Matemática 6. Capítulo 1 3 = a) a + b = 1 b) a + b = 0 c) a b = 1 d) a = b + 1 e) a b = 0

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1 Matemática 6 Exponencial e Logaritmos Capítulo 0. Resolvendo a equação x+ = 8, temos como solução x igual a: 7 7 a + b = a + b = 0 a b = a = b + a b = 0 PVD-07-MAT-6 V 0. UFSE Determine o conjunto verdade da equação: X+ = 0. x + y = Se x e y são números reais tais que x y, então x y é igual a: = FCC-SP O valor de x que satisfaz a equação 000 x = 0,0 é: 0. Determine o valor real de x que torna verdadeira a igualdade x 0 x + 9 = A solução da equação x + x x = 0 é um número: real negativo. irracional. natural menor ou igual a 0. racional maior que 0. real que satisfaz a inequação x x > As soluções da equação x+ + x = 0, em, são os números a e b. Nestas condições, temos que: 08. O valor de x na equação x + x+ x = 6 7 é: 09. O máximo divisor comum das raízes da equação x 0 x + 6 = 0 é: 0 0. Se x = 0, então x é igual a: 0,00 0,0 0,0 0,0 0,. Mackenzie-SP A soma das raízes da equação x+ x+ = x+ é: 6 7. Sejam f(x) = x, g(x) = x e h(x) = f(x) + g(x). Se h(x) = 6, então o valor de x é: 0 6. As equações x = e x m = são equivalentes se m for igual a:, 9 8

2 . FAAP-SP Resolva a equação: x + x + x + x + x + x = 09.. Fatec-SP Seja m o menor número real que é solução da equação x x : =. Então m é um número: par. irracional. primo. divisível por. não-real. 6. Determine x de modo que a igualdade 7 x + 7 x = 8 x seja verdadeira. 7. UFRGS-RS Sabendo que x x =, então o valor de x é igual a: 8. PUC-SP Se y = 6, o valor de y é: Fatec-SP Resolva, em, a equação x+ + x+ = 6 x. 0. ITA-SP Considere a função: f : { 0}, f( x) = ( 9 ) ( ) + 8 x x+ x x+ x A soma de todos os valores de x para os quais a equação y + y + f(x) = 0 tem raiz dupla é: 0 6. Determine o conjunto verdade da equação x+ x+ + = 0 V = { } V = V = ; V = { ; 0} V = { ; }. Vunesp Considere a função dada por f(x) = x+ + m x +. Quando m =, determine os valores de x para os quais f(x) = 0. Determine todos os valores reais de m para os quais a equação f(x) = m + não tem solução real x.. ESPM-SP Sobre a equação (x + x ) + (x x ) = 0, é correto afirmar: Ela tem uma única raiz real, que é inteira e negativa. Ela tem uma única raiz real, que é inteira e positiva. Ela tem uma única raiz real, não inteira. Ela tem duas raízes reais, sendo as duas inteiras. Ela tem duas raízes reais, sendo apenas uma inteira.. UFRR Considere as funções f(x) = x x + 6 e g(x) = 0 x. O produto dos valores de x para os quais g(f(x)) = é igual a: Mackenzie-SP y x x = y No sistema x, com x > 0 e y > 0, x y vale: = y Unicamp-SP O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito pela relação T(t)=T A + α β t, sendo T(t) a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, T A a temperatura ambiente, suposta constante, e α e β constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de 8 ºC. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0 ºC após 90 minutos e chegou a 6 ºC após 70 minutos. Encontre os valores numéricos das constantes α e β. Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas ºC superior à temperatura ambiente. 7. A função f(x) = (b ) x é crescente para b real se: b > b b = b b <

3 8. Identifique como crescente (C) ou decrescente (D) cada uma das funções abaixo. f(x) = x ( ) f(x) = x ( ) f(x) = x ( ) ( ) f(x) = (0,0000) x ( ) f(x) = x π ( ) 9. Esboce o gráfico das seguintes funções. f(x) = x f(x) = x + f(x) = x f(x) = x 0. Ufla-MG Considerando a função real definida por f(x) = 0 x, não é verdade que: f(0) = f( ) = 0,00 f(a + = f( + f( f(x) = 00 para x = f( f(a = f(. UFAM Para que f(x) = (k 8) x seja uma função exponencial, então os valores de k são: k > 8 e k 9 0 < k < 8 k < 8 e k 0 k > 0 e k 8 k. Unifor-CE Uma possível representação gráfica da função definida por f(x) = 0 x é: PVD-07-MAT-6. Construa o gráfico das funções. f(x) = x 6 x f(x) =. A partir de um ano designado como ano zero, o número y de indivíduos de uma população é dado, aproximadamente, pela expressão y = 000 0,n, na qual n indica o ano. Espera-se uma população de indivíduos em um número de anos igual a: O censo realizado numa cidade apontou uma população de 0 mil habitantes e um crescimento populacional de % ao ano. Chamando de y a população em milhares de habitantes e de x o tempo em anos a partir da data do censo, a função que permite projetar a população futura dessa cidade em função do tempo é: y = 0 +,0 x y = 0 +,0x y = 0,0 x y = 0 + 0,0 x y = 0 + x 6. UFAC Se a e b são números reais e a função f definida por f(x) = a x + b, para todo x real, satisfaz f(0) = 0 e f() =, então a imagem de f é o intervalo: ], + [ [, ] ]0, + [ ], + [ ], [ 7. UFRGS-RS Analisando os gráficos das funções reais de variáveis x reais definidas por f( x) = e g(x) = x, representados no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, verificamos que todas as raízes da equação f(x) = g(x) pertencem ao intervalo: [0, ], [, [, 6 ], 6[

4 8. UEPB Na função exponencial f(x) = x definida em, o valor de f( f( é sempre igual a: f(a f( + f( f(a + f( f( f(a 9. UFG-GO Um pai combinou que pagaria a mesada de seu filho no dia 0 de cada mês, começando no dia 0 de janeiro de 00, com R$ 00,00, sendo que o valor seria corrigido mensalmente em %. Em 0 de janeiro de 00, o valor a ser pago pelo pai foi de, em reais: (,0) 00 (,0) 00 (,0) 00 (,0) 00 (,0) Fameca-SP Um cientista está estudando um determinado tipo de doença provocada por bactérias. O cientista percebe que, se o crescimento no número de bactérias for exponencial, ele será representado pela função g(t) = a t + b e, se o crescimento for linear, ele será representado pela função f(t) = at + c, em que t é o tempo de observação. Através do gráfico, pode-se afirmar que, para que o crescimento seja linear, o número inicial de bactérias deve ser de:. Mackenzie-SP O gráfico mostra, em função do tempo, a evolução do número de bactérias em certa cultura. Dentre as alternativas a seguir, decorridos 0 minutos do início das observações, o valor mais próximo desse número é: UPF-RS Uma população de insetos, que vem sendo combatida ao longo dos anos, decresce de acordo com a função P(t) =.000 t. A alternativa que revela em quantos anos essa população será reduzida para população atual é: da. UFSCar-SP Se a área do triângulo retângulo ABC, indicado na figura, é igual a n, conclui-se que f(n) é igual a: Acafe-SC Atualmente, o valor de um sítio é de R$ ,00. Estima-se que daqui a t anos o valor do sítio seja de 00 ( t ) milhares de reais. Após anos, a valorização do sítio (aumento de valor) em relação ao preço atual, em milhões de reais, será de:,,8,6,,. UEG-GO Suponha que o número de casos de uma doença é reduzido no decorrer do tempo conforme a função f(t) = k q t, sendo k e q constantes e t o tempo dado em anos. Determine as constantes k e q, sabendo que, no instante t = 0, existiam.08 casos e, após anos, o número de casos era a quarta parte do valor inicial. 6

5 6. Mackenzie-SP Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g, sendo f(x) = a x. O valor de g(g( )) + f(g()) é: 7. Inatel-MG A função f(x) = x+ está representada a seguir pelo seu gráfico. Os pontos A e B pertencem ao gráfico de f. Calcule o perímetro e a área do triângulo ABC. 9. UFPE Suponha que um teste possa detectar a presença de esteróides em um atleta, quando a quantidade de esteróides em sua corrente sangüínea for igual ou superior a mg. Suponha também que o corpo elimina da quantidade de esteróides presentes na corrente sangüínea a cada horas. Se um atleta ingere 0 mg de esteróides, passadas quantas horas não será possível detectar esteróides, submetendo o atleta a este teste? (Dado: use a aproximação 0 (/) 8 ) Qual dos gráficos abaixo melhor expressa a quantidade de esteróides na corrente sangüínea do atleta, ao longo do tempo, a partir do instante em que este tomou a dose de 0 mg? Obs:. Considere os dados da questão anterior. PVD-07-MAT-6 8. Fuvest-SP Das alternativas abaixo, a que melhor corresponde ao gráfico da função f(x) = x é:. x x O conjunto solução da inequação: > é: {x / 0 < x < } {x / x < 0 ou x > } {x / x } {x / x 0}. A solução da inequação (0,000) x (0,) x, em, é: x = x > x < x x 7

6 . O conjunto solução da inequação x x < é: x / < x < {x / < x < } {x / < x < 0} {x / 0 < x < } x /0< x <. UFPA 8 x O conjunto solução da desigualdade < {x / < x < } {x / x < ou x > } {x / x < 0 ou x > } {x / 0 < x < } {x / x < ou x > 0}. x x Dada a função y =, encontre os valores reais de x para os quais < y <. 6. Os valores reais de x que satisfazem a desigualdade (0,8) x x > (0,8) (x+) são:, < x <, 0, < x <,, < x < 0,, < x < 0, x < 0, ou x >, 7. O conjunto solução da inequação x+ > é: S = {x / x < } S = {x / x < } S = {x / x > } S = {x / x < } S = {x / x < } 8. Seja S o conjunto solução da inequação x+ > x. Então: S = + S = {x / x < } S = {x / x < } S = {x / x > } S = {x / x > } 9. PUC-MG A desigualdade (0,) x +6 < (0,) x é verdadeira para todo x real tal que: x < ou x > x > < x < x < x > 60. Quantos valores inteiros de x satisfazem a desigualdade < 9 x < 8? Nenhum Três Um Mais que três Dois é: 6. Resolver as inequações: 6 x- > 8 x+6 x x 9 6. ESPM-SP Entre as alternativas abaixo, assinale a de maior valor: Se y = 0 x + é um número entre 00 e 0.000, então x está entre: e 0 e 00 0 e 00 e e 6. O conjunto solução da inequação (0,000) x < (0,) x é todo x real tal que: x = x x > x x < 6. Em, o conjunto solução da inequação é: x x 0 x x = 0 x 0 x + x+ 66. FGV-SP O conjunto solução da inequação (0,) x x 0 é: S = {x / 0 x } S = {x / x 0 ou x } S = {x / x } S = {x / x 0} S= x / 0 x 67. UFRGS-RS O conjunto solução da inequação x + + x > 8 é: {x / x < 0} {x / x > 0} {x / x < } {x / x > 0} {x / x < 0} 68. ITA-SP Seja a um número real, com 0 < a <. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de x tais que. ], 0] [, + [ ], 0[ ], 0] ], + [ [, + [ ]0,[

7 69. UEG-GO Suponha que o número de casos de uma doença é reduzido no decorrer do tempo conforme a função f(t) = K q t, sendo K e q constantes e t o tempo dado em anos. Determine o número de anos necessário para que o número de casos seja menor que, significando a eliminação da doença. Dados: f( 0) =. 08; f( ) = f( 0) 70. ESPM-SP As soluções reais da inequação que: x > < x < < x < < x < < x < 7. Cefet-MG são tais O conjunto domínio da função real é: {x / x 0} {x / x } {x / x } {x / x > 0} {x / x < 0, x e x 0} 7. PUC-PB Determinando as soluções da equação a x > a x, verificamos que elas estão somente no intervalo: I. (0, ) se a > III. (, 0) se a > II. (, ) se 0 < a < IV. (, ) se 0 < a < Com respeito às afirmações acima, podemos afirmar que: exatamente duas são verdadeiras. todas as afirmações são falsas. somente uma é verdadeira. somente uma é falsa. todas as afirmações são verdadeiras. 7. UFRR Considere os conjuntos: A = {x / 9 x + x } B = {x / x + 6x + 9 > 0} É correto afirmar que A B é igual a: ], [ ], + [ { }, 7. x x A solução da inequação < é: [0, ] {} ]0, [ {0, } 7. AFA-RJ Todos os valores reais de x para os quais existe x f( x) = x x são tais que: x > 0 < x < 0 < x < ou x 0 < x < ou x > Capítulo 76. Qual é a nomenclatura correta na igualdade a c = b? a base; b logaritmo e c = logaritmando. a logaritmo; b logaritmando e c = base. a base; b logaritmando e c = logaritmo. a logaritmando; b base e c = logaritmo. a logaritmo; b base e c = logaritmando. 77. O valor de Log é: π π π 79. Unifesp A relação P(t) = P 0 ( + r) t, em que r > 0 é constante, representa uma quantidade P que cresce exponencialmente em função do tempo t > 0. P 0 é a quantidade inicial e r é a taxa de crescimento num dado período de tempo. Neste caso, o tempo de dobra da quantidade é o período de tempo necessário para ela dobrar. O tempo de dobra T pode ser calculado pela fórmula: T = log (+ r) T = log (+ r) T = log r T = log (+ r) (r) T = log r PVD-07-MAT PUC-SP log π π.000 é igual a: π Vunesp Se 0 a =, log 79 é igual a: a a 6 a a 6a 9

8 8. Mackenzie-SP O valor de log ab, sabendo que a e b são raízes da equação x 7x + 0 = 0, é: 8. Se y = 0 0 0, o valor do logaritmo decimal de y é: 0,,00,70 0,7 0,87 8. O valor de x em log = x é igual a: 8. UPF-RS O valor da expressão log 0 8 ( ) é: Sendo m um número real estritamente positivo, então a expressão logm é igual a: m m m m m 86. Se log (a = m e a + b = 7, então o valor de log (a b ) é: m + m m m + 7m 87. Calcule, usando a definição de logaritmo: log.0 7 log 7 log 8 log 0, 8 log PUC-SP Se x + y = 0 e x y =, então o valor de log (x y ) é: 00, 89. Cesgranrio-RJ O valor de log a (a é: 90. Calcule o valor da expressão 6 log. 9. Cesgranrio-RJ Sendo a e b as raízes da equação x + 00x 0 = 0, calcule o valor de log 0 + a b. 9. Calcule o valor de (+Log ). 9. Calculando, pela definição, o valor de x na igualdade log 6 = x, teremos: x = x = 6 x = 6 x = 6 x = 9. Em que base o logaritmo de 8 é igual a? 6 9. Calcule o valor de: log 9 log UFBA x 8 ( ) = No sistema, o valor de y é: log ( ) = x y 6 9 9

9 PVD-07-MAT PUC-RS Um aluno do Ensino Médio deve resolver a equação x = com o uso da calculadora. Para que seu resultado seja obtido em um único passo, e aproxime-se o mais possível do valor procurado, sua calculadora deverá possuir a tecla que indique a aplicação da função f definida por: f (s) = s f (s) = s f (s) = s f (s) = log (s) f (s) = log (s) 98. O conjunto solução da equação (log ) x + log x (log 00) x = 0 é: 0, { } {0, } {0}, 99. Vunesp A temperatura média da Terra começou a ser medida por volta de 870, e em 880 já apareceu uma diferença: estava 0,0 C (graus Celsius) acima daquela registrada em 870 (0 anos antes). A função t(x) = (0,0) (0,0)x, com t(x) em C e x em anos, fornece uma estimativa para o aumento da temperatura média da Terra (em relação àquela registrada em 870) no ano (880 + x), x 0. Com base na função, determine em que ano a temperatura média da Terra terá aumentado C. (Use as aproximações log () =,6 e log () =,.) 00. Mackenzie-SP Se 7 x = 8 e 9 y = 7, então o valor de log 8 (x y) é: 0. O domínio da função real definida por f(x) = log x (x x ) é: {x / x > } {x / 0 < x < ou x > } {x / x } {x / < x ou x > } {x / < x < e x } 0. Determine o domínio da função apresentada a seguir: f(x) = log ( x 8) 0. Determine o domínio da função apresentada a seguir: f(x) = log x (x x + 6) 0. Determine o domínio da função apresentada a seguir: f(x) = log (x ) (x x) 0. Determine o domínio da função apresentada a seguir: f(x) = log ( x) (x ) 06. Determine o domínio da função apresentada a seguir: f(x) = log x 07. Determine o domínio da função apresentada a seguir: f(x) = log (sen x) 08. Determine o domínio da função apresentada a seguir: f(x) = log 0 (x ) + log 0 (x ) 09. Determine o domínio da função apresentada a seguir: f(x) = log 0 [(x ) (x )] 0. Determine o domínio da função f(x) = log ( x ).. Dê, em R, o domínio da função f(x) = log x ( x x + ). A função y = log (x + x ) admite como domínio: {x / < x < 0} {x / x > 0} {x / x < } {x / x < ou x > 0}. Calcule os valores de x para os quais existam os logaritmos: x log (x ) log x. Os valores de x para os quais a função f(x) = log ( x) (x 8x + ) exista são: x < e x x < ou x > x > x < ou x > e x < x <

10 . Assinale a alternativa que indica o domínio da função f(x) = log x ( senx ). π π x / + kπ x < + kπ, k 6 6 π π x / + kπ < x < + kπ, k 6 6 π π x / + kπ < x + kπ, k 6 6 π π x / + kπ x + kπ, k 6 6 π π x / + kπ < x < + kπ, k 6 6. IME-RJ Considere o sistema de equações dado por: log α + log9 β = 0 log9 α log β = 0 onde α e β são números reais positivos. Determine o valor de P = αβ. 7. Mackenzie-SP Os valores de k para que o domínio da função f(x) = log (x + kx + k) seja o conjunto dos números reais, são tais que: k < 0 < k < < k < k > < k < 8. Mackenzie-SP A raiz real da equação log (9 x ) = x é: log log log log log 9. FGV-SP A função f(x) = log (x 6x + k + ) é definida para todo x real se, e somente se: k > k < k k < k < 0. Determine o domínio em da função: 0 f( x) = log x x. Fuvest SP Sendo log b log a =, o quociente b a vale: Sendo log = a, é correto afirmar que log 6 é igual a: 8a a a a a. Sendo log 0 = 0,0 e log 0 = 0,8, então podemos afirmar que log 0,8 é igual a: 0,78,6 0,08 0,6,08. Sendo Log a = m e Log a = n, determine: log a 0 log a 0, log a 0 log a 0 log a,. Mackenzie-SP Se log x = 0,, log y = 0, e log z = 0,, o valor de log x y é: z 0, 0, 0, 0,60 0, 6. Mackenzie-SP Se log 9 = a, então log 6 a é: 7. Fuvest-SP Sendo log a 0,69 e log a,0, calcule o valor aproximado de log a. 8. Seja log N = [ log ( b + + log ( b log b + ]. Determine N em função de a, b e c. 9. Considerando log = 0,, o valor de log, é igual a: 0,9 0, 0,6 0, 0,8 0. Se log A = log 7 + log log, então A é igual a: 0 9 7

11 PVD-07-MAT-6. Sendo log = 0,00 e log = 0,77, o valor mais próximo de log 6 é:,,,,680,67. Se log = 0,0 e log = 0,8, então log 6 é igual a: 0,78,6,06,6,8. Sendo log 0 = x e log 0 = y, o valor de Log 0 (9 8) é: y + x y x y x zero y + x. Seja a função real definida por: f(x) = log (x² x ). O valor de f(0) f(7) é: log log 00 log log 9 +. log log 9 log 6. Se log α = 6 e log β =, então α β é igual a: β α β ITA-SP Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos, numa dada base k, são números primos satisfazendo log k (xy) = 9, log k (x/z) =. Então, log k (xyz) é igual a: Unimep-SP Sendo log = 0,, determine o valor da expressão log 6 + log 8 log,,7,6,0 8. Se log a 8 = m, então log a é igual a: m m m m m 9. Sendo log M = log A log B +, m é igual a: A A + B B + A A B B + A B 0. Sendo log = 0,, teremos que valor para log 6 + log 8 + log? 8, 0,9 0,8 0,. Se log m = log, então m é: 0,0, Resolva no campo real o sistema: x+ y = 8 log x + log y =. Sendo 0 < m, o valor de log m log m m m m m. O valor de y = log log... é: n vezes n n maior que n n menor que n m ( ) m é:

12 . ITA-SP a Aplicando logaritmos, desenvolva y = m b c m a n b c 6. A solução da equação log x + log (x + ) = é: 7. O logaritmo de base, do número (x x) é igual a. O valor da soma dos valores de x que satisfazem a igualdade é: 0 8. Resolvendo a equação log (x ) log = 0, encontramos x igual a: 7 9. Qual o valor de x na equação log 7x + + log x + = + log? 0 um múltiplo de 0. um número par menor que. divisor de qualquer número inteiro um número ímpar maior que 0. Indica-se por log x o logaritmo decimal de x. Se + log x = log, então x é igual a: 6,6 0, 0,6 0,06. Mackenzie-SP Adotando-se log = 0,, o valor de x real que satisfaz x x a equação = 0 pertence ao intervalo: ] ; 0[ 0; ]; [ ]; [.. Os valores de x e y que satisfazem ao sistema: log x + log y = são, respectivamente: x y = e e e e 9 e. Mackenzie-SP Se log m log m = log, m > 0, o valor de m é: 0. A equação log x 6 log x + 8 = 0 é satisfeita por dois valores de x, cuja soma é igual a: Resolva a equação log (x ) =. 6. Resolva a equação log x 6 =. 7. Resolva a equação log 8 (x ) = Resolva a equação log 7 (x ) = log 7 (x). 9. O conjunto solução da equação: (log x) + log x =, em, é:, 0 00 {0}, 0 0 * + {, } 60. UFScar-SP Calcule os valores de x, tais que: log (8 + x x ) = + log (x ). 6. UFSC O valor de x compatível para a equação log (x ) + colog (x ) = é:

13 PVD-07-MAT-6 6. Resolva a equação log (x + x) =. 6. Resolva, em, a equação: log (x + 6) log (x + ) =. 6. AFA-RJ Se x > é a solução da equação log x + log x + = log, então x vale: 6. Fesp-PE A solução da equação + log (x ) = log (x ) é: { {, } {, 0} {0, } {} 66. Resolva, para x e y reais, o seguinte sistema: log0 x + log0 y = x y = 67. Determine os reais x e y que satisfazem o sistema: log x + log y = log x log y = 68. Fuvest-SP Considerando o conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação x (log x x + log ) + log = 0 é: 7 Ø {0, } {0} {, 0} {} 69. O número de soluções reais da equação e dn x = x é: ITA-SP Para b > e x > 0, resolva a equação em x: (x) log b (x) log b = 0 7. Resolver a equação log 9 x + log 7 x log x =. 7. Obtenha o conjunto dos valores de x, x, que satisfazem a igualdade: log ( x ) log ( x ) log ( x + ) = log ( x 9) A solução da equação log x + log x = é: e e e e 9 e 8 7. Mackenzie-SP Se o par de números reais (x; y) é solução do sistema x y = x + y = log log 9, então o valor de x + y é: Resolva a equação log 6 x + log x + log x = Mackenzie-SP Se log x + log x =, então: x = x = x = x = x = 77. O valor de log 7 log log 7 é: Mackenzie-SP Se =, logx log log log8 8 x x x então log x vale: Se + + =, então x vale: log x log x log6 x

14 80.FGV-SP Admita que oferta (S) e demanda (D) de uma mercadoria sejam dadas em função de x real pelas funções S(x) = x + x + e D(x) = x + 0. Nessas condições, a oferta será igual à demanda para x igual a: 8. log log log log+ log log log log log log Se, b = log 0 e, o produto (a b é igual a: log log log log log 8. O logaritmo de um número na base 6 é. Então o logaritmo desse número na base é: Sendo m = log 7 e n = log, determine m em função de n. 8. Resolva a equação ( log x ) log x = log x Resolva a equação log x + log x = Sendo log = a e log = b, o valor de log 0 60 é igual a: a+ b+ a + a + b + a + b+ a+ b + a+ b+ a+ b a b 87. Utilizando-se log = 0,0 e sendo x = log 7 log 7 6 log 6 + pode-se concluir que x é igual a: Sendo log 0 = 0,0 e log 0 = 0,8, determine o valor de: log log 89. Sendo log =, determine: log log Determine o valor da expressão y = log log log Se log k = a, então log 6 k é igual a: a + a a a a 9. Mackenzie-SP Se a e b são números reais não nulos, tais que a + b = 8ab, então, adotando-se log=, o valor de log ( ) a+ b é: ab Resolva a equação log x = log 6 log log 7 log loga x A expressão E = é equivalente a: logna x log a x log n a x log n a + log a n + log n a a log a (n + 6

15 9. UFPR Sabendo que log = m, o valor de log 6 6 é: m m m + m 00. PUC-SP O gráfico da função f(x) = log k x é: m m 6 m m m ( + m) 96. Observe o gráfico a seguir. Nessas condições, pode-se afirmar que: k = k = 0 < k < k < k > 0. UFSCar-SP A curva a seguir indica a representação gráfica da função f(x) = log x, sendo D e E dois dos seus pontos. A função que esse gráfico representa é: f(x) = x f(x) = x f(x) = log x f(x) = x f(x) = log / x 97. Esboçe os gráficos das funções logarítmicas a seguir: f(x) = log (x ) f(x) = log / (x + ) 98. Esboçe os gráficos de: f(x) = log 0, (x ) f(x) = log (x + ) 99. Mackenzie-SP A figura mostra os esboços dos gráficos das funções f(x) = x e g(x) = log (x + ). A área do triângulo ABC é: Se os pontos A e B têm coordenadas respectivamente iguais a (k, 0) e (, 0), com k real e k >, a área do triângulo CDE será igual a 0% da área do trapézio ABDE quando k for igual a: 0. Fuvest-SP Os pontos D e E pertencem ao gráfico da função y = Log a x, com a > (figura a seguir). Suponha que B = (x, 0), C = (x +, 0) e A = (x, 0). Então, o valor de x para o qual a área do trapézio BCDE é o triplo da área do triângulo ABE é: PVD-07-MAT

16 0. Vunesp Considere as funções f(x) = x e g(x) = log x, para x > 0. Represente, num mesmo sistema de coordenadas retangulares, os gráficos das duas funções, colocando os pontos cujas abscissas são x =, x =, x = e x = 8. Baseado na representação gráfica, dê o conjunto 0. Unifesp A figura a seguir representa os gráficos das funções f(x) = log 0 x e g(x) = x x. solução da inequação x < log x, e justifique por que π < log π. 0. Unirio-RJ O gráfico que melhor representa a função real f(x) = dn ( x ) é: Pode-se afirmar que a equação x x = log 0 x: não tem solução. tem somente uma solução. tem duas soluções positivas. tem duas soluções cujo produto é negativo. tem duas soluções cujo produto é nulo. 06. FGV-SP O gráfico que representa uma função logarítmica do tipo f(x) = + a log (b x), com a e b reais, passa pelos pontos de coordenadas 0, 6 e,. Esse gráfico cruza o eixo x em um ponto de abscissa: ESPM-SP A curva abaixo representa uma parte do gráfico da função f(x) = log (k x), com k > 0. A área da região sombreada vale: 8 6, 8, 0, 9

17 08. Unifor-CE Na figura a seguir, te-se o gráfico da função f, definida para todo x > 0 e dada por f(x) = k + log t x. Se AO = BC, log a = e log b =, então c vale: UFRN Na figura a seguir, estão esboçados os gráficos das funções y = log x e y = x. Se f() = e f() = 0, então as constantes reais k e t são tais que: k + t = 0 k = t k = t k = t 09. Unimep-SP Considere as funções f(x) = log x e g(x) = log (x). Com relação aos seus gráficos, pode-se afirmar que: se interceptam num único ponto. não se interceptam. coincidem. se interceptam em dois pontos. são simétricos em relação ao eixo das abscissas. 0. Unisul-SC Sobre os gráficos das funções y = x e y = log x, pode-se afirmar que: O gráfico da função que está representado em negrito é simétrico ao gráfico da função y = log x em relação à reta y = x. A função que corresponde ao gráfico em negrito é: y = x y = x y = x y = x. UFRGS-RS Na figura a seguir, está representado o gráfico da função f(x) = log a x. ambos passam pelo ponto (,0). são simétricos em relação ao eixo y. são simétricos em relação à reta y = x. ambos passam pelo ponto (0,). são simétricos em relação à reta y = x.. Unimontes-SP A figura a seguir representa, no plano cartesiano, um esboço do gráfico de y = log x. PVD-07-MAT-6 A área da região sombreada é:,,,8 9

18 . A figura a seguir representa melhor o gráfico da função: f(x) = log 0 (x + ) f(x) = + log 0 (x + ) f(x) = + log 0 (x + ) f(x) = x + 0, 9 f(x) = + x + 0, 9. Mackenzie-SP Se na figura temos os esboços dos gráficos das funções f(x) = log x e g(x) = ax + bx + c, então g f 8 é igual a:. Resolva as inequações: log (x 8) > log 0, (x ) log 0, ( x) log (x 6) > log (6 x) log (x ) + log (x ) < log (x + ) log (x + ). Determine, em, o conjunto solução de cada uma das inequações: log (x ) log ( x) > log (x + ) + log (x 7) log 0,7 (x ) log 0,7 (x ) log (x ) + log (x + ) <. O conjunto solução da inequação log (log x) > 0, é: x / 0 < x < {x / 0 < x < } {x / x > 0} x / < x < {x / x > } 6. Dê o domínio da função y = log( x ) Resolva a inequação logarítmica log (x ) log (x ) > log (x ) 6 7. Determine o conjunto solução da inequação log (x ) < 8. Determine as soluções reais da inequação log x + log (x + ) log 9. Resolva a inequação: 0 < log (x ) < 0. Resolva, em R, a inequação logarítmica log (x ) < log (x + 7). Resolva a inequação log (x ) <. Determine o conjunto solução da inequação (Log x) log x + > Resolva, em, a inequação x > 0. x Determine o conjunto solução, em, da sentença x log x > 8. Fuvest-SP Seja função f(x) = log (x + ) log (x ). Os valores de x para os quais f está definida e satisfaz f(x) > são: x < 7 x > x > < x < < x < 7 9. O conjunto solução da inequação log (log x) 0 é: x / x x x < / {x / x > 0} x / 0 < x

19 PVD-07-MAT-6 0. UnB DF Assinale a alternativa falsa: log 8 > log 7 log 0, 0, > log 0, log 0, > log 0, log = log 0, < log 0,. Resolvendo a inequação log 0, (x 6) < log 0, (x 8), tem-se x real tal que: x < x 6 x > 8 x x. Determine o conjunto solução da inequação: log (x ) + log (x + ) <.. UFMS O conjunto solução da inequação (log x) log x 0 no universo real é: x / x {x / 0 < x } {x / 0 < x } {x / x } {x / x }. Vunesp Seja x um número real tal que 6 < x < 8. Então: log x < log x log x = log x < log x log x = 0 log x = log x. ITA-SP Resolva a inequação log 6. [log (x )] > 0. A inequação log x + + log x + + tem como solução o seguinte conjunto: {x / < x 0} {x / x } {x / < x } {x / 0 x } {x / x 0} 7. Em, o conjunto solução da inequação log / x log / x é: + 0 ; 0 ; 6 ; 6 ; 6 6 ; 8. Resolva a inequação log x > log x Supondo m uma constante real, 0 < m <, encontre todos os números reais x que satisfazem a inequação log m (x + m x ) + log m m m ITA SP O conjunto solução da inequação: log x [( x) x] < log x [( + x) x ] é dado por: x / < x < {x / 0 < x < } x / 0 < x < x / 0 < x < {x / 0 < x < }. Fuvest-SP A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de 0 até 8,9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula E I = = log0, em que E é a energia liberada no E0 terremoto em quilowatt-hora e E 0 = 7 0 kwh. Qual a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter? Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada?. Mackenzie-SP O volume de um líquido volátil diminui 0% por hora. Após um tempo t, seu volume se reduziu à metade. O valor que mais se aproxima de t é: (Dado: log = 0,0) h0 h0 h6 h06 h. Vunesp A escala de ph, que mede a concentração de íons de hidrogênio em soluções, vai de 0 (o grau mais ácido) até (o grau mais alcalino). Atualmente, a água dos oceanos é meio alcalina, com ph de 8,. Dependendo da queima de combustíveis fósseis, o ph dos oceanos pode cair para 7,9 em 00. A função f(x) = log 0 (x) fornece o ph de uma solução em função do número x de íons de hidrogênio (H O). Com base nessas informações, determine a porcentagem estimada de aumento dos íons de hidrogênio nos oceanos de hoje para 00. (Use a aproximação log 0 (,) = 0, ou, equivalentemente, 0 (0,) =,)

20 . Unifor-CE Utilizando a tabela a seguir, conclui-se que o valor de 0 é: 0,,6,8,99, N Log N,6 0,,8 0,,99 0,, 0,,6 0,. UFG-GO (modificado) Um capital aplicado é acrescido de % ao final de cada ano. Quantos anos são necessários para que o montante atinja, no mínimo, cinco vezes o capital inicial? (Dado: log = 0,00) 6. Unicamp-SP (modificado) Considere que certo país troca de moeda cada vez que a inflação acumulada atinge a cifra de 900%. A nova moeda vale sempre.000 vezes a antiga. Com uma inflação de % ao ano, em quantos anos esse país trocará de moeda? (Use log = 0,) 7. Vunesp Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural a se desintegrar (emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo com inicialmente m 0 gramas de massa se decomponha segundo a equação matemática m(t) = m 0 0 t/70, em que m(t) é a quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos). Usando a aproximação log = 0,, determine: log 8; quantos anos demorará para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial. 8. Unicamp-SP As populações de duas cidades, A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções A(t) = log 8 ( + t) 6 e B(t) = log (t + ), em que a variável t representa o tempo em anos. Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t = e t = 7? Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior que a da outra. Determine o valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante. 9. Segundo uma pesquisa, após x meses de constatação de uma epidemia, o número de pessoas por ela atingida é dada pela expressão f( x) = x +. Supondo log = 0,0 e log = 0,8, daqui a quanto tempo, aproximadamente, o número de pessoas atingidas por essa epidemia será de.000? 0. Vunesp O nível sonoro N, medido em decibéis (db), e a intensidade I de um som, medida em watt por metro quadrado (W/m ), estão relacionados pela expressão: N = log 0 (I). Suponha que foram medidos em certo local os níveis sonoros, N e N, de dois ruídos com intensidades I e I, respectivamente. Sendo N N = 0 db, a razão I I é: Se N(t) = N 0 e k t, t > 0 e N() = N 0, então o valor de k é: log e log e log e log e log e. Dados log = 0, e log = 0,, determine o valor de x, pertencente a, que satisfaz a equação 9 x+ =.. UEL PR Um empresário comprou um apartamento com intenção de investir seu dinheiro. Sabendo-se que esse imóvel valorizou % ao ano, é correto afirmar que seu valor duplicou em, aproximadamente: (Dados: log 0 0,0 e log 0 7 0,8) anos. 6 anos e 7 meses. anos e meses. 7 anos e 6 meses. anos.. Unicamp-SP O decaimento radioativo do estrôncio 90 é descrito pela função P(t) = P 0 bt, onde t é um instante de tempo, medido em anos, b é uma constante real e P 0 é a concentração inicial de estrôncio 90, ou seja, a concentração no instante t = 0. Se a concentração de estrôncio 90 cai pela metade em 9 anos, isto é, se a meia-vida do estrôncio 90 é de 9 anos, determine o valor da constante b. Dada uma concentração inicial P 0, de estrôncio 90, determine o tempo necessário para que a concentração seja reduzida a 0% de P 0. Considere log 0,.

21 . UEPE Suponha que a taxa de juros de débitos no cartão de crédito seja de 9% ao mês, sendo calculado cumulativamente. Em quantos meses uma dívida no cartão de crédito triplicará de valor? (Dados: dn,08 e dn,09 0,09) 6. Fatec-SP No início de uma temporada de calor, já havia, em certo lago, uma formação de algas. Observações anteriores indicam que, persistindo o calor, a área ocupada pelas algas cresce % a cada dia, em relação ao dia anterior. Nessas condições, se, em certo dia denominado dia zero, as algas ocupam.000 m, aproximadamente em quantos dias elas cobririam a superfície de.600 m do lago? (Use em seus cálculos log,0 = 0,0 e log = 0,0) 7. Vunesp A expectativa de vida em anos, em uma região, de uma pessoa que nasceu a partir de 900, no ano x, sendo x 900, é dada pela seguinte sentença L(x) = (99 log 0 x 6). Considerando log 0 = 0,, uma pessoa dessa região que nasceu no ano 000 tem expectativa de vida de: 8,7 anos. 68, anos.,6 anos. 7, anos. 6, anos. 8. UFPB-PB Sabendo-se que, neste século, o número de habitantes de uma determinada cidade, no ano x, é estimado pela função pode-se afirmar que o número estimado de habitantes dessa cidade, no ano de 00, estará entre:.000 e e e e e FGV-SP É consenso, no mercado de veículos usados, que o preço de revenda de um automóvel importado decresce exponencialmente com o tempo, de acordo com a função V = k x t. Se 8 mil dólares é o preço atual de mercado de um determinado modelo de uma marca famosa de automóvel importado, que foi comercializado há anos por 0 mil dólares, depois de quanto tempo, a partir da data atual, seu valor de revenda será reduzido a 6 mil dólares? É dado que log = 0,. anos 8 anos 7 anos anos 6 anos 60. UCS-RS A quantidade C s de carbono no sangue humano, medida em µg/00 ml, aumenta com a quantidade média Cm de carbono no ar, medida em µg/m, de acordo com a fórmula C s = A logc m + B, em que A e B são constantes, C m 00 e log C m denota o logaritmo decimal de C m. No quadro a seguir, pode ser vista a relação entre dois valores de C m e C s. C m C s Os valores das constantes A e B e da quantidade de carbono no sangue humano, quando a quantidade média de carbono no ar é µg/m (supondo log = 0,), são, respectivamente: 60, 0 e 6 0, 60 e 0, 60 e 60, 0 e 6 60, 0 e 0 PVD-07-MAT-6

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23 Matemática 6 Gabarito 0. D 0. V = 0. E 0. D 0. V = {0; } 06. C 07. B 08. E 09. C 0. A. C. A. E. V = {6}. C 6. V = {} 7. E 8. E 9. V = { ; 0} 0. C. A. V = { ; 0}. 88. B 89. D C B 97. E 98. D B 0. A 0. D(f) = {x / x > } 0. D(f) = { X / 0 < x < ou < x < ou x > } PVD-07-MAT-6 < m 0. A. E. C 6. a =, β= 90 t = 60 min 7. A 8. C 9. D C D D 0. C. B. C. A. B 6. E 7. B 8. C 9. D 0. A. E. D. E. C. k = C q = 7. Perímetro = + Área = 8. C 9. E 0. A. A. E. E. B. V = {x / 0 < x < } 6. D 7. B 8. B 9. A 60. C 6. V = x / x > V = x / x 6. A 6. A 6. B 6. C 66. A 67. D 68. C 69. t > anos 70. E 7. B 7. C 7. B 7. D 7. B 76. C 77. E 78. B 79. A 80. C 8. B 8. C 8. B 8. D 8. A 86. A D(f) = {x / x > } 0. D(f) = {x / < x < } 06. D(f) = {} 07. D(f) = {x / Kp < x < p + Kp, } } 08. D(f) = {x / x > } 09. D(f) = {x / x < ou x > } 0. D(f) = {x / x > e x }. D(f) = {x / 0 < x < }. E. x > e x 0 < x < e x. D. B D 8. D 9. A 0. D = {x / x < 0 ou x > }. C. B. E n m. m + n n + m 0 n m n. B 6. A 7. 0,6 8. N = ( ) 0 b c 9. E 0. C. E. B. A. C. A 6. A 7. D 8. A 9. B 0. D. D. V = {(; ), (; )}. B. A b 6 m m n. Log y = Log a Log b+ Log C

24 6. B 7. C 8. A 9. D 0. E. B. A. B. A. V = {} 6. V = {} 7. V = {} 8. V = {} 9. A 60. V = {} 6. B 6. V = {, } 6. V = {x / x > } 6. A 6. C 66. V = {(0; )} 67. V = {(; )} 68. E 69. E 70. V = 6 7. V = {79} V = 7. E 7. C 7. V = {6} 76. B 77. B 78. E 79. B 80. D 8. C 8. A 8. m = n n 8. V = {; 8} 8. V= ; B 87. E { } y = 9. B 9. A 9. V = {} 9. C 9. A 96. C C 00. B 0. C 0. A 0. V = {x R/ < x < } < p < p < log p 0. E 0. C 06. C 07. B 08. E 09. A 0. C. C. D. A. C. C 6. V = {x / < x < } 7. V = {x / < x < 0} 8. V = {x / 0 < x } 9. V = {x / < x < } 0. V = {x / < x < }. V = {x / < x < 7}. V = {x / 0 < x < ou x > 7}. V = x / x > V = x / 6 < x 7 V = {x / < x < 6} V = {x / < x < } V = {x / x }. V = x / < x V = x / 9 < x < 8 V = {x / x 8} V = V = {x / < x < }. A 6. D = {x / x } 7. V = x / < x < V = x / < x < 8. C 9. D 0. C. B. V = {x / < x < }. A. A. V = {x / < x < 6 ou 6 < x < } 6. A 7. B 8. V = { x / < x < ou < x < } 9. V = x / x 0. E. E = kwh A energia liberada fica multiplicada por E. 69%. C. 8 anos 6. 0 anos 7. log 8 = 0,9 6 anos 8. A () =.000 habitantes B () =.000 habitantes A (7) = habitantes B (7) =.000 habitantes. t = anos; a cidade A terá a maior população dias 0. D. B. x = 7 0. E. b = 9 t =, 9 = 67,8 anos. meses 6. 0 dias 7. D 8. C 9. C 60. D