UNIVERSIDADE DO ALGARVE

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1 UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA LICENCIATURA EM ENGENHARIA ELÉCTRICA E ELECTRÓNICA ANÁLISE MATEMÁTICA I 00-0

2 Plano da Disciplina Bibliografia Roteiro para as Aulas Teóricas, Teórico-Práticas e Orientação Tutorial Enunciados dos Eercícios das Aulas Teórico-Práticas Algumas Soluções Enunciados de Testes e Eames Algumas Soluções dos Testes e Eames UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

3 PLANO DA DISCIPLINA Análise Matemática I ANO LECTIVO 00/0 (º Ano º Semestre) DOCENTE RESPONSÁVEL: DOCENTE QUE LECCIONA: Profª Doutora Maria Gabriela Schütz Profª Ana Bela Santos Profª Larissa Labakhua OBJECTIVOS: Fornecer uma base sólida sobre Análise Matemática em R, que permita aos estudantes o prosseguimento, bem sucedido, nas restantes disciplinas do curso Em termos genéricos pretende-se que o estudante desenvolva as suas capacidades de raciocínio indutivo e dedutivo, de aprofundar conhecimentos com objectividade, de eposição e tratamento dos conhecimentos que vão sendo adquiridos com clareza e rigor de linguagem Especificamente o estudante deve dominar os conceitos envolvidos nos conteúdos programáticos, utilizá-los com destreza e saber aplicá-los, com maleabilidade e sentido crítico, a outras disciplinas e a outras áreas científicas CONTEÚDO PROGRAMÁTICO NÚMEROS REAIS E COMPLEXOS Números inteiros e números racionais Números reais Módulo de um número real Números compleos Forma algébrica Representação geométrica Plano de Cauchy ou de Argand Forma trigonométrica e forma eponencial Operações com compleos Igualdade, Adição, Subtracção, Multiplicação, Divisão, Potenciação, Radiciação 5 Propriedades dos compleos 6 Curvas e regiões do plano FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Definição e gráficos Funções: constante, linear, polinomial, racional, irracional, inversa e implícita Funções trigonométricas, logarítmicas e eponenciais Limites e continuidade Definições Limites laterais, limites no infinito e limites infinitos Propriedades dos limites Casos particulares 5 Continuidade teoremas do Valor Intermédio, de Bolzano e de Weierstrass 5 Derivadas 5 Definição e interpretação geométrica Eemplos 5 Regras de derivação 5 Derivadas das funções logarítmica, eponencial e trigonométricas 5 Derivadas de uma função dada implicitamente e na forma paramétrica UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

4 55 Aplicação das derivadas para levantar indeterminações 6 Diferencial e derivadas de ordem n 6 Diferencial da soma, do produto e do quociente 6 Derivadas de ordem n 6 Diferencial de ordem n 6 Fórmula de Taylor e de Maclaurin 7 Primitivas 7 Definição 7 Primitivas imediatas 7 Integral indefinido 7 Integral indefinido por substituição e por partes 75 Integral indefinido de funções racionais 8 Cálculo integral 8 Soma integral e função integral no sentido de Riemann 8 Integral definido definição e propriedades, Fórmula de Barrow 8 Integração por partes e por substituição 8 Cálculo de áreas e de volumes de sólidos de revolução AVALIAÇÃO Avaliação Contínua: provas escritas parcelares (P e P) e participação nas aulas teórico-práticas e tutoriais (PT) P + P + 0, PT Classificação = 0,9, com classificação mínima de 8 valores nas provas P e P, sendo todas as provas avaliadas na escala de 0 a 0 Avaliação Final: Eame escrito, avaliado na escala de 0 a 0 O aluno fica aprovado se obtiver classificação igual ou superior a 0 na avaliação contínua ou na avaliação final NOTA SOBRE OS TESTES E EXAME Para a ª Frequência e Eame é obrigatória a inscrição no Secretariado da ADEE Os testes duram no máimo h:0m e os eames h Os alunos devem apresentar o seu BI, ou Cartão de Estudante, de modo a permitir a sua identificação Os alunos não podem sair da sala durante os testes, e/ou eame, ecepto quando desistirem ou mediante a entrega da prova, e nestes casos só o podem fazer ½ hora depois do seu início Não é permitida (nem necessária) a utilização de máquina de calcular Não é permitido qualquer tipo de consulta Os alunos devem trazer apenas o material necessário (folhas de teste, folhas de rascunho, canetas, régua) Todos os cálculos efectuados deverão estar escritos na folha de prova A resolução não sequencial das perguntas e alíneas deverá estar devidamente assinalada Não serão consideradas respostas diferentes para a mesma pergunta Carga Horária = ( horas teóricas + horas teórico-práticas + horas orientação tutorial) / semana UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

5 BIBLIOGRAFIA Folhas editadas pela Área Departamental de Engenharia Electrotécnica (disponíveis na Internet e na reprografia da Associação Académica) Cálculo (Vol ) Apostol, Tom, Editora Reverté, Lda Cálculo Diferencial e Integral, (vol ) N Piskounov, Editora Lopes da Silva Mathematics for Engineers and Scientists, (Vol ), Bajpai; Calus; Fairley Matemática para Engenharia, (Vol II), Ia S Bugrov, S M Nikolski, Editora Mir Moscovo Curso de Análise Matemática, J S Guerreiro, Livraria Escolar Editora Lições de Cálculo Diferencial e Integral, A Ostrowski Cálculo com Geometria Analítica, (Vol ), Swokouski, Makron Books, McGraw-Hill Elementos de Cálculo Diferencial e Integral em R e McGraw-Hill n R, A Azenha & MA Jerónimo, Introdução à Análise Matemática, Campos Ferreira, J, Fundação Calouste Gulbenkian (987) Análise Matemática, Leituras e Eercícios, Sarrico, C, Gradiva UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 5

6 ROTEIRO PARA AS AULAS TEÓRICAS, TEÓRICO-PRÁTICAS E TUTORIAIS ª SEMANA: NÚMEROS REAIS /09/00 Teórica Apresentação do programa, da metodologia a seguir e da avaliação Números reais e compleos Números inteiros e números racionais Números reais Módulo de um número real Teórico-Prática: Eercícios: 6 a), 7 Orientação Tutorial: Eercícios: a), 5g), 6 b), (º Teste-5//006) ª SEMANA: NÚMEROS COMPLEXOS 9/09/00 Teórica Números compleos Forma canónica e forma algébrica Módulo e conjugado de compleos Propriedades Operações com compleos na forma algébrica: Igualdade, adição, subtracção, multiplicação e divisão Eemplos práticos Representação geométrica Plano de Cauchy ou de Argand Forma trigonométrica Módulo, argumento de um compleo Eemplos práticos Forma eponencial de um compleo Teórico-Prática: Eercícios: 8 a) b) c)(ii, v) e)(ii) Orientação Tutorial: Eercícios: 8 c)(i, iii, vi), d), e)(i), f), h) ª SEMANA: NÚMEROS COMPLEXOS 06/0/00 Teórica 5 Operações com compleos na forma trigonométrica: Igualdade, multiplicação e divisão 6 Teorema de Moivre 7 Divisão, potenciação e radiciação Eemplos práticos Teórico-Prática: Eercícios: 9 a), 0 a)(i),,, 5, 7 Orientação Tutorial: Eercícios: 9 b), 0 a)(ii),, 6, 8, 9 UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 6

7 ª SEMANA: NÚMEROS COMPLEXOS /0/00 Teórica 8 Curvas e regiões do plano de Argand Definição da circunferência, elipse, recta, semi-planos no plano compleo Eemplos práticos Teórico-Prática: Eercícios: 0, Orientação Tutorial: Eercícios:, (º Teste-0//005), (º Teste-5//006) 5ª SEMANA: FUNÇÕES EM R 0/0/00 Teórica Funções em R : Noções topológicas Definição e gráficos Funções: constante, linear, polinomial, racional, irracional, inversa, implícita, logarítmica e eponencial Estudo das funções trigonométricas e suas funções inversas Teórico-Prática: Eercícios:, 0 Orientação Tutorial: Eercícios: 6, 8, 9, 6ª SEMANA: LIMITES E CONTINUIDADE 7/0/00 Teórica 5 Limites e continuidade: 5 Definições 5 Limites laterais, limites no infinito e limites infinitos 5 Propriedades dos limites 5 Casos particulares Continuidade Teoremas do Valor Intermédio, de Bolzano e de Weierstrass Teórico-Prática: Eercícios: 6, 7, 8 Orientação Tutorial: Eercícios:,,0, (º Teste-0//005) UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 7

8 7ª SEMANA: CÁLCULO DE DERIVADAS 0//00 Teórica 6 Derivadas: 6 Definição e interpretação geométrica 6 Regras de derivação 6 Derivadas das funções logarítmica, eponencial, trigonométricas e trigonométricas inversas 6 Derivadas de uma função dada implicitamente e na forma paramétrica 65 Aplicação das derivadas para levantar indeterminações Teórico-Prática: Eercícios:,, 9 c) d) f) n) p), 50 a), 5 a) Orientação Tutorial: Eercícios:, 7, 9 a)e)g)i)j)l)m)o), 50 d), 5 b) 8ª SEMANA: DIFERENCIAL E DERIVADAS DE ORDEM n 0//00 Teórica 7 Diferencial e derivadas de ordem n 7 Noção e interpretação geométrica 7 Diferencial da soma, do produto e do quociente 7 Derivadas de ordem n 7 Diferencial de ordem n 75 Fórmula de Taylor e de Maclaurin Teórico-Prática: Eercícios: 5 a),c), 5 c), 5 e), 55 Orientação Tutorial: Eercícios: 5 b), 5 b), 5 d), f), h), 56 9ª SEMANA: PRIMITIVAS E INTEGRAL INDEFINIDO 7//00 Teórica 8 Definição de primitiva 8 Primitivas imediatas 8 Integral indefinido por substituição Teórico-Prática: Eercícios: 57 (, 5, 7, 9,,, 5, 8, 9, ) Orientação Tutorial: Eercícios: 57 (,, 6, 8, 0,,, 6, 7, 0, ) UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 8

9 0ª SEMANA: PRIMITIVAS E INTEGRAL INDEFINIDO (CONTINUAÇÃO) //00 Teórica 8 Integral indefinido por partes Teórico-Prática: Eercícios: 57 (, 9, 0, ) Orientação Tutorial: Eercícios: 57 (, 5, 6, 7,,, ) ª SEMANA: INTEGRAL INDEFINIDO DE FUNÇÕES RACIONAIS 5//00 Teórica 8 Integral indefinido de funções racionais Teórico-Prática: Eercícios: 57 (6, 7) Orientação Tutorial: Eercícios: 57 (8, 5, 8, 9) ª SEMANA: INTEGRAL DEFINIDO 0/0/0 Teórica 8 Cálculo integral 8 Soma integral e função integral 8 Integral definido definição e propriedades, fórmula de Barrow 85 Integração por partes e por substituição Teórico-Prática: Eercícios: 57 (0,, ) Orientação Tutorial: Eercícios: (º Teste-/0/006), (º Teste-5/0/007), 5 (Eame- 05/0/007), 5 (Eame-5/0/007) ª SEMANA: INTEGRAL DEFINIDO (CONTINUAÇÃO) 0/0/0 Teórica 8 Cálculo integral (continuação) 86 Cálculo de áreas e de volumes de sólidos de revolução Teórico-Prática: Eercícios: 58, 6, 65 Orientação Tutorial: Eercícios: 59, 6, 6 UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 9

10 ª SEMANA À 8ª SEMANA Esclarecimento de dúvidas UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 0

11 NÚMEROS REAIS E COMPLEXOS Decomponha em factores o mais elementares possível: a) b) c) ( + ) + 9 d) t 5t + 6t e) + (sabendo que admite a raiz -) f) (sabendo que admite as raízes - e ) g) a a h) y + a b + a + by Simplifique cada uma das seguintes fracções: a) t + t b) t + 5t Determine A, B e C de modo que: a) = ( ) ( + ) A y 6 y + 5 y 6 y + 5 y B + + C + b) 5 = ( + ) ( + ) A + + B + C + c) + ( + ) ( ) = A + + B C + ( ) + A B + C d) = + ( ) ( ) Decomponha em fracções racionais: + a) b) c) Resolva, em R, cada uma das seguintes inequaçãoes: a) ( ) + < 7 b) ( ) 5 c) 8 d) 8 0 e) < f) > 0 g) + < + + h) + > + UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

12 6 Determine o conjunto dos números reais que verificam: + a) < b) c) > d) e) < Resolva em R, a) Calcule j b) Sendo z = - + j calcule Re(Z), Im(Z), z e z c) Represente cada uma das seguintes epressões na forma a + bj : i) ( + j) + ( + j) j ii) j j iii) ( + j)( 5 j) iv) j v) ( + vi) ( ) j + j)( j) 5 j j 5 j + + j z d) Sendo z = + j e w = + j, calcule z w e w e) Resolva em R as seguintes equações: i) ( jz ) = ( + j) iii) jz z = j ii) z + 8 z = f) Determine a raiz quadrada de 5 + j g) Demonstre que: o conjugado do produto de dois compleos é igual ao produto dos conjugados dos factores h) Calcule k e p de modo a que os compleos: z = (k + ) + ( p + ) j e z = ( p ) + ( k) j sejam conjugados 9 Escreva na forma trigonométrica e eponencial os seguintes números compleos, e represente-os no plano de Argand a) z= j b) z = j UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

13 0 a) Escreva na forma trigonométrica os seguintes números compleos: j i) e + j ii) e + b) Dado z = a + bj relacione a e b de forma que z seja real Calcule trigonometricamente o número compleo 5 ( j) ( + j) z= 5 j j Mostre que: + = + = ( + j) Determine as circunstâncias em que z+ z é um imaginário puro Calcule os valores de 6 6, considerando 6 como um compleo 5 Calcule os valores de 5 / j 6 Calcule os valores de: º º a) [ 8( cos0 j sin 0 )] 5 b) º º 7 Calcule os valores de [ 9( cos5 j sin 5 )] 5 sin + j cos 6 6 cosθ + jsinθ 5 8 Calcule sin cos θ + j θ 9 Calcule Ζ n de modo que ( j ) n seja real e positivo 0 Determine o lugar geométrico dos afios dos compleos z que satisfazem a equação z z = z z sendo z = + j e z = + j6 Determine o lugar geométrico z = com z = + j y Sendo A (-,0) e B (,0) os afios dos compleos z e z, qual é o lugar geométrico dos afios de z, tais que z z + z z = 6 UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

14 º TESTE de ANÁLISE MATEMÁTICA I 5//006 Considere a epressão F ( ) = Defina, com intervalos de números reais, o + conjunto dos valores de para os quais F( ) Represente, num diagrama de Argand, o conjunto definido pela condição 5 7 Im ( Z ) arg Z cis, ( Z C) º TESTE DE MATEMÁTICA I 0//005 Represente, num diagrama de Argand, o conjunto definido pela condição k j z arg z =, k Z UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

15 SOLUÇÕES a) 6 ( 0 / ) ( / ) b) ( ) ( + ) ( ) ( + ) a) c) ( + ) ( + ) d) t ( t ) ( t ) e) ( + ) ( ) ( + ) f) ( + ) ( ) ( ) ( ) g) a a ( a ) ( a + ) h) ( a + y) ( b + ) t + t + 5 ( y + ) ( y + 5) y, t 0 b), y R /{ 0,,5 } a) A = / 9; B = C = / 8 b) A = ; B = ; C = a) c) A = / ; B = / ; C = d) A = 0 /; B = /; C = / c) + + ( + ) 5 b) a) ], [ b) ], ] [ 5 /, + [ c) ], ] ], ] d) ],/ [ e) ], [ ] 0, [ f) g) ], 5 [ ],[ h) ], [ ] / 5, [ a) R b) ] [ c) ], 6 [ ] 0, [ ] 0, [ ] 6, + [ 6,0 7 6, 0 0,, + 7 e) 6 6 d), [, 0 [ 0, + [, + [ 7 ] [ 8 a) b) Re (z)=-, Im (z)=, z = e z = j + R 9, 7 7 c) i) + j ii) + j iii) j 6 5 iv) + j v) j vi) 0 j z 5 d) z w = + 5 j, = + j e) i) j ii),, j, j w z C : z = a + ( a ) j, a R f) j, + j h) k =, p = e) iii) { } UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 5

16 j 9 a) z cos j sin = e j = + b) z = cos + j sin = e a)i e cos + j sin a)ii e ( cos + j sin ) b) a = 0 b = 0 a = ± b 7 7 z = cos + j sin z = + j y : + y = 6 z k = 6 cos k + j sin k, k = 0,, 5 5 j, + j, + j 6 a) z [ ( ) ( )] 5 cos 7 o + k 7 o + j sin 7 o + k 7 o, k = 0,, k = k b) cis +, k = 0,, o o o z k = [ cos ( 5 + k 7 ) + j sin ( 5 + k 7 o )], k = 0,, 8 cos 0θ + j sin 0θ = cis 0θ 9 n = k / ( k Ζ e múltiplos de ) 0 = + Elipse 5 y = ± ( ) y UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 6

17 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL + se < Considere a função se < < 0 se 0 b) Represente-a graficamente c) Indique o domínio e o contradomínio d) Verifique se é injectiva Determine o domínio da função real de variável real definida pela epressão: ( ) log + f = Determine o domínio, da função real de variável real definida pela epressão: f ( ) = tan( ) com, 0 ( ) n na na n m n m a 6 Resolva a equação: e e = + 7 Mostre que:, y R,log ( y) = log + log y a a 8 Determine a inversa da função real de variável real f ( ) = +, de domínio [,+ [ 9 Determine o domínio de f ( ) = log ( cos ) 0 Dada a função g ( ) = arcsin ( + ) 0 Calcular g(-) e g(-/) 0 Determine o domínio o contradomínio de g 0 Defina a função inversa de g Considere a função real de variável real f ( ) = sin cos Verifique se a função é contínua Defina a função inversa de f Indique as epressões gerais dos pontos de descontinuidade de: 5 a) f ( ) = tan, R b) f ( ) = cotan, < < tan Determine os zeros e os pontos de descontinuidade da função f ( ) = + cosec a UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 7

18 Determine os pontos de descontinuidade de ( ) f = cotan 5 Seja a função ( ) f = arcsin (considere a restrição principal do seno) calcule a função inversa e o contradomínio de f () 6 Estude a continuidade em R de: ( ) 7 Considere a função ( ) 8 Prove que a função f ( ) sin + cos determine-o ( ) + log se < t = e se e + f = e estude-a sobre o ponto de vista da continuidade e = admite pelo menos um zero no intervalo [,0] 9 Prove que sendo p () um polinómio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real e 0 Indique o valor que deve tomar k para que a função f () seja contínua para = a, em que f ( ) sin sina = a k se se a = a Calcule as derivadas laterais f d () e e () eistência de f '() ' ' f de ( ) = ( ) f e conclua sobre a ( ) Mostre que a função ( ) + se 0 f = é contínua no ponto =, mas não 5 se > tem derivada nesse ponto Verifique gráfica e analiticamente que a função ( ) derivada em = + se < f = não admite se + Considerando a função f ( ) = a) Determine uma equação da tangente à curva no ponto de abcissa = b) Determine as abcissas dos pontos dessa curva onde a tangente tem a inclinação de 5º 5 Determine as derivadas das funções seguintes aplicando logaritmos: ( + ) a) y = b) y= ( arctan ) + ( ) UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 8

19 6 Prove que a derivada de uma função par é uma função ímpar 7 Calcule a derivada de ( ) f = 8 Estude a continuidade da função ( ) sin se 0 f = no ponto = 0 se = 0 9 Aplicando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções: a) f ( ) = ( 5 )( ) b) f ( ) c) f ( ) = + = + d) f ( ) = + e) ( ) f f) f ( ) + = e = + g) f ( ) = cos +tan( sin ) h) f ( ) = tan + + tan( cos ) = + cotan + = log log i) ( ) f j) f ( ) k) f ( ) = log ( ) log l) ( ) ( ) f = sin m) ( ) f = = + n) ( ) ( ) f arctan o) f ( ) = [ sin( log ) ] p) f ( ) = arcsin( log) + [ ] q) f ( ) = sin log + arcsin( + ) dy 50 Calcule as derivadas das seguintes funções implícitas: d a) y p= 0 y =cos + y b) + y = a e) y y = 0 c) + y a y= 0 d) ( ) a) at = + t at y= + t dy 5 Calcule para as seguintes funções epressas na forma paramétrica d, a const b) y= logcotan t = tant + cotan t

20 5 Calcule os seguintes limites: a) b) e y + sin y lim y 0 log + lim 0 ( y) tan 5 Calcule os diferenciais das seguintes funções: a) y = tan tan b) y= sin c) lim a + d) lim 0 sin log, a const c) y = + log( ) 5 Aproime as seguintes funções por um polinómio em, de grau menor ou igual a n a) ( ) f = e b) ( ) f = e c) f ( ) = sin d) f ( ) = cos e) ( ) f = e + e f) f ( ) = g) f ( ) = log ( ) + h) f ( ) = i) f ( ) = arctan 55 Decomponha o polinómio em potências de 5 56 Decomponha o polinómio em potências de + 57 Calcule os seguintes integrais: ) 5 d ) d ) + + d ) d + 5) cos( 5 ) d log 6) d d 7) cos (7 ) 8) tan d 9) tan sec d 0) cos sin d ) d + cos ) d sin d ) cos tan log ) d arctan 5) d + + 6) d + + UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 0

21 d 7) log 8) tan d 9) d arcsin cos(log ) 0) d sin ) e cos d d ) ) d + a arctan ) d + + 5) d e 6) d + e 7) + cos sin d 8) d + 9) log ( + + ) d 0) log d e coslog sin ) ( ) d arcsin ) d ) arcsin d d ) d 5) ( + ) + 6) ( + ) + d ) + d log 8) d (log + log + 8) (log + ) d 9) + 0) sec d o y ) dy + y 5 ) d 58 Calcule o valor de b, sendo a > 0 e b > a, de modo que a área limitada pelas curvas y + = e + y = a seja igual a b a 59 Calcule a área da menor das partes, em que a recta = divide a área limitada pela elipse + y = 9 60 Determine a área da figura limitada pelas curvas y = 5 e y= 6 Determine a área da figura compreendida entre a curva y = o eio dos 6 Determine a área da figura delimitada pela curva y=, a recta y = 8 e o eio dos yy 6 Determine a área do domínio compreendido entre as parábolas y = p e = py UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

22 y 6 Determine o volume do sólido de revolução, obtido ao rodar a elipse + = em torno do b a eio O 65 Determine o volume gerado pela rotação em torno do eio O de um arco de sinusóide º TESTE DE MATEMÁTICA I 0//005 sin ( ) e, 0 Considere a função definida por: f ( ) = + log(+ ), > 0 Analise a sua continuidade em todos os pontos do seu domínio º TESTE DE MATEMÁTICA I /0/006 Calcule os seguintes integrais: d ( + ) º TESTE de ANÁLISE MATEMÁTICA I 5/0/007 Calcule os seguintes integrais: + d EXAME DE ANÁLISE MATEMÁTICA I 05/0/007 5 Calcule: 5 e sin ( log ) d EXAME DE ANÁLISE MATEMÁTICA I 5/0/007 5 Calcule: 5 arctg d UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

23 - b) = R \ { } D = ] 0, [ U ] 6, + [ SOLUÇÕES D c) Não é - ], ] [, + [ = log ( + 5) + k R: a a, k Ζ n 8 - f ( ) = ( ), D - = ], ] 9 - R \ { : = k / k Ζ } 0 e 0 0 D g = [,0 ] e D g =, sin ( ) 0 + g ( ) = f ( ) = + arcsin, D =,, D =, f f - a) + k, k Ζ b) {,,0, } - Zeros: = + k, k Ζ P d: = + k = + ( k + ) = + k, k Ζ f() não é injectiva; D = f, 5 - = k, k Ζ 6 - Contínua em R 7 - Contínua em R \ { 0 } cos a É [ ] f d e - a) y = b) 5 - a) ( ) ( ) y = y b) y = arctan se < > 7 - f ( ) = 8 - Contínua + se < < - ( ) = +, f ( ) = 9 - a) b) e) + e ( ) f) + log ( + ) c) 6 f ( + ), d) ( + ) ( + ) g) sin cos + ( sin cos + sin ) sec ( sin ) UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

24 tan + sec + h) sin sec ( cos ) i) cotan + + cosec + j) log k) log log cotan i) ( ) ( + log ) n) ( ) p) log sin sin + log( + ) arctan + o) ( sin log ) ( + ) + log arcsin ( log ) log ( + ) + logarcsin cos log + sin + arcsin arcsin q) ( ) 50 - a) p y b) y c) ay y a d) sin + sin m) ( + log ) ( + y) ( + y) ( sin log ) log arctan cot an log + e) ( + ) ( + ) y y y y y y log y log t a 5 - a) b) tan t 5 - a) b) c) e d) + t cos log 5 - a) dy = ( tg + ) sec d = sec d b) dy = d c) dy = d a) b) + + c) + d) +!!!!! 5! 7!!! 6! e) f) g)!! h) + + i) ( ) ( ) + ( ) + ( ) 56 - ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) C C C 5 log C 7 - tan7+ C C sin C log cos + C UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

25 9 - tan + C 0 - cos + C - ++ C - C sin + - tan + C - log + C C arctan ( ) C log 7 - log log + C 8 - tan tan + + C 9 - log arcsin + C 0 - ( log ) + C sin + sin - e C - arcsin( ) + C - + C arctan arctan - log( + ) + C a a 5 - ( + ) + C 6 - arctan e + C 7 - ( + cos ) + C log + + C log C 0 - log + C - log( sin ) sin sin+ C - + ( ) + C - arcsin + + C + arcsin - + C 5 - log + C + log arctan ( + ) + + C 8 - ( 8 ) ( log+ ) ( + ) 9 log log + log+ 8 arctan + log log + + C ( + ) 9 - log + arctan + C log( + ) p 6 - v b a + log ( arctan) + a b= a = 65 - v = + C UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 5

26 ENUNCIADOS DE TESTES E EXAMES º TESTE 9//008 Considere a epressão F ( ) = + Defina, com intervalos de números reais, o conjunto dos valores de para os quais F ( ) > 0 C é o corpo compleo ( z C) Mostre que se z = c então Resolva seguinte equação z + z j + j = 0 z z + c é um imaginário puro, com c c C Determine o conjunto dos valores de z para os quais + z z é um real Represente no plano de Argand o conjunto dos pontos definido pela condição: z + j 0 arg ( z + + j ) < ( + ), se 0, se Considere a função definida em R por f ( ) = +, se ( + ), se continuidade da função em todo o seu domínio Calcule o seguinte limite tan lim sin < = Estude a < > Determine a equação da recta tangente à curva definida pelas equação paramétrica = sin t y = cos(t) no ponto t = UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 6

27 º TESTE /0/009 Determine o polinómio de McLaurin de ordem que aproima a função f ( ) = log ( ) + Calcule os seguintes integrais: d ; ( + ) d ; ( + cos ) d ; + e e d ; d 0 Calcule a área da região plana delimitada por y = +, y = e y = Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eio OX da região plana dada pelas desigualdades: y, e EXAME 6/0/009 C é o conjunto dos números compleos Calcule os valores de 6 sin cos j e represente-os na forma eponencial Determine analiticamente e represente no plano de Argand o conjunto de afios que são imagens dos compleos z ( z C ) que verificam simultaneamente as condições: z j z j z + < z j UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 7

28 Sendo puro z = + j n ANÁLISE MATEMÁTICA I, verifique se eiste algum n N para o qual z seja um imaginário f = + k k k Considere a função real de variável real definida por ( ) sin( ), 0 Mostre que f ( ) + k f ( ) = cos ( k) Calcule a derivada da função implícita de y dada pela equação: cos ( y) + log( + y ) + = 0 y Calcule: arctan d ; ( -) e + e d ; e log ( )( ) d log + log + Calcule a área da região do plano limitada pelas rectas y =, = 0, = e pela curva y = Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da mesma em torno do eio OY EXAME DE RECURSO 09/0/009 C é o conjunto dos números compleos Calcule os valores de + j Apresente os resultados na forma trigonométrica (com o argumento mínimo positivo) e represente no plano de Argand Determine analiticamente e represente no plano de Argand o conjunto de afios que são imagens dos compleos z ( z C ) que verificam simultaneamente as condições: z j z + j = z ( + j) > z + j + UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 8

29 Mostre que z z + z + z = z + z, z, z C Determine a equação da recta tangente à curva dada pela função implícita de t e ( + t ) = log no ponto (, ) Determine o polinómio de McLaurin de ordem que aproima a função f ( ) = + + Calcule: + ( + ) d ; 9 t dt ; 0 cos 6 5sin + sin d Considere a figura definida por y y + Utilize integrais para calcular: A área da figura O volume do sólido de revolução gerado pela rotação da figura em torno do eio OY Considere, em R, a epressão º TESTE 8//009 + A( ) = + Resolva a inequação A ( ) 0 Considere tanα + z = tanα j j, z C Mostre que z = cos ( α ) + j sin ( α ) ; Escreva z na forma trigonométrica Sabendo que cos ( + α ) =, 0 < α <, determine z na forma algébrica 5 Verifique que n n ( z ) = ( z), n N0, z C Represente, no plano de Argand, o conjunto dos números compleos tais que: z + arg ( z j ) { Im ( j ) 6 z j } UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 9

30 Determine a natureza da série e caso seja convergente, determine a sua soma n+ Considere a função ( ) sin se 0 g =, a R a se = 0 Verifique se a função é contínua em R \ { 0} Justifique Indique, justificando, se a função tem um zero no intervalo determine-o Determine a R de modo que g() seja contínua em 0, Em caso afirmativo, º TESTE /0/0000 Utilizando a derivada da função implícita, calcule a equação da recta tangente à curva y = arccos y, no ponto (, ) 0 Aproime a função f ( ) + e de grau menor ou igual a = Calcule os seguintes integrais: + d + cos d d + e e log + Calcule a área da região do plano limitada por ( log ) d y =, + = y, = 0 e = 5 Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de do domínio D em torno do eio dos ' D =, y : y 0 {( ) ( ) } EXAME 05/0/00 C é o conjunto dos números compleos Determine o conjunto dos valores de z ( z C ) para os quais + z z é um imaginário puro Determine analiticamente e represente no plano de Argand o conjunto de afios que são imagens dos compleos z ( z C ) que verificam simultaneamente as condições: UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 0

31 Re z + Im z z 8 Considere a função real de variável real definida por a + 8 +, < f ( ) = contínua b ( ), e com derivada contínua para todos os valores de Determine os valores das constantes a e b Determine a equação da recta tangente à curva definida pelas equações paramétricas = t e t y = e em t = Determine o polinómio de McLaurin de ordem que aproima a função Calcule: arctan e + log(+ + arctan d ; ) + d ; f ( ) = e cost dt 0 6 5sin t + sin t Calcular a área do conjunto dos pontos de coordenadas (, y ) que verificam as seguintes condições: ( 0 y + 5 y 0) ( y y 0 ) EXAME DE RECURSO 9/0/00 C é o conjunto dos números compleos j z Determine o conjunto dos valores de z ( z C ) para os quais R + j z Determine analiticamente e represente no plano de Argand o conjunto de afios que são imagens dos compleos z ( z C ) que verificam simultaneamente as condições: 5 z ( z Re z ) arg ( z + j ) < Considere a função real de variável real definida por e f ( ) = ( )log ( ),, < UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

32 Estude a continuidade de f() em todo o seu domínio e calcule as derivadas laterais de f() para = Escreva uma equação cartesiana da recta tangente ao gráfico de f() no ponto em que = e + Determine o polinómio de McLaurin de ordem que aproima a função f ( ) = sin Calcule: log d ; + + ( -) ( ) d ; sin + cos d 0 sin Calcule a área do conjunto dos pontos de coordenadas (, y ) que verificam as seguintes condições: ( 0 y y 0 ) ( 0 y y 0 ) UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

33 SOLUÇÕES DOS TESTES E EXAMES,, \ { } º TESTE 9//008 z = j, ( y = 0 y = ) y + 0,, y R, Solução em azul y - - No intervalos ]-, -[, ]-, [ e ], + [ é cont, não é cont nos pontos - e / y = - + º TESTE /0/ log + C, log log + C, sin + + cos + C, e e e, 5 5 UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

34 ANÁLISE MATEMÁTICA I (ua), (uv) EXAME 6/0/009 7 e, 9 e, e, 5 e ; Solução em azul y / n = + 6k y = y ( + y )sin ( y ) y ( + y )sin ( y ) + y + + y arctan + log log + arctan + C ; + ( + e ) + C ; log + 8 (ua) e / (uv) EXAME DE RECURSO 09/0/009 cis, 8 cis, cis 9 9 9, UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA

35 Solução em azul ANÁLISE MATEMÁTICA I y k = k = 0 k = Solução em azul y -/ e + 8 t = ( ) +, + log + + ( + ( log ) ) + ( 5 + ( log ) ) + ( 05 + ( log ) ) 6 arcsin + log + C, 9 + t 9 t + C, log 7/ (ua), 5 / 6 (uv), \, [ 0;] cis ( α ), º TESTE 8//009 7 z = j 5 5 UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 5

36 Solução em azul ANÁLISE MATEMÁTICA I y É geométrica, R = /, S = / É contínua / a = 0 º TESTE /0/0000 y = P ( ) = log + + C ; + sin () + cos () + C ; arctan + C ; log (ua) 5 6/5 (uv) EXAME 05/0/00 z = yj e y R ; ( y y ) ( ) + y 8 UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 6

37 Solução em azul y ANÁLISE MATEMÁTICA I - - a = -8 e b = ; y = e + e ; P ( ) = + + arctan + log + + arctan e ( ) C [( + ) arctan ] + C log 87/6 (ua) ; + ; EXAME DE RECURSO 9/0/00 z = b j, b ; 5 z + j < ) ( ) + y ( ( ) Solução em azul y - 0 É contínua em todo o seu domínio, - e - y + e 5 = 0 UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 7

38 P ( ) = ANÁLISE MATEMÁTICA I log log + C ; log log ( + ) arctan + C ; log 5/6 (ua) UNIVERSIDADE DO ALGARVE INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA 8