Matemática Financeira. Ernesto Coutinho Puccini

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3 Matemática Fiaceira Eresto Coutiho Puccii

4 Sumário Uidade 1 Coceitos fudametais, juros simples e compostos 1.4 Objetivos Coceitos fudametais Agete ecoômico, Capital Operação fiaceira Juros ou juro, Motate Valor presete, Valor futuro Valor omial Fluxo de caixa Juros simples e compostos Defiição de taxa de juros Juros simples e compostos Resumo Uidade 2 Regime de juros simples (capitalização simples) Objetivos Itrodução Fórmulas básicas Juro Motate Juro comercial Taxa de juros diária comercial, Juro comercial Descotos - descoto racioal e descoto comercial

5 3 Coceito de descoto Descoto racioal (por detro) Descoto comercial (descoto bacário ou por fora) Equivalêcia de capitais Equivalêcia de fluxos de caixa em descoto racioal Equivalêcia de fluxos de caixa em descoto comercial Resumo Uidade 3 Regime de juros compostos Objetivos Itrodução Fórmulas básicas Motate Capital ou valor presete Capitalização e descotos Taxas de juros em regime de juros compostos Taxa de juros efetiva Taxa de juros omial Taxa de juros equivalete Descoto em regime de juros compostos Descoto racioal ou real Valor presete de um fluxo de caixa Taxa itera de retoro de um fluxo de caixa Equivalêcia de fluxos de caixa Resumo

6 4 Uidade 4 Redas ou auidades Objetivos Redas ou auidades Classificação das redas Estudo das redas Reda temporária, certa, periódica e postecipada Reda temporária, certa, periódica, imediata e postecipada Reda temporária, certa, periódica, diferida e postecipada Reda temporária, certa, periódica e atecipada Reda temporária, certa, periódica, imediata e atecipada Reda temporária, certa, periódica, diferida e atecipada Taxa de juros em redas Redas perpétuas Resumo Uidade 5 Sistemas de amortização Objetivos Itrodução Sistemas de prestação costate Tabela price Modelo de prestação costate diferido Modelo de prestação costate imediato

7 5 Sistema de amortização costate SAC Sistema do motate Sistema americao Sistema do sikig fud Resumo Uidade 6 Iflação e correção moetária Itrodução Ídices de preços Ídice e taxa de iflação (ou de correção moetária) Taxas de juros aparete e real Ídice de correção moetária como iflator e como deflator Fiaciametos com correção moetária Fiaciametos com correção pré-fixada Fiaciametos com correção pós-fixada Resumo

8 1 Apresetação Ao iiciar os estudos da disciplia Matemática Fiaceira, algumas pergutas ievitavelmete passam pela sua cabeça: qual o seu campo de aplicação? qual a sua utilidade prática? ela fará alguma difereça em miha vida? Bem, o campo de aplicação dessa disciplia é bastate amplo pois suas técicas são ecessárias em operações de fiaciameto de quaisquer aturezas: crédito a pessoas físicas e empresas, fiaciametos habitacioais, crédito direto ao cosumidor e outras. Também são ecessárias em operações de ivestimetos mobiliários os mercados de capitais. Em ambas as situações, é o uso dessas técicas que permite cohecer o custo e o retoro dessas operações, permitido tomadas de decisão mais racioais; são elas também que permitem determiar o valor das prestações devidas pelas trasações efetuadas em parcelas. No mudo dos egócios, seu cohecimeto é absolutamete imprescidível, uma vez que os custos dos fiaciametos dados e recebidos são peças cetrais do sucesso empresarial. Este livro pretede lhe ajudar a desvedar essas técicas para que você possa gerir os seus iteresses fiaceiros com racioalidade e eficiêcia. A primeira uidade do livro é dedicada ao cohecimeto da omeclatura a ser utilizada ao logo do texto, à explicitação das pricipais variáveis cujas relações serão estudadas ao logo do livro e à coceituação de taxa de juros e regime de juros simples (capitalização simples) e de juros compostos (capitalização composta).

9 2 A seguda uidade estuda o regime de capitalização simples e a terceira uidade, o regime de capitalização composta. Para esses dois regimes de capitalização se estudam: suas relações fudametais, questões relativas às taxas de juros, operações de descotos e a equivalêcia de capitais. Itroduz-se também o coceito de valor presete líquido e de taxa itera de retoro de um fluxo de caixa (este último apeas para capitalização composta). O cohecimeto desses coceitos é ecessário para os estudos subseqüetes das redas e sistemas de amortização. A quarta uidade estuda as auidades ou redas: sua defiição, classificação e pricipais modelos. Para esses modelos o livro evidecia a relação de equivalêcia existete etre os pagametos (recebimetos) da reda, os seus valores presetes e futuro e as demais variáveis evolvidas. Essa uidade é itrodutória ao estudo dos sistemas de amortização costates da próxima uidade. A quita uidade estuda os diversos sistemas de amortização de dívidas que tem vasta aplicação prática. Especial ateção é dada aos modelos de prestação costate e amortização costate por sua relevâcia a vida cotidiaa. A sesta uidade itroduz o estudo da correção moetária de valores fiaceiros. O cohecimeto de suas técicas é importate porque a correção moetária se aplica a praticamete todos os cotratos com duração superior a um ao. No decorrer dos estudos lhe serão sugeridas atividades complemetares com a fialidade de facilitar o apredizado. O livro também traz algus istrumetos para iiciá-lo a utilização de calculadoras fiaceiras. Esperamos que você teha sucesso os estudos que se propôs a fazer ao iiciar esta disciplia. Nossos votos de um bom percurso!

10 Uidade 1 Coceitos fudametais. Juros simples e compostos

11 Uidade 1-5 Objetivos A primeira uidade do curso lhe apresetará a omeclatura que será utilizada o curso e algus coceitos iiciais que serão cetrais o desevolver das suas atividades, com êfase para: equação básica da matemática fiaceira, fluxo de caixa e taxa de juros. Esta uidade tem os seguites objetivos: idetificar de modo claro as variáveis evolvidas o estudo da matemática fiaceira; cohecer a omeclatura utilizada o curso; cohecer a equação fudametal da matemática fiaceira; costruir fluxos de caixa de operações fiaceiras; coceituar taxa de juros; compreeder a difereça etre regime de juros simples e regime de juros compostos. Para facilitar seu apredizado você deverá domiar com seguraça os seguites assutos: álgebra elemetar; fuções e sua represetação gráfica. Caso teha alguma dificuldade com esses potos faça uma revisão prévia. O site é excelete para orietar o apredizado de matemática em ível médio e superior.

12 Uidade 1-6 Coceitos fudametais A Matemática Fiaceira é um corpo de cohecimeto que estuda a mudaça de valor do diheiro com o decurso de tempo; para isso cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do diheiro em diversos potos do tempo. Para iiciar o seu estudo, é ecessário que se estabeleça uma liguagem própria para desigar os diversos elemetos que serão estudados e que esses elemetos sejam cotextualizados com precisão. Os elemetos básicos do estudo da disciplia serão iicialmete vistos através de uma situação prática para, a seqüêcia, defiilos. Situação prática 1.1: Um gerete de uma empresa ecessita de um empréstimo o valor de R$ ,00 para ateder às ecessidades de capital do seu egócio. Um baco, após aalisar a solicitação auiu ao pedido e propôs um empréstimo que deverá ser pago após quatro meses; o baco depositará R$ ,00 a cota da empresa e esta pagará ao baco R$ ,00 ao fial dos quatro meses. A Matemática Fiaceira recohece que o diheiro tem valor o tempo. É ituitivo que cem reais em seu bolso tem mais valor do que cem reais que chegarão às suas mãos daqui a seis meses. Veja um filme a respeito em: Essa situação permite a você, leitor, idetificar os elemetos básicos que serão estudados em Matemática Fiaceira. Nessa situação você pode ver que: existiu uma trasação fiaceira etre o baco e o cliete que será deomiada de operação fiaceira; essa operação fiaceira tem um valor iicial de $ ,00 que será deomiado de capital e um

13 Uidade 1-7 valor fial de $ ,00 que será deomiado motate; essa operação fiaceira tem uma duração de quatro meses; há uma difereça etre o motate e o capital que será deomiado juro da operação. Esse juro será um custo para a empresa e uma remueração para o baco; e existe um agete que empresta o diheiro e que é deomiado credor e um agete que toma o diheiro emprestado e que é deomiado devedor. Para saber mais... Vá a LC 1.1 e leia o texto ititulado Oferta e demada de moeda, dispoível em: O estudo da Matemática Fiaceira exige uma defiição precisa desses termos, o que é proposto a você as próximas págias. O autor cosidera ato ecoômico qualquer ato praticado por pessoas (físicas ou jurídicas) que teha coseqüêcias fiaceiras. Na situação prática 1.1, mostrada acima, o ato ecoômico praticado foi o empréstimo feito pelo baco à empresa (porque gerou coseqüêcias fiaceiras para as duas partes).

14 Uidade 1-8 Agete ecoômico Agete ecoômico é qualquer etidade física ou jurídica capaz de praticar um ato ecoômico. Assim, etede-se por agete ecoômico qualquer pessoa, empresa ou istituição que possa praticar um ato ecoômico: uma veda, uma compra, um empréstimo ou quaisquer operações que teham coseqüêcias fiaceiras. Na situação prática mostrada, a empresa e o baco são os agetes ecoômicos evolvidos. Capital Capital (C) é o valor de um ativo represetado por moeda e/ou direitos passíveis de uma expressão moetária, o iício de uma operação fiaceira. Na situação prática 1.1, o capital correspode ao valor de $ ,00. De acordo com essa defiição pode-se cosiderar como capital: umerário ou depósitos bacários dispoíveis; títulos de dívida expressos em valor o iício de um processo fiaceiro; ativos físicos devidamete avaliados: prédios, máquias, veículos e outros. Neste último caso, a avaliação deve ser aceita pelas partes evolvidas como sedo o valor correto do ativo o iício de um processo fiaceiro. Para que a caracterização de outras oções básicas importates seja feita com clareza, o capital será visto como um ativo que pode ser cedido por um (vários) agete(s) ecoômico(s) a outro(s), mediate codições previamete estabelecidas.

15 Uidade 1-9 Operação fiaceira Operação fiaceira é o ato ecoômico pelo qual determiado agete ecoômico possuidor de capital - deomiado credor - trasfere esse capital a outro agete ecoômico - deomiado tomador - mediate codições previamete estabelecidas, que ormalmete evolvem: a remueração paga pelo tomador ao credor pela utilização do capital; Essa trasferêcia de capital pode ser um empréstimo ou um ivestimeto. os prazos e formas de devolução do capital e da remueração acordada; as garatias de pagameto que o tomador apresetará ao credor. Este livro estudará os dois primeiros ites mas ão abordará o último. A operação fiaceira será sempre formalizada através de um documeto que, geericamete, será deomiado de título de crédito. Uma operação fiaceira pode evolver vários tomadores e vários credores. Cosidere uma operação fiaceira em que o credor cede um capital C ao tomador por um tempo costituído de períodos, ao fim do qual o tomador devolverá ao credor a soma do capital e da remueração acordada. Essa operação está sitetizada a figura 1.

16 Uidade 1-10 J M (VN) C Tempo (períodos) FÓRMULA BÁSICA: M = C +J Figura 1: Operação fiaceira Fote: elaborada pelo autor. A partir da cofiguração mostrada essa figura, podem-se defiir algus coceitos básicos da disciplia. Juros ou juro Juro (J) é o valor da remueração do capital (C) acordado etre o credor e o tomador em uma determiada operação fiaceira. Motate Deomia-se motate* (M) a soma do capital (C) e do juro (J) que foi acordado a operação fiaceira e que é devido ao fial da mesma. Esta defiição mostra a você que se verifica a seguite relação: M = C + J GLOSSÁRIO *Motate é a soma do capital e do juro de uma operação fiaceira. que é deomiada equação básica da Matemática Fiaceira.

17 Uidade 1-11 Valor presete Valor presete (PV) é o valor de uma operação fiaceira a data presete. É um valor itermediário etre o motate (M) e o capital (C), coforme se pode ver a figura 2. i As calculadoras fiaceiras utilizam a deomiação PV para o valor presete ou atual. J C VP (VA) VF M(VN) data atual -1 Tempo (períodos) FÓRMULA BÁSICA: M = J + C Figura 2: Coceitos e defiições básicas Fote: elaborada pelo autor. Essa omeclatura se justifica para operações iiciadas o passado e que se prologam até uma certa data futura. Observe que, para uma operação fiaceira iiciada hoje o capital e o valor presete coicidem; por essa razão, a expressão valor presete é, freqüetemete, utilizada como siôima de capital, apesar da difereça coceitual existete. Mais à frete você etederá o porquê desta simplificação. Valor futuro Valor futuro (FV) é o valor de uma operação fiaceira em qualquer data compreedida etre a data presete e o vecimeto da operação. Verifique a figura 2. De modo aálogo As calculadoras fiaceiras utilizam a deomiação FV para o valor futuro.

18 Uidade 1-12 ao valor presete e capital, também o valor futuro é, freqüetemete, tomado como siôimo de motate. Valor omial Valor omial (VN) é o valor de uma operação fiaceira costate do título de crédito que a documeta. Pode ser tato o valor iicial - capital -, como o valor fial da operação motate. Algus autores adotam a omeclatura valor de face ao ivés de valor omial. Freqüetemete valor omial e valor futuro (FV) são tomados como siôimos apesar da difereça coceitual existete. Atividades de apredizagem 1. Retore à situação prática 1.1 descrita iicialmete e procure idetificar cada um dos elemetos defiidos em uma operação fiaceira. 2. Escreva com suas próprias palavras o coceito de juro. Costrua um exemplo de uma operação fiaceira que caracterize bem o coceito. 3. Dê o sigificado de valor omial. O valor omial é ecessariamete o capital? ou o motate? por quê? 4. Faça uma distição etre capital e valor presete. Crie um exemplo que ilustre, adequadamete, esses coceitos. Por que razão esses coceitos são usualmete vistos como siôimos? 5. Qual a fórmula básica da Matemática Fiaceira? 6. Discuta essas questões com seus colegas e formule uma resposta úica valedo-se do istrumeto Wiki

19 Uidade 1-13 Fluxo de caixa Situação prática 1.2: você etrou uma loja para comprar uma geladeira. O vededor lhe iforma que o preço à vista da geladeira é $ 1.500,00. Iforma também que o pagameto pode ser fiaciado em quatro pagametos iguais mesais de $ 400,00 através de uma istituição fiaceira (IF). Você faz a compra e opta pelo fiaciameto, de modo que terá quatro desembolsos mesais sucessivos de R$ 400,00; é o seu fluxo de caixa dessa operação. A istituição fiaceira (IF) pagará para a loja o valor à vista de $ 1.500,00 e receberá de você as quatro prestações mesais. A Figura 3 represeta graficamete as etradas e saídas de diheiro para cada um dos agetes evolvidos; isso é um fluxo de caixa*. GLOSSÁRIO * Fluxo de caixa é uma sucessão de etradas e saídas de diheiro (ou ativos expressos pelo seu valor moetário) o tempo. Figura 3: Etradas e saídas de diheiro o tempo. Fote: elaborada pelo autor.

20 Uidade 1-14 Essas etradas e saídas podem ser represetadas por um diagrama, deomiado diagrama de fluxo de caixa*, como mostrado a figura 3, a partir do qual se apotarão as coveções utilizadas para a sua elaboração. Regras para desehar um fluxo de caixa: o eixo das abscissas (horizotal) represetam-se os períodos de tempo; e GLOSSÁRIO * Diagrama de fluxo de caixa é a represetação gráfica ou em tabela de um fluxo de caixa. o eixo das ordeadas (vertical) represetam-se os valores das etradas e saídas de diheiro. Essas etradas e saídas são represetadas por flechas orietadas, idicativas dos valores cosiderados: etrada de diheiro: flechas com orietação positiva, saída de diheiro: flechas com orietação egativa. A dimesão dessas flechas ão cosidera a proporcioalidade etre elas e os valores represetados; as figuras são meramete qualitativas. Na figura 3 tem-se para: a istituição fiaceira: uma saída de caixa de 1.500,00 o tempo = 0 (zero) e quatro etradas de caixa sucessivas o valor de 400,00; você: quatro saídas de caixa sucessivas de 400,00 (seu beefício como cotrapartida foi a aquisição da geladeira). Mais rigorosamete, você receberia R$ 1.500,00 da IF e os repassaria à loja; loja: recebeu à vista o valor de 1.500,00 pela veda que lhe fez da geladeira.

21 Uidade 1-15 Os pagametos mesais de $ 400,00 são omialmete iguais, porém, fiaceiramete distitos, pois se referem a datas diferetes e ão são, portato, comparáveis. Para saber mais... Vá à leitura complemetar 1.2 Valor do diheiro o tempo dispoível em O fluxo de caixa também pode ser represetado em forma de tabela (S j = saída de caixa, E i = etradas de caixa), como mostrado abaixo para os três agetes evolvidos. Tabela 1: Fluxos de caixa de um fiaciameto. Fote: elaborada pelo autor.

22 Uidade 1-16 A Matemática Fiaceira estuda as iter-relações etre essas diversas variáveis e os seus problemas estão basicamete relacioados com etradas e saídas de diheiro o tempo. Nuca deixe de cosiderar que uma operação fiaceira evolve duas partes (o credor e o tomador) com fluxos de caixa absolutamete simétricos. A que é etrada de caixa para uma das partes, é saída de caixa para a outra parte e vice-versa; verifique essa simetria o seu fluxo de caixa e o fluxo de caixa da IF. Atividades de apredizagem 7. Costrua o seu fluxo de caixa para um fiaciameto em aquisição de um eletrodoméstico cujo valor à vista é $ 1.000,00 e pelo qual você vai pagar 4 prestações mesais, sucessivas, iguais, o valor de $ 280,00 cada uma, vecedo a primeira em 30 dias da data da compra. 8. O Baco Alfa emprestou a Fracisco Silva a importâcia de $ 1.000,00, por 60 (sesseta) dias. Ao fial desse prazo, Fracisco deverá devolver ao Baco um total de $ 1.300,00:1. Idetifique o capital, o motate e determie o valor do juro devido, 2. Costrua o fluxo de caixa, observado as coveções dadas. 9. Você foi a uma loja e comprou uma TV as seguites codições: uma etrada de $ 100,00 e mais dois pagametos a 30 e 60 dias o valor de $ 150,00 cada. Costrua o fluxo de caixa dessa operação para você a qualidade de comprador e para a loja a qualidade de vededora. Compare os dois fluxos de caixa. 10. Um baco cocedeu um empréstimo para uma pessoa o valor de $5.000,00 que deverá ser pago daqui a três meses. Costrua os fluxos de caixa do baco e do tomador do empréstimo.

23 Uidade Um carro o valor de $ ,00 foi fiaciado para pagameto em 12 parcelas iguais e mesais de $ 2.450,00, vecedo a primeira daqui a um mês. Costrua os fluxos de caixa associados ao fiaciador e ao fiaciado. Discuta as soluções dessas questões com seus colegas os chats.

24 Uidade 1-18 Juros simples e juros compostos Este tópico procurará levá-lo a eteder o coceito de custo fiaceiro e a cohecer os modos pelos quais se calcula o juro devido em uma operação fiaceira. Uma vez mais, se utilizará uma situação prática cocreta para que você seja levado a perceber a ecessidade de mecaismos de comparação etre situações semelhates, mas ão iguais. Situação prática 1.3: uma empresa ecessita de certo volume de capital para ateder as ecessidades do seu egócio. Ela tem em mãos duas propostas feitas por bacos: uma delas para receber $ ,00 hoje e pagar $ ,00 após quatro meses; e uma seguda para receber hoje $ ,00 e pagar $ ,00 daqui a quatro meses. Imagie que as duas propostas atedam as ecessidades da empresa e se pergute: qual a melhor proposta? O juro da primeira proposta é de $ ,00 equato que o juro da seguda proposta é $ ,00. Esses úmeros que espelham os juros a serem pagos são absolutos e, portato, ão são diretamete comparáveis, porque suas bases iiciais são diferetes ($ e $ ); assim, tora-se difícil verificar qual a melhor das duas propostas. Nesta Uidade serão tratados algus coceitos que ajudarão a fazer esse julgameto. Defiição de taxa de juros A grade preocupação dos agetes fiaceiros é saber o custo do diheiro os mercados. Esse custo é dado pela taxa de juros (i)* que represeta o custo de cada uidade de capital por GLOSSÁRIO * A taxa de juros (i) é a relação etre os juros gerados uma operação fiaceira e o capital ela empregado para cada uidade de tempo.

25 Uidade 1-19 uidade de tempo. Assim, a taxa de juros (i)*, expressa em forma uitária, é a relação etre o juro gerado uma operação fiaceira e o capital ela empregado; observe que essa taxa de juros está relacioada com o tempo da operação fiaceira. Deomie-se de J o valor do juro gerado por um capital C um determiado tempo, expresso em úmero de períodos; a taxa de juros para esse itervalo de tempo, expressa em forma uitária, é defiida como: J i = ap (1.1) C ap = ao período (de tempo) Essa taxa de juros pode ser expressa também em forma percetual, bastado ajustar a fórmula acima. J i = *100 % ap (1.2) C Importate! Os úmeros que expressam a taxa de juros são acompahados de uma expressão que idica a temporalidade da taxa. Essas expressões são abreviadas da seguite forma: ad = am = ab = at = aq = as = ao dia; ao mês; ao bimestre; ao trimestre; ao quadrimestre; ao semestre; e aa = ao ao. Exemplo 1.1: um capital de $ 1.000,00 rede juros de $ 20,00 em dois meses. Qual a taxa de juros?

26 Uidade 1-20 Solução: a resposta vem da própria defiição de taxa de juros e dos dados, a saber: C = 1.000,00 J = 20,00 Aplicado as fórmulas da taxa de juros (1.1 e 1.2), tem-se: i = J/C = 20/1000 = 0,02 ab (ao bimestre ) Forma uitária i = (J/C) x 100 = 2% ab (ao bimestre) Forma percetual Exemplo 1.2: um capital de $ 1.000,00 rede juros de $ 60,00 em seis meses. Qual a taxa de juros? Solução: aáloga ao exemplo aterior: C = 1.000,00 J = 60,00 i = J/C = 60/1.000 = 0,06 as (ao semestre) Forma uitária i = (J/C) * 100 = 6% as (ao semestre) Forma percetual Observe, em cada caso, a referêcia temporal; o primeiro exemplo, a taxa de juros está expressa para o bimestre, porque os juros foram gerados em dois meses, equato, o segudo exemplo, a taxa de juros está expressa em semestre, que é o período o qual os juros foram gerados. Essa referêcia temporal é essecial e ão pode ser esquecida. Com essas defiições, retome a situação prática 1.3 e procure verificar qual o custo de cada proposta. Primeira proposta O juro devido é: J = M C = = e a taxa de juros proposta pode ser calculada: i = J C = = 0,2 aq ou

27 Uidade 1-21 J i = = * 100 = 20% aq (ao quadrimestre) C Seguda proposta O juro devido é: J = M C = = e a taxa de juros proposta pode ser calculada: J i = = = 0,221 aq ou C J i = = * 100 = 22,10% aq C Etão o custo do diheiro para a primeira proposta é 20% aq e para a seguda proposta é 22,10% aq. A comparação é agora direta e imediata e o levaria a escolher a primeira proposta por ser a mais barata. Observe que a uidade de tempo utilizada é o quadrimestre (4 meses). Juros simples e compostos Situação prática 1.4: dois bacos matém uma liha de crédito que empresta e credita em cota do iteressado de $ 1.000,00, com taxa de juros de 10% aa (ao ao) em 10/10/X0 para ser pago itegralmete, de uma só vez, em 5 aos, ao fial da operação fiaceira. Etretato, o baco Alfa exige um pagameto de $ 1.500,00 ao fial dos cico aos e o baco Beta um pagameto de $ 1.610,51 ao fial do mesmo período. Como pode ser isto? A taxa de juros, os prazos e os capitais ão são os mesmos? Como esses resultados podem ser diferetes?

28 Uidade 1-22 A resposta a essa questão se prede ao fato de existirem dois regimes de juros, deomiados regime de juros simples ou de capitalização simples e regime de juros compostos ou de capitalização composta com lógicas iteras de cálculo diferetes. A seguir mostram-se os cálculos fiaceiros dos dois bacos. Regime de juros simples ou de capitalização simples. O baco Alfa usa este regime o qual o juro periódico é calculado sempre sobre o valor iicial da operação (C). A fórmula aplicada é aquela mostrada a defiição de taxa de juros (1.1): J i = ou J = C * i C O saldo devedor (capital mais juros) cresce uma progressão aritmética de razão igual a 100, como pode ser visto a Tabela 2, abaixo. Tabela 2 Regime de juros simples Regime de juros simples: a base de cálculo do juro (C) ão se altera ao logo do tempo.

29 Uidade 1-23 Neste regime de juros, a base de cálculo é sempre o capital iicial (C = $ 1.000), e você pode observar que o juro devido em cada período de icidêcia é costate. A base de cálculo ão se altera ao logo do tempo. Os juros gerados em cada um dos períodos são registrados, mas só serão pagos ao fial da operação fiaceira; ou seja, somete ao fial da operação fiaceira os juros devidos são agregados ao capital iicial para ova operação ou para pagameto e liquidação da operação atual. Regime de juros compostos ou de capitalização composta: O baco Beta se vale deste regime o qual o juro gerado em cada período é somado ao saldo do período imediatamete aterior e passa por sua vez a sofrer icidêcia de juros; a este processo de se somar o juro do período aterior ao saldo iicial do período presete para costituir uma ova base de cálculo do juro, se dá o ome de capitalização de juros. Por coseqüêcia, a base de cálculo dos juros muda sucessivamete pela agregação dos juros do período aterior. A Tabela 3 mostra isso com clareza. A fórmula para cálculo se trasforma em: i = J SD i ou J = SD i * i e este saldo iicial de período só coicide com o capital C o primeiro período, coforme se pode ver a tabela 3.

30 Uidade 1-24 Tabela 3 Regime de juros compostos. Regime de juros compostos: a base de cálculo do juro (SD i ) se altera período a período pela capitalização do juro do período aterior. A capitalização (agregação dos juros itermediários ao capital) dos juros itermediários é a resposável pela difereça ($1.610,51 e $1.500) observada os resultados fiais obtidos em cada um dos sistemas de juros. Atividades de apredizagem 19. O Baco Alfa emprestou a Fracisco Silva a importâcia de $ 1.000,00, por 60 (sesseta) dias. Ao fial desse prazo, Fracisco deverá devolver ao baco um total de $ 1.300, Determie a taxa de juros da operação em suas formas uitária e peetual, 2. Qual seria a taxa de juros se a operação fosse feita com um prazo de 90 (oveta) dias? R: a) 30% ab (ao bimestre); b) 30% at (ao trimestre) 20. O Baco Fêix emprestou a João Cordeiro $ 5.000,00 por um prazo de 90 (oveta) dias a uma taxa de juros de 15% at (ao trimestre). Que motate João deverá pagar ao Baco Fêix ao fial da operação? R: M = 5.750,00.

31 Uidade O Baco Fêix emprestou a Pedro Cardoso $ 5.000,00 a uma taxa de juros covecioada de 5% am (cico por ceto ao mês). Esse empréstimo deverá ser pago de uma só vez ao fial de quatro meses. Determie o motate a ser pago: (1) em regime de juros simples e (2) em regime de juros compostos. R: 1) 6.000,00; 2) 6.081,84. Dica: costrua a plailha para cálculo de juros. 22. Uma operação fiaceira feita por um período de seis meses a uma taxa de juros de 20% determiou um motate de $ 1.000,00. Qual o valor do capital origiário? R: C = $ 833,33. Resumo Esta uidade lhe colocou em cotato com a omeclatura básica da disciplia, permitido-lhe o domíio do código básico de comuicação que será utilizado ao logo do curso. Você também apredeu a equação básica da Matemática Fiaceira e o coceito de fluxo de caixa e as formas de sua represetação. A seguir, você etrou em cotato com a defiição de taxa de juros e os modelos de formação dos juros os regimes de capitalização simples e composta. É importate ressaltar que a difereça etre os dois regimes de juros decorre do tratameto dado aos juros itermediários. No regime de capitalização simples, os juros itermediários são apeas créditos devidos ao iteressado, que ão iterferem a base de cálculo dos juros de períodos futuros. No regime de capitalização composta os juros itermediários são agregados ao pricipal para o cálculo dos juros de períodos futuros, determiado mudaças a base de cálculo.

32 Uidade 1-26 Você fez as leituras do texto base e dos textos complemetares, executou as atividades, resolveu os exercícios propostos e etedeu perfeitamete todos os potos? Se a resposta for egativa retore aos potos ão compreedidos ou ão lidos ou aida às atividades e exercícios ão executados até que você teha a certeza de domiar completamete as idéias e coceitos desevolvidos. Se a resposta for positiva você está de parabés. Como resultado do seu esforço você coheceu a Uidade I a omeclatura básica da disciplia que lhe permite o domíio do código básico de comuicação que será utilizado ao logo do curso, apreedeu a oção de valor de diheiro o tempo, a equação básica da matemática fiaceira, o coceito de fluxo de caixa e as formas de sua represetação, a defiição de taxa de juros (que é o custo do diheiro) e o mecaismo de operação dos regimes de juros simples e de juros compostos. Portato, você está apto a iiciar a seguda uidade do curso.

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34 Uidade 2 Regime de juros simples (capitalização simples)

35 Uidade 2-2 Objetivos da uidade Esta uidade lhe apresetará a modelagem do regime de juros simples, os coceitos de proporcioalidade e equivalêcia de taxas de juros, as bases das operações de descoto de títulos e os coceitos de equivalêcia de capitais esse regime de juros. Por coseqüêcia, esperamos que ao fial do mesmo você possa: cohecer a modelagem matemática do regime de capitalização simples; idetificar taxas de juros proporcioais e equivaletes; cohecer o coceito de descotos e suas modelages básicas; estudar a equivalêcia de capitais o regime de capitalização simples. Para facilitar seu apredizado você deverá domiar com seguraça os seguites assutos: álgebra elemetar; represetação gráfica de fuções; coceitos vistos a uidade 1. Caso teha alguma dificuldade com esses potos faça uma revisão prévia. O site é excelete para orietar o apredizado de matemática em ível médio e superior.

36 Uidade 2-3 Itrodução Nesta uidade você etrará em cotato com as fórmulas básicas para cálculos em regime de capitalização simples, com os coceitos de taxas de juros proporcioais e equivaletes e com uma das pricipais aplicações práticas deste regime de juros, qual seja, a operação de descoto de títulos comerciais. Esta uidade também se valerá de situações práticas que o levem a perceber a importâcia do objeto de estudo. Fórmulas básicas Situação prática 2.1: você, ecessitado de recursos para operar seus egócios, se dirige a um baco e solicita um empréstimo de $1.000,00 para pagar em uma úica vez o fial de cico (5) aos. O gerete, após aalisar seu comportameto de crédito, aui ao seu pedido e lhe iforma que a liha de fiaciameto opera com uma taxa de juros de 15% aa e em regime de juros simples. Qual o valor que deverá ser reembolsado ao baco ao fial de operação? Juro Você poderá respoder essa questão utilizado-se da fórmula (1.1) vista a uidade 1 para o cálculo de juros. O juro icide aualmete sobre o empréstimo a uma taxa de 15% aa de modo que para cada ao decorrido do iício da operação o baco terá direito a um juro expresso por: J = C * i ou lembrado que, Observe a taxa de juros que está expressa a forma uitária (15%/100).

37 Uidade 2-4 C= 1.000,00 e i = 15%aa J = 1.000,00 * 0,15 = 150,00 Observe que a temporalidade da taxa de juros é o ao; assim, o tempo do empréstimo pode ser dividido em cico (5) períodos de ao que correspodem a cico (5) períodos auais de icidêcia de juros. Os cálculos completos podem ser vistos a tabela 4. Tabela 4 Formação de juros simples Fote:elaborada pelo autor. Essa tabela mostra os juros auais, que correspodem a $ 150,00 e o total dos juros de $ 750,00 que é dado pela soma do juro de cada período. Assim: J = J 1 + J 2 + J 3 + J 4 + J 5 + J 6 Mas observe que: J 1 = J 2 = J 3 = J 4 = J 5 = C*i Assim: J = C*i + C*i + C*i + C*i + C*i 05 (cico) períodos Expressão essa que fatorada o leva a: J = (C * i) * 5 Substituido os valores dados o euciado segue, J = * 0,15 * 5 = $ 750

38 Uidade 2-5 O úmero 5 (cico), de períodos de icidêcia de juro, aparece como multiplicador do fator C*i; esta costatação permite uma geeralização (utilizado o método da idução fiita*) para períodos de icidêcia; substituido o úmero 5 por a expressão acima resulta a fórmula geral de juros em regime de juros simples e as fórmulas derivadas que são mostradas a seguir: J = C * i * J C = i * J i = (2.1) C * GLOSSÁRIO *Idução fiita é um método matemático utilizado para validar a geeralização de uma fórmula matemática. Com essa fórmula a resposta parcial à situação prática 2.1 seria simplesmete: J = C*i* = 1.000*0,15*5 = 750,00 Sem a ecessidade de se costruir a tabela 4. No regime de juros simples, a remueração do capital (juro) é diretamete proporcioal ao valor do capital e ao tempo, e é devida somete ao fial da operação fiaceira cosiderada. A figura 4 ilustra o exemplo dado e permite algumas coclusões. Nessa figura o(s) poto(s) 1(2,3,4,5) represeta(m) o fial do primeiro (segudo, terceiro, quarto, quito) período(s). A figura em questão explicita: M = C = J = Tempo (períodos) Figura 4: Comportameto dos juros. Fote: do autor. o capital cresce liearmete com o tempo;

39 Uidade 2-6 o capital cresce em progressão aritmética de razão J = C*i Observe: os juros só estarão dispoíveis para o credor o fial da operação fiaceira; as fórmulas foram deduzidas com base a taxa de juros expressa em forma uitária. Se a taxa de juros for expressa a forma percetual, ela deverá ser reduzida à sua forma uitária (dividir por 100) ates da aplicação das fórmulas; e a taxa de juros i e o tempo deverão estar expressos a mesma temporalidade (em forma compatível). Assim, se a taxa de juros for expressa em aos ( aa ), o tempo deverá estar expresso em aos, se a taxa de juros for expressa em meses ( am ) o tempo deverá estar expresso em meses e assim por diate. Exemplo 2.1: foi feito um empréstimo de $ 1.000,00 uidades moetárias para ser pago ao fial de 3 aos. A taxa de juros covecioada foi de 10% a.a. Qual o valor do juro gerado essa operação? Figura 5: Juro de empréstimo. Fote: elaborada pelo autor.

40 Uidade 2-7 Solução: a) a figura 5 mostra o problema em forma gráfica para visualizá-lo melhor. No primeiro mometo ão se cohece o valor de J (é claro!). b) fazer o resumo de dados como a seguir: C = = 3 aos i = 10% aa J =? c) verificar a fórmula ou fórmulas a serem aplicadas; o caso, a fórmula 2.1. Ates de aplicá-la reduzir a taxa de juros à sua forma uitária: i aa = i% aa /100 = 10/100 = 0,1 Aplicado a seguir os valores à fórmula básica, tem-se: J = C*i* = 1.000*0,10*3 = 300,00 Motate O motate, coforme defiido ateriormete, é o resultado da capitalização da operação, isto é, represeta o capital origiário acrescido do juro devido a operação. A fórmula geral do motate pode ser deduzida a partir da sua defiição (fórmula básica da MF) e da expressão geral dos juros (2.1): M = C + J e J = C * i * (2.1) Substituido a expressão de M o valor de J dado por (2.1), tem-se, M = C + C * i * Esta expressão, após as devidas trasformações algébricas, produz a fórmula geral do motate e suas fórmulas derivadas, mostradas a seguir: M = C * (1+ i * ) (2.2) C = M 1+ i * (2.3)

41 Uidade 2-8 (M/C) 1 i = (2.4) (M C) 1 = (2.5) i Exemplo 2.2: Foi feito um empréstimo de $ 1.000,00 uidades moetárias para ser pago ao fial de 3 aos. A taxa de juros covecioada foi de 10% aa. Qual o valor do motate ao fial dessa operação? Solução: a) colocar o problema em forma gráfica para visualizá-lo melhor. No primeiro mometo ão se cohece o valor de M (é claro!). Figura 6 Motate de empréstimo. Fote: elaborada pelo autor. b) fazer o resumo de dados como a seguir: C = = 3 aos i = 10% aa M =? c) verificar a fórmula ou fórmulas a serem aplicadas; o caso, a fórmula 3.2. Ates de aplicá-la reduzir a taxa de juros à sua forma uitária: i aa = i%aa/100 = 10/100 = 0,1 Aplicado a seguir os valores à fórmula básica, tem-se: M = C*(1+i*) = 1.000*(1+0,10*3) = 1.000*(1+0,3) = 1.000,00*1,3 = 1.300,00 Esse exercício poderia ser solucioado acrescetado-se o juro calculado em exercício 2.1 ao capital, valedo-se da fórmula básica da matemática fiaceira, ou seja: M = C + J = = 1.300,00

42 Uidade 2-9 Itrodução ao coceito de equivalêcia fiaceira*: a situação prática 2.1 e o exemplo 2.2, diz-se que, o motate é equivalete ao capital para a taxa de juros e pelo prazo cosiderados. Na situação prática 2.1, o capital de $ 1.000,00 é equivalete ao motate de $ 1.750,00 para a taxa de juros de 15% a.a. e pelo prazo de 5 aos; o exemplo 2.2 o capital de $ 1.000,00 é equivalete ao motate de $ 1.300,00 para a taxa de juros de 10% a.a. e para o prazo de três aos. GLOSSÁRIO *Equivalêcia fiaceira - o capital é equivalete ao motate para a taxa de juros e pelo prazo cosiderados a operação. Taxas proporcioais e equivaletes Defiição: duas taxas i 1 e i 2 relativas aos períodos 1 e 2 são proporcioais quado observarem a relação de proporcioalidade mostrada em (2.6): i1 i2 1 2 = (2.6) devedo os tempos 1 e 2 estarem expressos a mesma uidade de tempo. Uma maeira mais imediata para você tratar taxas proporcioais: tome-se um tempo para o qual está defiida uma taxa de juros i e subdivida-o em k períodos; qual a taxa de juros proporcioal a i para esse subperíodo k? Basta dividir a taxa i pelo úmero de períodos k cotidos em : i k = i 1 * k Exemplo 2.3: coverta a taxa de juros de 12% aa em taxa de juros mesal por proporcioalidade. Solução: aplicar a codição de proporcioalidade, observado que o tempo deve estar expresso as mesmas uidades (o caso 1 mês e 12 meses). Situação 1 i 1 = x% am 1 = 1 mês

43 Uidade 2-10 Situação 2 i 2 = 12% aa 2 = 1 ao =12 meses x 1 = ou x = i1 = 1% am ou seja: 1% am é a taxa mesal proporcioal a 12% aa. Pelo segudo modo: lembre-se de que o ao tem 12 meses, portato, k =12, e ik = i * im = ia * = 12% * = 1% am k Defiição: duas taxas i 1 e i 2 são ditas equivaletes quado, ao serem aplicadas ao mesmo capital, pelo mesmo tempo, gerarem o mesmo motate. Exemplo 2.4: verifique se 1% am e 12% aa são taxas equivaletes. Tome como referêcia um capital de $ 1.000,00. Solução: aplicado a fórmula (2.2), tem-se: a) o motate gerado por um capital de $ 1.000,00 em 12 meses a 1% am será: C = $ i 1 = 1% am 1 = 12 meses Obs: a taxa de juros e o prazo estão expressos a mesma uidade (mês). M 1 = C*(1+i*) =1.000*(1 + 0,01*12) = $ b) o motate gerado por um capital de $ 1.000,00 em 1 ao a 12% aa será: C = $ i 2 = 12% aa 2 = 1 ao Obs: a taxa de juros e o prazo estão expressos a mesma uidade (ao). M 2 = C*(1+i*) =1.000*(1 + 0,12*1) = $ Os motates, M 1 e M 2, gerados as duas situações propostas são iguais, o que mostra que as taxas de juros de 1% am e de 12% aa são taxas equivaletes, em regime de juros

44 Uidade 2-11 simples. Combiado os resultados dos exemplos 2.3 e 2.4, pode-se cocluir: Em regime de juros simples as taxas proporcioais são também equivaletes. Exemplo 2.5: calcule a taxa de juros mesal proporcioal à taxa de juros de 18% a.a.. Solução: basta aplicar a fórmula da proporcioalidade aos dados i 1 =? 1 = 1 mês i 2 = 18% aa 2 = 1 ao = 12 meses i i 1 2 = 1 2 i 1 1 = i 1 = 1,5 % am ou aida, ik = i * im = ia * = 18 * = 1,5% am k k =12 porque um ao se divide em 12 meses. Até este poto você estudou a modelagem básica do regime de juros ou de capitalização simples e suas fórmulas básica que relacioam: capital, motate, tempo e taxa de juros e os coceitos de taxas de juros proporcioais e equivaletes. Este cojuto de cohecimetos que será sedimetado com as atividades que seguem, permitirá a você avaçar um pouco mais o tópico de capitalização simples. Atividades de apredizagem 1. Calcular as taxas mesais e trimestrais proporcioais a 30% as. Resp.: i m = 5 % am, i t = 15 %at

45 Uidade Calcular as taxas mesais, trimestrais, quadrimestrais e semestrais proporcioais à taxa de 12% aa. Resp.: i m = 1 % am, i t = 3 % at, i q = 4% aq, i s = 2% as. 3. Calcular o motate de $ ,00 aplicado por: a) 6 (seis) meses a 2% am, b) 10 (dez) meses a 12% aa, e c) 65 (sesseta e cico) dias a 2,5% am. Resp.: (a) ,00, (b) ,00, (c) ,66 4. Uma aplicação gerou um motate de $ ,00. Os juros gerados a aplicação foram de $ 2.400,00 e o prazo da mesma foi de 3 (três) meses. Determiar: (a) o capital aplicado, e (b) a taxa de juros mesal da aplicação. Resp.: (a) ,00, (b) 6,15% am 5. Determiar o prazo em que um dado capital dobra de valor se aplicado a uma taxa de 5% am. Em quato tempo triplicará? Resp.: (a) 20 meses, (b) 40 meses. 6. O valor omial de um título é 5/3 (cico terços) do seu valor atual. Sedo o prazo de aplicação de 8 (oito) meses, qual a taxa de juros mesal aplicada? Resp.: i = 8,33% am 7. Qual deve ser o prazo de aplicação de um capital a 30% aa para que os juros gerados correspodam a 4 vezes o valor do capital? Resp.: 13,33 a Juro comercial É coveiete, em algumas situações, fazer uma distição etre o ao civil (365 dias) e o ao comercial (360 dias). Essas situações ocorrem quado existe a ecessidade de se trabalhar com taxas de juros expressas em dias. Algumas aplicações executam seus cálculos com base em taxas de juros diárias, mas expressam essas taxas de juros em termos mesais ou auais; portato, tora-se ecessária a utilização de taxas proporcioais

46 Uidade 2-13 diárias e para o seu cálculo é obrigatória a defiição de uma base de cálculo: a) ao civil de 365 dias ou b) ao comercial de 360 dias. A base de cálculo escolhida (360 ou 365 dias) leva às defiições de juros exatos (base 365 dias) e juros comerciais (base 360 dias). Este livro se aterá exclusivamete aos juros comerciais adotado o ao de 360 dias e o mês de 30 dias. Taxa de juros diária comercial A taxa de juros diária comercial (i dc ) é calculada divididose uma taxa de juros expressa em ao (i a ) por 360 dias (a base de cálculo é o ao comercial de 360 dias): ia idc = (2.7) 360 Juro comercial É o juro obtido quado o período está expresso em dias e se utiliza para os cálculos a taxa de juros diária comercial e o prazo em dias, de acordo com a expressão abaixo: J c = C*i dc * i dc expresso em dias taxa de juros diária comercial Que combiada com a expressão (2.7) dá os juros comercias obtidos para um período expresso em dias e para taxa de juros expressa em ao: C * ia * Jc = 360 (2.8) Exemplo 2.6: cosidere um ivestimeto que promete remuerar o capital a 15% aa, em regime de juros simples. Se o

47 Uidade 2-14 ivestidor pretede mater o seu capital de $ 1.000,00 ivestido por 60 dias que motate receberá ao fial? =? Sumário de dados: i = 15% aa, = 60 dias, C= 1.000,00, M Solução: deve-se calcular a taxa de juros diária proporcioal (ou equivalete) e calcular o motate com base essa taxa. a) Fórmula a ser aplicada: M = C*(1 + i*) com e i expressos em dias. b) Cálculo de i d tomado o ao comercial como base: i d = 15/360 = 0, % ad c) Trasformado a taxa de juros para sua forma uitária: id = 0,041667/100 =0, ad d) Aplicado a fórmula: M = 1.000* (1 + 0, *60) = 1.025,00 Descotos - descoto racioal e descoto comercial Uma operação fiaceira etre dois agetes ecoômicos é ormalmete documetada por um título de crédito comercial, devedo esse título coter todos os elemetos básicos da operação correspodete. Esses títulos é que vão ser utilizados em operações de descoto que são o objeto de estudo deste tópico. Títulos muito utilizados pelos agetes ecoômicos são: a Nota Promissória e a Duplicata Mercatil e de Serviços. Saiba mais... Cosulte:

48 Uidade s/modelos/diversos/otapromissoria.htm. presarial/capítulo_12_empresarial_pr.pdf Coceito de descoto O problema do descoto surge quado o detetor de um título de crédito ecessita trasformá-lo em diheiro ates da data do vecimeto; esse caso, ele poderá egociar com um agete fiaceiro que lhe atecipará um valor iferior ao valor omial. Figura 7: Coceito de Descoto Fote: elaborada pelo autor. A difereça etre o valor omial do título e o valor pago por ele, uma certa data (aterior a data do vecimeto), é o que se chama descoto. Assim, D = FV PV (2.9) ode: D FV (VN) descoto valor omial do título (o vecimeto);

49 Uidade 2-16 PV Fiaceiro). valor atual do título (pago pelo Agete Esse coceito pode ser mais bem visualizado a figura 7. Exemplo 2.7: seja um título de dívida com as seguites características: data de emissão: 1/1/X7; data de vecimeto: 1/1/X8; favorecido: João de Souza; emitete: Alberto José; e valor omial o vecimeto: $ 1.000,00. Em 1/3/X7, João de Souza vai ao Baco X e propõe ao mesmo descotar esse título. O Baco, após aalisar a questão, resolve pagar a João a quatia de $ 800,00 pelo título aquela data. Na operação de descoto o baco ão assume a resposabilidade plea pelo título: João de Souza é solidário com Alberto José em sua dívida perate o baco. Em caso de iadimplêcia de Alberto, João deverá pagar o título ao baco. Para o exemplo acima, que pode ser visualizado a figura 8, tem-se o seguite resumo de dados: - VN = FV = $ valor de compra = PV = $ descoto: D = FV - PV = = $ 200 Em outras palavras, o Baco X despedeu $ 800,00 em 1/3/X7 a favor de João e receberá $1.000,00 de Alberto em 1/1/X8, percebedo, portato, $ 200,00 pela prestação desse serviço. A figura 8 ilustra o problema. Observe que a solução deste exemplo o valor iicial à vista que origiou o título de dívida (o capital) ão foi levado em cota; esta é uma situação comum em fiaças porque a operação fiaceira se origiou em codições diferetes das de hoje e o que iteressa é o hoje e o amahã, e ão o passado.

50 Uidade 2-17 Figura 8: Descoto de título Fote: elaborada pelo autor. O objetivo desta seção é mostrar a você as formas corretes de cálculo desse descoto em regime de capitalização simples, que são: a) o descoto racioal ou por detro e b) o descoto comercial ou por fora; este último é aida deomiado descoto comercial. Descoto racioal (por detro) A operacioalização do cálculo do descoto pode ser feita por duas formas. A primeira é o chamado descoto racioal ou por detro e para sua defiição será adotada a seguite omeclatura: FV PV i r valor omial; valor atual ou valor descotado; taxa de juros de descoto por período; tempo ou tempo de atecipação, em períodos (tempo que decorre etre a data do descoto e a data de vecimeto do título); e Dr descoto racioal ou por detro.

51 Uidade 2-18 GLOSSÁRIO * Descoto racioal - o valor do juro gerado pelo valor PV o tempo e a uma taxa de Figura 9: Descoto racioal - RJS Fote: elaborada pelo autor. juros i r. Defie-se o descoto racioal* como o valor do juro gerado o tempo e à taxa de juros i r, calculado sobre o valor PV. A figura 9 ilustra as demostrações que seguem. Da defiição de descoto racioal tem-se: Dr = PV * idr * (2.10) Da figura 9, percebe-se claramete que: Dr = FV - PV Reordeado essa equação, tem-se: FV = PV + D r Substituido D r pela expressão (2.10), vem: FV = PV + PV * i * Dr = FV - PV r da qual decorre: FV = PV * (1+ idr * ) (2.11) e também, FV PV = (1+ idr * ) (212) As expressões (2.10) e (2.12) combiadas resultam em:

52 Uidade 2-19 FV * idr * Dr = (2.13) (1+ idr * ) Em descoto simples racioal a base de cálculo é o capital iicial ou valor presete. Se você observar cuidadosamete as fórmulas acima verá que o descoto racioal correspode ao juro simples (J) da operação proposta; em outras palavras, o descoto racioal se vale de todas as fórmulas vistas para juros simples, por operar esse regime. Os problemas evolvedo D r podem ser catalogados em três tipos, como mostrado a seguir: Tipo 1: cohecidos FV, i r e, calcular D r. Este tipo de problema é resolvido pela fórmula (2.13) FV * ir * Dr = (1 + ir * ) Exemplo 2.8: um título de valor omial de $ 5.000,00 que vece daqui a 60 dias é levado a um baco para descoto. O baco opera em descoto racioal simples e cobra juros de 4% am (ao mês). Qual o valor do descoto e qual o valor recebido pelo detetor do título? Sumário de dados: FV = 5.000, = 2 meses, i = 4% am Solução: é o caso mais típico de descoto de títulos. A taxa de juros está expressa em base mesal e por isso o prazo também será expresso essa base e = 2 meses. a) Aplicação da fórmula: FV * ir * * 0,04 * D = = = (1+ ir * ) (1+ 0,04 * 2) 1,08 r = $ 370,37 b) O portador do título receberá: PV = FV Dr = ,37=

53 Uidade 2-20 PV = $ 4.629,63 Tipo 2: cohecidos D r, i r e, calcular FV. O problema é resolvido pela mesma fórmula aterior, só que devidamete reordeada: D * (1 ir * ) FV = ir * r + Exemplo 2.9: um título que vece daqui a 60 dias foi descotado em um baco e o valor do descoto foi $ 370,37. O baco opera em descoto racioal simples e cobra juros de 4% am (ao mês). Qual o valor omial e o valor presete desse título? Sumário de dados: FV =?, Dr = 370,37, = 2 meses, i = 4% am Solução: a taxa de juros está expressa em base mesal e por isso o prazo também será expresso essa base e = 2 meses. a) Aplicação da fórmula: Dr * (1+ ir * ) 370,37 * (1+ 0,04 * 2) FV = = ir * 0,04 * 2 FV = 5.000,00 399,99 FV = = 4.999,995 = 5.000,00 0,08 b) O portador do título receberá: PV = FV Dr = ,37= PV = $ 4.629,63 Tipo 3: cohecidos FV ou PV, D r e i r, calcular. O problema é resolvido com o auxílio das fórmulas (2.9) e (2.11): FV = PV + D r FV PV = (1+ ir * )

54 Uidade 2-21 Exemplo 2.10: um título de valor omial $ 5.000,00 foi descotado em um baco e o valor do descoto foi $ 370,37. O baco opera em descoto racioal simples e cobra juros de 4% am (ao mês). Qual o prazo de atecipação do título? Sumário de dados: FV = 5.000,00, Dr = 370,37, =?, i = 4% am Solução: a taxa de juros está expressa em base mesal e por isso o prazo também será expresso meses. a) Pode-se calcular PV com a fórmula (2.9) e a seguir aplicar a fórmula (2.11): FV = PV + D r = PV + 370,37 PV = ,37 = $ 4.629,63 FV PV = (1+ ir * ) FV FV FV (1+ ir * ) = ir * = 1 = 1 * PV PV PV substituido os valores, tem-se, 1 i r FV = 1 * PV 1 i r = ,63 1 * 1 0,04 = 1,99999 meses ou 2 meses b) o exemplo pode ser solucioado utilizado-se a fórmula (2.13) recomedada para os tipos 1 e 2. D * (1 ir * ) FV = FV * ir * = Dr + Dr * ir * ir * r r + FV * i * - D * i * = D * (FV * ir - Dr * ir ) = Dr r r r Dr = FV * i - D r r * i r Dr = ir * (FV - D r ) = i r Dr 370,37 = = 1,99999 ou 2 meses * (FV - D ) 0,04 * ( ,37) r

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