Matemática I. Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D. Prof. Rodrigo Leone, D.Sc. Elaborado por. Seção 7. Versão

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Ágatha Leveck Neves
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1 Matemática I Elaborado por Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D. Prof. Rodrigo Leone, D.Sc. Versão

2 Conteúdo da Seção Função Eponencial Função Logarítmica 2

3 A função eponencial tem a seguinte forma b Função Eponencial Forma Geral em que: b é um número real chamado de base (constante) com b > 0 e b 1 é um número real denominado epoente (variável) O gráfico da função varia de acordo com o valor da base (b), podendo ser decrescente ou crescente. 3

4 Função Eponencial Representação Gráfica base > 1 b Para qualquer base, o valor da função no ponto 0 é igual a (0;1) 4

5 Função Eponencial Representação Gráfica 0 < base < b Para qualquer base, o valor da função no ponto 0 é igual a 1. (0;1) 5

6 Função Eponencial Representação Gráfica base Para base 1, a função é uma reta paralela ao eio das abscissas passando Pelo ponto (0;1). 6

7 Função Eponencial Representação Gráfica

8 Função Eponencial Representação Gráfica

9 9 Função Eponencial Representação Gráfica

10 Função Eponencial Representação Gráfica

11 Função Eponencial Representação Gráfica

12 Função Eponencial Aplicações - Matemática Financeira Desejamos investir uma quantia em dinheiro durante um único período de capitalização a uma taa de remuneração (juros) pré-determinada. Seja C Capital Inicial Investido(Principal) r Taa de juros epressa em decimal M Saldo (Montante), após adicionarmos os juros 12

13 Função Eponencial Juros Compostos Para calcularmos o Montante no fim de um único período de aplicação (M 1 ), temos que adicionar ao Capital Inicial (C) os juros proporcionados pelo investimento nesse período (Juros 1 ) Matematicamente, temos M 1 Capital + Juros1 C + r C C (1 + r) 13

14 Função Eponencial Juros Compostos Se decidirmos reaplicar por mais um período, teríamos: M 2 M1 + Juros2 M1 + r M1 M1 (1 + r) Em função do Capital Inicial, teríamos [ ( ) ] 2 C 1 + r (1 + r) C (1 M + 2 M1 ( 1 + r) r) 14

15 Função Eponencial Juros Compostos Se decidirmos reaplicar por mais um período, teríamos: M 3 M2 + Juros3 M2 + r M2 M2 (1 + r) Em função do Capital Inicial, teríamos [ ( ) ] 2 3 C 1 + r (1 + r) C (1 M + 3 M2 ( 1 + r) r) 15

16 Generalizando, para n períodos temos Função Eponencial Juros Compostos M C ( 1 + r) n n 16

17 Caso LCL Bank A filial brasileira do LCL Bank oferece uma opção de investimento com remuneração anual de 15% a.a. Qual o montante de um investimento de R$ 1.000,00 por um prazo de 5 anos? 17

18 Caso LCL Bank Solução Capital R$ 1.000,00 Taa de juros 15% a.a. 0,15 a.a Período de Aplicação 5 anos M M M M ( (1,15) 0,15) , ,

19 Função Logarítmica Logaritmo Dado um número real positivo, seu logaritmo na base b é o número real, tal que: b onde b > 0 log e b b, 1 19

20 Sejam 0 < b 1 e > 0 e > 0 Função Logarítmica Propriedades dos Logaritmos log b ( ) log b + log b log log log b b b n n log nlog b b 1 log n -log b b, n > 0 20

21 Função Logarítmica Operações com Logaritmos-Eercícios Calcule os valores das seguintes epressões, sabendo que log10 3 0,477 e log10 5 0,6989 log2 8 + log log10 30 log

22 22 Função Logarítmica Operações com Logaritmos-Eercícios ( ) ( ) 1, , log 5 log 10 5 log 50 log 1, , log 3 log 10 3 log 30 log log 8 log

23 Função Logarítmica Logaritmo: Mudança de Base Eemplo log b log log b b 1 1 b log log log

24 Função Logarítmica Dado a R, com 0 < a 1, chamamos Função Logarítmica de base a a função f : * R + R, sendo, f ( ) loga Pela definição de logaritmo, o conjunto Imagem da Função Logarítmica são os Reais maiores que zero. 24

25 Função Logarítmica Representação Gráfica base > 1 log b log2 log4 25

26 Função Logarítmica Representação Gráfica 0 < base < 1 logb log 1 4 log

27 Função Logarítmica Representação Gráfica log 3 ( ) log 1 ( ) 3 27

28 Função Logarítmica Representação Gráfica log log( + 1) 28

29 Função Logarítmica Representação Gráfica log3 log

30 Função Logarítmica Função Eponencial - Representação Gráfica 2 log2 30

31 Função Logarítmica Logaritmo Neperiano O logaritmo neperiano, denotado por ln, é o logaritmo na base e b lna e b a O número irracional e, conhecido como número neperiano, vale aproimadamente 2,

32 Função Logarítmica Logaritmo Neperiano ln() 32

33 Funções Eponencial e Logarítmica - Base Neperiana A função eponencial de base neperiana é definida como Gráfico: f ( ) e 33

34 Funções Eponencial e Logarítmica - Base Neperiana e ln 34

35 Função Eponencial Base Neperiana - Gráfico 1 e e e e 35

36 Função Logarítmica Base Neperiana - Gráfico ln ln( ) 2 36

37 Logaritmo Neperiano Representação Gráfica ln( 1 ) ln( 1 ) 1 ln(1 ) 37

38 Caso LCL Móveis Ltda. A LCL Móveis Ltda. modelou as funções de oferta e demanda de seu sofá mais vendido. Essas funções são utilizadas para determinar o ponto de equilíbrio de mercado. Dadas as funções abaio, determine o ponto de equilíbrio, sendo a quantidade (em milhares de unidades), e o preço (em milhares de reais). Esboce o gráfico da oferta e da demanda e faça sua interpretação econômica. Preço de Oferta 9 quantidade Preço de Demanda quantidade 38

39 Caso LCL Móveis Ltda. Ponto de Equilíbrio No ponto de equilíbrio de mercado, a demanda e a oferta têm preços e quantidades iguais Preço Ponto de equilíbrio: 2 e

40 Caso LCL Móveis Ltda. Representação Gráfica O gráfico das funções de oferta e demanda no mesmo sistema de eios Oferta Ponto de Equilíbrio Demanda 40

41 A análise econômica do problema: Caso LCL Móveis Ltda. Interpretação Econômica 0 < 2 ecesso de demanda 2 oferta demanda > 2 ecesso de oferta 41

42 Caso LCL Móveis Ltda. Interpretação Econômica Oferta Ecesso Demanda Ecesso Oferta Demanda 42

43 Caso LCL Pesquisas Ltda. A LCL Pesquisa Ltda. foi contratada para estimar a quantidade de cabeças de gado necessária para alimentar a população brasileira no ano de A população brasileira, levantada pelo censo 2000 do IBGE, era de pessoas e uma taa de crescimento populacional de 2% ao ano é esperada para de 2000 a Em 2004, o rebanho brasileiro era de cabeças e FAO sugere uma relação de 1,0 cabeça de gado por habitante/ano, calcule a taa de crescimento anual do rebanho a partir de 2004, necessária para que a relação recomendada seja alcançada em

44 Caso LCL Pesquisas Ltda. Modelo de Crescimento Populacional Como a taa de crescimento populacional é de 2% ao ano, a população pode ser estimada pela equação abaio: (ano 2000) População (ano) (1,02) 44

45 Caso LCL Pesquisas Ltda. Modelo de Crescimento do Rebanho A taa de crescimento, r, do rebanho é a variável que desejamos encontrar. O modelo de crescimento do rebanho é dado por: (ano 2004) Cabeças de Gado (ano) (1 + r ) 45

46 Caso LCL Pesquisas Ltda. Ponto de Equilíbrio No ponto de equilíbrio a população em 2020 deve manter a relação de 1,0 com o tamanho do rebanho. Logo, População (2020) Cabeças de Gado (2020) ( ) ( ) (1,02) (1 + r ) (1,02) (1 + r ) 16 46

47 Caso LCL Pesquisas Ltda. Ponto de Equilíbrio - Solução (1,02) (1 + r ) , (1 + r ) ,5 (1 + r ) 1, r 16 1, , ,0333 r 3,33% a. a. 47

48 Eercícios Propostos Bibliografia Básica Livro-teto 1 Eercícios , páginas Bibliografia Complementar Livro-teto 1 Eercícios de Aplicação 2.7, de 1 a 2, pp. 56 Eercícios de Aplicação 2.8, de 1 a 12, pp Eercícios de Aplicação 2.9, de 1 a 2, pp. 59 Livro-teto 2 Eercícios 8.2 de 1 a 33, pp Eercícios 8.3 de 1 a 44, pp

49 Bibliografia Básica Livro-teto 1 Capítulo 3 - Funções, Itens a , pp Complementar Livro-teto 1 Seção Função Eponencial, pp ; Seção Função logarítmica, pp ; Livro-teto 2 Seção 8.2 Funções Eponenciais, pp Seção 8.3 Funções Logarítmicas, pp

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