OS TRABALHOS DO SR. RICHARD PRICE * E O SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO UM RESUMO

Transcrição

1 OS TRABALHOS DO SR. RICHARD PRICE * E O SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO UM RESUMO Esta matéria comprova a afirmação do autor Thales Mello de Carvalho - Matemática Comercial e Fiaceira - falecido em 1961, de que o Sistema Fracês de Amortização é vulgar e erroeamete deomiado de Tabela Price. Rio, Agosto / 2014 * Elaborado por Pedro Schubert. Admiistrador Sócio Fudador da BMA Iformática & Assessorameto Empresarial Ltda. Referêcia Bibliográfica : Livro Tabela Price Editora Servada Campias 2002 Capítulos VII e VIII fl s. 83 a 165 Livro Perícia Judicial Pedro Schubert 2010 Capítulo I

2 OS TRABALHOS DO SR. RICHARD PRICE ÍNDICE Págia 1 ESTUDOS DO SR. RICHARD PRICE No Capítulo VII Das fl s. 83 a Das fl s. 116 a CHAPTER VI Comparações Destas Quatro Tábuas Costrução destas Quatro Tábuas Nas Tábuas I e II calcula-se o VALOR ATUAL Nas Tábuas III e IV calcula-se o VALOR ACUMULADO, ou seja, o MONTANTE Uso destas Quatro Tábuas Coclusão sobre as Quatro Tábuas E o osso Sistema Fracês de Amortização (vulgar e erroeamete deomiado de Tabela Price )? No capítulo I Coclusão Na fl. 29 diz Para refletir Vejamos as Modalidades de Pagametos Costates de livros... 9 Método Alemão... 9 Método Americao... 9 Capitalização dos Juros dos Períodos durate a vigêcia da Dívida... 9 Pagameto Periódico da Dívida e de Juro o Método Hamburguês o Sistema Fracês de Amortização... 11

3 1- ESTUDOS DO SR. RICHARD PRICE (1) 1.1- No Capitulo VII fl s. 83 a 141 do Livro Tabela Price, temos : Das fl s. 83 a 115 trascrevem o trabalho teórico do Sr. Price, o iglês de 1803 sobre : Observatio o Reversioary Paymets o Schemmes for providig auities for widows ad for persos i old age; o the method of calculatig the value of assuraces o lives Tábuas II e IV 6ª edição Das fl s. 116 a 141 CHAPTER VI : Of Public Credit ad the Natioal Debt (a) O Crédito Público e a Dívida Pública Tábuas I e III (Na ossa tradução) ele afirma : A dívida do Govero ou Dívida Itera (the Natioal Debt) é um assuto o qual o público está profudamete iteressado. Algumas observações têm me ocorrido sobre este assuto o qual julgo importate; e por esta razão, embora fora do meu pricipal objetivo este trabalho, peço espaço para aalisar em ateção ao público. Obs.: Na época deste estudo (1773) a Coroa Iglesa estava com dificuldades fiaceiras. Do estudo do Sr. Price (fl s. 116 a 141) fazemos o resumo : Em 1700 a dívida da Coroa era de 16 milhões Em 1715 a dívida era de 55 milhões Cotiuou até 1740 quado reduziu para 46 milhões; mas em cosequêcia da guerra (ver Revolução Americaa de 1774) aumetou para 78 milhões. No fim da guerra aumetou para 146 milhões. Para os seus trabalhos o Sr. Price desevolveu as QUATRO TÁBUAS coforme exposto a seguir. (1) Da referêcia bibliográfica citada. (a) Na liguagem ( a área goverametal) Dívida Flutuate (até 360 dias) Dívida Fudada (superior a 360 dias) 3

4 COMPARAÇÕES DESTAS QUATRO TÁBUAS Capítulo VIII fl s. 144 a 165- Tabelas de Juro Composto do Sr. Price Valor Atual (Presete) JURO COMPOSTO Nº DE TERMOS DIFERENTES Motate (Valor Futuro) Price Tábua I (ossa é a 4) Tábua III (ossa é a 1) 1 1 i ( Dado S calcula P ) Valor Presete de Termos diferetes a serem recebidos durate um úmero de aos, descotado a uma taxa de juro i. JURO COMPOSTO. Obs : É o fudameto do estudo, em Altas Fiaças, do Método do Fluxo de Caixa Descotado Valor Atual (Presete) Nº DE TERMOS IGUAIS 1 i ( Dado P calcula S ) Mostra a soma por Termo a qual um valor aumetará a JURO COMPOSTO o fial de qualquer úmero de e i. Valor : $ 100,00 Tx. de Juro : 5,00% Período : 3 Ex.: $ 100,00 ( 1 + 0,05 ) 3 = 115,7625 $ 100,00 ( 1 + 0,05 ) 2 = 110,2500 $ 100,00 ( 1 + 0,05 ) 1 = 105, ,0125 ou $ 331,01 Motate (Valor Futuro) Price Tábua II (ossa é a 5) Tábua IV (ossa é a 2) 1 i i 1 i 1 ( Dado R calcula P ) Valor Presete de uma série uiforme para qualquer úmero de meses (aos) a taxa i. a q 1 a1 q 1 Sedo a 1 e q = 1 1 i Obs.: Mesma aplicação da Tábua I. Aqui para Termos iguais. Cálculo da Prestação 1 i 1 i ( Dado R calcula S ) Mostra a soma a qual um valor depositado periodicamete, mesal, aual crescerá, a JURO COMPOSTO, o fial de qualquer úmero de meses (aos), as codições de e i. TÁBUAS NÃO ESTUDADAS PELO SR. RICHARD PRICE Valor : $ 100,00 Tx. de Juro : 5,00% : 3 1 i 1 100x i 100 x 3,1525 = $ 315,25 5 x 3,1525 = $ 15,76 $ 331,01 Cálculo do Beefício Mesal (ossa é a 3) (ossa é a 6) Sistema Fracês de Amortização (vulgar e erroeamete deomiado de TABELA PRICE ) i1 i 1 i 1 ( Dado P calcula R ) Valor da auidade capaz de amortizar uma dívida, para qualquer e i.. Baseado o DESCONTO COMPOSTO. i 1 i 1 ( Dado S calcula R ) Após gerar o Motate S Tabela IV calcula o valor do pagameto mesal R (aposetadoria, reda certa) as codições de e i. Obs.: A expressão úmero de aos auidade pode ser prestação mesal ou outro período. 4

5 1.2- Costrução destas Quatro Tábuas (2) Estas Tábuas são ecotradas a maioria dos livros de Matemática Fiaceira Nas Tábuas I e II calcula-se o VALOR ATUAL Na Tábua I o 1º, 2º e 3º e os fatores seguites são os quocietes da uidade, dividida pelas potêcias de cada taxa de juro aual, de 1 a aos, de 2,0%, 2,5% até 10% a.a. ou maiores, ou seja : Valor Atual = até 1 1 (1 + i) 1 (1 + i) 2 (1 + i) sedo i 0,02, 0,025 e segue, de acordo com a taxa de juro de 2,0% (0,02), 2,5% (0,025), 3,0% (0,03), 4,0% (0,04) até 10% ou mais. Obs: Pode ser qualquer taxa de juro. Na Tábua II correspode a soma dos termos a valor atual dos 1º e 2º Termos; do 1º, 2º, 3º e segue. Equivale ao mesmo procedimeto da Tábua I. Na Tábua I, os Termos podem ser diferetes; a Tábua II os Termos são iguais. Vejamos: $ 100,00 e a taxa de juro de 2% 1 1 Temos a Tábua I (1 + i) 1 1 Fator : do 1º período = 0, ,02 do 2º período 1 1 = 0, (1,02) 2 1, Sedo o Termo $ 100,00 temos o valor atual $ 194,156. Temos a Tábua II (1 + i) 1 o fator é de 1,94156 i. (1 + i) ou $ 194,156 Coclusão : As Tábuas I e II têm o mesmo objetivo : Cálculo do valor atual (presete) de uma série de Termos Distitos (Tábua I) ; de uma série de Termos Iguais (Tábua II) Nas Tábuas III e IV calcula-se o VALOR ACUMULADO ou seja, O MONTANTE Na Tábua III é o somatório dos Termos Distitos, poteciado Termo a Termo, pela taxa de juro do 1º ao, do 2º ao, do 3º ao e seguites. Na Tábua IV correspode a soma dos Termos; a soma do 1º e 2º, do 1º, 2º, 3º Termos e segue. Ou seja, é o somatório dos Termos Iguais poteciado pela taxa de juro do período e pelo úmero de período. (2) Costructio of the four precedig Tables; do livro TABELA PRICE Editora Servada Campias 2002 Costrução destas Quatro Tábuas Tábua I - fl s. 144 a 147 Tábua II - fl s. 148 a 152 Tábua III - fl s. 153 a 157 Tábua IV - fl s. 158 a 162 5

6 Vejamos : $ 100,00 e a taxa de juro de 2% a.a Temos a Tábua III (1 + i) Fator : do 1º período (1,02) = 1, do 2º período (1,02) 2 = 1, i 1 Temos a Tábua IV o fator é de 2, i ou $ 202,00 1 0, do 1º período = 1, ,02 1 0, do 2º período = 2, ,02 2, ou $ 206,04 Sedo cada Termo $ 100,00 temos o Motate $ 206,04. Complemeto [(1,02) 2 1] = 0, do 2º período 2,0604 ou Sedo o Termo uiforme $ 100,00 temos o Motate $ 206,04 Coclusão : As Tábuas III e IV têm o mesmo objetivo : Calcular o motate acumulado o juro do período (mês, ao) ao saldo do período aterior já acumulado. De ao a ao tato faz calcular os valores dos juros pelo cálculo do juros simples como pelo do juro composto que o motate será o mesmo. Para o cálculo mês a mês, aplicado a taxa equivalete, ão haverá o gaho extra decorrete do Aatocismo Uso destas Duas Tábuas (3) Questão 1- Determiar o valor aplicado em um período de aos a uma taxa de juro composto Temos a Tábua III do Price (1 + i) T = 40 = 18 aos i = 4,00% a.a. Exemplo : 40 a taxa de juro de 4,00% a.a. em 18 aos, temos : O fator é de 2, Etão, este período e esta taxa, este Termo de 40 acumulará 40 x 2, = 81,032 Questão 2- Qual será a soma de uma dada auidade aplicada a uma taxa de juro composto por determiado úmero de aos Resposta : (3) Das fl s. 163 e 165 do mesmo título citado multiplique o fator ecotrado a Tábua IV o ecotro da taxa de juro e pelo úmero de aos dados e multiplique pelo valor da auidade e o produto é a resposta. Temos a Tábua IV do Price : T = 40 = 18 aos i = 4,00% a.a. O fator é de 25,

7 Coclusão sobre as Quatro Tábuas Etão, este período e esta taxa, a auidade depositada aualmete acumulará 40 x 25, = 1.025,816 Verificamos que, tomados do origial e oportuamete iserido o Capítulo VIII (fl s. 143 a 165) do livro TABELA PRICE da Editora Servada, Campias 2002 o Sr. Richard Price costruiu QUATRO TÁBUAS para ateder aos seus estudos a época e relacioados à dificuldades das Empresas Seguradoras em pagar Pecúlios, Aposetadorias e às dificuldades da COROA INGLESA com as suas Fiaças Públicas em fragalhos. Comparadas com as Tábuas que existem os atuais livros de Matemática Fiaceira e que repetimos e idicado a fialidade de cada uma destas Tábuas : TÁBUAS Dos Livros Atuais Do Sr. Price Fialidade 4 I Dado S (motate) calcular P (valor presete) 5 II Dado R (auidade) calcular P (valor presete) 1 III Dado P (valor presete) calcular S (motate) 2 IV Dado R (auidade) calcular S (motate) 2- E o osso Sistema Fracês de Amortização (vulgar e erroeamete deomiado de Tabela Price)? TÁBUA Dos Livros Atuais Do Sr. Price Fialidade 3 - Dado P (valor presete ou valor fiaciado) calcular R (auidade, prestação) Portato, ão tem relação com as Tábuas do Sr. Price. Está fudametado o DESCONTO COMPOSTO a taxa de juro icide sobre o SALDO DEVEDOR e o JURO COMPOSTO e o ANATOCISMO são cotor ados ao aplicar a taxa equivalete No Capítulo I (fl s. 25 a 29) o subtítulo Breve Biografia de Richard Price destacamos : fl s. 23 a 28 (4) Em 1769, a pedido da Equitable Society da Iglaterra, uma Seguradora Iglesa, Price publica a sua mais famosa obra de estatística, voltada para o ramo de seguro : (4) Ver a referêcia 1 Northampto Mortality Tables (Tábuas de Mortalidade de Northampto). Estas Tábuas serviram para posicioar, a forma estatística, as probabilidades de vida e de morte. O objetivo foi produzir um sistema mais cofiável para a seguradora iglesa Equitable Society. Diz o texto que em 1771 seria publicado a obra fial sobre o assuto, sob o título : Observatios o Reversioary Paymets Traduzido em miúdos, sobre este título pode-se dizer : Uma pessoa (ou pessoas participates de um grupo) cotribue mesalmete, baseado a Tábua de Mortalidade, com um valor que a Seguradora recebe e aplica este recurso, por um tempo a uma taxa de juro i. No fial do tempo (ou a qualquer tempo, ates de, a viúva ou um idoso recebe um determiado valor UM PECÚLIO ou uma aposetadoria ou pesão por aos 7

8 O cálculo do Motate para um pecúlio ou aposetadoria é feito com base a TÁBUA IV [ tem R (o termo) e calcula S ]. A Tábua de Mortalidade é para calcular a média de aos de vida do participate ou do grupo de participates para poder calcular R 1 (futuro). Ex.: Defiido o valor de S (o valor do pecúlio), a Seguradora acresceta à S o valor da sua admiistração : S = $ ,00 Temos : S = R 1 ( Tábua IV ) sedo = 30 e i = 5% a.a. $ ,00 = R x 66, ; f (, i ) R 1 = 66, Hoje são os Cálculos Atuariais. = $ 1.505, Coclusão Neste mesmo livro Tabela Price da Servada Campias 2002 temos : à fl. 72, a 1ª capa do livro em tradução jurametada : Sobre : Observações sobre Pagametos Reversíveis Sobre : Esquema de Provisão de Auidades à Viúvas e Idosos Sobre : Método para o Cálculo dos Valores de Seguros de Vida e sobre A Dívida Itera Também : Esaios sobre diferetes Assutos a Doutria de Redas Vitalícias (obs : Hoje isto é o Fudo de Pesão) e Aritmética Política ( Obs : Temos aqui o iício dos Cálculos Atuariais) Uma Coleção de Novas Tábuas e um Pós-Escrito referete à População do Reio Na fl. 29 diz : É essa obra que Price expõe seu coceito e método, utilizado o Sistema de Pagametos Periódicos com direito à remueração e beefícios ou seja, para se calcular o valor de uma série uiforme de pagametos cosecutivos e durate um certo tempo, (acrescetamos : utiliza a Tábua IV ou seja, aplica periodicamete deposita R para acumular um motate S) para se receber uma remueração futura pelo pagameto de redas certas, em aposetadorias, seguros ou pecúlios. Cofeccioa também a fórmula que produz a recuperação do capital, a juro composto que é a mesma coisa que juro sobre juro pelo sistema de pagametos parcelados (acrescetamos : afirmamos que estes pagametos parcelados ão têm relação com a amortização de dívidas), pela qual se pode comparar e otar que o prestamista detetor do capital terá recebido o fial, pelo sistema de pagametos parcelados, o mesmo valor que se teria capitalizado, a aplicação de um capital do mesmo valor, a juro composto (juro sobre juro) que este caso e ao fial, produzirá os mesmos efeitos com os mesmos resultados. 8

9 Nosso Cometário : Ocorre que a reda certa (um período de tempo de recebimeto desta reda defiido pelo cálculo atuarial) ou a reda vitalícia é usada uma Sexta Tábua que, até 1970, os livros em a publicavam (tedo um motate S calcular R para um período e a taxa de juro i ). Neste caso o beeficiário é titulado como aposetado ou pesioista. Não é um prestamista. Ver o QUADRO A do livro Perícia Judicial Autor Pedro Schubert. 3- Para refletir : Pelo que temos aqui, o Sr. Price estudou a Dívida da Coroa Iglesa em 1771, bem como os problemas fiaceiros das Seguradoras e cofeccioou QUATRO TÁBUAS; mais especificamete a Tábua III, especialmete acumula os juros dos períodos ao Saldos Devedores. De ao a ao o cálculo do valor do juro do período, tato pelo juro simples, como pelo juro composto, o motate será o mesmo e o aatocismo ão é proibido por lei. Para a dívida da Coroa (dívida itera) desevolveu a Tábua III. Para os problemas de liquidez das Seguradoras desevolveu a Tábua IV, jutamete com as Tábuas de Mortalidades, solucioou o problema com o PECÚLIO e das Reservas Técicas. E tudo é juro composto e em pesar em aatocismo. E para a Tabela Price? Qual das QUATRO TÁBUAS devemos escolher? NENHUMA. Uma Decorrêcia Importate : Do seu estudo com destaque para a Tábua I, podedo também ser a Tábua II fudametou-se, a partir de 1951 os USA, a Aálise de Ivestimeto de Projetos com a edição do livro Capital Budgetig do Autor Joel Dea que, ao projetar distitos valores auais de Geração de Caixa e, ao trazê-los para o Valor Presete cada Termo (valor atual da Geração de Caixa), a uma taxa de juro defiida, o seu somatório é comparado com o volume total de recursos aplicados. Sedo igual ou maior é uma referêcia para a sua aprovação. É o estudo do Fluxo de Caixa Descotado. 4- Vejamos as Quatro Modalidades de Pagametos (Amortizações) Esiadas os Livros Ver Capítulo I Parte 3 Tabela Price do livro Perícia Judicial Autor Pedro Schubert Obs : Não há distição para empréstimos / fiaciametos de Curto e de Logo Prazo Estas Modalidades, costates dos livros de Matemática Fiaceira, só a Modalidade Três, de Capitalização dos Juros, tem relação com as Tábuas I e III do Sr. Price Sistema Alemão - O fiaciado, a assiatura do cotrato, recebe o valor líquido da operação. O valor do juro do período do cotrato é deduzido do valor estipulado o cotrato, mediate o cálculo do descoto : bacário - a taxa de juro do período (dias, meses, ao) icide sobre o valor estipulado o cotrato. composto - Obs : É pagameto úico do pricipal, a data de vecimeto do cotrato. São empréstimos de Curto Prazo até 1 ao, mas para o cálculo do valor do juro é distribuído em meses. Se o valor do juro for calculado, mês a mês, pelo Descoto Composto e a Amortização for em Parcelas caracteriza o Sistema Fracês de Amortização. Sistema Americao - O fiaciado, a data da assiatura do cotrato, recebe o valor ele estipulado e durate a sua vigêcia e as datas estipuladas (mesal, trimestral, semestral), paga os juros do período. Na 9

10 data do seu vecimeto, paga a última parcela de juros, jutamete com o valor do empréstimo ele estipulado. Capitalização dos Juros dos Períodos durate a vigêcia da Dívida Obs : Úica modalidade que tem relação com as Tábuas I e III do Sr. Price Nesta modalidade o fiaciado, a data da assiatura do cotrato, recebe o valor do pricipal e os valores dos juros, a cada período estipulado o cotrato, são calculados e adicioados ao Saldo Devedor (pricipal + juros). Nos períodos seguites, a partir do 2º cálculo do juro, o cálculo do valor do juro do período, toma o valor acumulado (pricipal + juros) como base de cálculo para o cálculo do valor do juro. Na data do vecimeto do cotrato são pagos o valor do pricipal e os juros acumulados do período do cotrato. Obs : Sobre esta adição do valor do juro do período ao Saldo Líquido da Dívida isurge o artigo 4º do Decreto º de Tomemos o exemplo : É o aatocismo que somete é proibido para períodos meores do que 1 ao. De ao a ao ão é proibido. Valor : $ 1.000,00 ; = 4 e i = 3,00% a.m. Exercitado a fórmula 1 i Tábua III do Sr. Price A Coroa Iglesa toma, por itervalo de 30 dias (e o iício de cada mês), empréstimos de $ 1.000,00 por 4 meses. 1 i 1 i Acumulado o fial do 4º mês U.: $ 1,00 1º ,00 ( 1 + 0,03 ) ,5088 2º ,00 ( 1 + 0,03 ) ,7270 3º ,00 ( 1 + 0,03 ) ,9000 4º ,00 ( 1 + 0,03 ) , ,1358 Obs : Esta fórmula é para Termos Distitos. Exemplificaremos em Termos Iguais para mostrar que as duas fórmulas atedem ao mesmo objetivo. Exercitado a fórmula No 4º Termo teremos f (, i ) = 4, Tábua IV do Sr. Price 1.000,00. (1 + 0,03) ,6270 0,03 Obs: 30 x 4.183, , ,1358 Obs : Esta fórmula mostra o cálculo do Motate com aplicações de Termos Iguais por certo período a taxa i. Aalisada em cojuto com as Tábuas de Mortalidade, de Doeças Degeerativas, oferece ao atuário codições de calcular a cotribuição do valor mesal de um grupo de participates capaz de formar um fudo para PECÚLIO e/ou das Reservas Técicas de determiado Fudo de Pesão, para posteriores pagametos de certo valor mesal de aposetadorias. 10

11 A riqueza deste estudo está a defiição de cotribuições e de, posteriormete, de pagametos e que, ao fial ão falte Reservas Técicas para pagametos de beefícios a todos os assistidos e posteriormete, para os pesioistas. Como vimos, este estudo do Sr. Price serve para calcular o Motate de empréstimo / fiaciameto (cotabilmete para provisões a cotabilidade da empresa e de Reservas Técicas os Fudos de Pesões). Pagameto Periódico da Dívida e de Juro Nesta modalidade paga periodicamete (mesal, trimestral, etc, aual) uma soma variável ou costate a qual uma parte destia-se ao pagameto do juro do capital emprestado o período a outra parte, a amortização gradativa do empréstimo / fiaciameto, de modo que este fique liquidado imediatamete após o último pagameto Equadram-se esta modalidade o Método Hamburguês o qual, periodicamete (mesal, trimestral, etc, aual) uma soma variável amortiza (paga) o empréstimo em parcelas iguais e sucessivas, daí o apelido de SAC Sistema de Amortização Costate paga o valor do juro, aplicado a taxa de juro aual do cotrato, calculada para o período (mesal, trimestral, etc, aual) sobre o saldo devedor taxa de juro proporcioal. É a prática do mercado o Sistema Fracês de Amortização ( errôea e vulgarmete deomiado de Tabela Price) o qual, periodicamete (mesalmete, etc, aualmete), o devedor paga, a partir da realização do empréstimo / fiaciameto e durate um úmero estabelecidos de períodos (meses, etc, aos) uma soma costate (deomiada de auidade) que popularizou-se como prestação que pode ser mesal, etc, aual, iguais e sucessivas que reembolsará o capital emprestado e o valor do juro de cada período ( que é calculado do mesmo modo que é aplicado o Método Hamburguês ou seja, icide a taxa de juro do período sobre o Saldo Devedor de cada período) Obedece ao método de cálculo do DESCONTO COMPOSTO. O SR. PRICE NÃO ESTUDOU MODALIDADES DE AMORTIZAÇÕES DE DÍVIDA. 11