Desempenho de Sistemas de Controle Realimentados

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1 Desempenho de Sistemas de Controle Realimentados. Erro em estado estacionário de sistemas de controle realimentados 2. Erro em estado estacionário de sistemas com realimentação não-unitária 3. Índice de desempenho 4. Simplificação de sistemas lineares pag. Controle de Sistemas Lineares Aula 4

2 Erro em Estado Estacionário Na análise da resposta estacionária se está interessado no erro de regime estacionário e ss mostrado na figura M p e ss y(t) t r td t s t pag.2 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

3 Erro em Estado Estacionário Considere o sistema ilustrado abaixo R(s) + E a (s) G(s) Y (s) H(s) Veja que para H(s) =, o erro é dado por E(s) = E a (s) = + G(s) R(s) Ganho DC O ganho DC de uma função de transferência estável, sem pólos na origem, é definido por Ganho DC lim s 0 G(s) = G(0) Tipo do sistema O tipo do sistema em malha-fechada é definido pelo número de integradores (ou pólos em s = 0) da função de transferência em malha-aberta, G(s). Eg, sistema tipo 0: não há integrador... pag.3 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

4 Erro em Estado Estacionário Para uma entrada tipo degrau unitário, R(s) = /s, o erro é obtido como E(s) = + G(s) s Aplicando o Teorema do Valor Final, obtém-se o erro em regime estacionário: e ss (t) = e( ) = lim se(s) = lim s 0 s 0 + G(s) = + lim G(s) = s 0 + K p sendo K p a constante de erro de posição definida como K p lim s 0 G(s) = G(0) Para sistema Tipo 0, K p = Ganho DC, e o erro de regime estacionário é e ss (t) = + Ganho DC pag.4 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

5 Erro em Estado Estacionário Para uma entrada tipo rampa unitária, R(s) = /s 2, o erro é obtido como E(s) = + G(s) s 2 Usando Teorema do Valor Final e ss (t) = lim se(s) = lim s 0 s 0 s + sg(s) = lim sg(s) = s 0 K v sendo K v a constante de erro de velocidade definida como K v lim s 0 sg(s) Para sistema Tipo 0, K v = 0. Para sistema Tipo obtém-se e ss (t) = K v pag.5 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

6 Erro em Estado Estacionário Para uma entrada tipo parábola unitária, R(s) = /s 3, o erro é obtido como E(s) = + G(s) s 3 Usando Teorema do Valor Final e ss (t) = lim se(s) = lim s 0 s 0 s 2 + s 2 G(s) = lim s 0 s2 G(s) = K a sendo K a a constante de erro de aceleração definida como K a lim s 0 s 2 G(s) Para sistemas Tipo 0 ou, K a = 0. Para sistema Tipo 2 obtém-se e ss (t) = K a pag.6 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

7 Erro em Estado Estacionário Erro em estacionário e ss em função dos coeficientes de erro Entrada em degrau Entrada em rampa Entrada em parábola Tipo r(t) = r(t) = t r(t) = t 2 /2 Tipo 0 + K a Tipo 0 K v Tipo K a pag.7 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

8 Erro em Estado Estacionário Efeito do ganho K sobre o erro e ss para um sistema Tipo 0 de 2a. ordem.5 k=400 k=200 k G(s) = k=00 (s+2)(s+6) k= k=20 k= pag.8 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

9 Erro em Estado Estacionário Realimentação Não-Unitária Para o sistema abaixo com H(s) não-unitário, K pode ser visto como um conversor de unidades entre a saída do processo, Y (s) (e entrada, R(s)) e a saída do sensor, H(s) (por exemplo, converter velocidade para tensão...) R K + E a G Y H Suponha que H(s) seja um sistema de a. ordem, com ganho DC= K 2, ie H(s) = K 2 τs + K 2 funciona como um fator de conversão de unidades pag.9 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

10 Erro em Estado Estacionário Realimentação Não-Unitária E(s) R(s) Y (s) = R(s) K G(s) + G(s)H(s) R(s) = + G(s)H(s) K G(s) R(s) + G(s)H(s) = + (H(s) K ) G(s) R(s) + G(s)H(s) Ajustando-se K = K 2 a fim de não haver erro em estado estacionário obtém-se para uma entrada degrau unitário e ss = lim s 0 se(s) = + K G(0) pag.0 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

11 Erro em Estado Estacionário Realimentação Não-Unitária Exemplo Considere uma entrada degrau unitário no diagrama abaixo R K + E a G Y H com G(s) = 40/(s + 5) e H(s) = 2/(0.s + ). Selecionando-se K = K 2 = 2, obtém-se e ss = + K G(0) = + 2(8) = 7 pag. Controle de Sistemas Lineares Aula 4

12 Índices de Desempenho Um índice de desempenho é uma medida quantitativa do desempenho de um sistema e é escolhido de modo que seja colocada ênfase nas especificações consideradas importantes do sistema Como escolher índices de Desempenho? ISE Integral do erro ao quadrado ISE = T 0 e 2 (t)dt compromisso entre respostas sub- e super-amortecidas ITAE Integral do erro absoluto vezes o tempo ITAE = T 0 t e(t) dt reduz a contribuição exagerada do erro nos primeiros instantes e enfatiza erro presente na resposta em regime pag.2 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

13 Índices de Desempenho IAE Integral do erro absoluto IAE = T 0 e(t) dt bom para fins de estudo de simulação... ITSE Integral do erro ao quadrado vezes o tempo ITSE = T 0 te 2 (t)tdt O ITAE é o mais seletivo no sentido que o seu valor mínimo é facilmente identificável em função de parâmetros do sistema (como, eg, ζ) Um sistema de controle é dito ser ótimo quando o índice de desempenho selecionado é minimizado pag.3 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

14 MASTER 64 (a) A r(t) 0 t (b) A y(t) 0 (c) A e(t) 0 (d) A 2 e 2 (t) (e) 0 e 2 (t) dt 0 Figure 5.25 The calculation of the integral squared error Copyright 998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.

15 MASTER 65 I ITAE ITSE/0 3 2 ISE Figure 5.27 Three performance criteria for a second-order system Copyright 998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.

16 Índices de Desempenho Os coeficientes que minimizam o índice ITAE para uma entrada degrau considerando a FT em malha fechada: T(s) = b 0 s n + b n s n b s + b 0 são listados a seguir s + ω n s 2 +.4ω n s + ωn 2 s ω n s ωn 2s + ω3 n s ω n s ωn ω3 n s + ω4 n s ω n s 4 + 5ωn 2s ωn 3s ωn 4s + ω5 n s ω n s ωn 2s ωn 3s ωn 4s ωn 5s + ω6 n pag.6 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

17 Simplificação de Sistemas Lineares Muitos modelos de sistemas reais podem ser bastante complexos e são representados por FT de ordem elevada Por que não aproximá-los por modelos de ordem reduzida? Por exemplo, um sistema de 5a. ordem por um de 2a. ordem Uma Forma Simples eliminar pólos não-dominantes, com parte real muito maior que os demais pólos (dominantes). Espera-se que este pólo não afete significantemente a resposta transitória Exemplo G(s) = K s(s + 2)(s + 30) = K/30 s(s + 2) pag.7 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

18 Simplificação de Sistemas Lineares Aproximação por Resposta em Freqüência é mais sofisticada e tenta casar ao máximo a resposta em freqüência de uma função de transferência reduzida, L(s), com a do sistema original, H(s)... Sendo H(s) = K a ms m + a m s m + + a s + b n s n + b n s n + + b s +, n m L(s) = K c ps p + + c s + d g s g + + d s +, p g < n O método baseia-se na seleção de c i e d i tal que L(s) tenha uma resposta em freqüência muito semelhante a H(s), ie H(jω)/L(jω), para várias freqüências pag.8 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

19 Simplificação de Sistemas Lineares A seleção dos parâmetros c e d é obtida fazendo e M (k) (s) = dk ds k M(s) (k) (s) = dk ds k (s) sendo M(s) e (s), respectivamente, o numerador e o denominador da relação H(s)/L(s) pag.9 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

20 Simplificação de Sistemas Lineares Defini-se ainda M 2q = 2q k=0 ( ) k+q M (k) (0)M (2q k) (0), q = 0,, 2,... k!(2q k)! 2q = 2q k=0 ( ) k+q (k) (0) (2q k) (0), q = 0,, 2,... k!(2q k)! Os parâmetros c e d são obtidos resolvendo o sistema de equações M 2q = 2q até o número necessário q para determinar os coeficientes desconhecidos pag.20 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

21 Simplificação de Sistemas Lineares Exemplo Sistema de 3a. ordem H(s) = + (/6)s + s 2 + (/6)s 3 } {{ } (s)= (0) (s) (0) (0) = Aproximar por um sistema de 2a. ordem L(s) = + d s + d 2 s 2 } {{ } M(s)=M (0) (s) M (0) (0) = M () (s) = d ds ( + d s + d 2 s 2 ) = d + 2d 2 s M () (0) = d pag.2 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

22 Simplificação de Sistemas Lineares Então continuando o processo para k tal que a derivada se anula: M (0) (0) = (0) (0) = M () (0) = d () (0) = /6 M (2) (0) = 2d 2 (2) (0) = 2 M (3) (0) = 0 (3) (0) = M 2q = 2q para q = e 2 (veja que para k > 2, M (k) (0) = 0) pag.22 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

23 Simplificação de Sistemas Lineares Para q = M 2q = M 2 = 2q k=0 ( ) k+q M (k) (0)M (2q k) (0) k!(2q k)! = ( ) M(0) (0)M (2) (0) 2 +( ) M(2) (0)M (0) (0) 2 = d 2 + d 2 d 2 = 2d 2 + d 2 + M() (0)M () (0) pag.23 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

24 Simplificação de Sistemas Lineares De forma similar: 2q = 2 = 2q k=0 ( ) k+q (k) (0) (2q k) (0) k!(2q k)! = ( ) (0) (0) (2) (0) 2 +( ) (2) (0) (0) (0) 2 = = () (0) () (0) pag.24 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

25 Simplificação de Sistemas Lineares Fazendo M 2 = 2 2d 2 + d 2 = Para q = 2, calculando M 4 e 4 e Fazendo M 4 = 4 obtém-se: d 2 2 = 7 8 Resolvendo o sistema de equações: d =.65 e d 2 = L(s) = +.65s s =.60 2 s s +.60 com pólos em.029 e.555 pag.25 Controle de Sistemas Lineares Aula 4

26 Simplificação de Sistemas Lineares Bode Diagram Magnitude (db) H(s) azul L(s) vermelho Phase (deg) Frequency (rad/sec) pag.26 Controle de Sistemas Lineares Aula 4