CÁLCULO II Bacharelado Oceanografia - 2º semestre de 2010 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira

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1 CÁLCULO II Bacharelado Oceaografia - 2º semestre de 2010 Professor Oswaldo Rio Braco de Oliveira Fudametos de Aálise Clássica: o Supremo, Teoremas de Bolzao e Weierstrass e a Itegrabilidade das Fuções Cotíuas O que é uma derivada? Resposta: um limite. O que é uma itegral? Resposta: um limite. O que é uma série ifiita? Resposta: um limite. O que é etão um limite? Resposta: um úmero. Muito bem! O que é etão um úmero? 1 Defiição. Seja X um subcojuto ão vazio der. Etão, O maior elemeto de X, quado existe, é o máximo de X, idicado max X. O meor elemeto de X, quado existe, é o míimo de X, idicado mi X. M Réum majorate, ou cota superior, de X se x M, x X. m Réum miorate, ou cota iferior, de X se m x, x X. Exemplo 1. Cosideremos os seguites subcojuto der: (a) X=[0, 1] (b) X=(0, 1) (c) X=(, 2) (d) X=(2,+ ) (e) X=Q (0, 7). Aalizado cada um dos casos acima ecotramos para X: (a) mi X= 0, max X= 1,{m R mmiora X}=(, 0] e{m R M majora X}=[1,+ ). (b) mi X, max X,{m R mmiora X}=(, 0] e{m R M majora X}=[1,+ ). (c) mi X, max X, ão admite miorate e{m R M majora X}=[ 2,+ ). (d) mi X, max X,{M R M miora X}=(, 2] e ão admite majorate. (e) mi X, max X,{M R M miora X}=(, 0] e{m R mmajora X}=[7,+ ). Defiição. Seja X um subcojuto ão vazio der. Etão, O meor majorate de X, quado existe, é o supremo de X, idicado sup X. Isto é, sup X= mi{m R M é majorate de X}. O maior miorate de X, quado existe, é o ífimo de X, idicado if X. Isto é, if X= max{m R mémiorate de X}. 1 Vide Aalysis by Its History, E. Hairer ad G. Waer, Udergraduate Texts i Mathematics, Spriger, N. Y., 2000, p

2 Exemplo 2. Cosideremos os seguites subcojuto der: (a) X=[0, 1] (b) X=(0, 1) (c) X=(, 2) (d) X=(2,+ ) (e) X=Q (0, 7). Aalizado cada um dos casos acima ecotramos para X: (a) if X= 0 e sup X= 1. (b) if X= 0 e sup X= 1. (c) if X e sup X= 2. (d) if X= 2 e sup X. (e) if X= 0 e sup X= 7. Defiição. Seja X R. Etão, X é limitado superiormete se X admite um majorate. X é limitado iferiormete se X admite um miorate. A Propriedade do Supremo a seguir, euciada por Bolzao 2 em 1817 [A History of Aalysis, Has Niels Jahke, editor, America Mathematical Society, Lodo Mathematical Society, 2003, p.175], é uma das mais fudametais em matemática e é em algus textos apresetada como um axioma [Elo Lages Lima, Um Curso de Aálise, IMPA, 1976] e em outros é provado como um teorema [H. L. Guidorizzi, Um Curso de Cálculo, Vol 1, LTC Editora, Apêdice 6]. Neste texto apresetamos apeas seu euciado e covidamos o leitor a cosultar ao meos uma destas duas citadas obras. (Propriedade do Supremo) Todo subcojuto de R ão vazio e limitado superiormete admite supremo. Corolário (Propriedade de Aproximação). Seja X um subcojuto ão vazio dere s=sup X. Se a é real e a< s, etão existe x Xtal que a< x s. Prova. Como s é um majorate de X, temos x s, x X. Assim, supodo que ão exista x em X tal que a< x s temos x a, x X, e portato a é um majorate de X e a< s Aalogamete à Propriedade do Supremo e seu corolário temos, (Propriedade do Ífimo) Todo subcojuto derão vazio e limitado iferiormete admite ífimo.. Prova. Se X é o cojuto em questão, basta aplicar a Propriedade do Supremo ao cojuto X A seguir veremos algumas das pricipais cosequêcias da Propriedade do Supremo. 2 B. Bolzao ( ), padre tcheco, viveu em Praga e teve sua obra redescoberta e recohecida postumamete em

3 Propriedade de Arquimedes. Se x>0eysão reais, existe Ntal que x>y. Prova. Supohamos, por absurdo, que x ypara todo atural. Etão, o cojuto X={x N} é obviamete ão-vazio e majorado por y e assim, pela Propriedade do Supremo, admite supremo. Seja s=sup X. Notado que x>0, o supremo é o meor dos majorates e s x< s, segue que s x ão é um majorate de X e existe m Ntal que s x<mx, o que implica s<(m+1)x e (m+1)x X Corolário 1. O cojutonão é limitado superiormete emr. Prova. Dado x R, pela Propr. de Arquimedes e como 1>0, existe Ntal que =.1> x Corolário 2 (Não há ifiitésimos emr). Para todo x>0, existe um atural tal que 1 < x. Prova. Como x>0, pela propriedade arquimediaa existe Ntal que x>1eassim, 1 < x Teorema do Aulameto (Bolzao-Weierstrass) (1817). 3 Se f ;[a, b] Réuma fução cotíua e f(a)<0< f(b), etão existe c [a, b] tal que f(c)=0. Prova. O cojuto X={x [a, b] f(x)<0} é tal que a Xe limitado superiormete por b. Logo, pela Propriedade do Supremo, existe c = sup X e a c b. Mostremos, aplicado o Teorema da Coservação do Sial à fução cotíua f, que tato f(c) < 0 como f(c) > 0 acarretam cotradições. Se f(c)<0temos c<be f< 0 em algum itervalo[c, c+δ) [a, b], comδ>0esuficietemete pequeo. Logo, existe x [a, b] tal que x>ce f(x)<0 Se f(c)>0 temos a<c e f > 0 em algum itervalo(c δ, c] [a, b],δ>0 e suficietemete pequeo. Porém, pela Propriedade de Aproximação, existe x (c δ, c] tal que f(x) < 0 Teorema do Valor Itermediário. Se f é cotíua em[a, b] e f(a) γ f(b) etão, existe c [a, b] tal que f(c)=γ. Prova. Se f(a)<γ< f(b), aplicamos o Teor. de Bolzao-Weierstrass à fução g(x)= f(x) γ Defiições. Uma sequêcia emréuma fução x N R, idicada x=(x ), com x = x(), N. Idicamos etão,(x )=(x 1, x 2,..., x,...) e aida,(x )=(x ) N =(x ) N. Aida mais, Se{ 1 < 2 <...< k <...} é um subcojuto ifiito den,(x k )=(x 1, x 2,..., x k,...) é uma subsequêcia da sequêcia(x ). (x ) é uma sequêcia crescete [descrescete] se x x m [x x m ] para todo m,, m N. Notemos que toda subsequêcia é uma sequêcia. 3 Karl Weierstrass ( ), matemático alemão. 3

4 Exemplos 3. Temos, emr, os exemplos abaixo de sequêcias e subsequêcias. Se x =, N, etão(x )=(1, 2, 3,...) é a sequêcia estritamete crescete dos aturais. Se y = 2, N, etão(y ) é a subsequêcia dos pares da sequêcia dos aturais. Se r Re s = 1+r+r r, N, etão(s ) é a sequêcia das somas fiitas das progressões geométricas de razão r, de 1 a r. Se x = 1, N, etão(x )=( 1 ) é a sequêcia dos iversos dos aturais. Se x = etão(x 2+1 )=( ) N é uma subsequêcia da sequêcia( ). Lema. Toda sequêcia(x ) admite ou uma subsequêcia crescete ou uma subsequêcia decrescete. Prova. Chamemos de um poto de pico da sequêcia(x ) se x m < x para todo m>. Se(x ) tem uma quatidade ifiita de potos de pico,{ 1 < 2 <...}, etão a subsequêcia (x k ) k N é estritamete decrescete pois temos x 1 > x 2 >.... Se(x ) tem uma quatidade fiita de potos de pico, seja 1 um atural estritamete maior que todos os potos de pico de(x ). Como 1 ão é um poto de pico etão existe 2 > 1, 2 N, tal que x 1 x 2 e, como 2 também ão é poto de pico segue que existe 3 > 2, 3 N, tal que x 2 x 3. Iterado, obtemos uma subsequêcia crescetede(x ) Defiições. Seja(x ) uma sequêcia emr. Dizemos que a sequêcia(x ) coverge a L Rse ǫ> 0 existe 0 Ntal que x L <ǫ se 0. Notação: lim + x =L. diverge a+ se M Rexiste 0 Ntal que x > M se 0. Notação: lim + x =+. diverge a se M Rexiste 0 Ntal que x < M se 0. Notação: lim + x =. diverge se ão existe L Rtal que lim + x =L. Exemplos 4. Temos, emr, os exemplos abaixo de sequêcias covergetes e divergetes. Se x =, N, etão lim + =+. Se r <1e s = 1+r+ r r = 1 r+1, N, etão lim 1 r s = r. Se x = 1 1, N, etão lim + = 0. Se x =(1+ 1 ), N, etão lim + (1+ 1 ) = e. Lema. Se(x ) é crescete [decrescete] e limitada etão(x ) é covergete. Prova. Como( x ) é crescete se(x ) é decrescete basta supormos(x ) crescete. Etão, pela Propriedade do Supremo existeα=sup{x N} e dadoǫ> 0 existe 0 Ntal queα ǫ<x 0 αe, como(x ) é crescete, se 0 temosα ǫ<x 0 x α, o que implica x α <ǫ se 0 4

5 Teorema. Toda sequêcia limitada admite ao meos uma subsequêcia covergete. Prova. Segue dos dois lemas ateriores Proposição. Se f X Récotíua em x 0 X e(x ) é uma sequêcia cotida em X e covergete a x 0 X etão a sequêcia( f(x )) coverge a f(x 0 ). Prova. Dadoǫ> 0, por hipótese existeδ>0tal que f(x) f(x 0 ) <ǫ se x x 0 <δe x X. Como lim x =x 0, existe 0 Ntal que x x 0 <ǫ se 0 e etão, f(x ) f(x 0 ) <ǫ se 0 + Teorema da Limitação. Se f é cotíua em[a, b] etão f é limitada. Prova. Por cotradição. Bisectado 4 I 1 =[a, b] seja I 2 um dos subitervalos[a, a+b a+b ] e[, b] em que 2 2 f ão é limitada (existe ao meos um). Repetido o argumeto, bisectamos I 2 e selecioamos I 3 um subitervalo desta bisecção, o qual f ão é limitada. Iterado tal processo obtemos uma sequêcia de itervalos ecaixates(i ) N, I =[x, y ], I +1 I, satisfazedo y x = b a 2 1, 1. A sequêcia(x ) é crescete e a sequêcia(y ) é decrescete, ambas em[a, b]. Temos x y m se, m N [se m temos x y y m e, se m, x x m y m ]. Pelas Propriedades do Supremo e do Ífimo,(x ) coverge a x=sup{x N} e(y ) coverge a y=if{y N} e, aida, x x y y [pois, x y m,, m N, e fixo m N da defiição de supremo segue x y m, para m arbitrário, e da defiição de ífimo segue x y y m, m N]. Desta forma temos 0 y x b a b a N, e portato, como lim = 0, pelo Teorema do Cofroto segue y x=0e x=y. + 2 Como f é cotíua, existe um itervalo(x δ, x+δ),δ>0, em que f é limitada. Porém, tal itervalo cotém algum itervalo I o qual f é ão limitada 2, Teorema de Weierstrass. Se f é cotíua em[a, b] etão existem x 1, x 2 [a, b] tais que f(x 1 ) f(x) f(x 2 ), x [a, b]. Prova. Como X={ f(x); x [a, b]}= f([a, b]) é limitado, pelas Propriedades do Supremo e do Ífimo existem M= sup X e m=if X. Mostremos que M f([a, b]) (a prova para m é aáloga). 1 Se f(x)< M, x [a, b], etão temos 0<g(x)=, x [a, b], e g é cotíua e, pelo Teorema M f(x) 1 da Limitação, existeβ Rtal que 0< M f(x) <βe, portato, M f(x)> 1 β, o que implica f(x)< M 1 β, x [a, b], e assim sedo M ão é supremo de X Para provarmos que fuções cotíuas em[a, b] são itegráveis, recordemos a defiição de itegral. Defiição. Dada f [a, b] R, P={x 0 = a< x 1 <...< x = b} uma partição de[a, b] e uma escolha, subordiada à partição P,E={c i c i [x i 1, x i ],,..., }, a soma de Riema de f em relação à partição P e à escolhae é: S(f; P;E)= f(c i ) x i, com x i =(x i x i 1 ). A orma de P é P = max{ x i 1 i } e[x i 1, x i ], 1 i, é um subitervalo determiado por P. 4 Raciocícios por biecção foram muito utilizados por Bolzao e também se ecotram em Elemetos, Euclides, Livro X. 5

6 Defiição. Dada f [a, b] R, dizemos que f é Riema-itegrável, ou simplesmete itegrável, se existe um úmero L Rtal que para todoǫ> 0 existeδ>0satisfazedo: para toda partição P de[a, b] com orma P <δ, para qualquer que seja a escolhae subordiada à partição P temos S(f; P;E) L <ǫ. Notações: Escrevemos etão, O úmero b a lim f(c i ) x i = L P 0 L= a b f(x) dx. f(x) dx é chamado de itegral de f em[a, b]. e No que segue matemos a otação acima. Se f é cotíua em[a, b], pelo Teorema de Weierstrass f é limitada em[a, b] e podemos itroduzir os coceitos a seguir. Defiição. Se f [a, b] Récotíua e P={a= x 0 < x 1 <...< x = b} é uma partição de[a, b], a soma iferior e a soma superior 5 de f em relação à partição P são, respectivamete, S( f ; P)= S(f; P)= m i x i, m i = mi{ f(x) x [x i 1, x i ]} e M i x i, M i = mi{ f(x) x [x i 1, x i ]}. A seguir, utilizado uma idéia que remota a Arquimedes, mostraremos que o existem o supremo das somas iferiores e o ífimo das somas superiores e que estes são iguais e etão que f é itegrável. Notação: Se A [a, b] etão mi A f = mi{ f(x) x A} e max A Observação 1. Seja f [a, b] R cotíua. Valem as propriedades abaixo. (a) Se I e J são subitervalos de[a, b] e I Jetão, mi J f mi I f max I f max J f = max{ f(x); x A}. (b) Se P 1 e P 2 são partições de[a, b] etão, ordeado P 1 P 2 este é também uma partição de[a, b]. (c) Se P 1 e P 2 são partições de[a, b] etão S( f ; P 1 ) S(f; P 1 P 2 ) S(f; P 1 P 2 ) S(f; P 2 ). f. (d) Se P é uma partição de[a, b] ee é uma escolha qualquer subordiada à partição P etão, S( f ; P) S(f; P;E) S(f; P). 5 Estes coceitos foram itroduzidos pelo mateemático fracês G. Darboux ( ) 6

7 Prova. (a) Trivial. (b) Óbvio. (c) Se I i =[x i 1, x i ],,...,, é um subitervalo determiado pela partição P 1 etão I i é a reuião dos subitervalos J j =[y j 1, y j ], j=1,..., N, N, determiados pela partição P 1 P 2 que estão cotidos em I i. Desta forma, pelo ítem (a) temos, e (mi f) x i =(mi f) y j I i I i j J j I i j J j I i (mi J j f) y j e (max f) y j (max f) y j =(max f) x i. j J J j I j I i i j J I j I i i Etão, destacado o 1º e o 3º termos das equações acima e somado para,..., obtemos S(f; P 1 ) S(f; P 1 P 2 ) e S(f; P 1 P 2 ) S(f; P 1 ) e, por aalogia, S(f; P 1 P 2 ) S(f; P 2 ). Como S(f; P 1 P 2 ) S(f; P 1 P 2 ), provamos (c). (d) Evidete Proposição. Se f é cotíua em[a, b] etão existem α=sup{s(f; P) P é partição de[a, b]} e β=if{s(f; P) P é partição de[a, b]} e, aida, temosα β. Prova. Sejam P 1 e P 2 duas partições arbitrárias de[a, b]. Pela Observação 1(c) temos, S(f; P 1 ) S(f; P 2 ). Assim, fixo P 2 o cojuto{s(f; P 1 ) P 1 é partição de [a, b]}éão vazio e majorado por S(f; P 2 ). Logo, temosα S(f; P 2 ) e, como esta desigualdade é válida para toda partição P 2 de[a, b] segue que α é um miorate do cojuto{s(f; P 2 ) P 2 é partição de[a, b]} e portato cocluímosα β Proposição. Se f X Récotíua em x 0 X e(x ) é uma sequêcia cotida em X e covergete a x 0 X etão a sequêcia( f(x )) coverge a f(x 0 ). Prova. Dadoǫ> 0, por hipótese existeδ>0tal que f(x) f(x 0 ) <ǫ se x x 0 <δe x X. Como lim x =x 0, existe 0 Ntal que x x 0 <ǫ se 0 e etão, f(x ) f(x 0 ) <ǫ se 0 + Defiição. Uma fução f X R, X R, é uiformemete cotíua se ǫ > 0 existe δ > 0 tal que sex,y Xetão x y <δ f(x) f(y) <ǫ. 7

8 Teorema (Heie, 1872). 6 Se f [a, b] Récotíua etão f é uiformemete cotíua. Prova. Por cotradição. Caso cotrário, existeǫ 0 > 0 tal que seδ= 1, N, existem x e y em[a, b] tais que x y < 1 e f(x ) f(y ) ǫ 0. Sedo limitada,(x ) admite subsequêcia covergete(x k ) e reeumerado esta se ecessário supomos, sem perda de geeralidade,(x ) covergete a x. Notemos que como temos a x b, N, segue que x [a, b]. Aida mais, como x y < 1, N, temos que também(y ) também coverge a x. Portato, 0= lim f(x ) f(y ) ǫ 0 + Teorema. Se f [a, b] Récotíua etão f é itegrável. Prova. Dadoǫ> 0, como f é uiformemete cotíua, δ>0 tal que x y <δ f(x) f(y) < ǫ b a. Seja P={x 0 = a< x 1 <...< x = b} uma partição de[a, b] com orma P =max x i<δ. Etão, se 1 i m i e M i são, respectivamete, o míimo e o máximo de f em[x i 1, x i ] temos 0 S(f; P) S(f; P)= (M i m i ) x i < ǫ b a x i =ǫ. Como S(f; P) α β S(f; P), odeαéosupremo do cojuto das somas iferiores de f eβé o ífimo do cojuto das somas superiores de f, ambas relativas às partições de[a, b], temos 0 β α S(f; P) S(f; P)<ǫ e, comoǫ é arbitrário,α=β. Seja L=α. SeE é uma escolha qualquer relativa a P, pela Obs. 1(d) temos S(f; P;E) S(f; P)=S(f; P)+[S(f; P) S(f; P)]<α+ǫ=L+ǫ e L ǫ=β ǫ< S(f; P) [S(f; P) S(f; P)]=S(f; P) S(f; P;E), dode segue L ǫ< S(f; P;E)< L+ǫ, para toda partição P tal que P <δ, qualquer que seja a escolha E relativa à partição P. Logo, f é itegrável e a itegral de f é L=α=β. Isto é, a b f(x)dx=sup{s(f; P) P é partição de[a, b]}=if{s(f; P) P é partição de[a, b]} Referêcias. 1. Fitzpatrick, P. M., Advaced Calculus, Pure ad Applied Udergrad. Texts, 2d. ed., AMS, Guidorizzi, Um Curso de Cálculo, Vol 1, 5ª edição, LTC Editora, Rio de Jaeiro, Hairer, E. ad Waer, G., Aalysis by Its History, UTM, Spriger, New York, Jahle, H. N., editor, A History of Aalysis, America Mathematical Society, Lima, E. L., Curso de Aálise, IMPA, Rio de Jaeiro, Spivak, M., Calculus, 4th editio, Publish or Perish, Ic., Housto, Heirich Eduard Heie ( ), matemático alemão. 8