Redes de Funções de Base Radial Radial Basis Functions (RBFs)

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1 Redes de Funções de Base Radial Radial Basis Functions (RBFs) Germano C. Vasconcelos Centro de Informática - UFPE

2 Introdução Em uma RBF, a rede é definida do ponto de vista de um problema de aproximação de funções Uma superfície F no espaço multidimensional é definida como uma combinação linear de funções de base radial F comb. linear de funções de base radial

3 Estrutura de uma RBF camada intermediária camada de entrada Cj φ 1 X-C 1 w1 x 1 φ 2 X-C 2 w2 camada de saída x 2 φ 3 X-C 3 w3 Y=F(X) xn φ k X-C n wk w0 F(X)=Σ j w j.φ j X-C j bias

4 Características das RBFs Estrutura do tipo feedforward com uma mistura de treinamento supervisionado e não-supervisionado Normalmente uma camada de neurônios que computam funções de base radial Os pesos na camada intermediária representam centroids Os pesos na camada de saída ponderam as saídas da camada intermediária

5 Características das RBFs São aproximadores universais de funções Estimam a probabilidade a posteriori do ponto de vista Bayesiano Desenvolvem superfícies de decisão fechadas para representar os padrões Têm sido empregadas em um grande número de aplicações tal como as redes do tipo MLP

6 Características das RBFs Estratégias de treinamento diferentes para as funções radiais, os centroids e os pesos da camada de saída Regra de propagação = função radial Ex: Distância Euclideana net j = X-C = Σ(x i - c i ) 2 Função de ativação = função local Ex: Gaussiana o j = f(net j ) = exp(- net j 2/c j2 )

7 Trabalhos com RBFs Broomhead & Lowe (1988) Moody & Darken (1989) Poggio & Girosi (1990) Niranjan & Fallside (1990) E muitos outros...

8 Treinamento Três conjuntos de parâmetros a serem estimados As larguras d das funções de base radial Os centros Cj Os pesos Wji da camada de saída

9 As Larguras d Valor definido a priori Técnica de gradiente descendente Heurística do vizinho mais próximo

10 Os Centros Cj Distribuir uniformemente ou aleatoriamente Tomar uma amostra do conjunto de treinamento Método não supervisionado de agrupamento (clustering) Gradiente descendente

11 Método Não-supervisionado - Algoritmo K-Médias (K-means clustering) Particiona o espaço de padrões em K grupos K vetores de entrada são escolhidos aleatoriamente como centros de K grupos de padrões Outros vetores de treinamento são atribuídos ao grupo com o centro mais próximo (distância Euclideana, por exemplo) Centros são recalculados como o vetor médio do grupo (média dos vetores do grupo) Vetores de treinamento são novamente apresentados e atribuídos aos centros mais próximos Processo é repetido até não ocorrer mais alterações na modificação dos centros

12 Pesos Wji na Camada de Saída Processo de otimização linear Solução de mínimo global Esquema de Correção de Erros Procedimento direto Mínimo Erro Quadrado (LMS) Newton-like Method Manipulação de matrizes

13 Manipulação de Matrizes (Pseudo-inverse method) E[f] = Σ n p (y p f(x p ))2 \ f(x p ) = Σ w j. φ ( x p c j ) W = (G T. G + λ G o ) -1. G T. Y onde...

14 G= φ ( x 1 c1 ) φ ( x 1 c2 )...φ ( x 1 c3 ) φ ( x 2 c1 ) φ ( x 2 c2 )...φ ( x 2 ck ) φ ( x p c1 ) φ ( x p c2 )...φ ( x p ck ) Go= φ ( c 1 c1 ) φ ( c 1 c2 )...φ ( c 1 c3 ) φ ( c 2 c1 ) φ ( c 2 c2 )...φ ( c 2 ck ) φ ( c p c1 ) φ ( c p c2 )...φ ( c p ck )

15 Treinamento por Gradiente Descendente ej = dj F (X) = dj - Σ wi. φ ( x i c i ci ) 1. Camada de saida E(n)/ W i (n) =Σ e j (n). φ ( x i c i (n) ci ) W i (n+1) = W i (n) - η 1 E(n)/ W i (n) i=1,2,m

16 Treinamento por Gradiente Descendente 2. Centros E(n)/ C i (n) = 2 W i Σ ej(n). φ ( x j c j (n) ci ) Σ -1 [x j c j (n)] C i (n+1) = C i (n) - η 2 E(n)/ C i (n) i=1,2,m

17 Treinamento por Gradiente Descendente 3. Larguras das funções E(n)/ Σ -1 i (n) = -W iσ ej(n). φ ( x j t j (n) ci ) Qji(n) Qji(n) = [x j t i (n)] [x j t i (n)] T ciσ -1 i (n+1) = Σ -1 i (n) - η 3 E(n)/ Σ -1 i (n) i=1,2,m

18 RBFs Construtivas Um conjunto de modelos RBFs tem sido desenvolvido dentro do paradigma construtivo... DDA (Dynamic Decay Adjustment) Berthold & Diamond (1995)

19 Princípio de Funcionamento do Algoritmo DDA B θ + A θ - novo padrão de entrada - classe A Ver Berthold & Diamond - NIPS 7

20 Funcionamento do Algoritmo DDA Ver Berthold & Diamond - NIPS 7

21 Aplicações Reconhecimento de voz Diagnose médica Reconhecimento de caracteres Detecção de falhas Detecção de fraudes Reconhecimento de alvos Classificação de fonemas Análise de crédito Previsão e controle

22 Superfícies de Decisão em uma RBF

23 Um Problema Potencial com uma RBF Considere a figura abaixo: Mostre que é possível para uma RBF com duas entradas, duas unidades intermediárias e duas saídas definir superfícies de decisão como as mostradas. Uma superfície fechada é definida para uma das classes; para a outra classe a superfície é aberta.

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