Matemática Financeira. Ernesto Coutinho Puccini

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1 1 Matemática Fiaceira Eresto Coutiho Puccii

2 2 Copyright Todos os direitos desta edição reservados ao Sistema Uiversidade Aberta do Brasil. Nehuma parte deste material poderá ser reproduzida, trasmitida e gravada, por qualquer meio eletrôico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, do autor.

3 3 PRESIDENTE DA REPÚBLICA Luiz Iácio Lula da Silva MINISTRO DA EDUCAÇÃO Ferado Haddad Secretário de Educação a Distâcia Carlos Eduardo Bielschowsky Diretor do Departameto de Políticas em Educação a Distâcia DPEAD Hélio Chaves Filho SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL Celso Costa COMISSÃO EDITORIAL DO PROJETO PILOTO UAB/MEC Maria Isabel Mateus de Almeida (UFPR) Teresa Cristia Jaes Careiro (UFES) Atoio Roberto Coelho Serra (UEMA) Joilto Costa Sousa (UB) Vicete Chiaramote Pires (UEM) Ozório Kuio Matsuda (UEM) Aderso de Barros Datas (UFAL) ORGANIZAÇÃO DO CONTEÚDO Eresto Coutiho Puccii projeto gráfico Aye Cristiy Tessaro Mariaa Lorezetti diagramação Aye Cristiy Tessaro Victor Emmauel Carlso REVISÃO DE PORTUGUÊS Reato Tapado

4 4 Sumário Apresetação 008 Uidade 1 Coceitos fudametais, juros simples e compostos. 010 Objetivos 011 Coceitos fudametais 012 Agete ecoômico 013 Capital, operação fiaceira 014 Juros ou juro, motate, valor presete 016 Valor futuro, valor omial 017 Fluxo de caixa 018 Juros simples e compostos 023 Defiição de taxa de juros 023 Juros simples e compostos 026 Resumo 030 Uidade 2 Regime de juros simples (capitalização simples) 033 Objetivos 034 Itrodução 035 Fórmulas básicas 035 Juro 035 Motate 039

5 5 Juro comercial 045 Taxa de juros diária comercial, Juro comercial 040 Descotos - descoto racioal e descoto comercial 046 Coceito de descoto 047 Descoto racioal (por detro) 047 Descoto comercial (descoto bacário ou por fora) 050 Equivalêcia de capitais 067 Em descoto racioal 068 Em descoto comercial 069 Resumo 076 Uidade 3 Regime de juros compostos 078 Objetivos 079 Itrodução, Fórmulas básicas 080 Motate 080 Capital ou valor presete 082 Capitalização e descotos 083 Taxas de juros em regime de juros compostos 085 Taxa de juros efetiva 087 Taxa de juros omial 088 Taxas de juros equivalete s 089 Descoto em regime de juros compostos 092

6 6 Descoto racioal ou real 092 Valor presete de um fluxo de caixa 100 Taxa itera de retoro de um fluxo de caixa 103 Equivalêcia de fluxos de caixa 105 Resumo 110 Uidade 4 Redas ou auidades 112 Objetivos 113 Redas ou auidades 114 Classificação das redas 115 Estudo das redas 120 Reda temporária, certa, periódica e postecipada 120 Reda postecipada e imediata 121 Reda postecipada e diferida 132 Reda temporária, certa, periódica e atecipada 138 Reda atecipada e imediata 139 Reda atecipada e diferida 147 Taxa de juros em redas 148 Redas perpétuas 150 Resumo 154 Uidade 5 Sistemas de amortização 156

7 7 Objetivos 157 Itrodução 158 Sistemas de prestação costate 159 Modelo postecipado e imediatao 159 Tabela price 166 Modelo postecipado e diferido 167 Modelo de atecipado e imediato 172 Sistema de amortização costate SAC 176 Sistema do motate 183 Sistema americao 184 Sistema do sikig fud 186 Resumo 191 Uidade 6 Iflação e correção moetária (CM) 6.1 Itrodução 6.2 Ídices de preços 6.3 Ídice e taxa de iflação (ou de CM) 6.4 Taxas de juros aparete e real 6.6 Ídice de CM como iflator e como deflator 6.8 Fiaciametos com correção moetária 6.10 Fiaciametos com correção pré-fixada 6.10 Fiaciametos com correção pós-fixada 6.11 Resumo 6.14

8 8 Apresetação Ao iiciar os estudos da disciplia Matemática Fiaceira, algumas pergutas ievitavelmete passam pela sua cabeça: qual o seu campo de aplicação? qual a sua utilidade prática? ela fará alguma difereça em miha vida? Bem, o campo de aplicação dessa disciplia é bastate amplo pois suas técicas são ecessárias em operações de fiaciameto de quaisquer aturezas: crédito a pessoas físicas e empresas, fiaciametos habitacioais, crédito direto ao cosumidor e outras. Também são ecessárias em operações de ivestimetos mobiliários os mercados de capitais. Em ambas as situações, é o uso dessas técicas que permite cohecer o custo e o retoro dessas operações, permitido tomadas de decisão mais racioais; são elas também que permitem determiar o valor das prestações devidas pelas trasações efetuadas em parcelas. No mudo dos egócios, seu cohecimeto é absolutamete imprescidível, uma vez que os custos dos fiaciametos dados e recebidos são peças cetrais do sucesso empresarial. Este livro pretede lhe ajudar a desvedar essas técicas para que você possa gerir os seus iteresses fiaceiros com racioalidade e eficiêcia. A primeira uidade do livro é dedicada ao cohecimeto da omeclatura a ser utilizada ao logo do texto, à explicitação das pricipais variáveis cujas relações serão estudadas ao logo do livro e à coceituação de taxa de juros e regime de juros simples (capitalização simples) e de juros compostos (capitalização composta).

9 9 A seguda uidade estuda o regime de capitalização simples e a terceira uidade, o regime de capitalização composta. Para esses dois regimes de capitalização se estudam: suas relações fudametais, questões relativas às taxas de juros, operações de descotos e a equivalêcia de capitais. Itroduz-se também o coceito de valor presete líquido e de taxa itera de retoro de um fluxo de caixa (este último apeas para capitalização composta). O cohecimeto desses coceitos é ecessário para os estudos subseqüetes das redas e sistemas de amortização. A quarta uidade estuda as auidades ou redas: sua defiição, classificação e pricipais modelos. Para esses modelos o livro evidecia a relação de equivalêcia existete etre os pagametos (recebimetos) da reda, os seus valores presetes e futuro e as demais variáveis evolvidas. Essa uidade é itrodutória ao estudo dos sistemas de amortização costates da próxima uidade. A quita uidade estuda os diversos sistemas de amortização de dívidas que tem vasta aplicação prática. Especial ateção é dada aos modelos de prestação costate e amortização costate por sua relevâcia a vida cotidiaa. A sesta uidade itroduz o estudo da correção moetária de valores fiaceiros. O cohecimeto de suas técicas é importate porque a correção moetária se aplica a praticamete todos os cotratos com duração superior a um ao. No decorrer dos estudos lhe serão sugeridas atividades complemetares com a fialidade de facilitar o apredizado. O livro também traz algus istrumetos para iiciá-lo a utilização de calculadoras fiaceiras. Esperamos que você teha sucesso os estudos que se propôs a fazer ao iiciar esta disciplia. Nossos votos de um bom percurso!

10 10 Uidade 1 Coceitos fudametais. Juros simples e compostos

11 11 Objetivos A primeira uidade do curso lhe apresetará a omeclatura que será utilizada o curso e algus coceitos iiciais que serão cetrais o desevolver das suas atividades, com êfase para: equação básica da matemática fiaceira, fluxo de caixa e taxa de juros. Esta uidade tem os seguites objetivos: idetificar de modo claro as variáveis evolvidas o estudo da matemática fiaceira; cohecer a omeclatura utilizada o curso; cohecer a equação fudametal da matemática fiaceira; costruir fluxos de caixa de operações fiaceiras; coceituar taxa de juros; compreeder a difereça etre regime de juros simples e regime de juros compostos. Para facilitar seu apredizado você deverá domiar com seguraça os seguites assutos: álgebra elemetar; fuções e sua represetação gráfica. Caso teha alguma dificuldade com esses potos faça uma revisão prévia. O site é excelete para orietar o apredizado de matemática em ível médio e superior.

12 12 Coceitos fudametais A Matemática Fiaceira é um corpo de cohecimeto que estuda a mudaça de valor do diheiro com o decurso de tempo; para isso cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do diheiro em diversos potos do tempo. Para iiciar o seu estudo, é ecessário que se estabeleça uma liguagem própria para desigar os diversos elemetos que serão estudados e que esses elemetos sejam cotextualizados com precisão. Os elemetos básicos do estudo da disciplia serão iicialmete vistos através de uma situação prática para, a seqüêcia, defiilos. Situação prática 1.1: Um gerete de uma empresa ecessita de um empréstimo o valor de R$ ,00 para ateder às ecessidades de capital do seu egócio. Um baco, após aalisar a solicitação auiu ao pedido e propôs um empréstimo que deverá ser pago após quatro meses; o baco depositará R$ ,00 a cota da empresa e esta pagará ao baco R$ ,00 ao fial dos quatro meses. A Matemática Fiaceira recohece que o diheiro tem valor o tempo. É ituitivo que cem reais em seu bolso tem mais valor do que cem reais que chegarão às suas mãos daqui a seis meses. Veja um filme a respeito em: ch?v=ol7pf3i31ue Essa situação permite a você, leitor, idetificar os elemetos básicos que serão estudados em Matemática Fiaceira. Nessa situação você pode ver que: existiu uma trasação fiaceira etre o baco e o cliete que será deomiada de operação fiaceira; essa operação fiaceira tem um valor iicial de $ ,00 que será deomiado de capital e um valor fial de $ ,00 que será deomiado motate;

13 13 essa operação fiaceira tem uma duração de quatro meses; há uma difereça etre o motate e o capital que será deomiado juro da operação. Esse juro será um custo para a empresa e uma remueração para o baco; e existe um agete que empresta o diheiro e que é deomiado credor e um agete que toma o diheiro emprestado e que é deomiado devedor. Saiba mais... Vá a LC 11 e leia o texto ititulado Oferta e demada de moeda, dispoível em: O estudo da Matemática Fiaceira exige uma defiição precisa desses termos, o que é proposto a você as próximas págias. O autor cosidera ato ecoômico qualquer ato praticado por pessoas (físicas ou jurídicas) que teha coseqüêcias fiaceiras. Na situação prática 1.1, mostrada acima, o ato ecoômico praticado foi o empréstimo feito pelo baco à empresa (porque gerou coseqüêcias fiaceiras para as duas partes). Agete ecoômico Agete ecoômico é qualquer etidade física ou jurídica capaz de praticar um ato ecoômico. Assim, etede-se por agete ecoômico qualquer pessoa, empresa ou istituição que possa praticar um ato ecoômico: uma veda, uma compra, um empréstimo ou quaisquer operações que teham coseqüêcias fiaceiras. Na situação prática mostrada, a empresa e o baco são os agetes ecoômicos evolvidos.

14 14 Capital Capital (C) é o valor de um ativo represetado por moeda e/ou direitos passíveis de uma expressão moetária, o iício de uma operação fiaceira. Na situação prática 1.1, o capital correspode ao valor de $ ,00. De acordo com essa defiição pode-se cosiderar como capital: umerário ou depósitos bacários dispoíveis; títulos de dívida expressos em valor o iício de um processo fiaceiro; ativos físicos devidamete avaliados: prédios, máquias, veículos e outros. Neste último caso, a avaliação deve ser aceita pelas partes evolvidas como sedo o valor correto do ativo o iício de um processo fiaceiro. Para que a caracterização de outras oções básicas importates seja feita com clareza, o capital será visto como um ativo que pode ser cedido por um (vários) agete(s) ecoômico(s) a outro(s), mediate codições previamete estabelecidas. Operação fiaceira Operação fiaceira é o ato ecoômico pelo qual determiado agete ecoômico possuidor de capital - deomiado credor o trasfere a outro agete ecoômico - deomiado tomador - mediate codições previamete estabelecidas, que ormalmete evolvem: Essa trasferêcia de capital pode ser um empréstimo ou um ivestimeto. a remueração paga pelo tomador ao credor pela utilização do capital;

15 15 os prazos e formas de devolução do capital e da remueração acordada; as garatias de pagameto que o tomador apresetará ao credor. Este livro estudará os dois primeiros ites mas, ão abordará o último. A operação fiaceira será sempre formalizada através de um documeto que, geericamete, será deomiado de título de crédito. Uma operação fiaceira pode evolver vários tomadores e vários credores. Cosidere uma operação fiaceira em que o credor cede um capital C ao tomador por um tempo costituído de períodos, ao fim do qual o tomador devolverá ao credor a soma do capital e da remueração acordada. Essa operação está sitetizada a figura 1. J M (VN) C Tempo (períodos) FÓRMULA BÁSICA: M = C +J Figura 1: Operação fiaceira Fote: elaborada pelo autor. A partir da cofiguração mostrada essa figura, podem-se defiir algus coceitos básicos da disciplia.

16 16 Juros ou juro Juro (J) é o valor da remueração do capital (C) acordado etre o credor e o tomador em uma determiada operação fiaceira. Motate Deomia-se motate* (M) a soma do capital (C) e do juro (J) que foi acordado a operação fiaceira e que é devido ao fial da mesma. Esta defiição mostra a você que se verifica a seguite relação: M = C + J GLOSSÁRIO *Motate é a soma do capital e do juro de uma operação fiaceira. que é deomiada equação básica da Matemática Fiaceira. Valor presete Valor presete (PV) é o valor de uma operação fiaceira a data presete. É um valor itermediário etre o motate (M) e o capital (C), coforme se pode ver a figura 2. i J As calculadoras fiaceiras utilizam a deomiação PV para o valor presete ou atual. C VP (VA) VF M(VN) data atual -1 Tempo (períodos) FÓRMULA BÁSICA: M = J + C Figura 2: Coceitos e defiições básicas Fote: elaborada pelo autor. Essa omeclatura se justifica para operações iiciadas o passado e que se prologam até uma certa data futura. Observe

17 17 que, para uma operação fiaceira iiciada hoje o capital e o valor presete coicidem; por essa razão, a expressão valor presete é, freqüetemete, utilizada como siôima de capital, apesar da difereça coceitual existete. Mais à frete você etederá o porquê desta simplificação. Valor futuro Valor futuro (FV) é o valor de uma operação fiaceira em qualquer data compreedida etre a data presete e o vecimeto da operação. Verifique a figura 2. De modo aálogo ao valor presete e capital, também o valor futuro é, freqüetemete, tomado como siôimo de motate. As calculadoras fiaceiras utilizam a deomiação FV para o valor futuro. Valor omial Valor omial (VN) é o valor de uma operação fiaceira costate do título de crédito que a documeta. Pode ser tato o valor iicial - capital -, como o valor fial da operação motate. Algus autores adotam a omeclatura valor de face ao ivés de valor omial. Freqüetemete valor omial e valor futuro (FV) são tomados como siôimos apesar da difereça coceitual existete. Atividades de apredizagem 1. Retore à situação prática 1.1 descrita iicialmete e procure idetificar cada um dos elemetos defiidos em uma operação fiaceira. 2. Escreva com suas próprias palavras o coceito de juro. Costrua um exemplo de uma operação fiaceira que caracterize bem o coceito.

18 18 3. Dê o sigificado de valor omial. O valor omial é ecessariamete o capital? ou o motate? por quê? 4. Faça uma distição etre capital e valor presete. Crie um exemplo que ilustre, adequadamete, esses coceitos. Por que razão esses coceitos são usualmete vistos como siôimos? 5. Qual a fórmula básica da Matemática Fiaceira? 6. Discuta essas questões com seus colegas e formule uma resposta úica valedo-se dos chats e fórus dispoíveis. Fluxo de caixa Situação prática 1.2: você etrou uma loja para comprar uma geladeira. O vededor lhe iforma que o preço à vista da geladeira é $ 1.500,00. Iforma também que o pagameto pode ser fiaciado em quatro pagametos iguais mesais de $ 400,00 através de uma istituição fiaceira (IF). Você faz a compra e opta pelo fiaciameto, de modo que terá quatro desembolsos mesais sucessivos de R$ 400,00; é o seu fluxo de caixa dessa operação. A istituição fiaceira (IF) pagará para a loja o valor à vista de $ 1.500,00 e receberá de você as quatro prestações mesais. A Figura 3 represeta graficamete as etradas e saídas de diheiro para cada um dos agetes evolvidos; isso é um fluxo de caixa*. GLOSSÁRIO * Fluxo de caixa é uma sucessão de etradas e saídas de diheiro (ou ativos expressos pelo seu valor moetário) o tempo.

19 19 Figura 3: Etradas e saídas de diheiro o tempo. Fote: elaborada pelo autor. Essas etradas e saídas podem ser represetadas por um diagrama, deomiado diagrama de fluxo de caixa*, como mostrado a figura 3, a partir do qual se apotarão as coveções utilizadas para a sua elaboração. Regras para desehar um fluxo de caixa: o eixo das abscissas (horizotal) represetam-se os períodos de tempo; e GLOSSÁRIO * Diagrama de fluxo de caixa é a represetação gráfica ou em tabela de um fluxo de caixa. o eixo das ordeadas (vertical) represetam-se os valores das etradas e saídas de diheiro. Essas etradas e saídas são represetadas por flechas orietadas, idicativas dos valores cosiderados: etrada de diheiro: flechas com orietação positiva,

20 20 saída de diheiro: flechas com orietação egativa. A dimesão dessas flechas ão cosidera a proporcioalidade etre elas e os valores represetados; as figuras são meramete qualitativas. Na figura 3 tem-se para: a istituição fiaceira: uma saída de caixa de 1.500,00 o tempo = 0 (zero) e quatro etradas de caixa sucessivas o valor de 400,00; você: quatro saídas de caixa sucessivas de 400,00 (seu beefício como cotrapartida foi a aquisição da geladeira). Mais rigorosamete, você receberia R$ 1.500,00 da IF e os repassaria à loja; loja: recebeu à vista o valor de 1.500,00 pela veda que lhe fez da geladeira. Os pagametos mesais de $ 400,00 são omialmete iguais, porém, fiaceiramete distitos, pois se referem a datas diferetes e ão são, portato, comparáveis. Saiba mais... Vá à leitura complemetar 1.2 Valor do diheiro o tempo dispoível em O fluxo de caixa também pode ser represetado em forma de tabela (S j = saída de caixa, E i = etradas de caixa), como mostrado abaixo para os três agetes evolvidos.

21 21 Tabela 1: Fluxos de caixa de um fiaciameto. Fote: elaborada pelo autor. A Matemática Fiaceira estuda as iter-relações etre essas diversas variáveis e os seus problemas estão basicamete relacioados com etradas e saídas de diheiro o tempo. Nuca deixe de cosiderar que uma operação fiaceira evolve duas partes (o credor e o tomador) com fluxos de caixa absolutamete simétricos. A que é etrada de caixa para uma das partes, é saída de caixa para a outra parte e vice-versa; verifique essa simetria o seu fluxo de caixa e o fluxo de caixa da IF. Atividades de apredizagem 7. Costrua o seu fluxo de caixa para um fiaciameto em aquisição de um eletrodoméstico cujo valor à vista é $ 1.000,00 e pelo qual você vai pagar 4 prestações mesais, sucessivas,

22 22 iguais, o valor de $ 280,00 cada uma, vecedo a primeira em 30 dias da data da compra. 8. O Baco Alfa emprestou a Fracisco Silva a importâcia de $ 1.000,00, por 60 (sesseta) dias. Ao fial desse prazo, Fracisco deverá devolver ao Baco um total de $ 1.300,00:1. Idetifique o capital, o motate e determie o valor do juro devido, 2. Costrua o fluxo de caixa, observado as coveções dadas. 9. Você foi a uma loja e comprou uma TV as seguites codições: uma etrada de $ 100,00 e mais dois pagametos a 30 e 60 dias o valor de $ 150,00 cada. Costrua o fluxo de caixa dessa operação para você a qualidade de comprador e para a loja a qualidade de vededora. Compare os dois fluxos de caixa. 10. Um baco cocedeu um empréstimo para uma pessoa o valor de $5.000,00 que deverá ser pago daqui a três meses. Costrua os fluxos de caixa do baco e do tomador do empréstimo. 11. Um carro o valor de $ ,00 foi fiaciado para pagameto em 12 parcelas iguais e mesais de $ 2.450,00, vecedo a primeira daqui a um mês. Costrua os fluxos de caixa associados ao fiaciador e ao fiaciado. Discuta as soluções dessas questões com seus colegas os chats e fórus dispoíveis.

23 23 Juros simples e juros compostos Este tópico procurará levá-lo a eteder o coceito de custo fiaceiro e a cohecer os modos pelos quais se calcula o juro devido em uma operação fiaceira. Uma vez mais, se utilizará uma situação prática cocreta para que você seja levado a perceber a ecessidade de mecaismos de comparação etre situações semelhates, mas ão iguais. Situação prática 1.3: uma empresa ecessita de certo volume de capital para ateder as ecessidades do seu egócio. Ela tem em mãos duas propostas feitas por bacos: uma delas para receber $ ,00 hoje e pagar $ ,00 após quatro meses; e uma seguda para receber hoje $ ,00 e pagar $ ,00 daqui a quatro meses. Imagie que as duas propostas atedam as ecessidades da empresa e se pergute: qual a melhor proposta? O juro da primeira proposta é de $ ,00 equato que o juro da seguda proposta é $ ,00. Esses úmeros que espelham os juros a serem pagos são absolutos e, portato, ão são diretamete comparáveis, porque suas bases iiciais são diferetes ($ e $ ); assim, tora-se difícil verificar qual a melhor das duas propostas. Nesta Uidade serão tratados algus coceitos que ajudarão a fazer esse julgameto. Defiição de taxa de juros A grade preocupação dos agetes fiaceiros é saber o custo do diheiro os mercados. Esse custo é dado pela taxa de juros (i)* que represeta o custo de cada uidade de capital por

24 24 uidade de tempo. Assim, a taxa de juros (i)*, expressa em forma uitária, é a relação etre o juro gerado uma operação fiaceira e o capital ela empregado; observe que essa taxa de juros está relacioada com o tempo da operação fiaceira. Deomie-se de J o valor do juro gerado por um capital C um determiado tempo, expresso em úmero de períodos; a taxa de juros para esse itervalo de tempo, expressa em forma uitária, é defiida como: J i = ap (1.1) C GLOSSÁRIO * a taxa de juros (i)*, expressa em forma uitária, é a relação etre o juro gerado uma operação fiaceira e o capital ela empregado. ap = ao período (de tempo) Essa taxa de juros pode ser percetual, bastado ajustar a fórmula acima. expressa também em forma J i = *100% ap (1.2) C ap = ao período de tempo. Importate! Os úmeros que expressam a taxa de juros são acompahados de uma expressão que idica a temporalidade da taxa. Essas expressões são abreviadas da seguite forma: ad = ao dia, am = ao mês, at = ao trimestre, aq = ao quadrimestre, as = ao semestre e aa = ao ao. Exemplo 1.1: um capital de $ 1.000,00 rede juros de $ 20,00 em dois meses. Qual a taxa de juros? Solução: a resposta vem da própria defiição de taxa de juros e dos dados, a saber:

25 25 C = 1.000,00 J = 20,00 Aplicado as fórmulas da taxa de juros (1.1 e 1.2), tem-se: i = J/C = 20/1000 = 0,02 ab (ao bimestre ) Forma uitária i = (J/C) x 100 = 2% ab (ao bimestre) Forma percetual Exemplo 1.2: um capital de $ 1.000,00 rede juros de $ 60,00 em seis meses. Qual a taxa de juros? Solução: aáloga ao exemplo aterior: C = 1.000,00 J = 60,00 i = J/C = 60/1.000 = 0,06 as (ao semestre) Forma uitária i = (J/C) * 100 = 6% as (ao semestre) Forma percetual Observe, em cada caso, a referêcia temporal; o primeiro exemplo, a taxa de juros está expressa para o bimestre, porque os juros foram gerados em dois meses, equato, o segudo exemplo, a taxa de juros está expressa em semestre, que é o período o qual os juros foram gerados. Essa referêcia temporal é essecial e ão pode ser esquecida. Com essas defiições, retome a situação prática 1.3 e procure verificar qual o custo de cada proposta. Primeira proposta O juro devido é: J = M C = = e a taxa de juros proposta pode ser calculada: i = J C = = 0,2 aq ou J i = = * 100 = 20% aq (ao quadrimestre) C

26 26 Seguda proposta O juro devido é: J = M C = = e a taxa de juros proposta pode ser calculada: J i = = = 0,221 aq ou C J i = = * 100 = 22,10% aq C Etão o custo do diheiro para a primeira proposta é 20% aq e para a seguda proposta é 22,10% aq. A comparação é agora direta e imediata e o levaria a escolher a primeira proposta por ser a mais barata. Observe que a uidade de tempo utilizada é o quadrimestre (4 meses). Juros simples e compostos Situação prática 1.4: dois bacos matém uma liha de crédito que empresta e credita em cota do iteressado de $ 1.000,00, com taxa de juros de 10% aa (ao ao) em 10/10/X0 para ser pago itegralmete, de uma só vez, em 5 aos, ao fial da operação fiaceira. Etretato, o baco Alfa exige um pagameto de $ 1.500,00 ao fial dos cico aos e o baco Beta um pagameto de $ 1.610,51 ao fial do mesmo período. Como pode ser isto? A taxa de juros, os prazos e os capitais ão são os mesmos? Como esses resultados podem ser diferetes? A resposta a essa questão se prede ao fato de existirem dois regimes de juros, deomiados regime de juros simples ou de capitalização simples e regime de juros compostos ou de

27 27 capitalização composta com lógicas iteras de cálculo diferetes. A seguir mostram-se os cálculos fiaceiros dos dois bacos. Regime de juros simples ou de capitalização simples. O baco Alfa usa este regime o qual o juro periódico é calculado sempre sobre o valor iicial da operação (C). A fórmula aplicada é aquela mostrada a defiição de taxa de juros (1.1): J i = ou J = C * i C O saldo devedor (capital mais juros) cresce uma progressão aritmética de razão igual a 100, como pode ser visto a Tabela 2, abaixo. Tabela 2 Regime de juros simples Regime de juros simples: a base de cálculo do juro (C) ão se altera ao logo do tempo. Neste regime de juros, a base de cálculo é sempre o capital iicial (C = $ 1.000), e você pode observar que o juro devido em cada período de icidêcia é costate. A base de cálculo ão se altera ao logo do tempo. Os juros gerados em cada um dos períodos são registrados, mas só serão pagos ao fial da operação fiaceira; ou seja, somete ao fial da operação

28 28 fiaceira os juros devidos são agregados ao capital iicial para ova operação ou para pagameto e liquidação da operação atual. Regime de juros compostos ou de capitalização composta O baco Beta se vale deste regime o qual o juro gerado em cada período é somado ao saldo do período imediatamete aterior e passa por sua vez a sofrer icidêcia de juros; a este processo de se somar o juro do período aterior ao saldo iicial do período presete para costituir uma ova base de cálculo do juro, se dá o ome de capitalização de juros. Por coseqüêcia, a base de cálculo dos juros muda sucessivamete pela agregação dos juros do período aterior. A Tabela 3 mostra isso com clareza. A fórmula para cálculo se trasforma em: i = J SD i ou J = SD i * i e este saldo iicial de período só coicide com o capital C o primeiro período, coforme se pode ver a tabela 3. Tabela 3 Regime de juros compostos. Regime de juros compostos: a base de cálculo do juro (SD i ) se altera período a período pela capitalização do juro do período aterior.

29 29 A capitalização (agregação dos juros itermediários ao capital) dos juros itermediários é a resposável pela difereça ($1.610,51 e $1.500) observada os resultados fiais obtidos em cada um dos sistemas de juros. Atividades de apredizagem 19. O Baco Alfa emprestou a Fracisco Silva a importâcia de $ 1.000,00, por 60 (sesseta) dias. Ao fial desse prazo, Fracisco deverá devolver ao baco um total de $ 1.300, Determie a taxa de juros da operação em suas formas uitária e peetual, 2. Qual seria a taxa de juros se a operação fosse feita com um prazo de 90 (oveta) dias? R: a) 30% ab (ao bimestre); b) 30% at (ao trimestre) 20. O Baco Fêix emprestou a João Cordeiro $ 5.000,00 por um prazo de 90 (oveta) dias a uma taxa de juros de 15% at (ao trimestre). Que motate João deverá pagar ao Baco Fêix ao fial da operação? R: M = 5.750, O Baco Fêix emprestou a Pedro Cardoso $ 5.000,00 a uma taxa de juros covecioada de 5% am (cico por ceto ao mês). Esse empréstimo deverá ser pago de uma só vez ao fial de quatro meses. Determie o motate a ser pago: (1) em regime de juros simples e (2) em regime de juros compostos. R: 1) 6.000,00; 2) 6.081,84. Dica: costrua a plailha para cálculo de juros. 22. Uma operação fiaceira feita por um período de seis meses a uma taxa de juros de 20% determiou um motate de $ 1.000,00. Qual o valor do capital origiário? R: C = $ 833,33.

30 30 Resumo Esta uidade lhe colocou em cotato com a omeclatura básica da disciplia, permitido-lhe o domíio do código básico de comuicação que será utilizado ao logo do curso. Você também apredeu a equação básica da Matemática Fiaceira e o coceito de fluxo de caixa e as formas de sua represetação. A seguir, você etrou em cotato com a defiição de taxa de juros e os modelos de formação dos juros os regimes de capitalização simples e composta. É importate ressaltar que a difereça etre os dois regimes de juros decorre do tratameto dado aos juros itermediários. No regime de capitalização simples, os juros itermediários são apeas créditos devidos ao iteressado, que ão iterferem a base de cálculo dos juros de períodos futuros. No regime de capitalização composta os juros itermediários são agregados ao pricipal para o cálculo dos juros de períodos futuros, determiado mudaças a base de cálculo. Você fez as leituras do texto base e dos textos complemetares, executou as atividades, resolveu os exercícios propostos e etedeu perfeitamete todos os potos? Se a resposta for egativa retore aos potos ão compreedidos ou ão lidos ou aida às atividades e exercícios ão executados até que você teha a certeza de domiar completamete as idéias e coceitos desevolvidos. Se a resposta for positiva você está de parabés. Como resultado do seu esforço você coheceu a Uidade 1 a omeclatura básica da disciplia que lhe permite o domíio do código básico de comuicação que será utilizado ao logo do curso, apreedeu a oção de valor de diheiro o tempo, a equação básica da matemática fiaceira, o coceito de fluxo de caixa e as formas de sua represetação, a defiição de taxa de juros (que é o custo

31 31 do diheiro) e o mecaismo de operação dos regimes de juros simples e de juros compostos. Portato, você está apto a iiciar a seguda uidade do curso.

32 32

33 33 Uidade 2 Regime de juros simples (capitalização simples)

34 34 Objetivos da uidade Esta uidade lhe apresetará a modelagem do regime de juros simples, os coceitos de proporcioalidade e equivalêcia de taxas de juros, as bases das operações de descoto de títulos e os coceitos de equivalêcia de capitais esse regime de juros. Por coseqüêcia, esperamos que ao fial do mesmo você possa: cohecer a modelagem matemática do regime de capitalização simples; idetificar taxas de juros proporcioais e equivaletes; cohecer o coceito de descotos e suas modelages básicas; estudar a equivalêcia de capitais o regime de capitalização simples. Para facilitar seu apredizado você deverá domiar com seguraça os seguites assutos: álgebra elemetar; represetação gráfica de fuções; coceitos vistos a uidade 1. Caso teha alguma dificuldade com esses potos faça uma revisão prévia. O site é excelete para orietar o apredizado de matemática em ível médio e superior.

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