Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1

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1 Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 03 Fatoração. Conteúdo 4. Introdução Parte Fatoração Números Primos e Números Compostos Fatoração em Números Primos Máximo Divisor Comum (MDC) Mínimo Múltiplo Comum (mmc) Números Primos Entre Si Função Distributiva Distribuindo Termos Individuais Distribuindo Binômios Distribuindo Polinômios Algumas Distribuições Especiais Triângulo de Pascal Memorize para a prova Exercícios de Fixação Gabarito Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos Bibliografia

2 4. Introdução Parte Fatoração 4... Números Primos e Números Compostos Números primos são números inteiros, maiores que o número (um), que são divisíveis apenas por eles mesmos e por (um). O primeiro e menor número primo é o (dois), que é o único número primo que é par. E há uma lógica nisso, não? Se houvesse outro número primo maior que que fosse par, ele seria divisível por (todo número par é divisível por ), e, consequentemente, não seria mais primo, pois não se enquadraria na definição. Esse número seria divisível, pelo menos, por ele mesmo, por e por. Entendeu? Veja: 4 é o primeiro número par após o. 4 é divisível por 4, e e não pode ser primo. Os números primos menores que 00 são:, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37, 4, 43, 47, 53, 59, 6, 67, 7, 73, 79, 83, 89 e 97. Os números inteiros maiores que (um) e que não são números primos, são denominados números compostos. Esses números compostos são divididos em números primos que se multiplicam entre si, ou seja, qualquer número composto pode ser escrito como uma multiplicação de números primos, que é a nossa famosa fatoração. Há que se ressaltar que cada fatoração em números primos é única. Exemplos: 4 = x = 6 = x 3 8 = x x = 3 9 = 3 x 3 = 3 0 = x 5 00 = x x 5 x 5 = x 5 34 = 3 x 3 x 3 x 3 x x = 3 4 x 50 = x 3 x 5 x 7 Memorize para a prova: Números primos: são números inteiros, maiores que o número (um), que são divisíveis apenas por eles mesmo e por (um). Números compostos: são números que não são primos e podem ser representados por uma multiplicação de números primos.

3 4... Fatoração em Números Primos Para fazer uma fatoração em números primos, você deve pegar o número que deseja fatorar e efetuar a divisão pelos números primos a começar do (dois). Se a divisão do número a ser fatorado pelo número primo não for exata (o resto da divisão for diferente de zero), você deve dividi-lo pelo número primo seguinte (em ordem crescente), e assim por diante. A fatoração acaba quando o resultado da divisão por um número primo for (um). Não entendeu? Então vamos aos nossos exemplos práticos, que são sempre infalíveis para o entendimento. Let s go. Exemplos: I) Fatorar o número. Passo : Dividir pelo primeiro número primo () dividido por é igual a 6 com resto 0 (zero). Portanto, é primeiro fator primo de. Passo : Pegar o resultado da divisão do passo (podemos considerar que o número a ser fatorado agora é o 6) e dividir ainda pelo primeiro número primo () 6 dividido por é igual a 3 com resto 0 (zero). Portanto, é o segundo fator primo de. Passo 3: Pegar o resultado da divisão do passo (podemos considerar que o número a ser fatorado agora é o 3) e dividir ainda pelo primeiro número primo () 3 dividido por é igual a com resto (um). Portanto, não é o terceiro fator primo de. Passo 4: Como o resultado da divisão do passo 3 foi diferente de zero, devemos utilizar o próximo número primo (em ordem crescente). No caso, será o 3. Pegar o resultado da divisão do passo (podemos considerar que o número a ser fatorado agora é o 3) e dividir pelo próximo número primo (3) 3 dividido por 3 é igual a com resto 0 (zero). Portanto, 3 é o terceiro fator primo de. Para facilitar, utilizamos a seguinte representação: : = 6 6 : = 3 3 : 3 = Fatoração de = x x 3 = x 3 3

4 II) Fatorar o número 50. Passo : Dividir 50 pelo primeiro número primo () 50 dividido por é igual a 55 com resto 0 (zero). Portanto, é primeiro fator primo de 50. Passo : Pegar o resultado da divisão do passo (podemos considerar que o número a ser fatorado agora é o 55) e dividir ainda pelo primeiro número primo () 55 dividido por é igual a 7 com resto (um). Portanto, não é o segundo fator primo de 50. Passo 3: Como o resultado da divisão do passo foi diferente de zero, devemos utilizar o próximo número primo (em ordem crescente). No caso, será 3. Pegar o resultado da divisão do passo (podemos considerar que o número a ser fatorado agora é o 55) e dividir pelo próximo número primo (3) 55 dividido por 3 é igual a 85 com resto 0 (zero). Portanto, 3 é o segundo fator primo de 50. Passo 4: Pegar o resultado da divisão do passo 3 (podemos considerar que o número a ser fatorado agora é o 85) e dividir ainda pelo segundo número primo (3) 85 dividido por 3 é igual a 8 com resto (um). Portanto, 3 não é o terceiro fator primo de 50. Passo 5: Como o resultado da divisão do passo 4 foi diferente de zero, devemos utilizar o próximo número primo (em ordem crescente). No caso, será 5. Pegar o resultado da divisão do passo 4 (podemos considerar que o número a ser fatorado agora é o 85) e dividir pelo próximo número primo (5) 85 dividido por 5 é igual a 7 com resto 0 (zero). Portanto, 5 é o terceiro fator primo de 50. Passo 6: Como o resultado da divisão do passo 5 já é um número primo (7), só podemos dividir este resultado por 7 7 dividido por 7 é igual a com resto 0 (zero). Portanto, 7 é o quarto fator primo de 50. Para facilitar, utilizamos a seguinte representação: : = : 3 = : 5 = 7 7 : 7 = Fatoração de 50 = x 3 x 5 x 7 4

5 Nota: Repare que você pode utilizar a fatoração para reduzir as frações aos menores termos, pois as contas ficam mais fáceis. 40 Exemplo : Reduza a fração aos menores termos: I) Fatorar o numerador (40): Fatoração de 40 = x x x x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 II) Fatorar o denominador (330): Fatoração de 330 = x 3 x 5 x III) Escrever a fração com o numerador e o denominador fatorados: = IV) Cancelar os fatores iguais do numerador e do denominador e achar a fração dos menores termos: = = = =

6 Exemplo : Reduza a fração 3 3. x. y. z 4 4. x. y. z I) Fatorar o numerador (3.x 3.y.z): Fatoração de 3 = x x x x = 5 Fatoração do numerador = 5.x 3.y.z II) Fatorar o denominador (4.x.y.z 4 ): aos menores termos: Fatoração de 4 = x 3 x 7 Fatoração do denominador =.3.7.x.y.z 4 III) Escrever a fração com o numerador e o denominador fatorados: x. y. z. x. y. z = 4. x. y. z.3.7. x. y. z 4 4 IV) Cancelar os fatores iguais do numerador e do denominador e achar a fração dos menores termos: 3. x. y. z. x. y. z. x. y. x. y. x. x = = = = = 4. x. y. z.3.7. x. y. z 3.7. z 3.7. z 3.7. z. z Lembre que qualquer número elevado a zero é igual a. Portanto, y 0 =. Repare que é possível fazer a simplificação em relação a z de duas maneiras e chegar ao mesmo resultado. Vejamos: z z = z = z = ou z z = = z z z

7 Memorize para a prova: Fatoração Representação de um número composto (que não é número primo) em uma multiplicação de números primos Máximo Divisor Comum (MDC) O Máximo Divisor Comum (MDC) é o maior termo possível que divide cada termo de uma expressão que contém dois ou mais termos. Caramba, que rolo! Como fazemos isso? Veja o procedimento: I. Fazer a fatoração (decomposição em fatores primos) dos números, separadamente; II. MDC = produto de todos os fatores comuns elevados ao menor expoente. Exemplo : Calcule o máximo divisor comum dos seguintes números: 34 e Fatoração de 34 = x x 3 x 3 x 3 x 3 = Fatoração de 96 = x x x x x 3 = 5. 3 Fatores comuns: e 3 Menor expoente do fator comum = Menor expoente do fator comum 3 = Fator comum elevado ao menor expoente = Fator comum 3 elevado ao menor expoente = 3 MDC (34,96) =. 3 = 7

8 Exemplo : Calcule o máximo divisor comum dos seguintes números: x y 6 z 3, 6xy 3 z 4 e 0x 3 y z Fatoração de = x x 3 x 3 = x Fatoração de 6 = x x x = Fatoração de 0 = x x 5 = x 5 Termos: x y 6 z 3 =. 3. x. y 6. z 3 6xy 3 z 4 = 4. x. y 3. z 4 0x 3 y z 5 =. x 3. y. z 5 Fatores comuns:, x, y e z Menor expoente do fator comum = Menor expoente do fator comum x = Menor expoente do fator comum y = Menor expoente do fator comum z = 3 Fator comum elevado ao menor expoente = Fator comum x elevado ao menor expoente = x Fator comum y elevado ao menor expoente = y Fator comum z elevado ao menor expoente = z 3 MDC (x y 6 z 3, 6xy 3 z 4, 0x 3 y z 5 ) =. x. y. z 3 = 4xy z 3 Uma outra maneira de reduzir aos menores termos, no exemplo do item anterior, é dividir o numerador e o denominador pelo MDC. Vejamos. 8

9 Exemplo 3: Reduza a fração x y z 4 4. x. y. z I) Fatorar o numerador (3.x 3.y.z): Fatoração de 3 = x x x x = 5 Fatoração do numerador = 5.x 3.y.z II) Fatorar o numerador (4.x.y.z 4 ): Fatoração de 4 = x 3 x 7 Fatoração do denominador =.3.7.x.y.z 4 III) Achar o MDC: Termos: 3.x 3.y.z = 5.x 3.y.z 4.x.y.z 4 =.3.7.x.y.z 4 Fatores comuns:, x, y e z Menor expoente do fator comum = Menor expoente do fator comum x = Menor expoente do fator comum y = Menor expoente do fator comum z = Fator comum elevado ao menor expoente = Fator comum x elevado ao menor expoente = x Fator comum y elevado ao menor expoente = y Fator comum z elevado ao menor expoente = z MDC (3x 3 y z, 4xy z 4 ) =. x. y. z aos menores termos: 9

10 IV) Dividir o numerador e o denominador pelo MDC: x. y. z.... x. y. z. x. y. z x y z = =. x. y. z =. x. y. z =. x x. y. z.3.7. x. y. z = =.3.7. x. y. z =.3.7. x. y. z = 3.7. z x y z x y z V) Fração dos menores termos: 3. x. y. z.. = x = x 4. x. y. z 3.7. z. z Memorize para a prova: Máximo Divisor Comum (MDC): o máximo divisor comum de dois ou mais números é calculado utilizando o seguinte procedimento: I. Fazer a fatoração (decomposição em fatores primos) dos números, separadamente; II. MDC = produto de todos os fatores comuns elevados ao menor expoente Mínimo Múltiplo Comum (mmc) O Mínimo Múltiplo Comum (mmc) de dois ou mais números é calculado utilizando o seguinte procedimento: I. Fazer a fatoração dos números (em fatores primos), separadamente; e II. mmc = produto de todos os fatores comuns e não comuns elevados ao maior expoente. Exemplo : Calcule o mínimo múltiplo comum de 8 e Fatoração de 8 = x x = Fatoração de 6 = x 3 0

11 Para achar o mínimo múltiplo comum, teríamos: Fatores comuns e não comuns: 8 = 3 6 = x 3 Fator Comum = Fator Não Comum = 3 Maiores expoentes: Maior expoente de = 3 Fator Comum elevado ao maior expoente = 3 Maior expoente de 3 = Fator Não Comum = 3 = 3 mmc (8,6) = 3 x 3 = 4 Exemplo : Calcule o mínimo múltiplo comum dos seguintes números: x y 6 z 3, 6xy 3 z 4 e 0x 3 y z Fatoração de = x x 3 x 3 = x Fatoração de 6 = x x x = Fatoração de 0 = x x 5 = x 5 Termos: x y 6 z 3 =. 3. x. y 6. z 3 6xy 3 z 4 = 4. x. y 3. z 4 0x 3 y z 5 =. x 3. y. z 5

12 Fatores comuns e não comuns:, 3, x, y e z Maior expoente de = 4 Maior expoente de 3 = Maior expoente de x = 3 Maior expoente de y = 6 Maior expoente de z = 5 Fator elevado ao maior expoente = 4 Fator 3 elevado ao maior expoente = 3 Fator x elevado ao maior expoente = x 3 Fator y elevado ao maior expoente = y 6 Fator z elevado ao maior expoente = z 5 mmc (x y 6 z 3, 6xy 3 z 4, 0x 3 y z 5 ) = x 3. y 6. z 5 Memorize para a prova: Mínimo Múltiplo Comum (mmc): O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é calculado utilizando o seguinte procedimento: I. Fazer a fatoração dos números (em fatores primos), separadamente; e II. mmc = produto de todos os fatores comuns e não comuns elevados ao maior expoente. Nota: Uma propriedade importante: mmc (X,Y). MDC (X,Y) = X.Y Exemplo: I) Calcule o mínimo múltiplo comum de 8 e Fatoração de 8 = x x = Fatoração de 6 = x 3 Para achar o mínimo múltiplo comum, teríamos: Fatores comuns e não comuns: 8 = 3 6 = x 3 Fator Comum = Fator Não Comum = 3

13 Maiores expoentes: Maior expoente de = 3 Fator Comum elevado ao maior expoente = 3 Maior expoente de 3 = Fator Não Comum = 3 = 3 mmc (8,6) = 3 x 3 = 4 II) Calcule o máximo divisor comum de 8 e Fatoração de 8 = x x = Fatoração de 6 = x 3 Para achar o máximo divisor comum, teríamos: Fator comum: 8 = 3 6 = x 3 Fator Comum = Menor expoente de = Fator Comum elevado ao menor expoente = = MDC (8,6) = 8 x 6 = 48 mmc (8,6) x MDC (8,6) = 4 x = 48 = 8 x 6 Memorize para a prova: mmc (X,Y). MDC (X,Y) = X.Y Números Primos Entre Si Dois números são primos entre si quando não possuem fatores primos em comum. Exemplo: 8 = x 3 5 = 5 3

14 Como 8 e 5 não possuem fatores primos em comum, são chamados primos entre si. Repare que 8 e 5 não são números primos (números que são divididos apenas por eles mesmos e por ), mas são primos entre si. 4.. Função Distributiva 4... Distribuindo Termos Individuais De acordo com a função distributiva, podemos distribuir um termo sobre vários outros termos, ou seja, distribuir é multiplicar um termo individual por uma série de termos agrupados. Exemplos: X. (Y + Z) = X.Y + X.Z X. (Y Z) = X.Y X.Z 3.(3x + y 6z) = 3. 3x + 3. y + 3. (-6z) = 9x + 6y 8z x. (3x 4 x 3 + x ) = x. 3x 4 + x. (-x 3 ) + x. x + x. ( ) = = 3x 4+ x 3+ + x + x = 3x 5 x 4 + x x x. (3x -4 x 3 + x - ) = x. 3x -4 + x. (-x 3 ) + x. x - + x. ( ) = = 3x -4+ x 3+ + x - x = 3x -3 x 4 + x 0 x = 3x -3 x 4 + x -5x y. (3x 3 y + z) = (-5x y). 3x 3 + (-5x y). (-y) + (-5x y). z = = x +3. y + 5. x. y + 5. x. y. z = = 5x 5 y + 5x y 5x yz Repare que: - (3x + y 3z 6) é o mesmo que multiplicar (-) por (3x + y 3z 6): (-). (3x + y 3z 6) = (-). 3x + (-). y + (-). (-3z) + (-). (-6) = = 3x y + 3z + 6 Lembre que: ( ). ( ) = (+) ( ). (+) = ( ) Repare também que: X. (Y + Z) = (Y + Z). X = X.Y + X.Z Memorize para a prova: Distribuindo Termos Individuais: X. (Y + Z) = X.Y + X.Z X. (Y Z) = X.Y X.Z 4

15 4... Distribuindo Binômios De acordo com a função distributiva, podemos distribuir dois termos (ou binômio) sobre vários outros termos, ou seja, distribuir é multiplicar o binômio por uma série de termos agrupados. Para facilitar, inicialmente, divida o primeiro binômio em dois termos e, depois multiplique cada termo do primeiro binômio pelos termos do segundo binômio. Vamos ver exemplos sobre o assunto. Exemplos: (a + b).(c + d) = a.(c + d) + b.(c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d (a + b).(c d) = a.(c d) + b.(c d) = a.c a.d + b.c b.d (a b).(c + d) = a.(c + d) b.(c + d) = a.c + a.d b.c b.d (a b).(c d) = a.(c d) b.(c d) = a.c a.d b.c + b.d (x + ).(y 3 3) = x.(y 3 3) +.(y 3 3) = x.y 3-3x + y 3 3 (x + ).(4x 3 + x 3) = x. (4x 3 + x 3) +. (4x 3 + x 3) = = x.4x 3 + x.x 3x + 4x 3 + x 3 = 4x 3+ +.x + 3x + 4x 3 + x 3 = = 4x 5 + x 3 3x + 4x 3 + x 3 = 4x 5 + (x 3 + 4x 3 ) 3x + x 3 = = 4x 5 + 6x 3 3x + x 3 Nota: Lembre que podemos somar os termos com expoentes iguais, como no caso de x 3 e 4x 3. (x y ).(x + xy + y ) = x. (x + xy + y ) y. (x + xy + y ) = = x.x + x. xy + x.y y.x y.xy y.y = = x + + x + y + (x y x y ) xy + y + = = x 4 + x 3 y xy 3 y 4 Memorize para a prova: Distribuindo Binômios:. Divida o primeiro binômio em dois termos.. Distribua cada termo do primeiro binômio pelos termos segundo binômio. 3. Simplifique e combine os termos com os mesmos expoentes Distribuindo Polinômios De acordo com a função distributiva, podemos distribuir três termos (ou trinômios) sobre vários outros termos, ou seja, distribuir é multiplicar o binômio por uma série de termos agrupados. Para facilitar, inicialmente, divida o primeiro trinômio em três termos e, depois multiplique cada termo do primeiro trinômio pelos termos do segundo trinômio. Vamos ver exemplos sobre o assunto. 5

16 Nota: Se forem mais de três termos, chamaremos de polinômio. Além disso, é possível fazer várias combinações, ou seja, multiplicar um binômio por um trinômio, um trinômio por um polinômio, e assim por diante. Exemplos: (a + b + c).(d + e + f) = a.(d + e + f) + b.(d + e + f) + c.(d + e + f) = = ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce +cf (x + y + ).(x xy + y + ) = = x.( x xy + y + ) + y.(x xy + y + ) +.(x xy + y + ) = = x.x x.xy + xy + x. + y.x y.xy + y.y + y. + x.xy +.y +. = = x + x + y + xy + x + x y xy + + y + y + x 4xy + y + = = x 3 x y + xy + x + x y xy + y + y + x 4xy + y + = = x 3 x y + x y + x + x + xy 4xy xy + y + y + y + = = x 3 x y + x + x 3xy xy + y + 3y + Distribuindo Polinômios:. Divida o primeiro polinômio nos termos correspondentes.. Distribua cada termo do primeiro polinômio pelos termos segundo polinômio. 3. Simplifique e combine os termos com os mesmos expoentes Algumas Distribuições Especiais Quando multiplicamos um binômio por ele mesmo, o resultado será um trinômio cujos termos são o quadrado do primeiro termo do binômio, o quadrado do segundo termo do binômio e duas vezes o produto dos dois termos do binômio. Vejamos: (a + b).(a + b) = (a + b) (a + b).(a + b) = a.(a + b) + b.(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b = = a + + a.b + a.b + b + = a + ab + b Repare que: a.b = b.a (a + b).(a + b) = (a + b) = a + ab + b Exemplo: (x + ).(x + ) = x.(x + ) +.(x + ) = x.x + x. +.x +. = = x + + x + x + + = x + 4x + = x + 4x + 4 Fazendo direto: (x + ).(x + ) = (x + ) Primeiro Termo = x Segundo Termo = Quadrado do Primeiro Termo = x Quadrado do Segundo Termo = = Duas Vezes o Produto dos Termos =.x. = 4x 6

17 (x + ).(x + ) = (x + ) = x + 4x + 4 (a b).(a b) = (a b) (a b).(a b) = a.(a b) b.(a b) = a.a a.b b.a + ( b).( b) = = a + a.b a.b + ( b) + = a ab + b (a b).(a b) = (a b) = a ab + b Exemplo: (4x 5).(4x 5) = 4x.(4x 5) 5.(4x 5) = = 4x.4x + 4x.( 5) + ( 5).4.x + ( 5).(-5) = = 4 +.x + 0x 0x + ( 5) + = 4 x 40x + ( 5) = 6x 40x + 5 Fazendo direto: (4x 5).(4x 5) = (4x 5) Primeiro Termo = 4x Segundo Termo = 5 Quadrado do Primeiro Termo = (4x) = 6x Quadrado do Segundo Termo = ( 5) = 5 Duas Vezes o Produto dos Termos =.4x.( 5) = 40x (4x 5).(4x 5) = (4x 5) = 6x 40x + 5 Quando multiplicamos a soma e a diferença dos mesmo dois termos de binômio, o resultado será um binômio cujos termos são o quadrado do primeiro termo do binômio e menos o quadrado do segundo termo do binômio. Vejamos: (a + b).(a b) = a.(a b) + b.(a b) = a.a a.b + b.a + b.( b) = = a + a.b + a.b b + = a b Repare que: a.b = b.a (a + b).(a b) = a b Exemplo: (x + ).(x ) = x.(x ) +.(x ) = x.x x. +.x. = = x + x + x + = x = x 4 Fazendo direto: (x + ).(x ) Primeiro Termo = x Segundo Termo = Quadrado do Primeiro Termo = x Quadrado do Segundo Termo = = (x + ).(x ) = x 4 Soma e diferença de dois cubos a 3 + b 3 = (a + b).(a ab + b ) a 3 b 3 = (a b).(a + ab + b ) 7

18 Vejamos: I) (a + b).(a ab + b ) = a.(a ab + b ) + b.(a ab + b ) = = a.a a.ab + a.b + b.a b.ab + b.b = = a + a +.b + a.b + b.a b +.a + b + = = a 3 a b + ab + a b ab + b 3 = a 3 + b 3 II) (a b).(a + ab + b ) = a.(a + ab + b ) b.(a + ab + b ) = = a.a + a.ab + a.b b.a b.ab b.b = = a + + a +.b + a.b b.a b +.a b + = = a 3 + a b + ab a b ab b 3 = a 3 b 3 Exemplos: I) (x + 4).(x 4x + 6) = x.(x 4x + 4 ) + 4.(x 4x + 4 ) = = x.x x.4x + x x 4.4x = = x + x x x 4 +.x = = x 3 4x + 4 x + 4x 4 x = x = x II) (x 4).(x + 4x + 6) = x.(x + 4x + 4 ) 4.(x + 4x + 4 ) = = x.x + x.4x + x.4 4.x 4.4x 4.4 = = x + + x x.4 4.x 4 +.x 4 + = = x 3 + 4x + 4 x 4x 4 x 4 3 = x = x 3 64 Distribuições Especiais: (a + b).(a + b) = (a + b) = a + ab + b (a - b).(a - b) = (a - b) = a - ab + b (a + b).(a - b) = a b Triângulo de Pascal O seguinte arranjo de números é conhecido como triângulo de Pascal: (...) Primeiramente, vamos aprender a regra de formação do triângulo de Pascal: Primeira regra: a primeira linha começa com. Segunda regra: a cada linha, aumentamos um termo. Terceira regra: os termos extremos (direita e esquerda) são sempre iguais a. 8

19 Quarta regra: os termos do meio de uma linha correspondem à soma dos termos acima e à direita da linha anterior. Vejamos: Linha 0: (Você vai entender por que chamei de linha 0. Aguarde!) Linha : (Aumenta um termo agora são dois - e os extremos devem ser. Não há termos do meio) Linha : (Aumenta um termo agora são três e os extremos devem ser. O termo do meio é a soma dos termos acima () e à direita da linha anterior (): + = ). Linha 3: 3 3 (Aumenta um termo agora são quatro e os extremos devem ser. Os termos do meio são a soma dos termos acima e à direita da linha anterior). Termo do meio = + = 3 Termo do meio = + = 3 Linha 4: (Aumenta um termo agora são cinco e os extremos devem ser. Os termos do meio são a soma dos termos acima e à direita da linha anterior). Termo do meio = + 3 = 4 Termo do meio = = 6 Termo do meio 3 = 3 + = 4 E assim por diante. Ou seja, o triângulo de Pascal seria: (...) Um outro dado importantíssimo é que estes termos correspondem aos valores das potências dos binômios. Considere um binômio (x + y) n. Quando: Linha 0: n = 0 (a + b) 0 = (primeira linha do triângulo de Pascal) Repare que, para (a + b), só há dois termos a e b: Linha : n = (a + b) = a + b =.a +.b (os valores que multiplicam os termos correspondem à segunda linha do triângulo de Pascal) 9

20 Repare que, para (a + b), começamos com o termo a.b 0 e, aí, vamos diminuindo em uma unidade a potência de a e aumentando em uma unidade a potência de b, até b. Linha : n = (a + b) = a.b 0 + a -.b 0+ + a -.b 0+ =.a + ab +.b (os valores que multiplicam os termos correspondem à terceira linha do triângulo de Pascal) Repare que, para (a + b) 3, começamos com o termo a 3.b 0 e, aí, vamos diminuindo em uma unidade a potência de a e aumentando em uma unidade a potência de b, até b 3. Linha 3: n = 3 (a + b) 3 = a 3.b 0 + 3a 3-.b a 3-.b 0+ + a 3-3.b 0+3 (a + b) 3 =.a 3 + 3a b + 3ab +.b 3 (os valores que multiplicam os termos correspondem à quarta linha do triângulo de Pascal). Exemplo: Determine o coeficiente do termo xy 6 no desenvolvimento de (x + y) 7. Como n é igual 7 (potência do binômio), temos que montar o triângulo de Pascal até a sétima linha: Linha 0: Linha : Linha : Linha 3: 3 3 Linha 4: Linha 5: Linha 6: Linha 7: Lembre que os termos do meio de uma linha são o resultado da soma dos termos acima e à direita da linha anterior. No caso da linha 7, teríamos: Termo do Meio = + 6 = 7 Termo do Meio = = Termo do Meio 3 = = 35 Termo do Meio 4 = = 35 Termo do Meio 5 = = Termo do Meio 6 = 6 + = 7 Precisamos montar (x + y) 7. Repare que nosso a será igual a x e nosso b será igual a y. Montando nossa expressão utilizando a linha 7 do triângulo de Pascal (a potência do binômio é igual 7): (x + y) 7 =.x 7.y x 7-.y 0+ +.x 7-.y x 7-3.y x 7-4.y x 7-5.y x 7-6.y x 7-7.y 0+7 (x + y) 7 =.x x 6.y +.x 5.y + 35.x 4.y x 3.y 4 +.x.y x.y 6 +.y 7 A questão pede o coeficiente do x.y 6 : 0

21 4.3. Memorize para a prova Fatoração Números Primos e Números Compostos Números Primos são números inteiros, maiores que o número (um), que são divisíveis apenas por eles mesmos e por (um). Os números primos menores que 00 são:, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37, 4, 43, 47, 53, 59, 6, 67, 7, 73, 79, 83, 89 e 97. Os números inteiros maiores que (um) e que não são números primos, são denominados números compostos Fatoração em Números Primos Representação de um número composto (que não é número primo) em uma multiplicação de números primos. Exemplo: I) Fatorar o número 50. Passo : Dividir 50 pelo primeiro número primo () 50 dividido por é igual a 55 com resto 0 (zero). Portanto, é primeiro fator primo de 55. Passo : Pegar o resultado da divisão do passo (podemos considerar que o número a ser fatorado agora é 55) e dividir ainda pelo primeiro número primo () 55 dividido por é igual a 7 com resto (um). Portanto, não é o segundo fator primo de 55. Passo 3: Como o resultado da divisão do passo foi diferente de zero, devemos utilizar o próximo número primo (em ordem crescente). No caso, será 3. Pegar o resultado da divisão do passo (podemos considerar que o número a ser fatorado agora é o 55) e dividir pelo próximo número primo (3) 55 dividido por 3 é igual a 85 com resto 0 (zero). Portanto, 3 é o segundo fator primo de 55. Passo 4: Pegar o resultado da divisão do passo 3 (podemos considerar que o número a ser fatorado agora é o 85) e dividir ainda pelo segundo número primo (3) 85 dividido por 3 é igual a 8 com resto (um). Portanto, 3 não é o terceiro fator primo de 55. Passo 5: Como o resultado da divisão do passo 4 foi diferente de zero, devemos utilizar o próximo número primo (em ordem crescente). No caso, será 5. Pegar o resultado da divisão do passo 4 (podemos considerar que o número a ser fatorado agora é o 85) e dividir pelo próximo número primo (5) 85 dividido por 5 é igual a 7 com resto 0 (zero). Portanto, 5 é o terceiro fator primo de 55.

22 Passo 6: Como o resultado da divisão do passo 5 já é um número primo (7), só podemos dividir este resultado por 7 7 dividido por 7 é igual a com resto 0 (zero). Portanto, 7 é o quarto fator primo de 55. Para facilitar, utilizamos a seguinte representação: : = : 3 = : 5 = 7 7 : 7 = Fatoração de 50 = x 3 x 5 x 7 Máximo Divisor Comum (MDC) I. Fazer a fatoração (decomposição em fatores primos) dos números, separadamente; II. MDC = produto de todos os fatores comuns elevados ao menor expoente. Exemplo: Calcule o máximo divisor comum dos seguintes números: 34 e Fatoração de 34 = x x 3 x 3 x 3 x 3 = Fatoração de 96 = x x x x x 3 = 5. 3 Fatores comuns: e 3 Menor expoente do fator comum = Menor expoente do fator comum 3 = Fator comum elevado ao menor expoente = Fator comum 3 elevado ao menor expoente = 3 MDC (34,96) =. 3 =

23 Mínimo Múltiplo Comum (mmc) I. Fazer a fatoração dos números (em fatores primos), separadamente; e II. mmc = produto de todos os fatores comuns e não comuns elevados ao maior expoente. Exemplo: Calcule o mínimo múltiplo comum dos seguintes números: x y 6 z 3, 6xy 3 z 4 e 0x 3 y z Fatoração de = x x 3 x 3 = x Fatoração de 6 = x x x = Fatoração de 0 = x x 5 = x 5 Termos: x y 6 z 3 =. 3. x. y 6. z 3 6xy 3 z 4 = 4. x. y 3. z 4 0x 3 y z 5 =. x 3. y. z 5 Fatores comuns e não comuns:, 3, x, y e z Maior expoente de = 4 Maior expoente de 3 = Maior expoente de x = 3 Maior expoente de y = 6 Maior expoente de z = 5 Fator elevado ao maior expoente = 4 Fator 3 elevado ao maior expoente = 3 Fator x elevado ao maior expoente = x 3 Fator y elevado ao maior expoente = y 6 Fator z elevado ao maior expoente = z 5 3

24 mmc (x y 6 z 3, 6xy 3 z 4, 0x 3 y z 5 ) = x 3. y 6. z 5 Propriedade: mmc (X,Y). MDC (X,Y) = X.Y Números Primos Entre Si Dois números são primos entre si quando não possuem fatores primos em comum. Exemplo: 8 = x 3 5 = 5 Como 8 e 5 não possuem fatores primos comuns, são chamados primos entre si. Repare que 8 e 5 não são números primos (números que são divididos apenas por eles mesmos e por ), mas são primos entre si. Função Distributiva Distribuindo Termos Individuais Exemplos: X. (Y + Z) = X.Y + X.Z X. (Y Z) = X.Y X.Z Distribuindo Binômios Exemplos: (a + b).(c + d) = a.(c + d) + b.(c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d (a + b).(c d) = a.(c d) + b.(c d) = a.c a.d + b.c b.d (a b).(c + d) = a.(c + d) b.(c + d) = a.c + a.d b.c b.d (a b).(c d) = a.(c d) b.(c d) = a.c a.d b.c + b.d Distribuindo Polinômios Exemplo: (a + b + c).(d + e + f) = a.(d + e + f) + b.(d + e + f) + c.(d + e + f) = = ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce +cf Algumas Distribuições Especiais (a + b).(a + b) = (a + b) = a + ab + b (a b).(a b) = (a b) = a ab + b (a + b).(a b) = a b a 3 + b 3 = (a + b).(a ab + b ) a 3 b 3 = (a b).(a + ab + b ) Triângulo de Pascal O seguinte arranjo de números é conhecido como triângulo de Pascal: (...) 4

25 4.4. Exercícios de Fixação.(TTN-998-Esaf) Se a > 9, é igual a a) (a 9) b) (a 3) c) (a + 3) d) (a + 9) e) a 3y 9x y ax = a y, sendo y ax, o valor da razão, para x.(analista de Finanças e Controle-STN-997-Esaf) Tomam-se os inteiros entre e 00, inclusive, e constroem-se duas listas. Na lista D são colocados todos os inteiros divisíveis por e, na lista T, são colocados todos os inteiros divisiveis por 3. O número de inteiros entre e 00, inclusive, que são divisíveis por e que não são divisíveis por 3 é igual a: a) b) 4 c) 6 d) 8 e) 34 3.(Analista Judiciário-Área: Administrativa-TRT/5R-00-FCC)Um criptograma aritmético é um esquema operatório codificado, em que cada letra corresponde a um único algarismo do sistema decimal de numeração. Considere que o segredo de um cofre é um número formado pelas letras que compõem a palavra MOON, que pode ser obtido decodificando-se o seguinte criptograma: (IN) = MOON Sabendo que tal segredo é um número maior que 5 000, então a soma M + O + O + N é igual a (A) 6 (B) 9 (C) 5 (D) 8 (E) 3 5

26 4.(Analista de Processos Organizacoinais-Administração-Bahiagás- FCC-00) Em uma partida de basquete o jogador pode fazer cestas valendo 3 pontos, pontos ou ponto. A respeito dos únicos cinco jogadores de uma equipe que participaram de uma partida, sabe-se que: Alberto fez 9 pontos; Bernardo fez apenas cestas de 3 pontos; Cláudio fez apenas 3 cestas, todas de pontos; Diogo fez apenas cestas de ponto; Elton não fez cestas. Se Diogo fez o dobro do número de cestas de Bernardo, é correto afirmar que o total de pontos feitos pela equipe nessa partida necessariamente é um número (A) que deixa resto na divisão por 5. (B) múltiplo de 7. (C) múltiplo de 5. (D) múltiplo de 3. (E) ímpar. 5.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Educação/SP- 00-FCC) Um provedor de acesso à internet cobrava de seus clientes R$ 80,00 por mês para acesso discado sem qualquer controle das horas utilizadas. Querendo limitar o tempo de conexão dos clientes, ofereceu um plano, no qual, por R$ 60,00, o cliente usaria os serviços por no máximo 70 horas mensais e pagaria R$,00 por hora excedente. No mês seguinte, ao receber sua conta de consumo, um cliente que havia optado por esse plano verificou que o valor de sua conta ficou 60% maior em relação ao valor que pagaria no plano anterior. O número de horas em que esse cliente esteve conectado foi (A) 96 (B) 04 (C) 0 (D) (E) 6 6.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação- Marnahão-009-FCC) O seguinte arranjo de números é conhecido como triângulo de Pascal: 6

27 Sabe-se que os números do triângulo de Pascal correspondem aos coeficientes do desenvolvimento de (a + b) n, segundo as potências decrescentes de a. De acordo com essas informações, o coeficiente do termo contendo os fatores x 5 y no desenvolvimento de (x + y) 7 é (A) 67 (B) 480 (C) 40 (D) 3 (E) 7.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação- Marnahão-009-FCC) O professor Chico Nery publicou um artigo na Revista do Professor de Matemática n o 70, relatando um episódio ocorrido em uma de suas aulas. Ao observar que vários números ímpares podiam ser escritos como diferença de dois quadrados perfeitos, um aluno lhe perguntou se isso era sempre verdadeiro. O professor Nery considerou que todo número ímpar é da forma k +, sendo k número natural; por isso, tem-se: k + = (k + k + ) k = (k + ) k. Isso demonstra que o fato observado é sempre verdadeiro. Com base nessa demonstração, percebe-se que o número ímpar é igual a (A) (B) (C) (D) (E) (Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação- Marnahão-009-FCC) Em uma aula sobre fatoração e simplificação de polinômios, um professor de matemática solicitou que seus alunos obtivessem o valor numérico de problema proposto é (A) 799 (B) 679 (C) 563 (D) 497 (E) 546 x + 8x+ 5 x 5 para x = 4,99. O resultado correto do 7

28 9.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação- Marnahão-009-FCC) Uma herança de R$ ,00 será repartida entre 3 filhos de forma que cada um receba valor diretamente proporcional à sua idade. Armando e Bernadete são gêmeos, e Carlos é o filho mais velho. Chamando de x a idade de Armando e Bernadete, e de y a idade de Carlos, é correto dizer que Armando receberá de herança, em reais, a quantia de (A) x+ y x (B) x+ y x (C) x+ y ( x + y) (D) x x+ y (E) (Professor de Matemática-Teresina-009-FCC) Se os números naturais A e B são tais que: mmc(a,b) = 840, mdc(a,b) =, A = x. 5 e B = y., com x > y, então, A + B é igual a (A) 04. (B) 900. (C) 490. (D) 85. (E)

29 .(Auxiliar Judiciário-Área: Judiciária-TRF/R-007-FCC) Certo dia, em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, um auxiliar judiciário observou que o número de pessoas atendidas no período da tarde excedera o das atendidas pela manhã em 30 unidades. Se a razão entre a quantidade de pessoas atendidas no período da manhã e a quantidade de pessoas atendida no período da tarde era 5 3, então é correto afirmar que, nesse dia, foram atendidas (A) 30 pessoas. (B) 48 pessoas pela manhã. (C) 78 pessoas à tarde. (D) 46 pessoas pela manhã. (E) 75 pessoas à tarde..(auxiliar Judiciário-Área: Judiciária-TRF/R-007-FCC) Calculando os 38% de vinte e cinco milésimos obtém-se (A) 95 décimos de milésimos. (B) 9 milésimos. (C) 95 milésimos. (D) 9 centésimos. (E) 95 centésimos. 3.(Professor de Matemática-SESI/SP-004-FCC) Simplificando a fração x 4+ x+ x x x ( )( ) (A) (B) (C) x x+ x+ x (D) x (E) x +, na qual x e x obtém-se 9

30 4.(CEFET/PA-Cespe-003) Com os algarismos a, b e c, escolhidos no conjunto {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}, forma-se o número natural N = abcabc. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes: I O número N pode ser escrito como N = a b + 00c. II Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número par. III Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número primo. IV Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número divisível por 7. V Para qualquer escolha de a, b e c, N será sempre um número divisível por. A quantidade de itens certos é igual a: (A) (B) (C) 3 (D) 4 (E) 5 5.(CEFET/PA-Cespe-003)Para enviar uma mensagem de Belém-PA para Brasília-DF, via fax, uma empresa de telecomunicações cobra R$,0 pela primeira página e R$ 0,80 para cada página adicional, completa ou não. Sabendo-se que, nessas condições, um empresário gastou R$,40 para enviar um documento de Belém para Brasília, é correto afirmar que o número de páginas que esse documento contém é igual a: (A) (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9 6.(CEFET/PA-Cespe-003) Assinale a opção que corresponde ao número 0,064: (A) (B) (C) (D) (E)

31 7.(CEFET/PA-Cespe-003) Marcos e Pedro receberam, no início de abril, mesadas de valores iguais. No final do mês, Marcos havia gastado 4 5 de sua mesada e Pedro 5 6 da sua. Sabendo que Marcos ficou com R$ 0,00 a mais que Pedro, o valor da mesada recebida por cada um deles é: (A) inferior a R$ 40,00. (B) superior a R$ 40,00 e inferior a R$ 80,00. (C) superior a R$ 80,00 e inferior a R$ 30,00. (D) superior a R$ 30,00 e inferior a R$ 360,00. (E) superior a R$ 360,00. 8.(CEFET/PA-Cespe-003) Sabendo-se que o produto dos números inteiros positivos m e n é igual a 57, que a divisão de m por x tem quociente 4 e resto e que a divisão de n por x + tem também quociente 4 e resto, é correto afirmar que o valor de m + n é igual a: (A) 48 (B) 46 (C) 4 (D) 38 (E) 36 (STM-Cespe-004) A revisão e a conservação dos veículos de determinada organização são executadas por empregados da própria organização. Para essas tarefas, a organização dispõe de x empregados; a frota é composta por y veículos. Sabendo-se que os números x e y estão entre os números inteiros múltiplos de 3 e divisores de 30, julgue os itens que se seguem: 9. Se o número x de empregados for igual a 40% do número y de veículos da frota, então a soma x + y é superior a Se a razão entre x e y for igual a 8. 0, então o produto x. y é inferior a (MPETO-Cespe-006) Um grupo de voluntários que atuam em uma favela é composto por X homens e Y mulheres. Sabe-se que o máximo divisor comum entre X e Y é igual a 6, que o mínimo múltiplo comum desses números é igual a 36, que existem mais mulheres que homens nesse grupo e que o número de homens é superior a 0. Nesse caso, julgue os itens que se seguem:. O número de mulheres no grupo é superior a 6.. 3X = Y. 3

32 4.5. Gabarito. C. E 3. A 4. C 5. B 6. A 7. E 8. A 9. C 0. A. E. A 3. B 4. B 5. C 6. E 7. C 8. A 9. Certo 0. Errado. Certo. Certo 3

33 4.6. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos.(TTN-998-Esaf) Se 3y 9x = a y, sendo y ax, o valor da razão y ax x, para a > 9, é igual a a) (a 9) b) (a 3) c) (a + 3) d) (a + 9) e) a Resolução 3y 9x = a y ax Vamos multiplicar em cruz : 3y 9 x= a.( y ax) 3y 9x= ay a x a x 9x= ay 3y Beleza até aqui? Bom a questão pede o valor da razão y x. Repare que, do lado esquerdo da igualdade temos dois termos com x. Então, é possível isolar o x ou colocá-lo em evidência. Veja: a x 9x = x.(a 9) Do mesmo modo, do lado direito da igualdade, temos dois termos com y. Então, é possível isolar o y ou colocá-lo em evidência. Veja: ay 3y = y.(a 3) Portanto, teríamos: a x x ay y 9 = 3 x a = y a.( 9).( 3) Como queremos y x, vamos dividir os dois lados da igualdade por x: x.( a 9) = y.( a 3) x.( a 9). = y.( a 3). x x y ( a 9) =.( a 3) x 33

34 Agora, passando (a 3) para o outro lado da igualdade (como ele está multiplicando do lado direito, ao passar para o lado esquerdo, deve ir dividindo): y ( a 9) =.( a 3) x ( a 9) y = ( a 3) x y = x ( a 9) ( a 3) E agora, o pulo do gato! Relembrando de nossa aula, temos: (x a ) = (x + a).(x a) Atenção, guarde a relação acima, pois sempre aparece em prova! Portanto, na nossa questão, teríamos: a 9 = a 3 = (a + 3).(a 3). Substituindo na igualdade: y ( a 9) ( a+ 3)( a 3) = = = a+ 3 x ( a 3) ( a 3) Repare que é possível cortar o (a 3) do numerador com o (a 3) do denominador. GABARITO: C.(Analista de Finanças e Controle-STN-997-Esaf) Tomam-se os inteiros entre e 00, inclusive, e constroem-se duas listas. Na lista D são colocados todos os inteiros divisíveis por e, na lista T, são colocados todos os inteiros divisiveis por 3. O número de inteiros entre e 00, inclusive, que são divisíveis por e que não são divisíveis por 3 é igual a: a) b) 4 c) 6 d) 8 e) 34 Resolução Vamos entender a questão! I) Tomam-se os inteiros entre e 00, inclusive...: chamarei de U o conjunto dos inteiro de a 00, inclusive. U = inteiros de a 00, inclusive = {,, 3, 4, 5, 6, 7,..., 00} 34

35 ...e constroem-se duas listas. II) Na lista D são colocados todos os inteiros divisíveis por : os inteiros divisíveis por são todos os números pares (chamarei de D). D (inteiros divisíveis por ) = {, 4, 6, 8, 0,, 4,..., 00} Número de elementos de D = 50 elementos (metade dos números de a 00) III) Na lista T, são colocados todos os inteiros divisíveis por 3: um número será divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3 (são os múltiplos de 3 de a 00). T (inteiros divisíveis por 3) = {3, 6, 9,, 5, 8,, 4,..., 99} A questão pede o número de inteiros entre e 00, inclusive, que são divisíveis por e que não são divisíveis por 3. IV) Para ficar mais fácil, vamos construir T, que é o conjunto dos números inteiros divisíveis por e por 3, ou seja, são os números pares da lista T (dos divisíveis por 3): T (inteiros divisíveis por e por 3) = {6,, 8, 4, 30, 36, 4, 48, 54, 60, 66, 7, 78, 84, 90, 96} Número de elementos de T = 6 elementos V) Portanto, o número de inteiros, de a 00, divisíveis por e não divisíveis por 3 é justamente o resultado da diferença do número inteiros divisíveis por (D) e o número de inteiros divisíveis por e por 3 (T ). Número de inteiros entre e 00 divisíveis por e não divisíveis por 3: N = 50 6 = 34 elementos GABARITO: E 3.(Analista Judiciário-Área: Administrativa-TRT/5R-00-FCC) Um criptograma aritmético é um esquema operatório codificado, em que cada letra corresponde a um único algarismo do sistema decimal de numeração. Considere que o segredo de um cofre é um número formado pelas letras que compõem a palavra MOON, que pode ser obtido decodificando-se o seguinte criptograma: (IN) = MOON Sabendo que tal segredo é um número maior que 5.000, então a soma M + O + O + N é igual a (A) 6 (B) 9 (C) 5 (D) 8 (E)

36 Resolução Calma. Não precisa ficar nervoso. A questão parece difícil, mas não é. Vejamos. Vamos, literalmente, decifrar a questão. I) Se o segredo do cofre é a palavra MOON e cada letra corresponde a um algarismo, temos: M = algarismo dos milhares. O = algarismo das dezenas e das centenas (iguais) N = algarismo das unidades II) Além disso, outras informações importantes são que o segredo (MOON) é maior que e que um número de dois algarismos (IN) elevado ao quadrado é igual a MOON. Além disso, o algarismo das dezenas de IN (I) é diferente de quaisquer algarismos do segredo (MOON). Como faremos o teste? Vamos adotar o seguinte procedimento. I Repare que os algarismos das unidades (N) do número elevado ao quadrado (IN) tem que ser igual ao algarismo das unidades do segredo (MOON). Ora, quais são os números de a 9 que elevados ao quadrado possuem algarismos das unidades iguais? Vejamos 0 = 0 (ok) = (ok) = 4 3 = 9 4 = 6 5 = 5 (ok) 6 = 36 (ok) 7 = 49 8 = 64 9 = 8 Por enquanto, temos que N pode ser 0,, 5 ou 6. II Com isso, quais são os números de dois algarismos (I0 ou I ou I5 ou I6) possíveis? São eles: 0,, 5, 6, 0,, 5, 6, 30, 3, 35, 36, 40, 4, 45, 46, 50, 5, 55, 56, 60, 6, 65, 66, 70, 7, 75, 76, 80, 8, 85, 86, 90, 9, 95, 96. Repare ainda que: (60) = 3.600, que é menor que Logo, o segredo (MOON) é maior que 60. (70) = 4.900, que é menor que Logo, o segredo (MOON) é maior que

37 Com isso todos os números menores ou iguais a 70 também terão os seus quadrados menores que Com isso, eliminamos 0,, 5, 6, 0,, 5, 6, 30, 3, 35, 36, 40, 4, 45, 46, 50, 5, 55, 56, 60, 6, 65, 66 e 70. Nossa lista de testes ficou com: 7, 75, 76, 80, 8, 85, 86, 90, 9, 95, 96. IV Vamos testar os demais: (IN) = (7) = 7 x 7 = 5.04 (é maior que 5.000, mas não atende a outra característica do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas (4) não é igual ao algarismo das centenas (0)). (IN) = (75) = 75 x 75 = 5.65 (é maior que 5.000, mas não atende a outra característica do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas () não é igual ao algarismo das centenas (6)). (IN) = (76) = 76 x 76 = Será que este número atende todas as especificações da questão? Vejamos: I = 7 N =6 (IN) = MOON = 76 = É maior que e o algarismo das dezenas (7) é igual ao algarismo das centenas (7). Tudo bem até aqui? Sim, mas repare que o algarismo das dezenas de IN (I = 7) é igual do algarismo O (O = 7) do segredo, fato que não é possível, pois I é diferente de O. Portanto, 76 também não serve. Continuando os nossos testes: (IN) = (80) = 80 x 80 = (é maior que 5.000, mas não atende a outra característica do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas (0) não é igual ao algarismo das centenas (4)). (IN) = (8) = 8 x 8 = 6.56 (é maior que 5.000, mas não atende a outra característica do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas (6) não é igual ao algarismo das centenas (5)). (IN) = (85) = 85 x 85 = 7.5 É maior que e o algarismo das dezenas () é igual ao algarismo das centenas (). Tudo bem até aqui? Sim. Além disso, o algarismo das dezenas de IN (I = 8) é diferente do algarismo O (O = ) do segredo. Portanto, o segredo é 7.5. M = 7 O = O = N = 5 A questão pede a soma: M + O + O + N = = 6 GABARITO: A 37

38 4.(Analista de Processos Organizacoinais-Administração-Bahiagás- FCC-00) Em uma partida de basquete o jogador pode fazer cestas valendo 3 pontos, pontos ou ponto. A respeito dos únicos cinco jogadores de uma equipe que participaram de uma partida, sabe-se que: Alberto fez 9 pontos; Bernardo fez apenas cestas de 3 pontos; Cláudio fez apenas 3 cestas, todas de pontos; Diogo fez apenas cestas de ponto; Elton não fez cestas. Se Diogo fez o dobro do número de cestas de Bernardo, é correto afirmar que o total de pontos feitos pela equipe nessa partida necessariamente é um número (A) que deixa resto na divisão por 5. (B) múltiplo de 7. (C) múltiplo de 5. (D) múltiplo de 3. (E) ímpar. Resolução A questão pede o número total de pontos feitos pela equipe de basquete. Vamos às informações da questão: I) Alberto = 9 pontos (já informado). II) Bernardo: não foi informado o número de pontos de Bernardo e sim que ele só fez cestas de 3 pontos. Vamos supor que Bernardo tenha feito X cestas. Bernardo = X cestas x 3 pontos = 3.X pontos III) Cláudio: fez 3 cestas, todas de pontos. Portanto, o total de pontos feitos por Cláudio é: Cláudio = 3 cestas x pontos = 6 pontos. IV) Diogo: fez apenas cestas de ponto. Além disso, foi informado que Diogo fez o dobro do número de cestas de Bernardo. Como consideramos que Bernardo fez X cestas, Diogo fez X cestas (o dobro do número de cestas de Bernardo). Diogo =.X cestas x ponto =.X pontos. V) Elton: não fez cestas. Total de pontos do time de basquete = 9 + 3X X = 5X + 45 Repare que os dois termos (5X e 45) são múltiplos de 5 e, portanto, podemos colocar o 5 em evidência : Total de pontos do time de basquete = 5.X = 5.(X + 9) 38

39 Portanto, podemos afirmar, com certeza, que o número total de pontos do time de basquete é divisível por 5, pois ele pode ser fatorado em 5 vezes (X + 9). Se o número total de pontos do time de basquete é divisível por 5, ele é um número múltiplo de 5. GABARITO: C 5.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Educação/SP- 00-FCC) Um provedor de acesso à internet cobrava de seus clientes R$ 80,00 por mês para acesso discado sem qualquer controle das horas utilizadas. Querendo limitar o tempo de conexão dos clientes, ofereceu um plano, no qual, por R$ 60,00, o cliente usaria os serviços por no máximo 70 horas mensais e pagaria R$,00 por hora excedente. No mês seguinte, ao receber sua conta de consumo, um cliente que havia optado por esse plano verificou que o valor de sua conta ficou 60% maior em relação ao valor que pagaria no plano anterior. O número de horas em que esse cliente esteve conectado foi (A) 96 (B) 04 (C) 0 (D) (E) 6 Resolução Vamos, novamente, decifrar a questão e transformá-la em linguagem matemática: Provedor de acesso à internet: Preço cobrado = R$ 80,00 por mês sem controle das horas utilizadas. Querendo limitar o tempo de conexão dos clientes, o provedor ofereceu o seguinte plano: R$ 60,00 por 70 horas mensais R$,00 por hora excedente Se fôssemos montar uma expressão matemática para o valor a ser pago pelos clientes neste novo plano, de acordo com as horas utilizadas, teríamos: X = número de horas utilizadas I) Se X 70 horas Valor = R$ 60,00 II) Se X > 70 horas Valor = 60 + x (X 70), onde (X 70) representa o excedente de horas acima de

40 No mês seguinte, ao receber sua conta de consumo, um cliente que havia optado por esse plano verificou que o valor de sua conta ficou 60% maior em relação ao valor que pagaria no plano anterior. Ou seja, no mês, o cliente pagou R$ 80,00 (acesso ilimitado). No mês, com a mudança para o plano novo, a conta do cliente aumentou em 60%. Valor Pago no Mês = Valor Pago no Mês + 60% x Valor Pago no Mês Valor Pago no Mês = % x 80 = x 80 Valor Pago no Mês = ,60 x 80 = = 8 Substituindo esse valor (R$ 8,00) na expressão que montamos, teríamos: Valor = 60 + x (X 70) 8 = 60 + x (X 70) 8 60 = x (X 70) x (X 70) = X 70 = X 70 = 34 X = X = 04 horas GABARITO: B 6.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação- Marnahão-009-FCC) O seguinte arranjo de números é conhecido como triângulo de Pascal: Sabe-se que os números do triângulo de Pascal correspondem aos coeficientes do desenvolvimento de (a + b) n, segundo as potências decrescentes de a. De acordo com essas informações, o coeficiente do termo contendo os fatores x 5 y no desenvolvimento de (x + y) 7 é (A) 67 (B) 480 (C) 40 (D) 3 (E) 40

41 Resolução Vamos relembrar a regra de formação do triângulo de Pascal: Primeira regra: a primeira linha começa com. Segunda regra: a cada linha, aumentamos um termo. Terceira regra: os termos extremos (direita e esquerda) são sempre iguais a. Quarta regra: os termos do meio de uma linha correspondem à soma dos termos acima e à direita da linha anterior. Vejamos: Linha 0: Linha : (Aumenta um termo agora são dois - e os extremos devem ser. Não termos do meio) Linha : (Aumenta um termo agora são três e os extremos devem ser. O termo do meio é a soma dos termos acima () e à direita da linha anterior (): + = ). Linha 3: 3 3 (Aumenta um termo agora são quatro e os extremos devem ser. Os termos do meio são a soma dos termos acima e à direita da linha anterior). Termo do meio = + = 3 Termo do meio = + = 3 Linha 4: (Aumenta um termo agora são cinco e os extremos devem ser. Os termos do meio são a soma dos termos acima e à direita da linha anterior). Termo do meio = + 3 = 4 Termo do meio = = 6 Termo do meio 3 = 3 + = 4 E assim por diante. Ou seja, o triângulo de Pascal seria: Um outro dado importantíssimo é que estes termos correspondem aos valores das potências dos binômios. Considere um binômio (x + y) n. Quando: Linha 0: n = 0 (a + b) 0 = (primeira linha do triângulo de Pascal) 4