CENTRO UNIVERSITÁRIO DA FEI MR Simulação de Processos em Eng. de Materiais. Aula 5. Matlab

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1 EE CENTRO UNIVERSITÁRIO DA FEI MR Simulação de Processos em Eng. de Materiais Aula 5 Matlab 1

2 I. Objetivos Objetivo destas notas de aula, é o de ensinar os comandos básicos do Matlab focados para a utilização nas aulas de Simulação de Processos em Engenharia dos Materiais; OBS-1: Para um estudo mais detalhado do Matlab, recomendamos o livro Matlab 5 Guia do Usuário (versão do estudante), da Editora Makron Books. Este livro trás um CD- ROM com uma versão limitada do Matlab 5, mas suficiente para o curso em questão. II. Introdução A primeira versão do Matlab, escrita na Universidade do Novo México e na Universidade de Stanford, no final da década de 1970, destinava-se a cursos de teoria matricial, álgebra linear e análise numérica. Originou-se do LINPACK e do EISPACK, pacotes de subrotinas em FORTRAN para a manipulação de matrizes, sem que fosse necessário escrever programas em FORTRAN. Hoje, a capacidade do Matlab se estende muito além do Laboratório de Matrizes original. O Matlab é um sistema interativo e uma linguagem de programação para comutação técnica e científica em geral. Ele integra a capacidade de fazer cálculos, visualização gráfica e programação em um ambiente fácil de usar, em que os problemas e as soluções são expressos em uma linguagem matemática familiar. III. Parte Prática Telas do Matlab Ao executarmos o Matlab, através do seu ícone, aparecem três áreas na tela; Launch Pad / Workspace, Command History/Current Directory e Command Windows. Você perceberá o uso destas telas ao longo dos trabalhos. Inicialmente utilizaremos a tela Command Windows para as primeiras lições. Vetor Vamos começar criando algo bem simples, como um vetor. Entre com cada elemento do vetor (separado por um espaço) entre a chave [ ], e igualado a uma variável. Por exemplo, para criar o vetor a, entre na tela Command Windows o que segue: a = [ ] digitar espaço entre números O Matlab deverá retornar com, a = Digamos que você queira criar um vetor com elementos entre 0 e 20 espaçados de um incremento de 2 (este método é freqüentemente usado para criar um vetor de tempo): t = 0 : 2 : 20 O Matlab deverá retornar com, t = Outra forma de obter este vetor é utilizando o comando linspace, t = t = linspace ( 0, 20, 11 ) 2

3 neste caso o comando gera um vetor que varia de valor inicial 0 e valor final 20, linearmente espaçado. Manipular um vetor é tão fácil como criá-lo. Primeiro, suponha que você queira somar 2 a cada elemento do vetor a anterior. A equação para tal se parecerá com: b = a + 2 b = Agora suponha que você quisesse somar dois vetores. Se os dois vetores forem de mesmo comprimento, isto é fácil. Simplesmente some os dois vetores conforme mostrado a seguir: c = c = a + b Funções Para facilitar, o Matlab inclui muitas funções padrões. Cada função é um bloco de código que executa uma determinada tarefa. Matlab contem todas as funções padrões tais como sin, cos, log, exp, sqrt, e etc.. Constantes comuns tais como pi, e i ou j para a raiz quadrada de -1 também fazem parte do Matlab. sin( pi/4 ) Para saber como funcionam as diversas funções, basta digitar help [nome da função], e o Matlab mostra uma descrição sobre como usar a determinada função. Gráficos Também é fácil construir gráficos no Matlab. Suponha que você queira construir o gráfico do seno (sin) como função do tempo. Primeiro defina o vetor tempo t (o ponto e vírgula ; depois de cada declaração, diz ao Matlab que não queremos ver os valores depois que pressionamos a tecla enter) e então calcule o seno do valor para cada instante definido. t = 0 : 0.25 : 7; y = sin( t ) plot( t, y ) Você pode traçar dois gráficos simultâneamente, por exemplo: z = cos( t ) plot( t, y, t, z ) Se você mudar a ordem dos argumentos, o gráfico girará 90º. Experimente fazer: plot( y, t, z, t) Note que o Matlab escolheu o estilo de linha e as suas cores, no caso azul e verde, para o gráfico. Você pode especificar as cores e os tipos de linha através de um terceiro argumento depois de cada par de vetores de dados. O argumento opcional adicional é uma string contendo um ou mais caracteres, de acordo com a tabela a seguir: 3

4 Símbolo Cor Símbolo Tipo de linha Símbolo Marcador b azul - linha contínua. ponto g verde : linha pontilhada o círculo r vermelho -. traços e pontos x x c ciano -- linha tracejada + + m magenta * estrela y amarelo s quadrado k preto d losango w branco v triângulo p/ baixo ^ triângulo p/ cima < triângulo p/ esquerda > triângulo p/ direita p pentagrama h hexagrama Por exemplo, plot( t, y, b:p, t, z, r- ) note que não é necessário usar todos os três argumentos e que os argumentos devem ser colocados entre apóstrofos _ Grade O comando grid adiciona linhas de grade e o comando grid off remove a grade. Os comandos xlabel e ylabel adiciona nomes aos eixos horizontais e verticais respectivamente. O comando title adiciona uma linha de texto ao topo do gráfico. Experimente, xlabel ( Variável independente t ); ylabel ( Variável dependente y e z ); title ( Curvas do seno e co-seno ) É possível adicionar ao gráfico qualquer texto em qualquer posição usando-se o comando text(x, y, texto desejado ). Neste caso (x,y) representa as coordenadas, nas unidades próprias do gráfico em questão. text ( 1.2, 0.4, cos(z) ) Você pode achar mais fácil a posição do texto usando o comando gtext. Este comando muda para a janela de figuras onde faz aparecer uma cruz que segue o mouse até que você dê um clique no mouse ou pressione uma tecla. gtext ( sen(x) ) Se precisar colocar legenda use o comando legend, legend ( sen(x), cos(z) ) ou se precisar removê-la use o comando legend off. Polinômios No Matlab, o polinômios é representado por um vetor. Para criar um polinômio no Matlab, simplesmente entre com os coeficientes do polinômio em ordem decrescente. Por exemplo, seja o polinômio: s 4 + 3s 3-15s 2-2s + 9 Para entrar este polinômio no Matlab, simplesmente digite o vetor, x = [ ] 4

5 x = Se o polinômio não tiver algum coeficiente, você deve entrar com zero no vetor, no lugar apropriado. Por exemplo, s o vetor fica, y = [ ] Você pode achar o valor de um polinômio usando a função polyval. Por exemplo, para achar o valor do polinômio y para s=2, z = polyval ( [ ], 2 ) z = 17 Você pode também achar as raízes de um polinômio. Isto é útil quando se tem um polinômio de alto grau. Por exemplo, achar as raízes do polinômio s s 3 15 s 2 2 s + 9, roots ( [ ] ) O inverso também é possível, isto é tendo-se as raízes, pode-se achar o polinômio, sendo que as raízes devem ser colocadas como um vetor coluna: raizes = [ ; ; ; ] p = poly ( raízes ) p = Note que pode existir erros de arredondamento. Digamos que você queira multiplicar dois polinômios, x = w + 2 por y = w 2 + 4w + 8 que resulta z = w 3 + 6w w O produto de dois polinômios é achado tomando-se a convolução de seus coeficientes. A função conv do Matlab irá fazer isso por você, x = [ 1 2 ]; y = [ ]; z = conv ( x, y ) z = Divisão de 2 polinômios é igualmente simples. A função deconv irá retornar o resultado e o resto. Vamos dividir z por y e verificar se encontramos o valor de x. [ xx, R ] = deconv ( z, y ) xx = 1 2 R = Como você pode ver, este é justamente o polinômio/vetor x anterior. Se você desejar somar dois polinômios que tenham a mesma ordem, simplesmente faça a = b + c. exemplo: b = [ ] c = [ ] a = b +c 5

6 5 7 9 Matrizes Entrar com matrizes no Matlab é o mesmo que entrar um vetor, exceto que cada linha é separada da próxima por um ponto e vírgula ou teclando enter : B = [ ; ; ] B= ou pode-se entrar os coeficientes da seguinte forma: B = [ (pressionar a tecla enter) (pressionar a tecla enter) ] (pressionar a tecla enter) B= As matrizes no Matlab podem ser manipuladas de muitas formas. Primeiro, você pode achar a transposta de uma matriz utilizando apóstrofo: C = B C = Você pode multiplicar as duas matrizes B e C. Lembre-se que a ordem das matrizes devem ser respeitadas. D = B * C D = D = C * B D = Outra opção para a manipulação de matrizes é que você pode multiplicar os elementos de duas matrizes utilizando o operador.* (as matrizes tem que ser de mesmo tamanho). E = F = G = E = [ 1 2; 3 4 ] F = [ 2 3; 4 5 ] G = E.* F 6

7 12 20 Se você tem uma matriz quadrada, como E, você pode também multiplicá-la por ela mesma tantas vezes quantas você quiser, basta elevá-la a potência desejada. E ^ Se quiser elevar ao cubo cada elemento da matriz, simplesmente utilize a forma elemento por elemento E.^ 3 Você pode também achar a inversa da matriz: X = inv ( E ) X = Expressões e Objetos Simbólicos Até o momento, você aprendeu a usar o Matlab como uma calculadora avançada. Entretanto, mesmo uma calculadora poderosa tem suas limitações. Ou seja, até o momento todos os exemplos exigiram números para produzir resultados. Porém o Matlab possui a capacidade de manipular expressões matemáticas sem de fato usar números. Para tanto utilizaremos uma função que permitirá manipular expressões e fazer cálculos com símbolos matemáticos, além de números. Esse processo é frequentemente chamado de matemática simbólica. A função sym é usada para criar a variável simbólica. Digamos que se queira realizar a seguinte calculo algébrico: f = x * 5 * x + y * 8 * y * 3 * y Se entrarmos com esta expressão teremos a seguinte resposta,??? Undefined function or variable 'x'. pois o Matlab precisa que você defina um valor para x ou se ele é um símbolo. Neste caso queremos que x seja tratado como símbolo, então devemos usar a função sym, x = sym ( x ) y = sym ( y ) ou simplesmente syms x y agora podemos inserir a expressão, f = x * 5 * x + y * 8 * y * 3 * y 5 * x^ * y^3 Se quiser uma apresentação mais agradável, podemos utilizar o comando: 5 x y 3 pretty ( f ) 7

8 Transformada de Laplace Dado a função no domínio do tempo f(t) = e -at cos(wt) a transformada de Laplace pode ser calculada utilizando o comando laplace (f,t,s). Primeiramente definem-se os símbolos a serem usados, depois se entra com a função: syms a s t w f = exp( -a*t )*cos( w*t ) L = laplace ( f, t, s ) L = s+ a ( ) 2 2 s + a + w (s+a) / ((s+a)^2 + w^2) pretty ( L ) Transformada de Laplace inversa ilaplace ( L, s, t ) exp (-a*t)*cos(w*t) Experimente o seguinte exemplo: Determine a transformada de Laplace da função f = sen(wt+b), syms s t w b f=sin(w*t+b) L = laplace ( f, t, s ) L = cos(b)*w/(s^2+w^2)+sin(b)*s/(s^2+w^2) ( b) w sin( ) cos b s s + w s + w pretty ( L ) Expansão em Frações parciais O Matlab dispõe de um comando para se obter a expansão em frações parciais. O comando é o [r,p,k] = residue (num,den) sendo r o resíduo, p os pólos e k o termo direto. B() s num b s + b s + L + b r r r = = = k As () den s as a s p s p s p n n n 1 2 n L n n L + n 1' 2' n' Exemplo: Considere-se a seguinte função de transferência, Bs s s s r r r As s s s s p s p s p 3 2 () = = () ' 2' 3' k 8

9 r = p = k = Portanto temos, 2 num = [ ] den = [ ] [ r, p, k ] = residue ( num, den ) ( ) B s = As () s+ 3 s+ 2 s+ 1 Podemos ter o inverso, isto é dado as frações parciais podemos encontrar o numerador e denominador da função de transferência: [ num, den ] = residue ( r, p, k ) Resposta de um sistema a um impulso como sinal de entrada Se o numerador e denominador de malha fechada forem conhecidos, o comando impulse(num,den) e impulse(num,den,t) geram a curva das resposta a um impulso unitário. O parâmetro t no comando é o tempo especificado pelo usuário, caso não seja definido o tempo é gerado automaticamente. Note que num e den são o nome das variáveis e podem ser usados outros nomes quaisquer, tais como, n e d. Exemplo Dado um sistema cuja função de transferência é Fs () = s s+ 25 determinar a resposta a um impulso unitário. solução: num = [ 25 ] den = [ ] impulse ( num, den ) (é gerado um gráfico da resposta ao impulso como sinal de entrada) Resposta de um sistema a um degrau como sinal de entrada Se o numerador e denominador de malha fechada forem conhecido, o comando step(num,den) e step (num,den,t) geram a curva das resposta a um degrau unitário. Exemplo Dado um sistema cuja função de transferência é Fs () = s determinar a resposta a um impulso degrau. solução: num = [ 25 ] den = [ ] step ( num, den ) (é gerado um gráfico da resposta ao degrau como sinal de entrada) s+ 25 9

10 M files (arquivos.m) Para problemas simples, é mais rápido e eficiente introduzir seus comandos no prompt do Matlab. Entretanto, se o número de comandos é grande, ou se você deseja mudar o valor de uma ou mais variáveis e reexecutar alguns comandos, pode tornar-se tedioso introduzir os comandos no prompt. O Matlab apresenta uma solução para estes casos, ele permite que seja criado arquivos chamados arquivos de comandos ou arquivos M. Existe um editor para os arquivos M ou m-files; escolha New M-file no menu File. Você pode utilizar qualquer outro editor desde que você salve o arquivo no mesmo diretório do Matlab e com a extensão.m. Alguns comandos úteis quando se usa os arquivos M são: echo on mostra os comandos do arquivo M durante sua execução, na janela de comandos do Matlab; echo of inibe a apresentação dos comandos do arquivo M durante sua execução; input solicita ao usuário que forneça algum dado de entrada; keybord transfere temporariamente o controle para o teclado (pressione return para sair); pause suspende a execução. Exemplo Criar um arquivo M File denominado exemplo.m. Digitar o seguinte programa: 1 % Programa para plotar sen(t) 2 T = input ( entrar com o valor do tempo final, T = ); 3 n = input ( entrar com o numero de leituras/calculos, t = ); 4 t = linspace ( 0, T, n ); 5 y = sin ( t ); 6 plot ( t, y ) 7 grid Na tela do Command Windows, digitar o nome da M-File, ou seja exemplo. Entrar com os dados solicitados (por exemplo, T = 10 e n = 10), analisar o gráfico, caso a senóide não tenha ficado uniforme, altere o valor de n. 10

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