Proposição 5.4 Sejam X, Y espaços normados. Então, toda aplicação linear T : X Y compacta é contínua e K(X, Y) é um subespaço de L(X, Y).

Transcrição

1 CAPÍTULO 5 Teoria Espectral 5.1 Aplicações Lieares Compactas Defiição 5.1 Sejam X, Y espaços ormados. Uma aplicação liear T : X Y é compacta 1 se, para toda seqüêcia limitada (x ) X, a seqüêcia (Tx ) possuir uma subseqüêcia covergete. Deotamos por K(X, Y) o cojuto das aplicações lieares compactas de X em Y. Exemplo 5.2 Seja E um espaço com produto itero e I: E E a aplicação idetidade. Se E tiver dimesão fiita, etão I é compacta, pois toda seqüêcia limitada em E possui subseqüêcia covergete. Por outro lado, se E tiver dimesão ifiita, I ão é compacta, de acordo com o Corolário??; mas podemos dar um exemplo explícito: um sistema ortoormal arbitrário {e : N} em E é tal que (Ix ) ão possui subseqüêcia covergete. Exemplo 5.3 Seja X, Y espaços ormados e T : X Y uma aplicação liear cotíua. Supohamos que imt teha dimesão fiita. Etão, para toda seqüêcia limitada (x ), a seqüêcia limitada (Tx ) é uma seqüêcia em um espaço de dimesão fiita e, possui, portato, uma subseqüêcia covergete. Assim, T é uma aplicação liear compacta. Aplicações lieares cotíuas possuido imagem de dimesão fiita são chamadas aplicações lieares de posto fiito. Proposição 5.4 Sejam X, Y espaços ormados. Etão, toda aplicação liear T : X Y compacta é cotíua e K(X, Y) é um subespaço de L(X, Y). Demostração: Se T ão fosse limitado, existiria um seqüêcia (x ), com x = 1, tal que Tx > para todo N. Claramete (Tx ) ão possui subseqüêcia covergete, de modo que T ão seria compacto. Se S K(X, Y), é fácil verificar que S + T e λt K(X, Y). Sabemos que, se Y for um espaço completo, etão L(X, Y) é um espaço de Baach. Vamos mostrar que, esse caso, K(X, Y) é um espaço de Baach. Proposição 5.5 Sejam X, Y e Z espaços ormados. 1 Aplicações lieares compactas também são chamados de completamete cotíuas. Algus livros, especialmete europeus, dão uma outra defiição para uma aplicação liear compacta. 1

2 2 CAPÍTULO 5. TEORIA ESPECTRAL (i) Sejam T 1 L(X, Y) e T 2 L(Y, Z). Se T 1 K(X, Y) ou T 2 K(Y, Z), etão T 2 T 1 := T 2 T 1 K(X, Z). (ii) Se Y for um espaço completo, etão K(X, Y) é um subespaço fechado de L(X, Y) e, portato, um espaço de Baach. Demostração: (i) Seja (x ) uma seqüêcia limitada em E. Etão (T 1 x ) é limitada em Y. Se T 2 for compacto, existe etão uma subseqüêcia (T 2 T 1 x j ) covergete. Se T 1 for compacto, existe uma subseqüêcia (T 1 x j ) covergete, e como T 2 é cotíua, (T 2 T 1 x j ) coverge. (ii) Supohamos que T m K(X, Y) e T m T 0 em L(X, Y). Cosidere uma seqüêcia (x ) em X tal que x M para todo N. Como T 1 é compacto, x possui uma subseqüêcia (x 1, ) tal que (T 1 x 1, ) coverge. Como T 2 é compacto, a subseqüêcia limitada (x 1, ) possui uma subseqüêcia (x 2, ) tal que (T 2 x 2, ) é covergete. Procededo desse modo, ecotramos uma subseqüêcia (x m, ) de (x ) tal que (T m x m, ) coverge, para todo m N. Cosidere a (sub)seqüêcia (x, ). Quer dizer, tomamos o primeiro elemeto x 1,1 da subseqüêcia (x 1, ), o segudo elemeto x 2,2 da subseqüêcia (x 2, ) e assim sucessivamete. (Esse é o método diagoal de Cator.) Para todos m N fixo e m, a seqüêcia (x, ) é uma subseqüêcia da (x m, ), de forma que (T m x, ) é covergete. Para simplificar a otação, vamos deotar a seqüêcia (x, ) simplesmete por (x () ). Vamos mostrar que (Tx () ) é covergete. De fato, dado ɛ > 0, tome m N tal que T T m ɛ/(3m). Por outro lado, como (T m x () ) é covergete, existe 0 N tal que j, k 0 implicam T m x (j) T m x (k) ɛ/3. Assim, Tx (j) Tx (k) Tx (j) T m x (j) + T m x (j) T m x (k) + T m x (k) Tx (k) T T m x (j) + ɛ 3 + T T m x (k) ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ. Uma demostração alterativa da afirmação (ii) da Proposição 5.5 é sugerida o Exercício 5. Note que se X for um espaço ormado de dimesão ifiita, a iversa de uma aplicação liear compacta T : X Y, caso exista, ão pode ser cotíua, pois a idetidade I = T 1 T : X X seria etão compacta. Corolário 5.6 Sejam X, Y espaços ormados, com Y completo. Supohamos que T T em L(X, Y) e que T teha posto fiito para todo N. Etão T = lim T é compacto. Observação 5.7 Se X for um espaço de Baach e H um espaço de Hilbert, podese mostrar que toda aplicação T K(X, H) pode ser aproximada em L(X, H) por aplicações T de posto fiito. 2 O resultado é falso para T K(X, Y), se Y for um espaço de Baach arbitrário. 2 Veja [?], p. 90.

3 5.1. APLICAÇÕES LINEARES COMPACTAS 3 Exemplo 5.8 (Cotiuação dos Exemplos?? e??) Se E = C L 2( [a, b], K ), cosideremos o operador itegral K : E E dado por K( f )(x) = b a κ(x, y) f (y)dy, em que seu úcleo κ : [a, b] [a, b] K é uma fução cotíua. Já mostramos que K é um operador limitado e que seu adjuto é obtido ao tomarmos o cojugado em seu úcleo. Cosidere uma partição de [a, b] com comprimeto costate (b a)/ e seja I i um dos itervalos dessa partição. Cosidere os quadrados I i I j com 1 i, j. Como ) κ(x, y) C L 2( [a, b] [a, b], K, essa fução pode ser aproximada (a orma L 2 ) por fuções degrau κ (x, y) = c ij X Ii I j. i,j=1 Estamos deotado por X Ii I j a fução característica do cojuto I i I j. Quer dizer, X Ii I j (x, y) = 1, se (x, y) I i I j, e vale 0, se (x, y) I i I j. Afirmamos que o operador itegral K, com úcleo κ (x, y), é uma combiação liear de um úmero fiito de fuções degrau a variável x. De fato, { b X Ii I j (x, y) f (y)dy = 0, se x I i, a f (y)dy, se x I j I i. Ora, a fução defiida o lado direito da igualdade aterior ada mais é do que cx Ii, em que c = I j f (y)dy. Assim, K é um operador que assume valores o espaço de combiações lieares das fuções degrau X Ii. Esse é um espaço de dimesão. Logo, o operador K é compacto. Aplicamos etão o Corolário 5.6 para cocluirmos que K é compacto. De fato, temos (K K ) f 2 L 2 f 2 L 2 κ κ 2 L 2 0. Isso mostra o afirmado. Observação 5.9 O Exemplo 5.8 é muito importate o estudo de equações difereciais ordiárias (veja sua aplicação o Capítulo??). A demostração de que o operador K é compacto também pode ser feita por meio do Teorema de Arzelà-Ascoli. Notamos, etretato, que a demostração que apresetamos permaece válida para o operador K : L 2( [a, b], K ) L 2( [a, b], K ). Teorema 5.10 Sejam H um espaço de Hilbert e Y um espaço ormado. T : H Y é compacta se, e somete se, x x implicar Tx Tx. Uma aplicação Demostração: Supohamos que o operador T seja compacto, que x x e Tx Tx. Etão existem ɛ > 0 e uma subseqüêcia (x j ) tais que Tx j Tx > ɛ, j N. (5.1) Como a subseqüêcia (x j ) é fracamete covergete, ela é limitada, de acordo com o Pricípio da Limitação Uiforme (Teorema??). Como o operador T é compacto,

4 4 CAPÍTULO 5. TEORIA ESPECTRAL passado a uma subsequêcia, podemos supor que Tx j coverge (fortemete). Como o Exemplo?? garate que Tx j Tx, cocluímos que Tx j Tx, o que cotradiz (5.1). Reciprocamete, cosideremos uma seqüêcia limitada (x ) em H. De acordo com o Corolário??, essa seqüêcia possui uma subseqüêcia (x j ) fracamete covergete, isto é, x j x. Mas etão, por hipótese, Tx j Tx, o que garate que T é compacto. Corolário 5.11 Seja (e ) for uma subseqüêcia ortoormal o espaço de Hilbert H. Se Y for um espaço ormado e T : H Y for um operador compacto, etão Te 0. Demostração: De fato, o Exemplo?? mostra que e 0. Teorema 5.12 Sejam H 1, H 2 espaços de Hilbert. Se T K(H 1, H 2 ), etão T K(H 2, H 1 ). Demostração: Seja (y ) uma seqüêcia limitada em H 2 e extraia uma subseqüêcia (y j ) tal que y j y em H 2. Vamos aplicar o Teorema 5.10 e provar que T y j T y. De fato, temos que T y j T y 2 = T y j T y, T (y j y) = TT y j TT y, y j y. Pelo Exemplo??, T y j T y. Mas T é compacta, de modo que TT y j TT y, provado o afirmado. 5.2 O Espectro Mesmo em dimesão fiita, o estudo de autovalores e autovetores de uma matriz é melhor desevolvido em espaços complexos. Ao abordarmos a teoria em espaços E com produto itero, vamos supor que E seja um espaço sobre o corpo C. A próxima defiição tem o objetivo de torar ossa abordagem válida também para o caso de operadores T : E E em um espaço real: Defiição 5.13 Defiimos a complexificação de um espaço vetorial real X como sedo o cojuto X C = {u + iv; u, v X}. Em X C, defiimos a soma de vetores e a multiplicação por um úmero complexo de maeira atural. É fácil verificar que X C tora-se, assim, um espaço vetorial sobre os complexos. Sejam X um espaço real e T : X X uma aplicação liear. Defiimos a complexificação de T como sedo a aplicação T C : X C X C, dada por T C (u + iv) = Tu + itv. Assim, se X for um espaço real e T : X X um operador liear, ossa abordagem será válida para o operador T C : X C X C.

5 5.2. O ESPECTRO 5 Defiição 5.14 Seja T : X X um operador o espaço complexo X. Um escalar λ C é um autovalor de T se existir 0 = x X tal que Tx = λx. O cojuto {x X : Tx = λx} é chamado auto-espaço associado ao autovalor λ, e cada elemeto ão ulo esse cojuto é um autovetor associado a λ. 3 É fácil verificar que o auto-espaço associado a um autovalor λ de T é um subespaço de X. Defiição 5.15 Seja T : E E um operador o espaço complexo com produto itero E. Um escalar λ C é um valor regular de T se: (i) T λi for ijetor; (iii) (T λi) 1 : E E for limitada. O operador R λ = (T λi) 1 é chamado resolvete de T (com relação a λ). O complemetar (em C) do cojuto de valores regulares de T é chamado espectro de T e deotado por σ(t). Observação 5.16 Observe que a iversa T λi deve estar defiida em todo o espaço E. No caso de operadores T : D(T) H H, a codição da aplicação cotíua (T λi) 1 estar defiida em todo o espaço H é equivalete a exigir que im (T λi) = H. De fato, se (T λi) 1 : im (T λi) H for cotíua, podemos estedê-la a uma aplicação cotíua defiida o fecho de seu domíio, ou seja, em todo H. Assim, podemos supor que R λ : H H. Se D(T) = H e T for fechado, etão o Teorema do Gráfico Fechado garate que T é cotíua. Assim, se T : H H for fechado e T λi uma bijeção, etão λ é um valor regular de T, de acordo com o Corolário??. Veja o Exercício 6. Em um espaço de dimesão fiita, o Teorema (da dimesão) do Núcleo e da Imagem garate que (T λi) 1 só ão existe se λ for um autovalor de C. Se (T λi) 1 existir, etão esse operador sempre é cotíuo. Em espaços de dimesão ifiita a situação ão é tão simples. Exemplo 5.17 Cosideremos o operador R : l 2 l 2 defiido o Exemplo??: R(x 1,..., x,...) = (0, x 1,..., x,...). Já vimos que LR = I e RL = I. Temos que R é uma isometria (e, portato, ijetora), mas R ão é sobrejetora. Assim, a iversa R 1 = (R 0I) 1 ão está defiida em todo l 2, de forma que 0 σ(t). Cotudo, o fato de R ser ijetora garate que 0 ão é autovalor de R. O operador R ão possui autovetores: veja o Exercício 7. 3 Como quase todos os ossos espaços são de fuções, também é usual a deomiação de autofução ao ivés de autovetor.

6 6 CAPÍTULO 5. TEORIA ESPECTRAL Exemplo 5.18 (Veja o Exemplo??) No espaço E = C L 2([a, b], C), cosideremos T : E E defiido por T( f )(t) = u(t) f (t), em que u : [a, b] C é uma fução cotíua fixa. Claramete T f sup t [a,b] u(t) f L 2, de forma que T é cotíuo. Temos que (T λi) f (t) = (u(t) λ) f (t) e (T λi) 1 f (t) = f (t) u(t) λ, sempre que a iversa existir. Cosideremos a primeira igualdade. Para que λ seja autovalor de T, devemos ter (T λi) f 0, ou seja, (u(t) λ) f (t) 0 com f = 0. Por exemplo, se u λ, o auto-espaço associado ao autovalor λ é igual ao espaço iteiro E. Se u(t) = λ em um itervalo, f = 0 será uma autofução se for ideticamete ula o complemetar desse itervalo. (Veja o Exercício 25?) Mas, se u(t) = λ para algum t [a, b], a seguda igualdade mostra que (T λi) 1 ão é limitado. (Veja, ovamete, o Exercício 25.) Assim, o espectro de T cosiste de todos os valores λ C tais que u(t) = λ para algum t [a, b]. Note que, se u(t) for (estritamete) crescete, etão T ão terá autovalores. Exemplo 5.19 Seja E = C L 2([0, 2π], R) Cosideremos o operador T : E E defiido por T( f )(x) = 2π 0 cos(x y) f (y)dy. Esse é um operador itegral com úcleo κ(x, y) = cos(x y). (Assim, T é simétrico. Veja o Exemplo??.) Vamos mostrar que π é o úico autovalor ão ulo de T. Para isso, cosideramos a equação ou seja, Defiido vemos que T( f )(x) = 2π 0 cos(x y) f (y)dy = λ f (x), 2π 2π cos x cos y f (y) dy + se x se y f (y)dy = λ f (x). 0 0 a = 2π 0 cos y f (y) dy e b = 2π 0 se y f (y)dy, λ f (x) = a cos x + bse x, (5.2) ou seja, f (x) é uma combiação liear das fuções se x e cos x. Multiplicado a última igualdade pela fução cos x e, etão, itegrado de 0 a π, obtemos πa = λa. Multiplicado (5.2) pela fução cos x e, etão, itegrado de 0 a π, obtemos πb = λb. Assim, se a = 0 ou b = 0, cocluímos que λ = π. Por outro lado, se a = 0 e b = 0, a igualdade (5.2) implica que λ = 0. Nesse caso, vemos que toda fução que seja simultaeamete ortogoal às fuções cos x e se x é uma auto-fução associada ao autovalor 0. Daí cocluímos que o auto-espaço associado ao autovalor 0 tem dimesão ifiita.

7 5.3. PROPRIEDADES BÁSICAS DO ESPECTRO Propriedades Básicas do Espectro O espectro de um operador T e de seu adjuto estão diretamete relacioados: Proposição 5.20 Seja T : D(T) H H um operador desamete defiido. Etão: (i) λ C é um autovalor de T se, e somete se, im(t λi) = H; (ii) se T for fechado, etão σ(t) = σ(t ), isto é, λ σ(t) se, e somete se, λ σ(t ). Demostração: Aplicado o Teorema?? ao operador T λi (com E = D(T)), cocluímos ker(t λi) = [ im (T λi) ]. Mas λ é um autovalor de T se, e somete se, existe x D(T) tal que x ker(t λi). Pela igualdade aterior, x im (T λi), o que mostra (i). Seja λ um valor regular de T. De acordo com o Exercício 6, temos que (T λi) 1 é fechado. Decorre da Proposição?? que im (T λi) é um cojuto fechado e, da Proposição??, que (T λi) é ijetora e [ (T λi) ] 1 [ = (T λi) 1 ]. Da defiição de adjuta vem que [ (T λi) 1] é um operador cotíuo em H e, portato, [T λi] 1 é um operador cotíuo em H. Mostramos assim que λ é um valor regular de T. Aalogamete, supodo λ um valor regular de T, verificamos que λ é valor regular de T, mostrado (ii). Teorema 5.21 Sejam H um espaço de Hilbert e 0 = x D(T) um autovetor correspodete ao autovalor λ do operador T : D(T) H H. Etão: (i) se T for uma isometria, etão λ = 1; (ii) se T for ormal, etão x é autovetor de T correspodete ao autovalor λ; em particular, autovalores de um operador simétrico são reais; autovalores de um operador ati-simétrico são ulos ou imagiários puros; Além disso, autovetores associados a autovalores distitos de um operador ormal são sempre ortogoais. Demostração: Se T for uma isometria, etão λ x = λx = Tx = x, mostrado que λ = 1. Se T for ormal, como (T λi) é um operador ormal, decorre do Teorema?? que Tx = λx (T λi)x = 0 (T λi) x = 0 T x = λx. Em particular, se T for simétrico, etão λx = λx, o que implica (λ λ)x = 0 e, como x = 0, λ = λ; do mesmo modo, se T for ati-simétrico, obtemos (λ + λ)x = 0 e, portato, λ + λ = 0.

8 8 CAPÍTULO 5. TEORIA ESPECTRAL e Seja etão 0 = y um autovetor de T associado ao autovalor µ = λ. Etão T y = µy λ x, y = Tx, y = x, T y = x, µy = µ x, y. Assim, (λ µ) x, y = 0, de ode cocluímos que x, y = 0, fializado a demostração. Observação 5.22 Note que o Teorema 5.21 garate, em particular, que todos os autovalores λ de um operador uitário satisfazem λ = 1. O espectro de um operador cotíuo defiido o espaço de Hilbert H é limitado: Teorema 5.23 Seja T : H H um operador liear cotíuo. Etão, o espectro de T é um cojuto limitado. Mais precisamete, para todo λ tal que λ > T, T λi possui iversa cotíua dada por e (T λi) 1 = (T λi) 1 =0 T λ +1 1 λ T. Demostração: Tome λ tal que λ > T. Uma vez que T/λ < 1, temos que T =0 λ T =0 λ <. Isso mostra que a série =0 T /λ é absolutamete covergete. Assim, como L(H, H) é completo, está bem defiido o operador liear cotíuo Uma vez que e, de maeira aáloga vemos que além disso, =0 B = T =0 λ. ( ) T (T λi)b = (T λi) T =0 λ = +1 λt =0 λ ( ) T +1 T = λ λ+1 λ = λi (T λi) +1 1 λ B(T λi) = λi, R λ = (T λi) 1 = B λ = =0 =0 T λ Mostramos, assim, que σ(t) B T (0). T λ +1. = 1 1 λ 1 T/λ = 1 λ T. O restate da seção é mais avaçada e pode ser suprimida, a critério do professor.

9 5.3. PROPRIEDADES BÁSICAS DO ESPECTRO 9 Defiição 5.24 Sejam H um espaço de Hilbert e T : D(T) H H um operador. Um escalar λ K é um autovalor geeralizado (ou autovalor aproximado), se existe uma seqüêcia de vetores uitários (x ) em D(T) tal que lim (T λi)x = 0. É claro que todo autovalor de um operador também é um autovalor geeralizado. Proposição 5.25 Sejam H um espaço de Hilbert e T : D(T) H H um operador liear. afirmações são equivaletes: (i) o escalar λ K é um autovalor de T ou, se ão for, (T λi) 1 existe, mas ão é limitado; (ii) o escalar λ é um autovalor geeralizado de T. As seguites Demostração: Se λ for um autovalor de T, cosideremos um autovetor uitário x = 0 associado a λ e defia a seqüêcia costate x = x para todo N. Se λ ão for um autovalor de T e (T λi) 1 for descotíuo, existe uma seqüêcia de vetores uitários y tal que (T λi)y =. Defiimos etão x = A seqüêcia (x ) é formada por vetores uitários e (T λi)y (T λi)y, N. lim (T λi)x y = lim (T λi)y = 0. Em qualquer caso, verificamos que (i) implica (ii). Reciprocamete, se λ ão for autovalor de T e se a seqüêcia (x ) for tal que lim (T λi)x = 0, defiimos y = A seqüêcia y é formada por vetores uitários e (T λi)x (T λi)x. lim (T λi) 1 1 y = lim (T λi)x =. Teorema 5.26 Seja T : D(T) H H um operador desamete defiido e auto-adjuto. 4 Etão (i) λ é um autovalor de T se, e somete se, im(t λi) = H; (ii) σ(t) R; (iii) o espectro de T cosiste apeas de autovalores geeralizados; (iv) λ é um valor regular de T se, e somete se, im (T λi) = H. Demostração: A afirmação (i) decorre imediatamete da Proposição 5.20 e do fato dos autovalores de um operador simétrico serem reais. Seja λ = α + iβ, com α, β R, β = 0. Etão λ ão é um autovalor de T, como coseqüêcia do Teorema Logo, existe o resolvete R λ : im (T λi) H e é fechado (pela Proposição??). Vamos mostrar que R λ é cotíuo. Para isso, seja y im (T λi). Etão existe x D(T) tal que (T λi)x = y. Assim, y 2 = (T λi)x, (T λi)x = (T αi)x iβx, (T αi)x iβx = (T αi)x 2 iβ x, (T αi)x + iβ (T αi)x, x + β 2 x 2 = (T αi)x 2 + β 2 x 2 β 2 x 2 = β 2 (T λi) 1 y 2. Cocluímos que (T λi) 1 y y β, 4 Isso implica que T é fechado, de acordo com a Proposição??.

10 10 CAPÍTULO 5. TEORIA ESPECTRAL o que garate que (T λi) 1 1 β. Da Proposição?? segue-se que im (T λi) = im (T λi). Uma vez que λ ão é autovalor de T, de (i) vem que im (T λi) = H. Mas, por defiição, isso implica que λ é valor regular de T, o que prova (ii). Supohamos que λ σ(t) ão seja um autovalor. Por (ii), temos que λ R. Decorre de (i) que im (T λi) = H, equato a Proposição?? garate que R λ : im (T λi) H é fechado. Se R λ fosse limitado, cocluiríamos (ovamete pela Proposição??) que im (T λi) = H e etão, como ates, λ seria valor regular de T. Portato, R λ ão pode ser limitado e (iii) decorre da Proposição Se λ for valor regular de T, etão im (T λi) = H e (T λi) 1 : im (T λi) H é cotíua e fechada. Por isso, temos im (T λi) = im (T λi) = H. Reciprocamete, supohamos que im (T λi) = H. Se λ R, etão λ é valor regular de T, de acordo com (ii). Se λ R, de (i) decorre que T λi é ijetor e, pelo Exercício?? do Capítulo??, temos R λ auto-adjuto. Assim, pelo Teorema de Helliger-Töplitz (Proposição??) temos R λ cotíua. Isso mostra que λ é valor regular de T. 5.4 A alterativa de Fredholm Para explicar a alterativa de Fredholm, começamos esclarecedo seu sigificado em espaços de dimesão fiita. Exemplo 5.27 Seja A uma matriz m. Cosidere o sistema liear ão homogêeo Ax = b. Supohamos que x p seja uma solução desse sistema. Claramete, x p + z também é solução desse sistema, para qualquer z ker A. Mas todas as soluções de Ax = b são da forma x p + z, em que z ker A. De fato, se x 0 for outra solução de Ax = b, temos que A(x 0 x p ) = 0, de modo que x 0 x p = z ker A. Ou seja, x 0 = x p + z. Assim, as soluções de Ax = b e as de Ax = 0 estão diretamete relacioadas. Se ker A = {0}, etão a úica solução de Ax = b será x p. Se ker A tiver dimesão k, existem k soluções liearmete idepedetes x 1,..., x k de Ax = 0 e as soluções de Ax = b são da forma x p + α 1 x α k x k para escalares α 1,..., α k. Mas Ax = b pode ão ter solução: basta que b ima. Uma vez que K m = (ima) ima e o Teorema?? garate que ker A = (ima), vemos que Ax = b tem solução se, e somete se, b (ker A ). Uma propriedade simples, utilizada o Exemplo 5.27, deve ser ressaltada: ima é fechada, pois ima é subespaço de K m. Colocamos agora a mesma questão para um operador cotíuo S : H H em um espaço de Hilbert. Segudo o Teorema??, vale H = ker S ims. Se ker S = {0}, podemos garatir que ims é fechada? Se esse for o caso, etão ker S = {0} implicaria que H = ims e, em particular, a equação Sx = y teria solução para todo y H. Ifelizmete, em geral, ão temos ims = ims. Vejamos um exemplo:

11 5.4. A ALTERNATIVA DE FREDHOLM 11 Exemplo 5.28 Cosideremos o operador S : l 2 l 2 dado por S(x 1, x 2,..., x,...) = O operador S é auto-adjuto, pois Sx, y = x i y y i = i x i i=1 =1 ( x1 1, x 2 2,..., x ),.... = x, Sy. Temos que Sx = 0 implica x = 0. Assim, ker S = {0} = ker S. Além disso, S é compacto. De fato, se cosiderarmos os operadores S : l 2 l 2 defiidos por S (x 1,..., x,...) = ( x1 1, x 2 2,..., x, 0,..., 0 ), etão cada operador S tem posto fiito e, dado ɛ > 0, para todo x l 2 vale (S S )x 2 = i=+1 2 < ɛ 2, desde que tomemos suficietemete grade. Assim, S é compacto, como limite de operadores de posto fiito. Cosideremos a equação Sx = y, com y = ( 1 1, 1 2,..., 1,...) l 2. É fácil verificar que essa equação ão tem solução x l 2. Exemplo 5.29 Geeralizado o Exemplo aterior, seja T : H H um operador compacto defiido em um espaço de Hilbert de dimesão ifiita tal que ker T = {0}. Etão imt uca é fechada. Para mostrarmos esse fato, começamos com uma observação: se T for compacta, etão a imagem de qualquer cojuto M limitado é tal que T(M) é compacto. (Veja o Exercício 14.) Assim, T(B 1 (0)) é compacto. Se imt fosse fechada, etão T seria sobrejetor e, de acordo com o Teorema da Aplicação Aberta, teríamos que B r (0) T(B 1 (0)) para r suficietemete pequeo e, portato, B r (0) T(B 1 (0)). Logo, B r (0) seria compacto e, de acordo com a Observação??, H teria dimesão fiita. x i A demostração do próximo resultado segue a abordagem de Evas [?]: Teorema 5.30 (Alterativa de Fredholm) Seja T : H H um operador liear compacto. Etão: (i) ker (I T) tem dimesão fiita; (ii) im(i T) é um subespaço fechado; (iii) im(i T) = ker(i T ) ; (iv) ker (I T) = {0} se, e somete se, im(i T) = H; (v) dim ker (I T) = dim ker (I T ).

12 12 CAPÍTULO 5. TEORIA ESPECTRAL Demostração: Se ker (I T) tivesse dimesão ifiita, existiria uma seqüêcia ortoormal (x k ) ker (I T). Para essa seqüêcia vale Tx = x. Como x k x j = x k 2 x k, x j + x j 2 = 2, vemos que Tx k Tx j = 2. Como (x k ) é limitada, isso cotradiz o fato de T ser compacto, provado (i). Afirmamos que existe uma costate C > 0 tal que z Tz C z, z ker (I T). (5.3) De fato, caso cotrário, existiria uma seqüêcia z k z k = 1 e z k Tz k < 1/k. Assim, ker (I T) satisfazedo z k Tz k 0. (5.4) Como (z k ) é limitada, existe uma subseqüêcia (z kj ) tal que z kj z. Como T é compacto, Tz kj Tz. Decorre de (5.4) que z kj z e z = Tz, ou seja, z ker (I T). Mas, por defiição, z kj ker (I T), ou seja, z kj, z = 0 j. Fazedo j, cocluímos que z = 0, o que cotradiz z = lim j z kj = 1 e prova (5.3). Seja agora (y k ) uma seqüêcia em im(i T), tal que y k y. Tome uma seqüêcia (x k ) ker (I T) tal que x k Tx k = v k. Decorre etão de (5.3) que y k y j = (x k x j ) T(x k x j ) C x k x j. Como x k x j 0, existe x tal que x k x. Tomado o limite a igualdade x k Tx k = v k, cocluímos que x Tx = v, o que prova (ii). A afirmação (iii) decorre etão do Teorema??-(iii) e da afirmação aterior. Supohamos que ker (I T) = {0} mas que H 1 = im(i T) seja um subespaço próprio de H. Decorre de (ii) que H 1 é fechado. Defiido H 2 = im(i T)(H 1 ), como I T é ijetora, vemos que H 2 é um subespaço próprio de H 1. Prosseguido dessa maeira, ecotramos uma seqüêcia (H k ) de subespaços fechados de H, com H k+1 H k para k N. Escolha agora x k H k de modo que x k Hk e x k = 1. Etão Tx j Tx k = (x j Tx j ) + (x k Tx k ) + x j x k = [ (x j Tx j ) + (x k Tx k ) + x j ] x k Para k > j temos H k+1 H k H j+1 H j, de modo que x j, x j Tx j, x k Tx k H j+1. Como H j+1 é subespaço próprio de H j x j, vemos que Tx j Tx k 1 para k > j N. Isso cotradiz o fato de T ser compacto. Reciprocamete, supohamos que im(i T) = H. Decorre de (iii) que ker (I T ) = {0}. Uma vez que T é compacto, decorre da argumetação aterior que

13 5.5. OPERADORES SIMÉTRICOS COMPACTOS 13 im(i T ) = H. Mas etão ker (I T) = im(i T ) = {0}, o que coclui a prova de (iv). Para provarmos (v), afirmamos iicialmete que dim ker (I T) dim im(i T). (5.5) Supohamos essa afirmativa falsa. Etão existiria uma aplicação liear cotíua A : ker (I T) im(i T) ijetora, mas ão sobrejetora. Defiido Ax = 0 se x ker (I T), temos que A : H im(i T) possuiria imagem de dimesão fiita sedo, portato, seria compacta. Logo, T + A seria um operador compacto. Teríamos ker (I (T + A) = {0}. De fato, caso cotrário, existiria x = 0 tal que Tx + Ax = x e, etão, x Tx = Ax im(i T), o que implicaria x Tx = Ax = 0. Assim, x ker (I T) e, portato, x = 0, graças a ijetividade de A em ker (I T). Ao aplicarmos (iv) ao operador T = T + A, cocluiríamos que im(i (T + A)) = H, uma afirmativa falsa, pois se y im(i T) mas y ima (o que seria possível, já que ima teria dimesão fiita), a equação x (Tx + Ax) = y ão tem solução. Isso coclui a demostração de (5.5). Note que, em virtude do Teorema 5.12, resultado aálogo vale para T : Mostraremos (v), aplicado (5.5) e (5.6). dim ker (I T ) dim im(i T ). (5.6) dim ker (I T) dim im(i T) = dim ker (I T ), de acordo com o Teorema??. Aalogamete, aplicado (5.6), mostramos a desigualdade cotrária. 5.5 Operadores Simétricos Compactos Seja A uma matriz auto-adjuta, isto é, Ax, y = x, Ay x, y R. Como sabemos da Álgebra Liear 5 os autovetores liearmete idepedetes de A formam uma base ortogoal do espaço R. Tomado esses autovetores uitários, obtemos que A é ortogoalmete diagoalizável, isto é, existe uma matriz diagoal D, com etradas diagoais reais, tais que P t AP = D, em que a trasposta P t da matriz P é a iversa de P. O objetivo deste Capítulo é mostrar que essa teoria pode ser estedida para operadores simétricos compactos defiidos em um espaço de Hilbert H. 6 A demostração do próximo resultado é uma adaptação daquela ecotrada em Lax [?] e Figueiredo [?]. 5 Veja [AL], Capítulo Operadores T : H H simétricos compactos são auto-adjutos.

14 14 CAPÍTULO 5. TEORIA ESPECTRAL Teorema 5.31 Sejam H um espaço de Hilbert separável e T : H H um operador simétrico compacto. Etão existe uma base ortoormal {e } de H formada por autovalores de T: Te = λ e. Os autovalores λ são todos reais e formam uma sequêcia cujo úico poto de acumulação é 0. λ 1 λ 2... λ... (5.7) Mostraremos esse resultado como cosequêcia de uma série de resultados auxiliares. Em espaços de dimesão fiita, a existêcia de autovalores para um operador autoadjuto é estabelecida por meio do Teorema Fudametal da Álgebra. O próximo resultado mostra como obter sua existêcia para um operador auto-adjuto compacto em um espaço com produto itero. Lema 5.32 Sejam E um espaço com produto itero e T : E E um operador liear simétrico compacto. Etão, ou T ou T é um autovalor de T. Demostração: Se T = 0, a afirmação é óbvia. Se T = 0, existe uma seqüêcia x E, com x = 1, tal que Tx, x T, de acordo com o Teorema??. Como a seqüêcia de úmeros reais ( Tx, x ) é limitada, podemos supor que Tx, x λ, em que λ = T. Temos, etão, 0 Tx λx 2 = Tx λx, Tx λx = Tx 2 2λ Tx, x + λ 2 2 ( T 2 λ Tx, x ) 0 quado, pois Tx 2 T 2 = λ 2. Uma vez que T é compacto e (x ) é limitada, existe uma subseqüêcia (x j ) tal que Tx j e E. A desigualdade aterior mostra que λx j e. Como T é cotíuo, T(λx j ) λe. Passado ao limite quado j vem Te = λe. Como e = λx j = λ = T, mostramos que e é um autovetor associado a λ, pois T = 0. Observação 5.33 Se E for um espaço de Hilbert, podemos utilizar a covergêcia fraca a demostração aterior. De fato, podemos supor que a seqüêcia (x ) de vetores uitários tal que Tx, x T satisfaz x e. Como T é compacto, o Teorema 5.10 garate que Tx Te. Pelo Exercício?? do Capítulo??, temos que Tx, x Te, e. Assim, Te, e = λ 1, em que λ 1 = T. (5.8) Afirmamos que e = 1 e Te = λ 1 e. O Teorema?? garate que e 1. A equação (5.8) mostra que e = 0. Para mostrar que e = 1, supohamos λ 1 > 0 e tomemos w = e/ e. Etão w é uitário e Tw, w = Te, e e 2 = λ 1 e 2. Se fosse e < 1, teríamos Tw, w > λ 1, o que cotradiz o Teorema??. Observe que, se fosse λ 1 < 0, também chegaríamos a uma cotradição. Isso prova que e = 1.

15 5.5. OPERADORES SIMÉTRICOS COMPACTOS 15 Como ates, verificamos que lim Tx λx 2 = 0. Uma vez que λx λe e λx lim Tx = Te, temos que Tz = λz. Defiição 5.34 Para todo x E, a expressão R T (x) = Tx, x x 2, utilizada a observação aterior, é chamada quociete de Rayleigh de T. 7 O vetor z utilizado a observação é um extremo de R T etre todos os vetores de E. Proposição 5.35 Seja E um espaço com produto itero e T : E E um operador simétrico compacto. Etão existe uma coleção eumerável (fiita ou ifiita) {λ } de úmeros reais cotedo todos os autovalores ão ulos de T, com λ 1 λ 2... λ... e cujo úico poto de acumulação é 0. A esses autovalores está associada uma coleção {e } de autovetores ormalizados de modo que, para todo x E, Tx = λ x, e e = λ x e. (5.9) Assim, im T é um espaço separável que tem como base ortoormal o cojuto {e }. Demostração: De acordo com o Lema 5.32, existe um autovalor λ 1 de T tal que λ 1 = T. Seja e 1 o autovetor ormalizado correspodete. Deotamos etão F 1 = E, T 1 = T e F 2 = < e 1 >. Temos que F 2 é ivariate por T 1 e a restrição T 2 := T 1 F2 é um operador simétrico, de acordo com Proposição??. É claro que T 2 é compacto. Se T 2 = 0, a aplicação do Lema 5.32 ao operador T 2 garate a existêcia de um autovalor real λ 2 e de um autovetor ormalizado e 2 correspodete. Note que λ 2 = T 2 T 1 = λ 1. Repetido esse processo, obtemos autovalores reais ão ulos λ 1,..., λ de T, com λ 1 λ 2... λ, autovetores ormalizados correspodetes e 1,..., e, ortogoais dois a dois e, para i {2,..., }, subespaços F i+1 F i ivariates por T, em que F i desiga o subespaço de E ortogoal ao espaço gerado por e 1,..., e i. Supohamos que, para algum, a restrição T +1 de T ao subespaço F +1 seja ula. Afirmamos etão que Tx = λ i x, e i e i, x E. i=1 (Note que esse caso correspode a um operador simétrico (auto-adjuto) um espaço E de dimesão fiita, já que tais operadores são compactos.) De fato, seja y = x i=1 x, e i e i. Etão y, e i = 0 para todo i = 1,...,, o que mostra que y F +1. Logo Ty = 0, o que resulta o afirmado. 7 Veja [AL], Capítulo 10.

16 16 CAPÍTULO 5. TEORIA ESPECTRAL Supohamos, etão, que a restrição T +1 de T ao subespaço F +1 uca se aule. Obtemos assim uma seqüêcia (λ ) N de autovalores ão ulos de T satisfazedo (5.7) e um cojuto ortoormal {e 1,..., e,...} formado por autovetores correspodetes. Aplicado o Corolário 5.11 ao cojuto ortoormal {e }, cocluímos que Te 0, o que implica que λ 0. Fixado arbitrário e defiido (como ates) y := x i=1 x, e i e i, já vimos que y F +1 e, portato, Ty = T +1 y. Assim, decorre da desigualdade de Bessel que ( ) T x x, e i e i T +1 x x, e i e i λ +1 x. (5.10) i=1 i=1 Uma vez que λ 0 quado, (5.9) decorre imediatamete. Se existisse um autovalor λ = 0 de T que ão se ecotra a seqüêcia (λ ), etão o autovetor ão ulo correspodete z seria ortogoal a todos os e. De (5.9) seguese etão que Tz = 0, o que é um absurdo, pois Tz = λz. Em particular, todos os autovalores de T são reais. Provamos que imt tem uma base ortoormal formada por autovetores de T. Essa base ortoormal, como coseqüêcia do Teorema da Base??, também é uma base ortoormal do espaço imt. Observação 5.36 Note que λ 0 implica que o autovalor λ i R pode aparecer apeas um úmero fiito de vezes em (5.7). Assim, se defiirmos a dimesão algébrica do autovalor λ = 0 como o úmero de vezes que ele aparece em (5.7), o Teorema 5.31 afirma que a multiplicidade algébrica de λ é igual à sua multiplicidade geométrica, isto é, que a multiplicidade algébrica de λ é a dimesão de E λ = {x E : Tx = λx}. A Proposição 5.35 é costrutiva e permite obter o -ésimo autovalor de T: λ = Tx, x max x < e 1,...,e 1 > x 2. Demostração do Teorema 5.31: Aplicado o Corolário?? ao operador T : H H e, se ker T = {0}, tomado uma base ortoormal (eumerável) de ker T, obtemos uma base ortoormal de H formada por autovetores de T. Observação 5.37 Resultado aálogo vale para um espaço de Hilbert arbitrário. Apeas ão podemos garatir que a base ortoormal para o espaço de Hilbert ker T seja eumerável. Corolário 5.38 Sejam H um espaço de Hilbert e S, T : H H operadores simétricos compactos. Supoha que ST = TS. Etão H admite uma base ortoormal formada por autovetores tato de S como de T. Demostração: Seja λ um autovalor de S e E λ = {x H : Sx = λx} o auto-espaço correspodete a esse autovalor. Se x E λ, etão STx = TSx = T(λx) = λtx.

17 5.5. OPERADORES SIMÉTRICOS COMPACTOS 17 Isso mostra que Tx é um elemeto de E λ. Em outras palavras, mostramos que E λ é ivariate por T. Assim, existe uma base ortoormal de E λ formada por autovetores de T. (Se λ = 0, essa é uma base de Hamel, pois E λ tem dimesão fiita.) Como todo elemeto de E λ é autovetor de S, cada espaço E λ tem uma base ortoormal formada por autovetores tato de S como de T. O resultado decorre daí. O Teorema 5.31 garate que 0 é o úico poto de acumulação da sequêcia (5.7). Na verdade, mesmo que 0 ão seja autovalor de T, sempre temos 0 σ(t): Proposição 5.39 Sejam E um espaço com produto itero de dimesão ifiita e T : E E um operador liear compacto. Etão 0 σ(t). Demostração: Supohamos que T seja bijetor. Uma vez que T é compacto, a iversa T 1 = (T 0I) 1 ão pode ser limitada, de acordo com a Observação 5.7. Isso garate que 0 σ(t). Exemplo 5.40 Se E for um espaço com produto itero de dimesão fiita, um operador liear em E em sempre tem 0 como autovalor. Se E tiver dimesão ifiita, o operador idetidade I: E E ão é compacto e σ(i) = {1}. Assim, as hipóteses do Corolário 5.39 são ecessárias. Observação 5.41 Se você leu a parte fial da Seção 5.3, o Teorema 5.26 garate que σ(t) = {λ 1,..., λ,..., 0}, em que λ 1,..., λ,... são os autovalores ão ulos de T. No Exercício?? recuperaremos esse resultado o cotexto de operadores compactos. Se H for um espaço de Hilbert separável, o fato de existir uma base {e } formada por autovetores do operador simétrico compacto T : H H os permite desevolver o cálculo fucioal (veja [AL], Capítulo 6) para esse tipo de operadores. Nossa exposição segue aquela de Lax [?]. Defiição 5.42 Seja T : H H um operador simétrico compacto defiido o espaço de Hilbert separável H, {e : N} uma base ortoormal formada por autovetores de T, com Te = λ e para todo. Para toda fução complexa f defiida em σ(t) podemos associar um operador f (T) : H H, defiido por em que f (T)x = x = f (λ )x e, =1 x e. =1 Teorema 5.43 O operador f (T) satisfaz: (i) se f 1, etão f (T) = I; (ii) se f (σ) = σ para todo σ σ(t), etão f (T) = T; (iii) se f for uma fução real, f (T) é simétrico;

18 18 CAPÍTULO 5. TEORIA ESPECTRAL (iv) se f assumir valores positivos em σ(t), etão f (T)x, x 0 para todo x H; (v) a aplicação f f (T) é um isomorfismo isométrico da álgebra de fuções limitadas em σ(t) a álgebra de aplicações limitadas de H em H; assim, f (T) = sup f (σ). σ σ(t) 5.6 Operadores Normais Compactos A extesão da teoria desevolvida para operadores ormais compactos segue agora o mesmo modelo desevolvido em dimesão fiita (veja [AL]). Assim, seja A : H H um operador ati-simétrico compacto. Etão ia : H H é um operador simétrico compacto: (ia)x, y = i Ax, y = i x, Ay = x, (ia)y. Assim, o próximo resultado é uma cosequêcia imediata do Teorema 5.31: Teorema 5.44 Seja A : H H um operador ati-simétrico compacto o espaço de Hilbert complexo H. Etão: (i) os autovalores de A são iguais a zero ou úmeros imagiários puros; (ii) existe uma base ortoormal de E cosistido de autovetores de A. Agora mostramos a teoria espectral de operadores ormais em espaços euclidiaos complexos. Teorema 5.45 Seja N : H H um operador ormal compacto defiido o espaço de Hilbert complexo H. Etão N possui uma base ortoormal cosistido de autovetores. Demostração: Supohamos que N seja ormal. Uma vez que N e N comutam, o mesmo acotece com S := N + N 2 e T := N N. 2 Os operadores S e T são simétrico e ati-simétrico, respectivamete. Além disso, ambos são operadores compactos, de acordo com o Teorema Aplicamos etão o Teorema 5.31 e o Corolário 5.38 aos operadores H e ia: existe uma base ortoormal formada por autovetores tato de H quato de ia e, assim, por autovetores tato de H quato de A. Como N = H + A, vemos que essa base é formada por autovetores de N. Note que, segudo os Teoremas 5.31 e 5.44, se Hv = av e Av = (ib)v (com a, b R), etão Nv = Hv + Av = (a + bi)v.

19 5.7. OPERADORES POSITIVOS SEMIDEFINIDOS Operadores Positivos Semidefiidos Seja H um espaço de Hilbert complexo. Defiição 5.46 Seja S, T : H H operadores simétricos. 8 Escrevemos S T (ou T S) se Sx, x Tx, x. O operador T é positivo semidefiido se Tx, x 0 para todo x H. Nesse caso, escreve-se 0 T. Se valer Tx, x > 0 para todo x = 0, etão T é positivo defiido. 9 O próximo resultado é de fácil demostração: Proposição 5.47 Seja S = {T : H H : T é simétrico}. Etão operadores em S satisfazem: (i) S S; (ii) se S T e T U, etão S U; (iii) se S T e T S, etão S = T; (iv) se 0 S + T (com 0 S e 0 T), etão S = T = 0; (v) se S T e U V, etão S + U T + V; (vi) se 0 T e α < β, etão αt βt; (vii) se S T, para todo A L(H, H) cotíuo vale A SA A TA; (viii) S I S S I; (ix) para todo A L(H, H) vale 0 A A e 0 AA ; (x) se existe S 1 : ims H, etão S 1 S. Observe que as afirmações (i) e (ii) implicam que S é um cojuto parcialmete ordeado por. Exemplo 5.48 O produto de dois operadores positivos semidefiidos ão é, ecessariamete, positivo semidefiido. De fato, os operadores S, T : C 2 C 2 dados por S = ( ) e T = ( ) são ambos positivos semidefiidos, mas o produto ST ão é. Teorema 5.49 Sejam S, T : H H operadores positivos semidefiidos tais que ST = TS. Etão ST e TS são operadores positivos semidefiidos. 8 De acordo com o Teorema de Helliger-Töplitz (Proposição??), os operadores S e T são cotíuos. Note que, de acordo com o Teorema??, temos Sx, x R e Tx, x R para todo x H. 9 É também usual chamar de positivo um operador positivo semidefiido. Nesse caso, um operador positivo defiido é chamado de estritamete positivo.

20 20 CAPÍTULO 5. TEORIA ESPECTRAL Demostração: Sem perda de geeralidade, podemos assumir que S = 0. Defiimos etão S 1 = S e S S +1 = S S. 2 Claramete os operadores S são simétricos e comutam etre si: S m S = S S m para quaisquer m,. Afirmamos que 0 S I, N, resultado que mostraremos por idução. O caso = 1 decorre diretamete da Proposição 5.47, (viii). Supodo o resultado válido para = k, temos S 2 k (I S k)x, x = S k (I S k )x, S k x = (I S k )S k x, S k x 0 e o que implica que S k (I S k ) 2 x, x = S k (I S k )x, (I S k )x 0, S 2 k (I S k) 0 e S k (I S k ) 2 0. e Daí decorre que provado o afirmado. Uma vez que S k+1 = S 2 k (I S k) + S k (I S k ) 2 0 I S k+1 = (I S k ) + S 2 k 0, vemos que S 1 = S S 2 = S S2 2 + S 3 =... = Sk 2 = S 1 S +1 S 1. k=1 Sk 2 + S k+1, k=1 5.8 Exercícios Desigaremos por H um espaço de Hilbert qualquer. 1. Dê exemplo de um operador cotíuo T : H H que ão seja compacto. 2. Sejam E um espaço com produto itero e y, z E. Defia T : E E por Tx = x, y z. Mostre que T é compacto. Mostre que existe T : E E e obteha sua expressão. 3. Sejam E um espaço com produto itero de dimesão ifiita e T : E E um operador isométrico. Mostre que T ão é compacto.

21 5.8. EXERCÍCIOS 21 ( ) x 4. Seja E = C L 2 [0, 1], R. Defia T( f )(x) = f (y)dy. Mostre que T é um operador a compacto. (Compare com o Exemplo 5.8.) 5. Mostre a Proposição 5.5 (ii): se Y for um espaço completo, etão K(X, Y) é um subespaço fechado de L(X, Y) e, portato, um espaço de Baach. Para isso, mostre que T(B 1 (0)) por um úmero fiito de bolas B ɛ (y i ) de raio ɛ > 0 e aplique etão o Exercício?? do Capítulo??. 6. Seja T : D(T) H H um operador fechado. Mostre que T λi é fechado. Coclua etão, utilizado a Proposição??, que se T λi for ijetivo, etão (T λi) 1 : im (T λi) H é fechado. 7. Seja R o operador right shift do Exemplo Mostre que R ão possui autovetores. 8. Calcule todos os autovalores do operador left shift L : l 2 l 2. Coclua que σ(l) = σ(r) = {λ C : λ < 1}. 9. Sejam T 1, T 2 : H H operadores ivertíveis. (a) Verifique a igualdade T 1 1 T 1 2 = T 1 1 (T 2 T 1 )T 1 2 = T 1 2 (T 2 T 1 )T 1 1. (b) Para λ, µ valores regulares de T : H H, obteha a primeira idetidade do resolvete R λ (T) R µ (T) = (µ λ)r λ (T)R µ (T) = (µ λ)r µ (T)R λ (T). (c) Para λ, µ valores regulares de T : H H, mostre que R λ (T)R µ (T) = R µ (T)R λ (T). (d) Se λ for valor regular de T 1, T 2 : H H, obteha a seguda idetidade do resolvete R λ (T 1 ) R λ (T 2 ) = R λ (T 1 )(T 1 T 2 )R λ (T 2 ). 10. Sejam S, T : H H operadores lieares cotíuos. Supoha que S seja ivertível e S T S 1 1. Mostre que T é ivertível. 11. Seja λ um valor regular do operador T : D(T) H H. Mostre que, se µ λ < (T λi) 1 1, etão µ é um valor regular de T. Coclua que o cojuto dos valores regulares de T é aberto (e, portato, σ(t) é fechado). 12. Cosidere o operador T : l 2 l 2 defiido por Tx = T(x 1,..., x,...) = ( x 1, x 2 2,..., x,... ). Mostre que T é cotíuo. Obteha a expressão de T 1 : im T l 2 e verifique que T 1 ão é limitado. O operador T é sobrejetor?

22 22 CAPÍTULO 5. TEORIA ESPECTRAL 13. Seja H = L 2( [a, b] ) e cosidere o operador de multiplicação T : H H defiido por (T f )(x) = x f (x). Etão T é um operador simétrico cotíuo. (Veja o Exemplo??.) Mostre que: (a) T ão possui autovalor; (b) se λ [a, b], etão λ é um autovalor geeralizado de T. (Veja a Defiição 5.24.) 14. Sejam H 1 e H 2 espaços de Hilbert. As seguites afirmações a respeito de uma aplicação liear T : X Y são equivaletes: (a) se M X for limitado, etão T(M) é compacto; (b) T(B 1 (0)) é um compacto; (c) T é compacto. 15. Seja T : E E um operador simétrico compacto o espaço com produto itero E. Seja e o autovetor correspodete ao autovalor ão ulo λ de T. Se Π deotar a projeção o espaço gerado por e, coclua que T = λ Π. =1 (Note que Tx = =1 λ Π x é imediato. Trata-se de mostrar uma igualdade de operadores!) O resultado desse exercício muitas vezes é chamado de Teorema Espectral para Compactos Simétricos, ome que demos ao Teorema A versão utilizado projeções admite geeralizações para operadores simétricos limitados (assuto que está fora do escopo deste texto). 16. Sejam E um espaço com produto itero, T : E E um operador e x E com x = 1. Etão Tx, x = T se, e somete se, x for autovetor de T tal que λ := Tx, x satisfizer λ = T. 17. Sejam E um espaço com produto itero e T : E E for um operador simétrico compacto. Mostre que Tx, y = λ x y para quaisquer x, y E, em que x = x, e e y = y, e. 18. Demostre o Teorema Mostre a Proposição Sejam E um espaço com produto itero, T : E E um operador simétrico compacto com autovalores ão ulos {λ } e autovetores correspodetes {e }. Tome λ K, com λ = 0. Se λ = λ para todo, mostre que o operador (T λi) possui iverso em L(E). Obteha, em termos da equação (5.9), a expressão da solução x da equação (T λi)x = y. Coclua que σ(t) = {λ 1,..., λ,..., 0}.

23 5.8. EXERCÍCIOS Sejam E um espaço com produto itero, T : E E um operador simétrico compacto com autovalores ão ulos {λ } e autovetores correspodetes {e }. Se λ = 0 for um autovalor de T, mostre que uma codição ecessária e suficiete para que a equação λx Tx = y teha solução x E é que y seja ortogoal a todo autovetor de T associado a λ. 22. Sejam E, F espaços euclidiaos e M : E F uma isometria liear. Dê uma iterpretação para MM. 23. Se S for ivertível, os autovalores de T e S 1 TS são iguais. Debath p Seja T : H H um operador compacto o espaço de Hilbert H. Aplicado a Proposição 5.5 (i), verifique que ker(i T) r tem dimesão fiita para todo r N. 25. Com referêcia ao Exemplo 5.18, o poto cosiste em trabalharmos com fuções cotíuas. Se estivéssemos trabalhado o espaço L 2 ([a, b], R), precisaríamos cosiderar a igualdade (u(x) λ) f (x) = 0 em L 2 ([a, b], R). Mostre: (a) se u(x) λ em um itervalo [c, d] [a, b], etão λ é autovalor de T, mas o auto-espaço associado a esse autovalor ão é igual a E; (b) se u(t) = λ apeas para um úmero fiito de potos t [a, b], etão λ ão é autovalor de T; (c) se u(t) = λ para uma quatidade eumerável de potos t [a, b], etão λ é autovalor de T? 26. Exercício: Teorema 4.2.3, p. 152, Debath. 27. Defiir raiz quadrada (real) de um operador positivo defiido T. Mostrar uicidade da raiz quadrada. Solução: Uicidade: Supohamos que P, Q sejam duas raízes quadradas de T, isto é, P 2 = T = Q 2. Etão P, Q comutam com T: PT = PP 2 = P 2 P = TP. Daí decorre que P, Q comutam: (Debath 3rd. Editio p. 174 ou Bachma p Veja Exercício 14, p. 306 Bachma. 29. Teor 3 da aula 11 de tópicos de Fis II? 30. Veja Tópicos de fís aula 8, exemplos 1, 2 e Sejam H um espaço de Hilbert T : H H um operador tal que T < 1. Mostre que I T é ivertível. Está o Capítulo 4. Repetimos a defiição de projeção ortogoal: (passar para espaços com produto itero?) Defiição 5.50 Seja E um espaço com produto itero. Um aplicação Π : E E é chamada projeção ortogoal se valer a decomposição ortogoal E = ker Π imπ.

24 24 CAPÍTULO 5. TEORIA ESPECTRAL 29. Seja Π : E E uma projeção. Mostre que x = (x Πx) + Πx é a decomposição ortogoal de x gerada por Π. 30. Mostre que, se Π : H H for uma projeção, etão Π = Mostre que, se Π : H H for uma projeção sobre o espaço F, etão I Π é uma projeção sobre o espaço F. 32. Se Π : H H for uma projeção, etão Πx, x = Πx 2 para todo x H. 33. Seja E um espaço com produto itero. Uma aplicação Π : E E é uma??? 34. Sejam Π 1, Π 2 : H H projeções sobre os subespaços F e G, respectivamete. As seguites afirmações são equivaletes: (a) Π 1 Π 2 = Π 2 Π 1 ; (b) Π 1 Π 2 é uma projeção; (c) Π 2 Π 1 é uma projeção. 35. Com respeito ao Exemplo??, mostre que C L 2 (R, K) é um espaço com produto itero.

25 ÍNDICE REMISSIVO aplicação liear completamete cotíuo, 1 aplicação liear compacta, 1 complexificação de uma, 4 de posto fiito, 1 auto-espaço, 5 autofução, 5 autovalor, 5 aproximado, 9 geeralizado, 9 autovetor, 5 resolvete primeira idetidade do, 21 seguda idetidade do, 21 valor regular de um operador, 5 Cator método diagoal de, 2 complexificação de um espaço vetorial, 4 de um operador, 4 espaço vetorial complexificação de um, 4 método diagoal de Cator, 2 operador auto-espaço, 5 autofução, 5 autovalor, 5 autovetor, 5 complexificação de um, 4 positivo defiido, 19 positivo semidefiido, 19 operador liear valor regular, 5 projeção ortogoal, 23 quociete de Rayleigh, 15 Rayleigh quociete de, 15 25