generalização do conceito de v.a., (versão dinâmica), cada instante, temos uma v.a diferente! X(w 1,t) t fixo t X(w 2,t) t

12 REPRESENTAÇÃO DE PROCESSOS ALEATÓRIOS Um P.E. fica especificado se para qualquer coleção finita de instantes {t 1,t 2,...,t k } conhecemos a fdp conjunta das v.a. s F x t1 x t2... x tk (x 1,x 2,...,x k )=P(x t1 x t2... x tk ) Distribuições Finito-dimensionais. As distribuições finito-dimensionais obedecem (Kolmogorov): 1. Condição de simétria permutação j 1,j 2,...,j k dos índices 1,2,..,k, F(x j1 x j2... x jk ; t j1 t j2... t jk )=F(x 1,x 2,...;t 1,t 2...t k ) 2. Condição de Compatibilidade m<k F(x 1,x 2,..x m,,..., ; t 1,t 2...t m,...,t k ) = F(x 1,x 2,...x m ;t 1,t 2...t m ) P.E. 2- P.E.E. Amplo 3- P.E.E. Estrito PROCESSO ESTACIONÁRIO SENTIDO ESTRITO

13 DEF. Um P.E. é dito ser estacionário no sentido estrito sse escolhidos quaisquer instantes finitos, a FDP finitodimensional é invariante à deslocamentos na origem dos tempos. t1 t2 t3 F x t1 x t2... x tk (x 1,x 2,...,x k )= F x t1+τ x t2+τ... x tk+τ (x 1,x 2,...,x k )= CONSEQÜENCIA: τ F x t1 (x 1 )= F x t1+τ (x 1 ) mesma distribuição + Em t 1 : E(X t1 ) = Em t 2 : E(X t2 ) = xdf Xt1 + xdf X t2 Logo E(X t1 )= E(X t2 )=...= E(X t )=cte O P.E. Estacionário tem média única constante. De modo geral, todos os momentos são constantes.

14 PROCESSO ESTACIONÁRIO SENTIDO AMPLO DEF. Um P.E. é dito ser estacionário no sentido Amplo sse 1. E{X(t)}= cte 2. E{X 2 (t)}< t T 3. t 1, t 2 T R X (t 1, t 2 )=R X (t 2 -t 1 )=R X (τ) A Função de autocorrelação ACF independe da origem dos tempos. ***Apenas a média e variância permanecem constantes ao longo do tempo. Estacionaridade: sentido estrito sentido amplo

15 EXPANSÃO DE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS EM SÉRIES ORTOGONAIS 1. Estudo de P.E.E. Periódicos Um processo estacionário com ACF periódica R X (τ)=r X (τ+t) X t =X t+t a.s. As funções amostrais são a.s. periódicas x(t) = Σ - + x n e jnw 0 t com w 0 =2π/T e coeficientes de Fourier T x ( t ) e jnw t dt x n = 1 0 Para x(t) diferentes x n diferentes LOGO xn é v.a.! Pode ser mostrado que: X(t)= l.i.m. N Σ -N N x n e jnw 0 t E os coeficientes de Fourier são não correlacionados: E{x n x m *}=0 n m

16 2. Estudo de P.E.E. Não- Periódicos No caso de P.E. Estacionários não-periódicos, é possível obter uma representação em série, porém os coeficientes de Fourier tornam-se correlacionados. Expansão de Kahunen-Loève.! família de sinais ortogonais {φ n (t)}, mesmo para P.E. não estacionários com ACF contínua, que admite Expansão ortogonal não-correlacionada. Em a t b x(t) = Σ - + σ n x n φ n (t) Onde <φ n (t), φ m (t)>=δ n,m E{x n x m *}=δ n,m Mostra-se que X(t)= l.i.m. N Σ -N N σn x n φ n (t) Como determinar σ n φ n (t)? Usa-se uma Transformação linear na qual os φ n (t)s são autovalores.

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