Processo Seletivo Estendido 2016 LISTA FUNÇ~OES - 5

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1 Processo Seletivo Estendido 06 LISTA FUNÇ~OES - 5 Professor: Fernando de Ávila Silva Departamento de Matemática - UFPR Esta lista foi inicialmente elaborada pelo professor Aleandre Trovon UFPR A presente versão possui também algumas alterações feitas pelo professor Lucas Pedroso UFPR Nesta lista de eercícios há problemas algébricos e também de modelagem matemática Em ambas situações o objetivo é recordar e aprofundar o que foi visto no ensino médio a respeito de funções Alguns tópicos mais diretamente relacionados ao assunto serão também trabalhados Quando julgar necessário, utilize uma calculadora, um computador, ou mesmo uma planilha, para fazer estimativas que deem a você uma ideia numérica Matemática é algo que também se aprende junto com outras pessoas Por isso, discuta em grupo, pesquise e debata suas ideias com os colegas Mais importante que conseguir resolver uma questão é pensar e refletir sobre ela Nos itens a seguir, escreva a epressão dada na forma p/q, onde p e q são números inteiros Por eemplo: a 3 3 b c + = = + = 5 d 3 e 0 3 f 5 3 g 8 3 h 6 i j k 6 6 l m 6 n + 3 o Assuma que todas as variáveis representam número reais positivos somente Escreva cada uma das seguintes epressões como um produto ou quociente de potências onde cada variável apareça uma única vez, e todos os epoentes são positivos Veja o eemplo: y z 0 3 y z = 3 y z y z 0 = z y 6 a 3 5 b y 3 c 5 d 3 e 3 f 3 3 g y h 3 y 6 i y 3 0 m a b c ab 3 c 0 j y k y 3 y 3 a b n 0 y 5 o 3 0 ab l a 3 b y

2 3 Nos itens a seguir, escreva a epressão dada como uma fração simples, envolvendo somente epoentes positivos Assuma que todas as variáveis representam números reais positivos somente a + y b y c + y d + e + h r r + s s l y y p + y y c + y f a + b g y + y i + y j a b k y + y m + y a a y n b + o y b q y + y Nos problemas a seguir, calcule o fator A Por eemplo, se y + y = Ay encontramos A = + y Confira: Ay = + yy = y + y a y 3 = Ay b 3 5 = A 5 c 3 = Ay 3 d y = Ay e 3 + = A f y + y = Ay g 3 = A 3 h a 3 + a 3 = Aa i = A 3 j 3 + = A 5 Escreva cada uma das epressões, a seguir, racionalizando o denominador e simplificando onde seja possível Por eemplo: + y + y + y = = y y + y y + y = y, onde assumimos que y 3 a b y d e y y g + h + + i + + j + c + a f + a 6 Considere f, g : [0, + IR definidas por f = e g = Pede-se: a Faça um esboço do gráfico das duas funções num mesmo sistema de coordenadas b Determine os pontos de interseção do gráfico das duas funções c Determine graficamente os valores de para os quais g > f 7 Determine os valores inteiros de e y que satisfazem a equação + + = 3 y+ 3 y y = 8 Resolva o seguinte sistema 8 3 y = 9 9 Resolva as equações: a 0, 533 = 5 6 b 5 3 = c 7 = d 0, + 0, 6 = 0, 9 e = 5 + f 8 = 56 6 g + = 5 h 65 5 = 5 5 i 3+ = 0 5

3 0 Resolva as seguintes equações Uma calculadora e o uso de logaritmos podem ser necessários a = 7 b 5 + = 9 c 6 +3 = 35 d 5 = 873 e = 687 f 7/ = 5, g =, 0 t h 7 3 t = 5 t i 5, 0, 0 t =, 0, 03 t Resolva para : a 3 = 6 +3 b 7 = c = 5 + d 8 + = 3 3 e y = 3 f 0y = 0 Simplifique o máimo possível as epressões a log A + log B log A log B b log0 +7 c 0log A d e 0 log P g log A log A log B log B 3 Resolva para : aqui log = log 0 0 log Q f 0 log B/ h log α 3 log B log α a log3 log + = b log 6 + log + 6 = c log log + = d log log = Encontre a equação da reta l da figura a seguir 5 Nos itens a seguir, encontre o valor da epressão dada: a log 3 8 b log 6 c log 6 d log e log 3 3 f log 7 6 g log h log 7 i log j log 8 k log 6 l log 6 6 Sabendo que a > 0, simplifique as epressões dadas: a log a a b a log a c a +log a d log a a e a log a f a log a a 6 g log a a log a a h a log a 3 i log a a j log a a k a log a a l a log a 7 Determine em cada item: a log 5 = 3 b log 6 = 3 c log = 0 d log 0 = e log 0 = f log 6 = 3

4 8 Determine a em cada item: a log a 6 = 3 b log a 65 = c log a a = d log a 9 = e log a = f log a 5 = 3 9 Determine y em cada item: a log y = 3 b 6 log 6 y = c log y = 9 d y log 6 = 6 e y log 7 = f y log 3 = 0 Determine em cada item: a 5 log 5 7 = b 3 log 5 = 5 c 0 log 7 = 7 d k log k = e 7 log k = k f 8 log 8 = y Efetue as epressões indicadas, simplificando-as o máimo possível a ln e + ln/e b ln e + e ln e c lne ln e + lnln e d e ln e Simplifique completamente as epressões: a ln A 3 ln B + lnab b e ln A ln B/ c lne ln 3 Resolva as equações em : a = e + c e 3 5 = e d lne lne ln e b e 3 = e 5 d 0 +3 = 5e 7 Nos itens a seguir, converta a função dada para a forma P = P o a kt a P = P 0 e 0,t e a = b P = P 0 e 0,97t e a = 3 c P = P 0 e,5t e a =, 7 d P = P 0 e πt e a = e 5 Converta as funções para a forma P o e kt, determinando quais representam crescimento e quais decaimento eponencial a P = P 0 t b P = 0, 7 t c P = 5, 30, t d P = 70, 9 t 6 Resolva as seguintes equações para t a a = be t c ae kt = e bt com k b b P = P 0 e kt d ce αt = be γt/n, onde αn γ 7 Encontre a função inversa de f = 50e 0, 8 Seja f = + e a A função f é crescente ou decrescente? Por quê? b Verifique se f é inversível e, caso seja, calcule sua inversa c Qual o domínio de f? 9 Determine o domínio da função f = log 5 30 Considere m 0, Determine os valores de que satisfazem a desigualdade log m + m + log m + m m

5 3 a Escreva uma equação para o gráfico obtido, através de uma epansão vertical de fator, do gráfico de y =, seguido de uma translação vertical de unidade para cima Esboce o gráfico b Qual é a equação se a ordem das transformações epandir e transladar no item anterior for trocada? c Os dois gráficos são iguais? Eplique o efeito de trocar a ordem das transformações 3 Qual é a diferença se é que eiste entre lnln, ln e ln? 33 Se f = log e g =, obtenha o valor e simplifique as epressões: a f b f c f f d f + f e fg f ffg g gf h f + f + i ggf 3 Se f = ln e g = e, obtenha o valor e simplifique as epressões: a f b fe c gf d f3 + f e f f + f ffg g f + f0 + h fg i ggf 35 Considere as funções: senh = e e cosh = e + e Com base nelas, calcule: a cosh0 e cosh c coshln e senhln e senh e cosh seno hiperbólico de cosseno hiperbólico de b senh0 e senh d senh cosh f senh + cosh 36 Uma das componentes principais de uma contaminação nuclear, como a de Chernobyl, é o estrôncio-90, que decai eponencialmente a uma taa contínua de aproimadamente,7% ao ano Estimativas preliminares, após o desastre de Chernobyl, sugeriram que levaria uns 00 anos até que a região fosse novamente segura para a habitação humana Que percentual do estrôncio-90 original ainda permaneceria após esse tempo? 37 A meia-vida do rádio-6 é de 60 anos a Obtenha uma fórmula para a quantidade Q de rádio que resta após t anos, dado que a quantidade inicial é Q 0 b Que percentual da substância resta após 500 anos? 38 Nos Jogos olímpicos de 968, nos arredores da Cidade do Méico, houve muita discussão a respeito do efeito da grande altitude 37 metros poderia causar aos atletas Presumindo-se que a pressão atmosférica decaia eponencialmente em 0, % a cada 30 metros, de que percentual fica reduzida a pressão atmosférica ao se deslocar do mar até a Cidade do Méico? 39 Uma certa substância radioativa decai eponencialmente de tal modo que, após 0 anos, ainda restam 70% da quantidade inicial Obtenha uma epressão para a quantidade que ainda resta após um número t qualquer de anos Que quantidade ainda restará após 50 anos? Qual a meia-vida? Quanto tempo é preciso para que reste somente 0% da quantidade inicial? E para que reste somente 0%? 0 O período de duplicação é o tempo necessário para que uma grandeza que cresce eponencialmente dobrar seu valor Calcule o período de duplicação de preços que estão subindo a uma taa de 5% ao ano A população de uma certa região cresce eponencialmente Se em 990 t = 0 havia pessoas em uma cidade em 000 esse número subiu para pessoas, encontre uma fórmula para a população em qualquer instante t Qual será a população em 00? E o período de duplicação? 5

6 Respostas: a 8 9 b c 5 3 d 9 e 9 f 9 5 g h i 8 9 j 6 5 k l m 6 n 7 o a y5 3 b y3 c 7 d 6 e 3 f g y h y 3 i j y k y3 l a y b 3 m bc a 3 n y o a b 3 3 a +y y b y y c y+ y c +y y d + e + f a +b a b g y + y h r s + rs i +y j a b k +y y l y y m + y n a b+b a o y y p +y y q y +y a A = y b A = 5 c A = 3 y 3 d A = y 5 e A = 3 + f A = y + g A = 3 3 h A = a 3 + a 3 i A = j A = + 5 a 3 + b 3 c + d + y y e + y y f g +a+ +a +a + + h 3 i + + j b = e = c [0,, 7 = 3, y = { 8, y,,, } 9 a = b = c = e = 3 d = 0 e = e = f = 3 g = 0 e = h = 7 6 i = 0 a = log 7 b = log 5 3 c = log d = e = 687 f = 5, 7 7 g t = log, 0 h = log 3 log i t = log 5 7,0 5,0,0,03 6

7 a = 3 log 3 + log b = 7 log 7 c = log 5 + log 5 [ ] d = log log 3 e = 3 log y, se y > 0 f = log 0 0y, se y > 0 a loga logb b + 7 c A d Q e P f B g loga logb/ = loga B logb h loga 3/ logb 3 3 a Não eiste solução b = c = d = 0/99 y = / log + 5 a d 5 g 0 j 3 b e 3 h k 3 c f 3 i l 3 6 a d + log a g j b e h 9 k a c a f a i + log a l 7 a = 5 c = 0 e = 0 b = 6 d = 0 f = 8 a a = 6 c a > 0, a e a = 6 b a = 5 d a = 7 f a = 5 9 a y = 3 c y = 9 e y = 7 b y = d y = f y = 3 0 a = 7 c = 0 e = 7 b = 3 d = f = y a 0 b + e c d e a 3 ln A ln B 3 b A B c 0 d 7

8 a = ln b = ln a P = P 0 0, log et b P = P 0 3 0,97 log 3 et c = 3 ln 5 + e ln ln ln 5 d = + ln + ln 5 c P = P 0, 7,5 log,7 et d P = P 0 e πt 5 a P = P 0 e t ln, crescimento b P = 0e t ln 7, crescimento c P = 53e t ln 0, decaimento d P = 7e t ln 09, decaimento 6 a t = ln a b b t = k ln P P 0 c t = k b ln a d t = n γ αn ln c b 7 f y = 0 ln y 50 8 a Crescente, pois < y f < fy b f : 0, R dada por f y = ln c O intervalo aberto 0, 9 Dom f = 5, + 30 y y 3 a y = + b y = + c Não 3 São diferentes Denotando f = ln e g =, temos lnln = ff e ln = ln = gf 33 a 0 b c log d log + ou log e f log g h log + i 3 a 0 b c d ln 3 e ln + f ln g ln 0 + h i e 35 a cosh0 =, cosh = e + e b sinh0 = 0, sinh = e e c cosh ln = +, sinh ln = d sinh cosh = e e e + e e sinh = sinh, cosh = cosh f sinh + cosh = e + e 36 E00 = E 0 e 7 8, 6% de E

9 a Qt = Q t 60 0 b 80% 38 7% 39 Qt = Q 7 t Após 50 anos restará aproimadamente 7% da quantidade inicial A meia-vida é de aproimadamente 0 anos É preciso cerca de 5 anos para que reste somente 0%, e de cerca de 65 anos para restar 0% da quantidade inicial 0 D, 0 D é o período de duplicação Se P t é a população no tempo t, então P t = 00003/0 t/0 e P 30 9, 590 9