2015 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.

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1 015 Dr. Walter F. de Azevedo Jr

2 Cristalografia Etapas para resolução da estrutura 3D de macromoléculas biológicas por cristalografia 3. Interpretação do padrão de difração de raios X. Coleta de dados de difração de raios X. 1. Cristalização. 4. Resolução da estrutura. 5. Análise.

3 Ondas Fenômenos ondulatórios são comuns, desde de exemplos bucólicos, como uma onda formada num lago, a fenômenos não tão óbvios, como as ondas eletromagnéticas, que compõem a luz. A representação gráfica de ondas, normalmente satisfatória para os propósitos da biologia estrutural, faz uso de funções periódicas, como a função seno. Na figura ao lado, temos uma gota d água que caiu sobre uma superfície calma de um reservatório de água. O impacto da gota deforma a superfície, criando uma cratera na água. A fluidez da água faz com que a cratera formada seja rapidamente preenchida, gerando um padrão de ondas. A foto é um instante congelado do fenômeno, onde vemos as ondas que se formaram a uma certa distância de onde a gota incidiu. Foto de alta velocidade de uma gota incidindo sobre a superfície d água. Disponível em: < > Acesso em: de abril de

4 Ondas Para representarmos o instante congelado da figura, temos que considerar a variação senoidal da amplitude (altura da onda) em função da posição (x). A origem é o ponto x = 0, indicado ao lado. Picos sucessivos de amplitude máxima (A) têm uma distância fixa entre eles, indicada na figura, tal distância é o comprimento de onda (). Como o instante está congelado no tempo, o fenômeno não apresenta variação com o tempo. A amplitude (y), varia com a posição (x), ou seja, y(x). Assim, a representação da variação da amplitude (y(x)) em função da posição (x) da onda ao lado, com amplitude máxima (A) e comprimento de onda (), tem a seguinte forma: y(x) Asen( x) X =0 Eixo x Imagem que se forma devido à queda de uma gota d água sobre a superfície. Disponível em: < > Acesso em: de abril de

5 Ondas Vamos considerar a onda mostrada na foto ao lado (parte superior). A onda apresenta um comprimento de onda () de 1,5 cm e a amplitude máxima (A) é 0,5 cm. Assim, sua representação matemática é dada por: y(x) y(x) O gráfico de y(x) está mostrado na figura abaixo, onde vemos claramente a relação entre o fenômeno físico (figura superior) e a representação gráfica (figura inferior). As linhas tracejadas verticais indicam a equivalência entre os picos da onda na água (fenômeno físico) e os picos da função seno da representação matemática. π Asen( λ x) π (0,5 cm)sen( 1,5cm x) 5 Fonte da imagem:

6 Ondas Da mesma forma que representamos a onda em função da sua variação com a distância x, podemos analisar a variação temporal da onda. Podemos pensar na representação em função do tempo, como se fixássemos nossa visão em um ponto específico da água (ponto vermelho da figura). Tal ponto subiria e desceria, submetido a um movimento oscilatório, devido à passagem da onda. A onda viaja com velocidade v, assim, o tempo (t) que a onda demora da origem até o nosso ponto de observação (ponto vermelho da figura), com coordenada x é dado por: t x v 0 x Um ponto x (indicado em vermelho) cuja a altura (y) varia com o tempo (t). Disponível em: < > Acesso em: de abril de

7 Ondas A altura da onda no ponto x (y(t)) varia com o tempo t. O tempo que o ponto x demora para descrever um ciclo completo do movimento é o período da onda (T). Considerando que o ponto x está na altura máxima, ele demora um tempo T para voltar a este ponto de altura máxima. O número de vezes que o ponto x sobe e desce em 1 segundo é a frequência da onda (f), e é dada pelo inverso do período, como segue: f 1 T A frequência é medida em Hertz (Hz). 0 x Um ponto x (indicado em vermelho) cuja a altura (y) varia com o tempo (t). Disponível em: < > Acesso em: de abril de

8 Ondas Se consideramos uma situação particular, onde a onda se deslocou um comprimento de onda, ou seja, onda x =, temos que o tempo que a onda leva para percorrer 1 é o período (T), assim t = T. Usando tal informação, temos que, para t = T e x = a seguinte relação: Se lembrarmos que 1/T é a frequência (f), temos: Ou seja, v x t T 1 v. T T v f 0 x Um ponto x (indicado em vermelho) cuja a altura (y) varia com o tempo (t). Disponível em: < > Acesso em: de abril de

9 Ondas Agora podemos representar a amplitude (y) em função do tempo, sabemos que: Onde y(x) v f Asen( x) e x v.t Substituindo tais igualdades, temos: y(t) Asen( x) f Asen(. v.t) v Chegando à relação que representa a onda em função do tempo: 0 x Um ponto x (indicado em vermelho) cuja a altura (y) varia com o tempo (t). Disponível em: < > Acesso em: de abril de 015. y(t) Asen( f.t) 9

10 Ondas Assim temos duas formas principais de representarmos a variação da amplitude (y) de uma onda. Em função da posição (x), y(x) Asen( x) Onde é o comprimento de onda. Ou em função do tempo (t): y(t) Asen( f.t) Onde f é a frequência. A igualdade f aparece rotineiramente no estudo das ondas, e recebe o nome de frequência angular (). A variação da amplitude da onda pode ser representada em função do tempo (y(t) ou em função da posição (y(x)), como indicado nas equações ao lado. Disponível em: < > Acesso em: de abril de

11 Ondas Caracterizamos as ondas mecânicas periódicas, ou ondas periódicas, pela oscilação dos átomos e moléculas que compõem o meio onde a onda se propaga. A frequência da onda (f) é a frequência de oscilação dos átomos e moléculas do meio. O período, T = 1 / f, é o tempo que leva para um átomo ou molécula particular passar por um ciclo completo do movimento de oscilação. O comprimento de onda () é a distância, entre dois átomos (ou moléculas), que oscilam em fase, ao longo da direção de propagação da onda mecânica. Na representação abaixo temos a variação da amplitude (A) em função da posição x. A 11

12 Ondas Eletromagnéticas As ondas eletromagnéticas são constituídas de campos elétricos (E) e magnéticos (B) oscilantes, que propagam-se com velocidade constante. Podemos imaginar o campo como uma região do espaço onde atuam forças. O campo gravitacional é a região do espaço onde atuam forças gravitacionais. O campo elétrico é a região do espaço onde atuam forças elétricas. O campo elétrico é perpendicular ao campo magnético, como vemos na figura abaixo. E x B 1

13 Ondas Eletromagnéticas Exemplos de ondas eletromagnéticas: raios X, radiação gama, ondas de rádio, luz visível, radiação ultravioleta e radiação infravermelha. A onda eletromagnética pode propagar-se no vácuo, o que não acontece com ondas mecânicas como as ondas sonoras. Para efeitos da interação dos raios X com a matéria, desconsideramos o campo magnético, visto que este é bem menos intenso que o campo elétrico. E x B 13

14 Ondas Eletromagnéticas Para ondas eletromagnéticas deslocando-se no vácuo temos c = m/s. Comprimento de onda f = c frequência Velocidade da luz 14

15 Ondas Eletromagnéticas A radiação eletromagnética pode ser representada pelo comprimento de onda. Ondas de rádio apresentam comprimentos de onda da ordem de metros. Se diminuirmos mais o comprimento de onda, chegamos na faixa do infravermelho, a radiação presente no seu controle remoto, a próxima faixa é o espectro visível, tudo que vemos é desta pequena faixa do espectro de radiação eletromagnética. Avançando temos radiação ultravioleta, que pode causar danos nas células. Raios X e radiação gama são as radiações mais energéticas do espectro de radiação. Comprimento de onda (m) Radiação Raios gama e raios X Ultravioleta Luz visível Infravermelha Ondas de rádio 15

16 Interferência de Ondas As figuras ao lado mostram interferência entre ondas, temos duas ondas em fase, ondas 1 e, onde seus máximos e mínimos coincidem e as ondas apresentam o mesmo comprimento de onda, o resultado da soma das duas é uma onda com a amplitude resultante igual à soma das amplitudes das ondas 1 e e comprimento de onda igual ao das ondas 1 e. No caso de interferência destrutiva, temos as ondas fora de fase (3 e 4), exatamente meio comprimento de onda, onde o máximo da onda 3 coincide com o mínimo da onda 4, o resultado da soma é uma onda de amplitude zero. Interferência construtiva Interferência destrutiva

17 Representação Matemática de Ondas Podemos representar matematicamente ondas e, consequentemente, fenômenos ondulatórios, por meios de funções periódicas como seno e coseno, ou combinações dessas funções. A onda abaixo pode ser representada pela seguinte função: E 1 (t) = A. sen (.t), onde A indica a amplitude da onda, é a frequência angular ( =.f ), onde f é a frequência. O campo é expresso em unidades de campo (uc) e o tempo em unidades de tempo(ut) A 17

18 Representação Matemática de Ondas As figuras abaixo mostram os gráficos de duas ondas, sendo que a segunda apresenta o dobro da frequência da primeira. Vemos claramente que dobramos o número de ondas completas no mesmo período. E1 =.sen(.t); =.f, com f = 0,159 Hz E =.sen(.t); =.f, com f = 0,318 Hz 18

19 Representação Matemática de Ondas Abaixo temos a representação gráfica de 6 ondas, com a frequência variando de 0,159 Hz até 15,9 Hz. f = 0,159 Hz f = 1,59 Hz f =,385 Hz f = 3,18 Hz f = 3,975 Hz f = 15,9 Hz 19

20 Representação Matemática de Ondas Vamos considerar agora a influência da amplitude na representação gráfica das ondas. Temos abaixo a representação gráfica de 3 ondas, com amplitudes 1, e 4. A representação matemática de cada onda está colocada abaixo. Todas as ondas têm a mesma frequência (f = 0,159 Hz). E3 E E1 E1 = 1.sen(.t); E =.sen(.t); E3 = 4.sen(.t); =.f, com f = 0,159 Hz =.f, com f = 0,159 Hz =.f, com f = 0,159 Hz 0

21 Representação Matemática de Ondas Outra característica física da onda é sua fase. A fase representa a posição da onda com relação a origem do sistema de coordenadas no qual a onda é desenhada. Por exemplo, a onda E =.sen(.t + ) está deslocada radianos em relação à onda E1 =.sen(.t). Abaixo temos a representação gráfica de duas ondas, sendo que a segunda está deslocada / radianos com relação à primeira. E1 =.sen(.t) E1 E E =.sen(.t + /) 1

22 Representação Matemática de Ondas Na figura abaixo temos 3 ondas representadas. A onda 1 com fase zero, a onda com fase /6 e a onda e com fase /3. Vemos que a adição da fase positiva desloca a onda para a esquerda, como se tivéssemos adiantado a onda com relação à origem. Todas as ondas têm a mesma amplitude (A = ) e frequência (f = 0,159 Hz). E1 =.sen(.t ) E3 E E =.sen(.t + /6) E3 =.sen(.t + /3) E1

23 Representação Matemática de Ondas Na sequência abaixo temos 6 ondas desenhadas, a onda 1 com fase zero, e as seguintes somando-se /6, sucessivamente até chegar na onda 6 com uma fase de 5/6. E 1 E1 =.sen(.t ) E 1 E =.sen(.t + /6) E 1 E3 =.sen(.t + /3) t(s) t(s) t(s) E E4 =.sen(.t + /) E E5 =.sen(.t + /3) E E6 =.sen(.t + 5/6) t(s) t(s) t(s)

24 Representação Matemática de Ondas Subtraindo-se uma fase /6, teremos a ondas representadas abaixo. Vemos claramente que com a subtração a onda fica atrasada com relação à origem. E 1 E1 =.sen(.t ) E 1 E =.sen(.t - /6) E 1 E3 =.sen(.t - /3) t(s) t(s) t(s) E E4 =.sen(.t - /) E5 =.sen(.t - /3) E E E6 =.sen(.t - 5/6) t(s) t(s) t(s)

25 Representação Matemática de Ondas Vamos considerar a soma de duas ondas (E 1 e E ), ambas com mesma frequência, mas com amplitudes uc e 4 uc, respectivamente, como representado abaixo, uc é unidade de campo elétrico, para deixarmos de uma forma geral. E 1 (t) =.sen(.t) E (t) = 4.sen(.t) E(t) =E 1 (t) + E (t) = E(t) =.sen(.t ) + 4.sen(.t) = 6. sen(.t) 5

26 Representação Matemática de Ondas Consideremos agora uma segunda onda (onda ) com a mesma amplitude A, comprimento de onda e deslocada um ângulo de fase, em relação a onda 1. Podemos representar matematicamente a onda por meio da seguinte função: E (t) = A. sen (.t + ), onde A indica a amplitude da onda, é a frequência angular =.f, onde f é a frequência, indica a fase da onda, como vimos anteriormente. E 1 (t) =.sen(.t) E (t) =.sen(.t+) 6

27 Representação Matemática de Ondas Estamos em condições de considerar a soma de duas ou mais ondas de fase qualquer. Por exemplo, as ondas E1 e E, quando somadas geram a onda E1 + E, o resultado gráfico mostrado abaixo. E1+E E 1 (t) =.sen(.t) E (t) =.sen(.t+) E 1 +E = [sen(.t) + sen(.t+)] 7

28 Representação Matemática de Ondas Vamos considerar a soma de 3 ondas, E1, E e E3, como indicado abaixo. E 1 (t) =.sen(.t) E (t) =.sen(.t+1) E 3 (t) =.sen(.t+) E 1 +E + E 3 = [sen(.t) + sen(.t+1) + sen(.t+) ] E1+E+E3 Uma forma alternativa de representarmos soma de ondas, é a partir da soma no plano complexo, que será descrita a seguir. 8

29 Eixo Imaginário Diagrama de Argand Uma onda com comprimento de onda constante () é caracterizada por duas quantidades, a amplitude (A) e o ângulo de fase (). Estas duas quantidades caracterizam um vetor de módulo (A), no plano complexo, que faz um ângulo () com o eixo dos reais. Quantidades complexas (Z) são representadas no plano complexo (diagrama de Argand), onde o eixo x é chamado de eixo real, e o eixo y eixo complexo. A projeção do vetor A ao longo do eixo real é representado por a=acos(), e a projeção ao longo do eixo imaginário por b=asen(), assim uma quantidade complexa Z, pode ser representada por: Z = a + ib. b A a Z = a + ib Eixo Real 9

30 Eixo Imaginário Diagrama de Argand A representação gráfica indicada no diagrama de Argand permite três representações equivalentes das características geométricas das ondas. Inicialmente a representação simples: Z = a + ib, Z = a + ib = A.cos() + ia.sen() = = A. [cos() + isen() ] = A. e i, onde i é o número complexo i = (-1) 1/ onde a e b já foram definidos como projeções. Depois a indicação explícita das projeções (representação trigonométrica): Z = a + ib = A.cos() + ia.sen() = = A. [cos() + isen() ] b A a Z = A.e i. Z = a + ib Eixo Real Por último a representação exponencial, como cos + isen é a o exponencial e i, temos: 30

31 Eixo Imaginário Diagrama de Argand Abaixo temos o diagrama de Argand (plano complexo) à esquerda, e a representação gráfica de duas ondas E1 e E, à direita. As representações são equivalentes, as ondas E1 e E estão com uma diferença de fase (figura da direita), o que equivale a uma diferença no diagrama de Argand à esquerda. E(t) 6 4 E 1 E E Eixo Real E t

32 Eixo Imaginário Diagrama de Argand A onda E1 tem fase zero, ou seja, começa na origem, a onda E apresenta uma fase com relação à E1. Usando-se a notação complexa exponencial, podemos representar a onda E em função da onda E1, levando-se em conta a diferença de fase. Tal realidade física é expressa matematicamente como: E=E1.e i, indicando a diferença de fase () entre as duas ondas. E(t) 6 4 E 1 (t) = A. sen(.t) E (t) = E 1 e i. E E 1 Eixo Real E t

33 Eixo Imaginário Diagrama de Argand A somatória das duas ondas pode ser representada como segue: E(t) = E 1 (t) + E (t) = E 1 (t) + E 1 (t).e i. =E 1 [1 + e i. ] E(t) 6 4 E 1 (t) = A. sen(.t) E (t) = E 1 e i. E E 1 Eixo Real E t

34 Eixo Imaginário Diagrama de Argand A representação algébrica permite mostrar de forma compacta as ondas, facilitando operações matemáticas, como a soma de ondas mostrada abaixo. A interação dos raios X com os cristais nada mais é que o resultado da soma de várias ondas, que incidem sobre o cristal. Aplicaremos estes conceitos ao estudarmos difração de raios X. E(t) = E 1 (t) + E (t) = E 1 (t) + E 1 (t).e i. =E 1 [1 + e i. ] E(t) 6 4 E 1 (t) = A. sen(.t) E (t) = E 1 e i. E E 1 Eixo Real E t

35 Referências Drenth, J. (1994). Principles of Protein X-ray Crystallography. New York: Springer- Verlag. Stout, G. H. & Jensen, L. H. (1989). X-Ray Structure Determination. A Practical Guide. nd ed. New York: John Wiley & Sons. 35