TRABALHO 01 JCE001 Entrega 08/05 até 16:30

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1 Universidade Federal do Paraná UFPR Campus Avançado de Jandaia do Sul Licenciaturas Disciplina: JCE001 Matemática I Professor: Carlos Galvão Atualização: 24 de abril de 2015 Conjuntos TRABALHO 01 JCE001 Entrega 08/05 até 16:0 Questão 1 Dados A = {0, 1, 2, }; B = {0, 2, 4}; C = {1,, 5} e D = {2, }, Determine: (a) (A B) (C D) (b) (B D) A (c) (A D) (B C) (d) (A C) D (e) (A C) (B D) Questão 2 Considere os conjuntos A ={divisores naturais de 0}; B={múltiplos de 6}; C={múltiplos de }; Universo 1 = N, determine: (a) A C (b) B C (c) A (B C) (d) A B C (e) C C Questão Determine sendo Universo = N; A = {0, 1, 2, } ; B = {0, 2,, 5} ; C = {x x é par menor do que 10} e D = {x x é impar compreendido entre 4 e 10}. (a) A B (d) B C (g) A B (j) B C (m) (A B) (C D) (b) A C (e) B D (h) A C (k) B D (n) C C (c) A D (f) C D (i) A D (l) C D (o) A C C C Questão 4 Em uma certa cidade são consumidos dois produtos: o sabonete S e o perfume P. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram levantados os seguintes dados: Quantas pessoas foram consultadas? Produto Consumidores S 147 P 126 ambos 5 nenhum 28 Questão 5 Analisando as carteiras de vacinação das 84 crianças em uma creche, verificou-se que 68 receberam a vacina Sabin, 50 receberam a vacina contra Sarampo e 12 não foram vacinadas. (a) Quantas crianças receberam apenas uma vacina? (b) Quantas crianças receberam as duas vacinas? Questão 6 A escolha do novo dirigente do Clube Ilha Vera Cruz conta com três principais concorrentes: Edu Fazenda, Nelson Néris e Vilma da Funcef. Uma pesquisa de rejeição obteve os resultados abaixo: (1) Foram ouvidos 120 sócios votantes e todos rejeitam algum dos principais candidatos; (2) A quantidade de votantes que rejeitam Edu é igual à quantidade de votantes que não rejeitam Edu; () O número de votantes que rejeitam apenas Edu é: [.1] igual ao número dos que rejeitam simultaneamente Edu e Nelson, sem rejeitar Vilma; [.2] metade quantidade de pessoas que rejeitam todos e; 1 Considere 0 N em todo o trabalho. 1

2 [.] um sexto do total de votantes que rejeitam Edu. (4) A quantidade de votantes que rejeitam Nelson é a mesma quantidade de votantes que rejeitam Edu; (5) A quantidade de votantes que não rejeitam Edu é três quartos da quantidade de votantes que rejeitam Vilma; (6) Um terço dos votantes que não rejeitam Edu também não rejeitam Vilma. Calcule 2 a) o percentual de rejeição de cada candidato. b) o percentual de votantes que rejeitam simultaneamente os três candidatos principais. c) o percentual de sócios que rejeitam apenas um (mas qualquer um) dentre os candidatos. Questão 7 Considerando F = {f f é filósofo}, M = {m m é matemático}, C = {c c é cientista}, P = {p p é professor}. Dados: M C - Todos os matemáticos são cientistas; M P e M P - Alguns matemáticos são professores, porém não todos; C F e C F - Alguns cientistas são filósofos, porém não todos; F (C P ) - Todos os filósofos são cientistas ou professores; P C - Nem todo professor é cientista. a) Exprima cada uma das afirmativas abaixo em linguagem de conjuntos, como as expressões acima I. Alguns matemáticos são filósofos, mas não todos II. Nem todo filósofo é cientista III. Alguns filósofos são professores, mas não todos IV. Se um filósofo não é matemático, ele é professor V. Alguns filósofos são matemáticos, mas não todos b) Verifique quais das afirmativas (de I a V) são necessariamente verdadeiras, com base nas afirmações dadas no enunciado. Conjuntos Numéricos Questão 8 Escreva usando as notações de intervalo, conjunto e gráfica (reta) a) O intervalo aberto de extremos 2 e 1 b) O intervalo de extremos e 8 ao qual não pertence, mas pertence 8 c) O intervalo que no qual pertencem 0, 5 e todos os números entre eles d) O intervalo de extremos 5 e 1 no qual não pertence o maior destes extremos e) O intervalo de extremos 2 e 4 que não contém números pares. Questão 9 Dados A = ( 5, 2], B = [ 6, 6] e C = {x R x < 2}, usando as notações de conjunto, intervalo e gráfica, calcule: a) A B C b) A B C c) (A B) C d) A (B C) Funções Questão 10 Considere nos itens a seguir que x A e y B. Represente as relações a seguir por meio de diagramas de Venn (flechas) e responda, para cada item: É uma função em A e B? Se é função, quais são os conjuntos domínio, contradomínio e imagem? Caso contrário, por que não é função? a) Os conjuntos A = {1,, 5, 7, 9}, B = {0, 2, 4, 6, 8} e a relação f de A em B, y = x 1. b) Os conjuntos A = { 2, 0, 2, 5}, B = {0, 2, 5, 10, 20} e a relação f de A em B, y = x. c) Os conjuntos A = {1,, 5, 7, 9} e B = {0, 2, 4, 6, 8} e a relação f de A em B, y = 2x 2. 2 Obtenha as quantidades de cada um dos 10 conjuntos a seguir antes de iniciar os itens. Favor usar a seguinte notação: E={rejeitam apenas Edu}; N={rejeitam apenas Nelson}; V={rejeitam apenas Vilma} EN={rejeitam apenas Edu e Nelson}; EV={rejeitam apenas Edu e Vilma}; NV={rejeitam apenas Nelson e Vilma} ENV={Rejeitam os três candidatos}; R E ={todos os que rejeitam Edu}; R N ={todos os que rejeitam Nelson}; R V ={todos os que rejeitam Vilma} 2

3 d) Os conjuntos A = {, 1, 1, } e B = {1,, 6, 9} e a relação f de A em B, y = x 2. e) Os conjuntos A = {16, 81} e B = { 2, 2, } e a relação f de A em B, y 4 = x. Questão 11 Seja a função f, de R em R definida por f(x) = 2x 2 + 5x + m. Sabendo que f() = 0, calcule o valor de f(2). Esta é uma função par? Questão 12 Determine os domínios das funções: a) f(x) = x + 8 4x 16 b) f(x) = x2 2 x 6 c) f(x) = 1 4 x + x 2 ( ) ( ) 2 + x x + 2 d) f(x) = x 2 Questão 1 Determine o conjunto imagem, indique se a função é injetora, e construa um esboço dos gráficos das funções abaixo: a) f : A R onde A = [0, ) x x b) f : A R onde A = ( 2, 5) x 2x c) f : A R x x2 4 onde A = [ 2, 2] d) f : A R onde A = [0, 5) x x 1 Questão 14 Dadas as funções f 1 (x) = x + 6 e g(x) = x x, determine (g f) (4). Questão 15 Seja uma função f de A em B com A = {x Z 4 x 2}, definida por f(x) = 2x. Qual deve ser o conjunto B para que f seja bijetora? Questão 16 Determine os intervalos em que a função f(x) = x 4 4x 26x x é crescente ou decrescente analisando o gráfico abaixo Funções Polinomiais Lineares Questão 17 (UFG-GO) A seguir é descrita uma brincadeira popular para se descobrir a idade de alguém. É pedido a uma pessoa com menos de 100 anos que multiplique por 2 o número do mês de seu aniversário, adicione 5 ao resultado e, em seguida, multiplique por 50 o valor obtido. Depois, ela deve adicionar a própria idade ao número obtido e informar o resultado. Subtraindo-se 250 deste resultado, obtém-se um número X com o qual se descobre facilmente o mês de nascimento N e a idade I da pessoa. a) Obtenha uma expressão matemática de X em função de N e de I b) Descubra o valor de N e de I, se o número obtido for X=829 Questão 18 Um tonel de vinho, com capacidade de 20 litros e uma torneira na base, está completamente cheio. Ao abrir a torneira, o tonel se esvazia a razão de 2 litros por minuto. a) Escreva a função que representa o volume V que resta no tonel em relação ao tempo t em minutos. b) Em quanto tempo o tonel ficará vazio? c) Quais são os possíveis valores de t?

4 d) Qual é o conjunto imagem dessa função? Questão 19 Em uma fábrica de roupas, o custo para a produção de camisas é calculado a partir de um valor fixo de R$ 480,00 mais R$ 0,00 por unidade produzida. Nessa fábrica são produzidos lotes de, no máximo, 1000 camisas, sendo vendido cada lote com 0% de lucro sobre o valor de custo. a) Escreva uma função C(x) que relacione o custo de produção e a quantidade x de peças produzidas; b) Escreva uma função V(c) que relacione o valor de venda de um lote e o custo c de produção; c) Qual é o custo para a produção de um lote com 600 camisas? Por quanto será vendido este lote? d) Determine a função V(C(x)) e) Qual o valor de venda de um lote com 500 camisas? E 85 camisas? Questão 20 Escreva a função na forma f(x) = ax + b e Classifique quanto ao comportamento (Crescente ou Decrescente): a) f( 1) = 1 e f(1) = 9 b) f(2) = 6 e f( 1) = c) f(1) = 4 e f( ) = 8 d) f( ) = e f( 1) = 1 Questão 21 Em uma UTI hospitalar com capacidade máxima de 20 pacientes, o custo médio diário do atendimento, 10000x expresso em reais, em função do número x de pacientes internados por dia é dado por C(x) =. Que x número mínimo de internações deverá ocorrer para que o custo médio diário seja inferior a R$ 50000,00 Questão 22 Calcule os valores de x tal que a) (x + 2)( x 2) > 0 b) (x 1)(x 2)(x + 4) > 0 c) x 2 x + > 0 d) x 1 x Quadráticas Questão 2 Determine os números reais a e b para que a função f(x) = b a x 5 a 2 x2 tenha valor máximo em x = e que esse valor seja 5. Questão 24 Na figura estão representados um sistema de eixos coordenadas com origem O, o gráfico de uma função real do tipo f(x) = ax 2 + bx + c e o quadrado OMNP com 16 unidades de área. Sabe-se que o gráfico f(x) passa pelos pontos P, N e pelo ponto de encontro das diagonais deste quadrado. Qual é o valor de a + b + c? Questão 25 Determine o conjunto solução de x x x x 1 > 2 2 4

5 Questão 26 Calcule o intervalo no qual existe a função f(x) = x 2 x 2 + x 6 Questão 27 Um jogador de vôlei dá um saque jornada nas estrelas. A bola descreve uma trajetória parabólica segundo a função y = x 2 + 6x + 1, sendo x e y dados em metros. O ginásio tem 25 metros de altura e a quadra tem formato retangular com dimensões de 10m de comprimento (lateral) por 5 m de largura (linha de fundo). O saque é feito rente à linha de fundo com altura inicial de 1 m e desloca-se paralelamente à linha lateral da quadra. Justificando sua resposta com cálculos, qual das alternativas abaixo ocorre (não será considerada resposta sem justificativa): ( ) A bola cai na quadra do próprio time do jogador ( ) A bola cai na quadra do adversário ( ) A bola toca no teto, invalidando o lance. ( ) A bola cai sobre a rede da quadra ( ) A bola cai além da área do adversário. Questão 28 Num voo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia aérea cobra R$ 240,00 por pessoa quando todos os lugares estão ocupados. Se existirem lugares vagos, será adicionado ao preço de cada passagem uma taxa de R$ 6,00 por cada lugar não ocupado. Quantos devem ser os lugares ocupados para que o lucro da companhia seja máximo? Modulares Questão 29 De acordo com a definição, calcule: a) 2 10 b) 4x x, com x = 1 Questão 0 Considerando a função f(x) = 10x 5, calcule ( ) a) f(1) + f( 1) 1 b) f c) f 10 ( ) 1 f 10 ( ) 2 10 d) f ( ) 1 2 f(2) Questão 1 Resolva a inequação 1 x < 5. Questão 2 Esboce o gráfico da função f(x) = x 2 + 2x + 1 x 6. Obs.: Separe os intervalos de acordo com as funções em cada módulo Questão Determine, em R, o conjunto solução da equação x2 5 4 x = 1 4 Questão 4 Na Serra Catarinense, em um certo dia do inverno, a temperatura assumiu os valores t C, com 2t 5 1. Quais foram as temperaturas, máxima e mínima, registradas neste dia? Funções Exponenciais Questão 5 Determine o valor das expressões a) , , 0002 Questão 6 Encontre valores x R tais que 125 x+1 = b) 0, 0001 (0, 001) (0, 001) + 10 (0, 1) Questão 7 Uma lagoa tem sofrido as consequências da poluição do ambiente e os pescadores reclamam, há muito tempo, da diminuição da quantidade de peixes. Foi contratado um pesquisador que, observando o desenvolvimento da vida aquática, concluiu que a quantidade n de peixes poderia ser calculada por n(t) = t 2, com t em anos, a partir do momento desta conclusão. Em quantos anos o número de peixes será 9271? Questão 8 Devido à desintegração radioativa, uma massa m 0 de uma substância é reduzida a uma massa m em t anos, de acordo com a fórmula m = m 0 2 t Em quantos anos 5g dessa substância serão reduzidos a 1,25g? { 2 x = 8 y+1 Questão 9 Resolva 9 y = x 9 Questão 40 Determine o conjunto solução da inequação 2 2x+2 0,75 2 x+2 < 1 5

6 Funções Logarítmicas Questão 41 Complete a tabela de logaritmos de base 10 com uso de propriedades, justificando os cálculos, evitando uso da calculadora e/ou tabelas. Dê preferência ao uso de 4 casas decimais log 1 = 0 log 2 = 0,010 log = 0,4771 log 4 = log 5 = 0,6990 log 6 = log 7 = 0,8451 log 8 = log 9 = log 10 = log 11 = 1,0414 log 12 = log 1 = 1,119 log 14 = log 15 = log 16 = log 17 = 1,204 log 18 = log 19 = 1,2788 log 20 = log 21 = log 22 = log 2 = 1,617 log 24 = log 25 = log 26 = log 27 = log 28 = log 29 = 1,4624 log 0 = log 1 = 1,4914 log 2 = log = log 4 = log 5 = log 6 = log 7 = 1,5682 log 8 = log 9 = log 40 = log 41 = 1,6128 log 42 = log 4 = 1,65 log 44 = log 45 = log 46 = log 47 = 1,6721 log 48 = log 49 = log 50 = Questão 42 Calcule, usando a tabela acima quando necessário. a) log 1,4 b) log 6 6 c) log 0,01 e) log 8 4 f) log 25 0,2 g) log 2 64 h) log 5 0, j) log k) log l) log 210 m) log 0,6 o) log 2,5 p) log q) log 216 s) log , t) log d) log i) log n) log 1,2 r) log 2 [log 81] Questão 4 Resolva as equações e expressões ( ) 1 a) x = log 1 log2 4 log 5 5 b) x = log log c) x = log log 0,01 10 d) (1,12) x = e) log [7 + log 9 (x 1)] = 2 f) log(x + 4) + log(x 4) = 2 log g) 2 log 2 (x+1) = h) x = log 1 + log 0,01 log 2 ( 1 64) log4 8 i) x = 2 5+log 2 + log 2 7 log 2 j) x = [log(5 log 100)] 25 Questão 44 Suponha que um carro sofra desvalorização de 10% ao ano. Em quanto tempo o valor do carro reduzirá a um terço do valor inicial? Questão 45 As populações de duas cidades A e B são dadas em milhares de habitantes pelas funções A(t) = log 8 (1+t) 6 e B(t) = log 2 (4t + 4) onde a variável t representa o tempo em anos a) qual a população de cada uma das cidades para t = 1 e t = 7? b) Após um certo instante t, a população de uma das cidades será sempre maior do que a outra. Determine o valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir deste instante. c) Faça um esboço dos gráficos de crescimento destas populações Questão 46 A escala de ph, que mede a concentração de íons de hidrogênio em soluções vai de 0 (o grau mais ácido) até 14 (o grau mais alcalino). Atualmente a água dos oceanos é um pouco alcalina, com ph de 8,1. Dependendo da queima de combustíveis fósseis, o ph dos oceanos pode cair para 7,9 em A função f(x) = log x fornece o ph de uma solução em função do número x de íons de hidrogênio (H O). Com base nestas informações, determine a porcentagem estimada de aumento dos íons de hidrogênio nos oceanos de hoje para

7 Funções Trigonométricas Questão 47 Complete a tabela abaixo com os valores exatos usando frações, radicais, ângulos notáveis, soma de ângulos. NÃO USAR REPRESENTAÇÕES DECIMAIS APROXIMADAS. Ângulo (rad) π SEN COS TAN 12 π 6 π 4 π 5π 12 Questão 48 Num triângulo ABC, são dados A = 45, B = 0 e a + b = Calcule o valor de a. Questão 49 Dois lados de um triângulo medem 10 cm e 6 cm e formam um ângulo de 120. Calcule a medida do terceiro lado. Questão 50 Considerando a figura, qual o valor de sena. Questão 51 Considere uma circunferência de raio r e l a medida do lado de um decágono regular inscrito nessa circunferência. Determine l em função de r. (α = 60 n ) Questão 52 Uberaba, Uberlândia e Araguari são cidades do Triângulo Mineiro localizadas conforme a figura. A partir dos dados fornecidos, determine a distância aproximada de Uberaba à Uberlândia. (sen6 = 0,59; cos 6 = 0,81; sen12 = 0,74; cos 12 = 0,67). Questão 5 Escreva a expressão geral dos arcos congruentes aos arcos dados (a resposta deverá ter a forma em graus e em radianos). a) 420 b) 9π 4 rad Questão 54 Calcule o valor. Use os valores notáveis, resolução do 1 o quadrante e arcos côngruos. 7

8 a) tan 00 b) tan 5π 6 Questão 55 Determine tan x sabendo que π 2 x 2π e senx = 5 Questão 56 Determine o valor de tan 195, usando propriedades e ângulos notáveis. 1 Questão 57 Se P = 1 + sen 2 x cos 2 x sec 2 x csc 2, demonstre que P = 2. x Dica: Escreva tudo em termos de 1 + sen 2 x e 1 + cos 2 x. Questão 58 Resolva 4 cos x + sec x = 8 Questão 59 Calcule sen2x, sendo dado tan x + cot x =. Questão 60 Prove que 1 tan 2 x 1 + tan 2 = cos 2x x 8