Modelagem e Análise de um Sistema de Excitação Convencional

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1 Modelagem e Análise de um Sistema de Excitação Convencional Prof. Antonio Simões Costa Grupo Sist. Potência - UFSC A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 1 / 19

2 Sistema de excitação com ampli cador rotativo Componentes: TPs+Reti cadores, Ampli cador Rotativo, Excitatriz, Gerador. A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 2 / 19

3 Diagrama de Blocos V ref V t V - R V - AMPLIF. - fd EXCITATRIZ - GERADOR V dc TPs + RETIF. 6 A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 3 / 19

4 Transformadores de Potencial e Reti cadores Filtro modelado como função de transferência de primeira ordem (ganho e constante de tempo); A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 4 / 19

5 Transformadores de Potencial e Reti cadores Filtro modelado como função de transferência de primeira ordem (ganho e constante de tempo); Saída do ltro: tensão contínua proporcional à tensão terminal do gerador; A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 4 / 19

6 Transformadores de Potencial e Reti cadores Filtro modelado como função de transferência de primeira ordem (ganho e constante de tempo); Saída do ltro: tensão contínua proporcional à tensão terminal do gerador; Entrada: tensão terminal do gerador; A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 4 / 19

7 Transformadores de Potencial e Reti cadores Filtro modelado como função de transferência de primeira ordem (ganho e constante de tempo); Saída do ltro: tensão contínua proporcional à tensão terminal do gerador; Entrada: tensão terminal do gerador; Função de transferência: v dc (s) v t (s) = K R 1 + st R A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 4 / 19

8 Transformadores de Potencial e Reti cadores Filtro modelado como função de transferência de primeira ordem (ganho e constante de tempo); Saída do ltro: tensão contínua proporcional à tensão terminal do gerador; Entrada: tensão terminal do gerador; Função de transferência: Parâmetros: v dc (s) v t (s) = K R 1 + st R A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 4 / 19

9 Transformadores de Potencial e Reti cadores Filtro modelado como função de transferência de primeira ordem (ganho e constante de tempo); Saída do ltro: tensão contínua proporcional à tensão terminal do gerador; Entrada: tensão terminal do gerador; Função de transferência: Parâmetros: K R : ganho unitário; v dc (s) v t (s) = K R 1 + st R A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 4 / 19

10 Transformadores de Potencial e Reti cadores Filtro modelado como função de transferência de primeira ordem (ganho e constante de tempo); Saída do ltro: tensão contínua proporcional à tensão terminal do gerador; Entrada: tensão terminal do gerador; Função de transferência: Parâmetros: v dc (s) v t (s) = K R 1 + st R K R : ganho unitário; T R : pequena constante de tempo (0 T R 0, 06). A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 4 / 19

11 Ampli cador Rotativo Representado por função de transferência de primeira ordem, com ganho K A e constante de tempo T A ; A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 5 / 19

12 Ampli cador Rotativo Representado por função de transferência de primeira ordem, com ganho K A e constante de tempo T A ; Em geral, 25 K A 50, e 0, 06 T A 0, 20; A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 5 / 19

13 Ampli cador Rotativo Representado por função de transferência de primeira ordem, com ganho K A e constante de tempo T A ; Em geral, 25 K A 50, e 0, 06 T A 0, 20; É também importante impor limites máximo e mínimo sobre a saída do ampli cador, para que o modelo não produza saídas que excedam limitações práticas; A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 5 / 19

14 Ampli cador Rotativo Representado por função de transferência de primeira ordem, com ganho K A e constante de tempo T A ; Em geral, 25 K A 50, e 0, 06 T A 0, 20; É também importante impor limites máximo e mínimo sobre a saída do ampli cador, para que o modelo não produza saídas que excedam limitações práticas; Modelo do ampli cador: V R,máx Erro - K A V R st A V R,min A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 5 / 19

15 Modelagem da Excitatriz: Equação do circuito de campo Aplicando a 2a. lei de Kirchho ao circuito de campo da excitatriz: N dφ F dt + Ri = v fd + v R onde φ F é o uxo magnético que enlaça o enrolamento de campo. A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 6 / 19

16 Modelagem da Excitatriz DC: uxos magnéticos Modelo contém 4 variáveis, mas deseja-se relacionar apenas v R e v fd ; N dφ F dt + Ri = v fd + v R A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 7 / 19

17 Modelagem da Excitatriz DC: uxos magnéticos Modelo contém 4 variáveis, mas deseja-se relacionar apenas v R e v fd ; N dφ F + Ri = v fd + v R dt Supondo ω constante, v fd é função linear do uxo no entreferro, φ ef : v fd = k φ ef A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 7 / 19

18 Modelagem da Excitatriz DC: uxos magnéticos Modelo contém 4 variáveis, mas deseja-se relacionar apenas v R e v fd ; N dφ F + Ri = v fd + v R dt Supondo ω constante, v fd é função linear do uxo no entreferro, φ ef : v fd = k φ ef Se φ disp é o uxo de dispersão, pode-se escrever: φ F = φ ef + φ disp A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 7 / 19

19 Modelagem da Excitatriz DC: uxos magnéticos Modelo contém 4 variáveis, mas deseja-se relacionar apenas v R e v fd ; N dφ F + Ri = v fd + v R dt Supondo ω constante, v fd é função linear do uxo no entreferro, φ ef : v fd = k φ ef Se φ disp é o uxo de dispersão, pode-se escrever: φ F = φ ef + φ disp φ disp é uma pequena fração, considerada xa, do uxo de campo ) φ ef é fração xa 1/σ de φ F : φ F = σ φ ef =) φ F = ( σ k ) v fd A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 7 / 19

20 Modelagem da Excitatriz DC: uxos magnéticos Modelo contém 4 variáveis, mas deseja-se relacionar apenas v R e v fd ; N dφ F + Ri = v fd + v R dt Supondo ω constante, v fd é função linear do uxo no entreferro, φ ef : v fd = k φ ef Se φ disp é o uxo de dispersão, pode-se escrever: φ F = φ ef + φ disp φ disp é uma pequena fração, considerada xa, do uxo de campo ) φ ef é fração xa 1/σ de φ F : φ F = σ φ ef =) φ F = ( σ k ) v fd De nindo T E = (N σ)/k: T E dv fd dt + R i = v fd + v R A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 7 / 19

21 Modelagem da Excitatriz DC: efeito da saturação (I) Relação entre a corrente i e v fd é afetada pela saturação magnética do núcleo da armadura: A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 8 / 19

22 Modelagem da Excitatriz DC: efeito da saturação (II) S 0 E (v fd ) : função não-linear que representa o acréscimo de corrente de campo exigido pela saturação para uma dada tensão v fd : i = S 0 E (v fd ) v fd A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 9 / 19

23 Modelagem da Excitatriz DC: efeito da saturação (II) S 0 E (v fd ) : função não-linear que representa o acréscimo de corrente de campo exigido pela saturação para uma dada tensão v fd : i = S 0 E (v fd ) v fd Se R ef é a inclinação da linha do entreferro da máquina, a corrente total necessária para produzir v fd será dada por: i = 1 R ef v fd + S 0 E (v fd ) v fd A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 9 / 19

24 Modelagem da Excitatriz DC: efeito da saturação (II) S 0 E (v fd ) : função não-linear que representa o acréscimo de corrente de campo exigido pela saturação para uma dada tensão v fd : i = S 0 E (v fd ) v fd Se R ef é a inclinação da linha do entreferro da máquina, a corrente total necessária para produzir v fd será dada por: Logo a equação: i = 1 R ef v fd + S 0 E (v fd ) v fd T E dv fd dt + R i = v fd + v R A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 9 / 19

25 Modelagem da Excitatriz DC: efeito da saturação (II) S 0 E (v fd ) : função não-linear que representa o acréscimo de corrente de campo exigido pela saturação para uma dada tensão v fd : i = S 0 E (v fd ) v fd Se R ef é a inclinação da linha do entreferro da máquina, a corrente total necessária para produzir v fd será dada por: Logo a equação: torna-se T E dv fd dt + i = 1 R ef v fd + S 0 E (v fd ) v fd T E dv fd dt + R i = v fd + v R R 1 v fd = v R R SE 0 (v fd ) R ef {z } v fd {z } K E S E (v fd ) A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 9 / 19

26 Função de Transferência da Excitatriz Modelo no domínio do tempo: T E dv fd dt + K E v fd = v R S E (v fd )v fd A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 10 / 19

27 Função de Transferência da Excitatriz Modelo no domínio do tempo: T E dv fd dt + K E v fd = v R S E (v fd )v fd Aplicando transformada de Laplace com condiçoes iniciais = 0: (st E + K E ) v fd (s) = v R (s) S E (v fd ) v fd (s) A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 10 / 19

28 Função de Transferência da Excitatriz Modelo no domínio do tempo: T E dv fd dt + K E v fd = v R S E (v fd )v fd Aplicando transformada de Laplace com condiçoes iniciais = 0: (st E + K E ) v fd (s) = v R (s) S E (v fd ) v fd (s) ou v fd (s) = v R (s) S E (v fd ) v fd (s) K E + s T E K E + s T E A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 10 / 19

29 Diagrama de Blocos da Excitatriz S E = f (V fd ) V R? V fd K E +st E + - A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 11 / 19

30 Modelo do Gerador (I) Considera-se inicialmente máquina operando a vazio: A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 12 / 19

31 Modelo do Gerador (I) Considera-se inicialmente máquina operando a vazio: r f, L f, M f : resistência, indutância própria do campo e indutância mútua campo-armadura; A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 12 / 19

32 Modelo do Gerador (I) Considera-se inicialmente máquina operando a vazio: r f, L f, M f : resistência, indutância própria do campo e indutância mútua campo-armadura; Equações do modelo: L f di f dt + r f i f = v fd v t = E q = ω M f i f A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 12 / 19

33 Modelo do Gerador (II) Substituindo i f = v t /ω M f na equação do campo do gerador: L f r f di f dt + i f = 1 r f v fd ) L f r {z} f T G dv t dt + v t = ω M f r {z f } K G v fd A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 13 / 19

34 Modelo do Gerador (II) Substituindo i f = v t /ω M f na equação do campo do gerador: L f r f di f dt + i f = 1 r f v fd ) L f r {z} f T G dv t dt + v t = ω M f r {z f } K G v fd Aplicando transformada de Laplace com condiçoes iniciais = 0: (st G + 1) v t (s) = K G v fd (s)) ) v t (s) v fd (s) = K G 1+sT G A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 13 / 19

35 Modelo do Gerador (II) Substituindo i f = v t /ω M f na equação do campo do gerador: L f r f di f dt + i f = 1 r f v fd ) L f r {z} f T G dv t dt + v t = ω M f r {z f } K G v fd Aplicando transformada de Laplace com condiçoes iniciais = 0: (st G + 1) v t (s) = K G v fd (s)) ) v t (s) v fd (s) = K G 1+sT G Na condição de máquina a vazio, T G é a constante de tempo transitória de eixo direto em circuito aberto, T 0 do ; A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 13 / 19

36 Modelo do Gerador (II) Substituindo i f = v t /ω M f na equação do campo do gerador: L f r f di f dt + i f = 1 r f v fd ) L f r {z} f T G dv t dt + v t = ω M f r {z f } K G v fd Aplicando transformada de Laplace com condiçoes iniciais = 0: (st G + 1) v t (s) = K G v fd (s)) ) v t (s) v fd (s) = K G 1+sT G Na condição de máquina a vazio, T G é a constante de tempo transitória de eixo direto em circuito aberto, T 0 do ; Se o modelo for aplicado como uma aproximação para o caso de máquina sob carga, T G < T 0 do. A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 13 / 19

37 Diagrama de Blocos Completo do Sistema de Excitação V ref - - K A st A 6 - S E = f (V fd ) V R,máx V?- R Vt K G - K E + st E V fd 1 + st G V R,min V dc K R 1 + st R A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 14 / 19

38 Análise da Estabilidade do Sistema de Excitação (I) Função de Transferência em Malha Aberta Desprezando os blocos não-lineares, a função de transferência em malha aberta é: KGH(s) = K A K G K R (1 + s T A )(K E + s T E )(1 + s T G )(1 + s T R ) A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 15 / 19

39 Análise da Estabilidade do Sistema de Excitação (I) Função de Transferência em Malha Aberta Desprezando os blocos não-lineares, a função de transferência em malha aberta é: KGH(s) = K A K G K R (1 + s T A )(K E + s T E )(1 + s T G )(1 + s T R ) Valores típicos para os parâmetros (K A variável): T A = 0, 1 s T G = 1, 0 s K R = 1, 0 s K G = 1, 0 s T E = 0, 5 s T R = 0, 05 s K E = 0.05 s A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 15 / 19

40 Análise da Estabilidade do Sistema de Excitação (I) Função de Transferência em Malha Aberta Desprezando os blocos não-lineares, a função de transferência em malha aberta é: KGH(s) = K A K G K R (1 + s T A )(K E + s T E )(1 + s T G )(1 + s T R ) Valores típicos para os parâmetros (K A variável): T A = 0, 1 s T G = 1, 0 s K R = 1, 0 s K G = 1, 0 s T E = 0, 5 s T R = 0, 05 s K E = 0.05 s FTMA com valores numéricos: KGH(s) = 400 K A (s + 10)(s 0, 1)(s + 1)(s + 20) A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 15 / 19

41 Análise da Estabilidade do Sistema de Excitação(II) Lugar Geométrico das Raízes O lugar geométrico das raízes de malha fechada pode ser obtido de KGH(s), para K A variando de 0 a : A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 16 / 19

42 Análise da Estabilidade do Sistema de Excitação (III) Equação característica e limites de estabilidade A equação característica do sistema em malha fechada é s , 9 s , 9 s s + (400K A 20) = 0 A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 17 / 19

43 Análise da Estabilidade do Sistema de Excitação (III) Equação característica e limites de estabilidade A equação característica do sistema em malha fechada é s , 9 s , 9 s s + (400K A 20) = 0 Com K = 400K A 20, o arranjo de Routh-Hurwitz correspondente é: s , 9 K s 3 30, s 2 221, 2 K s , 14 K s 0 K A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 17 / 19

44 Análise da Estabilidade do Sistema de Excitação (III) Equação característica e limites de estabilidade A equação característica do sistema em malha fechada é s , 9 s , 9 s s + (400K A 20) = 0 Com K = 400K A 20, o arranjo de Routh-Hurwitz correspondente é: s , 9 K s 3 30, s 2 221, 2 K s , 14 K s 0 K As condições para estabilidade são: 0, 14 K < 177 ) K < 1266 K > 0 ) 400K A 20 > 0 ) 3, 21 > K A > 0, 05 A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 17 / 19

45 Análise da Estabilidade do Sistema de Excitação (IV) Necessidade de compensação As restrições de estabilidade em MF impõem uma faixa muito restrita para variação de K A ) necessidade de compensação; A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 18 / 19

46 Análise da Estabilidade do Sistema de Excitação (IV) Necessidade de compensação As restrições de estabilidade em MF impõem uma faixa muito restrita para variação de K A ) necessidade de compensação; Estratégia tradicional: compensador de características derivativas em malha de realimentação secundária: S E = f (V fd ) V R,máx V ref V - K R?- V fd A st A K V t - G - + K E + st E 1 + st 6@I - - V sk F 1 + st F V dc K R 1 + st R A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 18 / 19

47 Projeto d Compensador para Sistema de Excitação Visa determinar os parâmetros T F e K F do compensador derivativo: C (s) = s K F 1 + s T F A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 19 / 19

48 Projeto d Compensador para Sistema de Excitação Visa determinar os parâmetros T F e K F do compensador derivativo: C (s) = s K F 1 + s T F O projeto pode ser realizado mediante o uso de técnicas de projeto baseadas no Lugar Geométrico das Raízes; A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 19 / 19

49 Projeto d Compensador para Sistema de Excitação Visa determinar os parâmetros T F e K F do compensador derivativo: C (s) = s K F 1 + s T F O projeto pode ser realizado mediante o uso de técnicas de projeto baseadas no Lugar Geométrico das Raízes; As seguintes regras podem ser deduzidas da aplicação do método: A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 19 / 19

50 Projeto d Compensador para Sistema de Excitação Visa determinar os parâmetros T F e K F do compensador derivativo: C (s) = s K F 1 + s T F O projeto pode ser realizado mediante o uso de técnicas de projeto baseadas no Lugar Geométrico das Raízes; As seguintes regras podem ser deduzidas da aplicação do método: Constante de tempo T F : T R < T F < 1, 0 A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 19 / 19

51 Projeto d Compensador para Sistema de Excitação Visa determinar os parâmetros T F e K F do compensador derivativo: C (s) = s K F 1 + s T F O projeto pode ser realizado mediante o uso de técnicas de projeto baseadas no Lugar Geométrico das Raízes; As seguintes regras podem ser deduzidas da aplicação do método: Constante de tempo T F : T R < T F < 1, 0 Ganho derivativo K F : 20 T F K K compl F onde K compl é um ganho su cientemente alto para garantir que o compensador produzirá pólos dominantes complexos su cientemente amortecidos para o sistema em MF (valor típico: 500). A. Simões Costa (GSP/UFSC) Model. e Anál. Sist. Exc. 19 / 19