Disciplina: Processamento Estatístico de Sinais (ENGA83) - Aula 03 / Detecção de Sinais

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1 Disciplina: Processamento Estatístico de Sinais (ENGA83) - Aula 03 / Detecção de Sinais Prof. Eduardo Simas (eduardo.simas@ufba.br) Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica/PPGEE Universidade Federal da Bahia ENGA83 - Semestre Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

2 Conteúdo 1 Introdução Decisão Binária Curva ROC Múltiplas Hipóteses 2 Decisão binária baseada em uma única observação Critério do Máximo a Posteriori (MAP) Critério de Bayes Critério Minmax Teste de Neyman-Pearson Análise de Discriminantes Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

3 Introdução A detecção (ou classificação) de sinais consiste em identificar a partir de observações (ou medições) sujeitas a variações aleatórias o tipo (ou classe) de sinal que foi originalmente enviado: Sensor Sinal medido Extração/seleção de Características Padrão de características Classificador Decisão No projeto de um sistema de detecção dois parâmetros são muito importantes: - Eficiência de discriminação (maximizar acertos e minimizar erros); - Tempo de execução da cadeia de processamento de sinais. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

4 Introdução - Decisão Binária Considerando-se a discriminação entre duas hipóteses (decisão binária) H 1 e H 0, o problema de classificação pode ser resumido através do diagrama: Fonte H1 H0 Mecanismo de transição probabilística H0 Espaço de observação H1 Em geral H 1 é associada à classe de interesse: - transmissão de um bit 1 num sistema de comunicação; - presença de um alvo num sinal de sonar; Decisão Regra de decisão - presença do usuário autorizado num problema de identificação do locutor; - existência de uma assinatura de interesse num detector de partículas. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

5 Introdução - Decisão Binária Considerando-se a discriminação entre duas hipóteses (decisão binária) H 1 e H 0, o problema de classificação pode ser resumido através do diagrama: Fonte H1 H0 Mecanismo de transição probabilística H0 Espaço de observação H1 Em geral H 1 é associada à classe de interesse: - transmissão de um bit 1 num sistema de comunicação; - presença de um alvo num sinal de sonar; Decisão Regra de decisão - presença do usuário autorizado num problema de identificação do locutor; - existência de uma assinatura de interesse num detector de partículas. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

6 Exemplo - Sistema de Radar Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

7 Introdução - Decisão Binária A decisão é tomada a partir de uma ou mais observações. As observações são variáveis aleatórias que correspondem a uma das hipóteses do problema. No caso da decisão binária, cada vez que uma observação é efetuada 4 situações podem ocorrer: 1: decidir pela hipótese H 1, sendo H 1 verdadeira (detecção); 2: decidir pela hipótese H 0, sendo H 1 verdadeira (falso negativo); 3: decidir pela hipótese H 1, sendo H 0 verdadeira (falso positivo ou falso alarme); 4: decidir pela hipótese H 0, sendo H 0 verdadeira (acerto). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

8 Introdução - Decisão Binária A decisão é tomada a partir de uma ou mais observações. As observações são variáveis aleatórias que correspondem a uma das hipóteses do problema. No caso da decisão binária, cada vez que uma observação é efetuada 4 situações podem ocorrer: 1: decidir pela hipótese H 1, sendo H 1 verdadeira (detecção); 2: decidir pela hipótese H 0, sendo H 1 verdadeira (falso negativo); 3: decidir pela hipótese H 1, sendo H 0 verdadeira (falso positivo ou falso alarme); 4: decidir pela hipótese H 0, sendo H 0 verdadeira (acerto). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

9 Introdução - Decisão Binária Os resultados obtidos por um discriminador, em geral, são expressos resumidamente em termos dos parâmetros: - Probabilidade de Detecção: P D = P(H 1 H 1 ); - Probabilidade de Falso Alarme: P F = P(H 1 H 0 ). Uma vez que: - P(H 0 H 1 ) = 1 P D ; - P(H 0 H 0 ) = 1 P F. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

10 Introdução - Decisão Binária Considerando que a decisão é baseada na observação da variável aleatória L: Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

11 Introdução - Curva ROC A curva ROC (Receiver Operating Characteristic) mostra como as probabilidades de detecção e falso alarme (respectivamente P D e P F ) variam com o patamar de decisão. A eficiência de um classificador pode ser estimada a partir da área sob a curva ROC. Quanto maior a área, mais eficiente é o discriminador. Exemplo: Considerando as distribuições das observações de dois classificadores para duas classes distintas: Classe 1 Classe Classe 1 Classe 2 Contagem Contagem Saida do Classificador Saida do Classificador Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

12 Introdução - Curva ROC 1 PD (6,1%,; 90,5%) SPmax=0,85 Y= 0,19 (2,6%,; 95,3%) SPmax=0,93 Y= 0,11 Exemplo 2 Exemplo PF Para a escolha do patamar de decisão ótimo pode-se utilizar uma medida das eficiências de discriminação como o índice Soma-Produto (SP): Efe + Ef j SP = Ef e Ef j 2 onde Ef e = PD e Ef j = 1 PF Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

13 Introdução - Decisão entre Múltiplas Hipóteses Num caso mais geral podem existir M hipóteses a serem identificadas. Trata-se de um problema de decisão M-ária. O problema pode ser tratado através de: - um conjunto de M problemas de detecção binária entre H I e H j, j = 1,..., I 1, I + 1,..., M. - discriminadores apropriados para problemas de múltiplas hipóteses. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

14 Decisão binária baseada em uma única observação Considerando que cada uma das hipóteses é associada a uma saída que é mapeada numa região do espaço de observação de dimensão N, um ponto neste espaço pode ser representado pelo vetor: r = [r 1, r 2,..., r N ] O mecanismo de transição probabiĺıstica gera pontos de acordo com as densidades de probabilidade condicionais P r/h0 (R/H 0 ) e P r/h1 (R/H 1 ). Quando essas probabilidades são conhecidas (ou podem ser estimadas), o projeto do sistema classificador pode ser simplificado. Os critérios de máximo a posteriori, Bayes, Minimax e Neyman-Pearson são procedimentos clássicos utilizados para a escolha da regra de decisão quando as probabilidades condicionais são conhecidas. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

15 Decisão binária baseada em uma única observação Considerando o diagrama a seguir: percebe-se que: - P D = P r/h1 (R/H 1 )dr e P F = P r/h0 (R/H 0 )dr. Z 1 Z 1 Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

16 Critério do Máximo a Posteriori (MAP) Uma regra de decisão usualmente produz o particionamento do espaço de observação em duas regiões Z 1 e Z 0 para as quais são associados as hipóteses H 1 e H 0 a depender da observação de r. A probabilidade condicional P r/hi (R/H i ) é chamada de probabilidade a posteriori, pois são estimadas após a observação de r. O critério do máximo a posteriori (MAP) utiliza a regra de Bayes para definir a regra de decisão a seguir: f r/h1 (R/H 1 ) f r/h0 (R/H 0 ) H 1 H 0 P 0 P 1 Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

17 Critério do Máximo a Posteriori (MAP) A expressão: L(R) = f r/h 1 (R/H 1 ) f r/h0 (R/H 0 ) é chamada razão de semelhança. E a fração: λ = P 0 P 1 é o valor limiar (ou patamar) do teste. Assim, a equação se reduz a: L(R) H 1 H 0 λ Se a razão de semelhança é maior que o patamar decide-se por H 1, caso contrário escolhe-se H 0. No limite quando L(R) = λ pode-se decidir tanto por H 1 como por H 0 (escolha do projetista). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

18 Critério MAP - Exemplo Num sistema de comunicação binária o sinal recebido é: R = X + N, onde X=0, 1 e N ruído gaussiano de média zero e variância 1/9. Sabe-se ainda que P 0 = 3/4 e P 1 = 1/4. Estime a regra de decisão MAP. Resposta: 9 ( 9r 2 ) É facil chegar a: f r/h0 (R/H 0 ) = 2π exp e 2 9 ( 9(r 1) 2 ) f r/h1 (R/H 1 ) = 2π exp. 2 Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

19 Critério MAP - Exemplo Num sistema de comunicação binária o sinal recebido é: R = X + N, onde X=0, 1 e N ruído gaussiano de média zero e variância 1/9. Sabe-se ainda que P 0 = 3/4 e P 1 = 1/4. Estime a regra de decisão MAP. Resposta: 9 ( 9r 2 ) É facil chegar a: f r/h0 (R/H 0 ) = 2π exp e 2 9 ( 9(r 1) 2 ) f r/h1 (R/H 1 ) = 2π exp. 2 A regra de decisão é: f r/h 1 (R/H 1 ) P [ f r/h0 (R/H 0 ) H ] H 0 exp P 1 2 (2r 1) H 1 H 0 3. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

20 Critério MAP - Exemplo Num sistema de comunicação binária o sinal recebido é: R = X + N, onde X=0, 1 e N ruído gaussiano de média zero e variância 1/9. Sabe-se ainda que P 0 = 3/4 e P 1 = 1/4. Estime a regra de decisão MAP. Resposta: 9 ( 9r 2 ) É facil chegar a: f r/h0 (R/H 0 ) = 2π exp e 2 9 ( 9(r 1) 2 ) f r/h1 (R/H 1 ) = 2π exp. 2 A regra de decisão é: f r/h 1 (R/H 1 ) P [ f r/h0 (R/H 0 ) H ] H 0 exp P 1 2 (2r 1) H 1 H 0 3. Aplicando-se log em ambos os lados: r H 1 1 H ln(3) 0, Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

21 Critério MAP - Exemplo Num sistema de comunicação binária o sinal recebido é: R = X + N, onde X=0, 1 e N ruído gaussiano de média zero e variância 1/9. Sabe-se ainda que P 0 = 3/4 e P 1 = 1/4. Estime a regra de decisão MAP. Resposta: 9 ( 9r 2 ) É facil chegar a: f r/h0 (R/H 0 ) = 2π exp e 2 9 ( 9(r 1) 2 ) f r/h1 (R/H 1 ) = 2π exp. 2 A regra de decisão é: f r/h 1 (R/H 1 ) P [ f r/h0 (R/H 0 ) H ] H 0 exp P 1 2 (2r 1) H 1 H 0 3. Aplicando-se log em ambos os lados: r H 1 1 H ln(3) 0, Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

22 Critério de Bayes O critério de Bayes necessita do conhecimento: - das probabilidades a priori P 1 e P 0 da fonte produzir H 1 ou H 0 ; - das distribuições de probabilidade condicionais f r/h0 (R/H 0 ) e f r/h1 (R/H 1 ); - dos custos C ij associados à escolha da hipótese i sendo j a verdadeira. O risco é então definido como: R = C 00 P 0 f r/h0 (R/H 0 )dr + C 10 P 0 f r/h0 (R/H 0 )dr Z 0 Z 1 +C 11 P 1 f r/h1 (R/H 1 )dr + C 01 P 1 f r/h1 (R/H 1 )dr Z 1 Z 0 onde os elementos do espaço de observação que pertencem às partições Z 0 e Z 1 são associados, respectivamente, a H 0 e H 1. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

23 Critério de Bayes O critério de Bayes necessita do conhecimento: - das probabilidades a priori P 1 e P 0 da fonte produzir H 1 ou H 0 ; - das distribuições de probabilidade condicionais f r/h0 (R/H 0 ) e f r/h1 (R/H 1 ); - dos custos C ij associados à escolha da hipótese i sendo j a verdadeira. O risco é então definido como: R = C 00 P 0 f r/h0 (R/H 0 )dr + C 10 P 0 f r/h0 (R/H 0 )dr Z 0 Z 1 +C 11 P 1 f r/h1 (R/H 1 )dr + C 01 P 1 f r/h1 (R/H 1 )dr Z 1 Z 0 onde os elementos do espaço de observação que pertencem às partições Z 0 e Z 1 são associados, respectivamente, a H 0 e H 1. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

24 Critério de Bayes Minimizando o risco R da equação anterior chega-se a: f r/h1 (R/H 1 ) P f r/h0 (R/H 0 ) H 1 0 (C 10 C 00 ) H 0 P 1 (C 01 C 11 ) Que tende ao critério MAP quando: C 10 = C 01 = 1 e C 11 = C 00 = 0. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

25 Critério de Bayes - Exemplo Repetindo o exemplo anterior, para C 10 = 0, 5, C 01 = 0, 9 e C 11 = C 00 = 0, encontre o critério de decisão de Bayes. Resposta: A regra de decisão é: f r/h1 (R/H 1 ) P f r/h0 (R/H 0 ) H 1 0 (C 10 C 00 ) [ 9 ] H 0 P 1 (C 01 C 11 ) exp 2 (2r 1) H 1 H 0 3 0, 5 0, 9. Aplicando-se log em ambos os lados: r H 1 1 H ln(1, 667) 0, Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

26 Critério de Bayes - Exemplo Repetindo o exemplo anterior, para C 10 = 0, 5, C 01 = 0, 9 e C 11 = C 00 = 0, encontre o critério de decisão de Bayes. Resposta: A regra de decisão é: f r/h1 (R/H 1 ) P f r/h0 (R/H 0 ) H 1 0 (C 10 C 00 ) [ 9 ] H 0 P 1 (C 01 C 11 ) exp 2 (2r 1) H 1 H 0 3 0, 5 0, 9. Aplicando-se log em ambos os lados: r H 1 1 H ln(1, 667) 0, Percebe-se que ao considerar que o risco é maior ao classificar H 1 como sendo H 0 o patamar foi reduzido, diminuindo a probabilidade de ocorrência deste erro. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

27 Critério de Bayes - Exemplo Repetindo o exemplo anterior, para C 10 = 0, 5, C 01 = 0, 9 e C 11 = C 00 = 0, encontre o critério de decisão de Bayes. Resposta: A regra de decisão é: f r/h1 (R/H 1 ) P f r/h0 (R/H 0 ) H 1 0 (C 10 C 00 ) [ 9 ] H 0 P 1 (C 01 C 11 ) exp 2 (2r 1) H 1 H 0 3 0, 5 0, 9. Aplicando-se log em ambos os lados: r H 1 1 H ln(1, 667) 0, Percebe-se que ao considerar que o risco é maior ao classificar H 1 como sendo H 0 o patamar foi reduzido, diminuindo a probabilidade de ocorrência deste erro. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

28 Critério Minmax Quando os custos são conhecidos mas as probabilidades a priori não estão disponíveis, pode-se adotar o critério minmax. Considerando que C 00 = C 11 = 0, então escolhe-se o patamar de decisão (λ) de modo que: C 01 P M = C 10 P F onde: - P F = f r/h0 (R/H 0 )dr é a probabilidade de falso-alarme e Z 1 - P M = f r/h1 (R/H 1 )dr = 1 P D é a probabilidade de erro de Z 0 detecção da hipótese de interesse (H 1 ). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

29 Teste de Neyman-Pearson O teste de Neyman-Pearson é utilizado quando não se tem informações sobre os custos ou as probabilidades a priori. Escolhe-se um valor limite para a probabilidade de falso-alarme e procura-se minimizar a probabilidade de perda do alvo para o valor escolhido. Como o critério utiliza P F e P M é preciso conhecer as probabilidades condicionais P r/h0 (R/H 0 ) e P r/h1 (R/H 1 ). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

30 Análise de Discriminantes Embora muito utilizadas, por sua formulação matemática relativamente simples e bom desempenho em diversas aplicações, as técnicas mostradas até aqui necessitam de conhecimento prévio a respeito: - das distribuições de probabilidade; - dos custos. Em muitos casos práticos essas informações não estão disponíveis, sendo necessário a utilização de outros métodos de classificação. Uma opção neste contexto é utilizar a análise de discriminantes. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

31 Análise de Discriminantes Os métodos de classificação baseados na regra de Bayes particionam o espaço de observações em regiões associadas a cada hipótese. A análise de discriminantes, de modo análogo, busca as superfícies que particionam o espaço de observações de modo ótimo nas regiões que são associadas a cada hipótese. Uma função discriminante linear pode ser dada por: y(x) = w T x + ω 0 sendo w o vetor de pesos e ω 0 a tendência (ou bias). Um vetor de entrada x é associado à hipótese H 1 caso y(x) 0 e à H 0 caso contrário. A fronteira de decisão é definida por y(x) = 0. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

32 Função Discriminante w é ortogonal à superfície de separação. A distância entre a superfície de separação e a ω 0 origem é dada por: w. A distância entre um ponto x e a superfície de y(x) separação é: w. Como estimar a superfície de separação ótima a partir dos dados disponíveis? Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

33 Função Discriminante w é ortogonal à superfície de separação. A distância entre a superfície de separação e a ω 0 origem é dada por: w. A distância entre um ponto x e a superfície de y(x) separação é: w. Como estimar a superfície de separação ótima a partir dos dados disponíveis? Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

34 Função Discriminante A análise de discriminantes busca a direção w onde as projeções y(x) dos sinais de entrada x sejam maximamente separáveis. z 2 z 1 z 1 z 2 Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

35 Discriminante Linear de Fisher A análise por discriminante de Fisher (FDA - Fisher Discriminant Analysis) busca a direção ótima de discriminação utilizando 2 parâmetros, a distância inter-classes, e a distância intra-classes. Numa formulação matricial o objetivo é encontrar a direção w 0 que maximiza a expressão: J(w) = wt S B w w T S w w onde S B = (µ 1 µ 2 )(µ 1 µ 2 ) T é a matriz de separação inter-classes e S w = S 1 + S 2 é a matriz de separação intra-classes, sendo: S i = x D (x µ i )(x µ i ) T Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

36 Discriminante Linear de Fisher Pode-se provar que a direção ótima que maximiza a expressão anterior é dada por: w = S w 1 (m 1 m 2 ) O discriminante de Fisher é capaz de encontrar a transformação linear ótima dos sinais de entrada, de modo que os sinais projetados y = w T x tenham máxima separação: Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

37 Discriminante de Fisher - Exemplo Pode-se realizar a análise por discriminante de Fisher de modo anaĺıtico usando as equações definidas anteriormente. Limitações podem surgir quando a dimensão de x cresce, pois o cálculo de S w 1 pode pode se tornar custoso computacionalmente. Uma opção é realizar o cálculo estimado de modo iterativo a partir de um perceptron (modelo básico de rede neural artificial). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

38 Perceptron Outro exemplo de discriminante linear pode ser obtido através do perceptron. O modelo do perceptron foi proposto por Rosenblat em 1962 e foi inspirado no funcionamento de um neurônio biológico: x 1 x x 0 =1 b= 0 u ( ) y y(x) = ϕ(w T x) x m m sendo w = [ω 0, ω 1,..., ω m ] o vetor de pesos sinápticos e ϕ a função de ativação (normalmente é utilizada a função degrau: ϕ(a) = 1 para a 0 e 1 para a < 0). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

39 Perceptron Pecebe-se que a expressão da saída do perceptron pode ser vista como uma função discriminante. A principal diferença é que aqui a superfície de separação é estimada iterativamente, (ou seja, à medida que os dados são apresentados). Uma aspecto interessante é que o aprendizado iterativo permite realizar ajustes no sistema de classicação caso ocorram mudanças na estatística do problema. Podem aparecer limitações quanto à convergência do algoritmo de treinamento (longo tempo para convergência ou até mesmo não-convergência). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

40 Algoritmo do Perceptron Para o processo de treinamento, o propósito é minimizar o erro quadrático médio da classificação (sendo então baseado no algoritmo LMS - Least Mean Square). Deste modo pode-se chegar à regra de aprendizado do perceptron: sendo: w(n + 1) = w(n) + ηx(n)e(n) - e(n) = d(n) w T (n)x(n) o erro em relação à saída desejada d(n); - η a taxa de aprendizado. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

41 Perceptron - curvas de erro Típicas curvas de erro no treinamento de um perceptron: Espera-se que com o decorrer do treinamento o erro diminua até chegar ao seu mínimo. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

42 Perceptron - escolha da taxa de aprendizado A escolha adequada da taxa de aprendizado reflete nas características das curvas de erro: - Um alto valor de η leva à proximidade do valor mínimo mais rapidamente, porém produz uma curva de erro oscilante no final do treinamento. - Um baixo valor de eta produz um treinamento de convergência mais lenta, porém suave (sem oscilações). Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34

43 Exercícios de Fixação Os exercícios listados abaixo do livro: Random Signals: Detection Estimation and Data Analysis de Shanmugan e Breipohl devem ser resolvidos e entregues no dia 19/04. Neste dia, alunos serão sorteados para resolverem alguns destes exercícios para a turma. 01 Exercícios de Fixação (Cap. 06, a partir da página 370): 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6, Gere pontos aleatórios no plano x 1 x 2 segundo as hipóteses a seguir ( pontos para cada hipótese): - Considerando que aconteceu H 1 x é descrito por uma distribuição gaussiana bivariada com µ X = [1, 0; 2, 0] e σ X = [0, 2; 0, 3]. - Considerando que aconteceu H 0 x é descrito por uma distribuição gaussiana bivariada com µ X = [2, 0; 3, 0] e σ X = [0, 2; 0, 3]. Encontre a curva discriminante ótima e o patamar de decisão pelo critério de Fisher e através da regra do perceptron. Compare as probabilidades de detecção e falso alarme para os dois casos. 03 Repita a questão 02 considerando pontos para a hipótese H 1. Compare e comente os resultados. 04 Repita a questão 02 considerando que agora σ X H0 = [0, 5; 0, 5]. Compare e comente os resultados. Prof. Eduardo Simas (PPGEE/UFBA) Aula 03 - Detecção ENGA83 - Semestre / 34